FALTA UC0564_MAI_Matematica_I_ED1_V2_2017.pdf

Matemática I
Manual Autoformativo Interactivo
Joel Bastidas Valdivia

Matemática I. Manual Autoformativo Interactivo
Joel Bastidas Valdivia
Primera edición
Huancayo, febrero 2017
De esta edición
© Universidad Continental
Av. San Carlos 1980, Huancayo-Perú
Teléfono: (51 64) 481-430 anexo 7361
Correo electrónico: recursosucvirtual@continental.edu.pe
http://www.continental.edu.pe/
Versión e-book
Disponible en http://repositorio.continental.edu.pe/
ISBN electrónico N.° 978-612-4196-50-8
Dirección: Emma Barrios Ipenza
Edición: Eliana Gallardo Echenique
Asistente de edición: Andrid Poma Acevedo
Asesoría didáctica: Luisa Aquije de Lozano
Diseño y diagramación: Francisco Rosales Guerra
Todos los derechos reservados. Cada autor es responsable del contenido de su propio texto.
Este manual autoformativo no puede ser reproducido, total ni parcialmente, ni registrado en o transmitido
por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, foto-
químico, electrónico, magnético, electro-óptico, por fotocopia, o cualquier otro medio, sin el permiso previo
de la Universidad Continental.
BASTIDAS VALDIVIA, Joel
Matemática I: manual autoformativo interactivo / Joel Bastidas
Valdivia. -- Huancayo: Universidad Continental, 2017
ISBN electrónico 978-612-4196-50-8
1. Matemáticas 2. Ecuaciones 3. Análisis matemático
510 (SCDD)
Datos de catalogación del Cendoc
Datos de catalogación bibliográfica

ÍNDICE
INTRODUCCIÓN 9
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 10
RESULTADO DE APRENDIZAJE: 10
UNIDADES DIDACTICAS 10
TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO 10
UNIDAD I
ECUACIONES e Inecuaciones 11
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I 11
TEMA N° 1: “ECUACIONES LINEALES” 14
1. ECUACIONES LINEALES. 15
2. ECUACIONES LITERALES. 16
3. ECUACIONES QUE CONDUCEN A ECUACIONES LINEALES: 16
4. APLICACIONES CON ECUACIONES LINEALES. 18
ACTIVIDAD FORMATIVA N° 1 18
VIDEOS 19
TEMA N° 2: “ECUACIONES CUADRÁTICAS” 20
1. ECUACIONES CUADRÁTICAS 20
2.
ECUACIONES QUE CONDUCEN A ECUACIONES CUADRÁTICAS: ECUACIONES FRACCIONARIAS,
ECUACIONES CON RADICALES. 22
3. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS 24
4. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 25
LECTURA SELECCIONADA Nº 1: 27

VIDEOS 27
TEMA N° 3: “DESIGUALDADES” 29
1. LA RECTA NUMÉRICA E INTERVALOS 29
2. DESIGUALDADES LINEALES 30
3. APLICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES LINEALES 32
4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. 33
TEMA N° 4: “MODELADO DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES 35
1.
Modelación de situaciones que se describen por medio de ecuaciones y
desigualdades. 35
GLOSARIO DE LA UNIDAD I 38
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I 39
AUTOEVALUACION DE LA UNIDAD I 40
UNIDAD II
FUNCIONES 41
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II 41
TEMA N° 1: DOMINIO DE UNA FUNCIÓN. 44
1. FUNCIÓNES: DEFINICIÓN Y DETERMINACIÓN DE DOMINIOS. 45
2. EVALUACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES. 47
VIDEOS 48
TEMA N° 2 49
1. GRÁFICAS DE COORDENADAS CARTESIANAS O RECTÁNGULARES. 49
2. GRÁFICA DE FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES. 51

VIDEOS 55
TEMA N° 3: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES: TRASLACIONES Y REFLEXIONES 56
1. TRASLACIONES VERTICALES DE GRÁFICAS. 56
2. TRASLACIONES HORIZONTALES DE GRÁFICAS. 57
3. REFLEXION DE GRÁFICAS. 57
4. ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO VERTICAL. 58
5. ACORTAMIENTO Y ALARGAMIENTO HORIZONTAL DE GRÁFICAS. 58
GLOSARIO DE LA UNIDAD II 60
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II 62
AUTOEVALUACION DE LA UNIDAD II 63
UNIDAD III
Funciones Cuadráticas y Sistemas de Ecuaciones 65
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III 65
TEMA N° 1: “RECTAS” 70
1. PENDIENTE DE UNA RECTA. 70
2. ECUACIONES DE LA RECTA. 71
TEMA N° 2: “PARÁBOLAS.” 79
1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. 79
2. VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA. 79
3. MODELADO CON FUNCIONES CUADRÁTICAS. 83

TEMA N° 3: “SISTEMAS DE ECUACIONES” 85
1. SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES. 85
2. SISTEMA DE ECUACIONES CON TRES VARIABLES 88
3. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES. 90
VIDEOS 92
GLOSARIO DE LA UNIDAD IiI 93
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IIi 94
AUTOEVALUACIÓN Nº3 95
UNIDAD IV
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. 97
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV 97
TEMA N° 1: función exponencial 101
1. DEFINICION. 101
2. INTERÉS COMPUESTO. 104
VIDEOS 108
TEMA N° 2: “FUNCIONES LOGARITMICAS” 109
1. DEFINICION DE LAS FUNCIONES LOGARÍTIMICAS. 109
2. PROPIEDADES DE FUNCIONES LOGARITMICAS 110
3. GRAFICA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y SUS APLICACIONES. 110
4. ECUACIONES EXPONENCIALES. 112
5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS. 113
VIDEOS 116

TEMA N° 3: APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. 117
1. MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. 117
VIDEOS 120
GLOSARIO DE LA UNIDAD IV 121
BIBLIOGRAFIA DE LA UNIDAD IV 122
AUTOEVALUACION DE LA UNIDAD IV 123

MATEMÁTICA I
MANUAL AUTOFORMATIVO
9
INTRODUCCIÓN
L
a matemática como ciencia es una de las más
importantes y poderosas herramientas creadas
por el ser humano. Es así como la asignatura de
Matemática I, trata de temas básicos que permite a
los estudiantes desarrollar sus habilidades y destre-
zas y lo más importantes incursionar en el inicio del
estudio de las matemáticas en toda su universalidad.
De esta manera se ha planteado 4 unidades, las cua-
les están debidamente organizadas y sistematizadas
teniendo en cuenta los principios pedagógicos, mo-
tivo por el cual en primer lugar se presenta la teoría,
luego ejercicios resueltos, actividades de autoapren-
dizaje y finalmente la autoevaluación.
Para el estudio del manual se sugiere la siguiente se-
cuencia en cada unidad:
• Realizar el estudio de los contenidos. Es nece-
sario la lectura analítica, la comprensión de los
ejemplos y el repaso de los temas.
• Desarrollar las actividades, con referencia en los
ejemplos resueltos por cada tema.
• Desarrollar la auto evaluación, que es una prepa-
ración para la prueba final de la asignatura
• Desarrollar las actividades programadas para
cada semana en el aula virtual, con la asesoría
del Tutor.
Por tanto Ud. requiere un conocimiento directo y
practico de la matemática que le permita aplicar
en temas de su carrera profesional, tomando ca-
sos de su entorno, logrando de esta manera la ad-
quisición de conocimientos de la matemática a
través de la aplicación directa de la teoría sin de-
jar de lado la motivación y la aplicación de nuevas
metodologías para desarrollar un buen aprendizaje.

10
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA
RESULTADO DE APRENDIZAJE:
Al finalizar la asignatura, el estudiante, utiliza y relaciona las funciones, ecuaciones, inecuaciones y sistemas de
ecuaciones, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información y para resolver problemas relaciona-
dos con la vida cotidiana y con el mundo laboral.
UNIDADES DIDACTICAS
UNIDAD I UNIDAD II Unidad III Unidad IV
“Ecuaciones y
Desigualdades”
“Funciones y Gráficas”
“Rectas, parábolas y
sistemas de ecuaciones”
“Funciones exponenciales
y Logarítmicas”
TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO
UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD III UNIDAD IV
1ra. Semana y 2da. Semana
16 Horas
3ra. Semana y 4ta. Semana
16 Horas
5ta. Semana y 6ta. Semana
16 Horas
7ma. Semana y 8va. Semana
16 Horas

MATEMÁTICA I
11
UNIDAD I
ECUACIONES e Inecuaciones
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I
Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de aplicar propiedades y definiciones en el proceso
de resolución de ejercicios y problemas de ecuaciones e inecuaciones, interpretando los resul-
tados obtenidos dentro de un contexto cotidiano.

12
CONTENIDOS
ACTIVIDADES FORMATIVAS
(habilidades y actitudes)
SISTEMA DE EVALUACIÓN
(Técnicas y Criterios)
Tema N° 1 : Ecuaciones Lineales.
1
Ecuaciones lineales.
2
Ecuaciones literales.
3
Ecuaciones que conducen a
ecuaciones lineales: Ecuaciones
fraccionarias, ecuaciones con
radicales.
4
Aplicaciones con ecuaciones
lineales.
TemaN°2:EcuacionesCuadráticas.
1
Ecuaciones cuadráticas.
2
Ecuaciones que conducen
a ecuaciones cuadráticas:
Ecuaciones fraccionarias,
ecuaciones con radicales.
3
Aplicaciones con ecuaciones
cuadráticas.
4 Ecuaciones con valor absoluto.
Tema N° 3: Desigualdades.
1 La recta numérica e intervalos.
2
Desigualdades lineales.
3
Aplicaciones con desigualdades.
4
Inecuaciones con valor absoluto
5
Desigualdades con valor
absoluto.
Tema N° 4: Modelado de
ecuaciones y desigualdades.
1
Modelación de situaciones que
se describen por medio de
ecuaciones y desigualdades.
• Resuelve ecuaciones de primer
grado usando las propiedades de la
igualdad o transponiendo términos.
• Aplica la factorización o la fórmula
general en la resolución de una
ecuación cuadrática.
• Utiliza los teoremas de valor
absoluto relacionados a ecuaciones e
inecuaciones.
• Analiza y justifica los procesos
utilizados en la resolución de una
ecuación e inecuación.
• Aplica estrategias de solución de
problemas de contexto cotidiano con
ecuaciones e inecuaciones.
• Valora y utiliza sistemáticamente
conductas asociadas a la actividad
matemática, tales como el orden,
puntualidad, contraste, precisión,
revisión sistemática y crítica de los
resultados.
RECURSOS:
Videos:
Tema Nº 1: Ecuaciones de primer grado
Video 1: Introducción a las ecuaciones lineales
Tema Nº 2: Ecuaciones Cuadráticas (ecuaciones de segundo grado)
Video 2: Introducción a las ecuaciones cuadráticas
Video 3: Aplicación de una ecuación cuadrática
Video 4: Ejemplo de resolución de una desigualdad lineal
Video 5: Más ejemplos de modelado de desigualdades (A)
Video 6: Más ejemplos de modelado de desigualdades (B)
Tema Nº 3: Ecuaciones Lineales
Inecuaciones de segundo grado - inecuaciones cuadraticas - metodo grafico
Tema Nº 4: Inecuaciones Cuadráticas

MATEMÁTICA I
13
DIAPOSITIVAS ELABORADAS POR EL DOCENTE:
Lectura complementaria:
Lectura Seleccionada Nº 1
“17 Ecuaciones que cambiaron el mundo”

Instrumento de
evaluación
Prueba de desarrollo

Bibliografía (Básica y
Complementaria)
BASICA
HAEUSSLER Ernest y PAUL Richard. Matemáticas para administración, economía,
ciencias sociales y de la vida . 8a.ed. México: Pearson. 2007
.
Código biblioteca UC: 519/ H14
COMPLEMENTARIA
STEWART James, REDLIN Lothar y WATSON Saleem. Précalculo: Matemáticas para el
cálculo. (5a. ed.). México: Cengage Learning. 2007
Código biblioteca UC: 515 / S79
DEMANA F
., WAITS B., FOLEY G. y KENNEDY D.. Precálculo: gráficas, numérico,
algebraico (7a ed.).México: Pearson Educación. 2007
Código biblioteca UC: 512.1/ D56
LARSON Ron y HOSTETLER Robert. Precálculo. 7a ed. China: Reverté. 2008.
Código biblioteca UC: 512.13/ L25 2008
SOOO Tang Tan. Matemáticas para administración y Economía. México: Thomson.
Editores. 2000. Código biblioteca UC: 519 / T19 2009
PETERSON J.. Matemáticas básicas: Algebra, trigonometría y geometría analítica. 3a. ed.
México: CECSA. 2001
ZILL Denis G. y DEWAR Jacqueline. Precálculo con avances de cálculo. 4a. ed. Colombia:
McGraw Hill. 2008.

Recursos Educativos
digitales
KHANACADEMY (2006) [Base de datos]. Estados Unidos. Recuperado el 28 de enero de
2015, de:
https://es.khanacademy.org/
DITUTOR (5 de febrero 20115). Diccionario de Matemática (html). Recuperado de:
http://www.ditutor.com/numeros_reales/numeros_reales.html
PROFESOR EN LÍNEA (6 de febrero 2015). Números Reales (html). Recuperado de:
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numeros_reales.html
CURSO DE ALGEBRA (5 de febrero 2015). Números Reales (video). Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=tMHJbmUGcQk

UNIDAD
I
TEMA
N°
1
14
TEMA N° 1
“ECUACIONES LINEALES”
Cuando se trabaja con un problema de aplicación de la vida real, con frecuencia nos encontramos con una o más
ecuaciones que modelan dicha situación. Muchos fenómenos pueden describirse uitlizando ecuaciones lineales,
que son el tipo más simple de trabajar.
Un ejemplo es el chirrido del grillo del árbol de nieve (Oecanthulus niveus), que se encuentra en el medio oeste
de Estados Unidos.
A finales de 1890, los naturalistas establecieron que cuando este grillo chirría (Lo cual hace sólo al final del ve-
rano), la velocidad del chirrido de chirridos por minuto está relacionado con la temperatura del aire en grados
Fahrenheit por medio de la ecuación:
4,7 190
-
Cuando T aumenta también lo hace N, lo cual significa que el grillo chirria más rápido en clima cálido. Para pre-
decir la velocidad del chirrido a partir de la temperatura, simplemente multiplicamos la temperatura por 4,7 y
restamos 190. Por ejemplo, cuando la temperatura es de 60 grados, el grillo chirría a una velocidad de 4,7(60)-
190=92 chirridos por minuto.
¿Podemos utilizar los chirridos del grillo como un termómetro para indicar la temperatura? Sí, primero debemos
despejar a T de la ecuación, utilizando las técnicas que se explicarán en este capítulo. El resultado es:

190
4,7
=
+
Esto significa que si en una tarde de agosto en Nebraska, sentados en el exterior oímos un grillo que emite 139
chirridos por minuto, entonces sabemos que la temperaturta es alrededor de:
139 + 190
4,7
= 70
En este capítulo, desarrollaremos técnicas para resolver no sólo ecuaciones las ecuaciones lineales sino también
las cuadráticas.

UNIDAD
I
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
15
1. ECUACIONES LINEALES.
Las ecuaciones lineales tienen la forma o son transformables a la forma general:
Donde a y b son constantes, a ≠ 0, y siendo x la incógnita, por lo cual son también llamadas ECUACIONES LI-
NEALES CON UNA INCOGNITA y se resuelve de siguiente manera.
Ejemplo 1:
Resolveremos a continuación la siguiente ecuación
7 3 9 8
6
2 4
x x
+ −
− =
Técnica de resolución:
1°
Eliminamos las fracciones multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo
(MCM) de los denominadores MCM(2;4)=4.
2° Simplificando:
3° Destruyendo paréntesis:
4° Reduciendo y transponiendo:
Fuente:
Haeussler, E. y Paul, R. (2007). Matemáticas para ad-
ministración, economía, ciencias sociales y de la vida
(8a.ed.). México: Pearson.
0
=
+ b
ax
7x + 3 9x - 8
) = 4 ( 6 )
2 4
4(
4
7x + 3 9x - 8
) = 24
2 4
4 (
2 (7x + 3) - (9x - 8) = 24
14x + 6 - 9x = 24
5x = 10

UNIDAD
I
TEMA
N°
1
16
5° Valor que asume la incógnita:
Es importante VERIFICAR LAS RESPUESTAS. En estas comprobaciones, PM quiere decir “primer miembro “ y
SM quiere decir segundo miembro” de la ecuación.
Si x = 2, reemplazamos en el:
PM:
7 2 + 3
2
−
9 2 − 8
4
=
17
2
−
10
4
= 6
SM: 6
Entonces PM = SM, es correcta la respuesta.
2. ECUACIONES LITERALES.
Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso
de letras. Por lo general, dichas cantidades conocidas se representan con las primeras letras del alfabeto a, b,
c... y las incógnitas con las letras finales x, y, z.
Ejemplo:
La ecuación
= es la fórmula para el interés simple I sobre un capital C soles a una tasa de interés anual r
en un periódo de t años. Exprese r en términos de I, C y t.
Técnica de resolución: Aquí consideramos que r es la incógnita.
Aislamos r.
Por lo tanto:

=
3. ECUACIONES QUE CONDUCEN A ECUACIONES LINEALES:
3.1. ECUACIONES FRACCIONARIAS.
En esta sección, ilustramos que al resolver una ecuación no lineal puede suceder que ésta se reduzca a una
ecuación líneal. Empezamos con una ecuación fraccionaria, que es una ecuación donde la incógnita se encuentra
en el denominador.

=
=

UNIDAD
I
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
17
Ejemplo:
1° Los denominadores se factorizan: 3(x-1);4(x+1) y 12(x-1)
2° Se extrae el MCM (Mínimo Común Múltiplo de los denominadores): MCM = 12 1 1
+ -
3° Multiplicamos cada término de la ecuación por este MCM.

(
(

+

(
= ( ( (

(
- - -
+ + +
Simplificando: 4 1 3 1 = 1
(
(
(
(
-
Destruyendo paréntesis: -
4 4 + 3 3 = 1
Reduciendo y transponiendo: -
- =
7 1 1
Reduciendo: =
6 0
Valor que asume: =
0
3.2. ECUACIONES CON RADICALES.
Resolver:
Técnica de Resolución: Cuando una ecuación tiene dos términos que implican radicales primero escribimos
de modo que esté un radical en cada miembro de la ecuación, si es posible. Después elevamos al cuadrado y
resolvemos.
Esta operación no garantiza la equivalencia, de modo que debemos verificar las soluciones.
Es necesario VERIFICAR LAS RESPUESTAS. En estas comprobaciones, PM quiere decir “primer miembro “ y
SM quiere decir segundo miembro” de la ecuación.
Si x = 4, reemplazamos en el:
PM: 4 − 3 − 4 = −1
SM: -3
Entonces PM ≠ SM, eso indica que la ecuación no tiene solución:

−

+

−
=
+

3 = 3
3 6 9
6 12
2
4

UNIDAD
I
TEMA
N°
1
18
4. APLICACIONES CON ECUACIONES LINEALES.
Las ecuaciones permiten resolver diversos problemas. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Se tienen dos sacos de arroz con 174 kg. Del más pesado se extrae el 25 % de su contenido y se echa en el otro,
quedando los dos con la misma cantidad. ¿Cuánto pesaba cada saco?
Solución: Asignamos la variable “x” a uno de los sacos:
S1
= x
Expresamos el otro saco en función de esta variable:
S2
= 174 – x
Expresamos mediante una ecuación las condiciones del problema, el 25 % del saco mayor es la cuarta parte de
su contenido y esto adicionamos al saco menor:
Resolviendo la ecuación se tiene: 116
=
x
Constatamos que los resultados son correctos y respondemos a la pregunta del problema:
El saco S1
pesa 116 kg y el saco S2
pesa (174 – 116) que es igual a 58 kg
ACTIVIDAD FORMATIVA N° 1
Resuelva las ecuaciones
1. x
x
x
x 7
3
3
9
7 −
−
=
−
−
2. 10
3
)
1
2
(
8 −
=
+
− x
x
x
3. x
x
x 5
)
2
(
1
)
3
(
4
1 +
−
−
=
−
−
4. 3
4
2
3
+
=
+
+ x
x
x
x
5. 4
5
4
3
2
2
3
−
=
−
+
− x
x
x
4
)
174
(
4
x
x
x
x +
−
=
−

UNIDAD
I
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
19
VIDEOS
Video 1: Introducción a las ecuaciones lineales
Este material de video ha sido seleccionado solo y únicamente
con fines de estudio académico y todos sus derechos correspon-
den a sus autores en el ámbito local, regional e internacional.
Datos del Video seleccionado
Título o Tema: Ecuaciones lineales
URL:
http://audiovisuales.uned.ac.cr/mediateca/videos/234/
ecuaciones-de-primer-grado
Duración: 9:28 m
Autor(a): UNED
Año: 2010
Licencia: YouTube estándar.

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
20
TEMA N° 2
“ECUACIONES CUADRÁTICAS”
1. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:
donde c
y
b
a, son números reales y 0
≠
a .
Ejemplos:
0
9
2
=
−
x 0
12
2
=
−
− x
x 0
4
3
2 2
=
−
− x
x
La condición de que 0
≠
a en la definición asegura que exista el término x2
en la ecuación.
Entre los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas, presentamos los siguientes:
• Factorización
• Fórmula cuadrática
FACTORIZACIÓN: para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Factorizamos el
miembro de la ecuación que no es cero. Se iguala a cero cada factor y se obtienen los valores de la variable.
Ejemplo: Para resolver la ecuación x2
+ 10x = 24, por el método de factorización, realizaremos lo siguiente:
Solución: primero debemos volver a escribir la ecuación de modo que el segundo miembro sea igual a cero.
x2
+ 10x = 24
x2
+ 10x – 24 = 0 Resta de 24
(x + 12)(x - 2) = 0 Factorización
x + 12 = 0 ó x - 2 = 0 Propiedad del producto nulo
x = -12 ó x = 2 Solución
Las soluciones son x = -12 y x = 2
0
2
=
+
+ c
bx
ax

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
21
Resuelva las ecuaciones siguientes por factorización.
1) 0
4
2
=
− x
x
2) 12
4
2
=
− x
x
3) 0
6
17
12 2
=
+
− x
x
4) 0
20
2
=
−
− x
x
5) 0
5
4
2
=
+
− x
x
FÓRMULA CUADRÁTICA: La solución de una ecuación 0
2
=
+
+ c
bx
ax con 0
≠
a está dada por la fórmula
cuadrática:
La expresión: ac
b 4
2
− conocida como discriminante determina el tipo de soluciones.
La siguiente tabla nos indica el tipo de raíz de acuerdo al valor del discriminante.
Valor de:
ac
b 4
2
− Tipo de solución
positivo dos soluciones reales
cero una solución real
negativo dos soluciones complejas
Ejemplo: Resolvamos la ecuación cuadrática x2
+ 3x - 1 = 0 del siguiente modo:
Solución: primero debemos identificar los coeficientes (con el signo que le antecede) para aplicar la fórmula.
a = 1, b = 3, c = -1
La fórmula es:
x
b b ac
a
=
− ± −
2
4
2
.
x
b b ac
a
=
− ± −
2
4
2
.

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
22
Reemplazamos en la fórmula y obtenemos:
Las soluciones son:
2.
ECUACIONES QUE CONDUCEN A ECUACIONES CUADRÁTICAS: ECUACIONES FRAC-
CIONARIAS, ECUACIONES CON RADICALES.
En esta sección se estudian ecuaciones que no son cuadráticas; pero que pueden transfromarse en ecuaciones
cuadráticas. Después, se puede resolver la ecuación cuadrática y con algo de interpretación, usar las soluciones
para resolver la ecuación original.
Ejemplo: Una ecuación fraccionaria que se reduce a una ecuación cuadrática.
Resolver:
1
3
+
5
2 2
=
7(2 1)
+ 6
+
+
+ - -
+
Técnica de Resolución:
1° Los denominadores se factorizan:
2° Se extrae el MCM (Mínimo Común Múltiplo de los denominadores):
3° Multiplicamos cada término de la ecuación por este MCM.
4°Simplificando:
5°Destruyendo paréntesis y simplificando:
6°Factorizando:
7°Las posibles raíces son: y
)
1
(
2
)
1
)(
1
(
4
)
3
(
)
3
( 2
−
−
±
−
=
x
2
4
9
3 +
±
−
=
x
2
13
3±
−
=
x
2
13
3
2
13
3 −
−
=
+
−
= x
ó
x
(
1
3
) + ( (
5

= ( (
7 2 1
+ 6
)

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
23
Por tanto y 2 son posibles raíces de la ecuación dada. Pero 2 no puede ser raíz de la ecuación ya que la
sustitución conduce a un denominador de 0. Sin embargo, debemos verificar que en verdad satisface
la ecuación original para concluir así que es la raíz.
Por lo tanto S=
{
{
Ejemplo de una ecuación con radical que conduce a una ecuación cuadrática
Resuelva la ecuación 2 1 2
x x
= − −
Técnica de Resolución:
1° Para eliminar la raíz cuadrada, primero la aislamos en un miembro, y luego elevamos al cuadrado.
2 1 2
x x
− = − − Resta 1
2 2
(2 1) ( 2 )
x x
− = − − Elevamos al cuadrado ambos miembros
2
4 4 1 2
x x x
− + = − Desarrollo del primer miembro.
2
4 3 1 0
x x
− − = Llevando al primer miembro.
( )
4 1 ( 1) 0
x x
+ − = Factorizando
4 1 0
x + = o 1 0
x − = Propiedad del producto nulo
1
4
x = − 1
x = Solucion
Los valores
1
4
x = − y 1
x = son solo soluciones potenciales. Es necesario comprobarlas para ver si cumplen
con la ecuación original.
COMPROBACION:
1° Cuando:
1
4
x = −
1 1
2( )
4 2
PM = − = −

+ 1
+ 3
+

+ 5
− 2
=
7(2(

) + 1)
(

)2 +

− 6
1
1 2 ( )
4
SM = − − −
9
1
4
= −
3 1
1
2 2
= − = −

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
24
PM = SM
2° Cuando 1
x =
2(1) 2
PM = =
1 2 1
SM = − −
1 1 0
= − =
PM ≠ SM
Finalmente la unica solucion es:
1
4
x = −
3. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
El método algebraico para resolver problemas
Ejemplo: Dieta para ratas: Un grupo de biólogos estudió los efectos nutricionales en ratas alimentadas con una
dieta que contenía 10% de proteínas. La proteína estaba compuesta de levadura y harina de maíz. Al cambiar
el porcentaje P (expresado como un decimal) de levadura en la mezcla de la proteína, el grupo estimó que el
promedio de aumento de peso g (en gramos) en una rata durante cierto periodo estaba dado por:
¿Cuál es el porcentaje de levadura que da un aumento promedio de peso de 70 gramos?
INTERPRETACIÓN:
50% de levadura da un aumento promedio de peso de 70 gramos.
(Video de una aplicación de las ecuaciones cuadráticas)
https://www.youtube.com/watch?v=KfQlmJHe90M

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
25
Resuelva las ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
1) 0
6
8
2
=
+
+ x
x
2) 0
1
6
9 2
=
+
+ x
x
3) 0
1
4
5 2
=
+
− x
x
4) 0
5
4
2
=
+
− x
x
5) 0
1
4
2 2
=
+
+ x
x
4. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes:
1.
Recuerda: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmu-
la cuadrática.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto o módulo de un número real “x” se define por:
=
{
0
0 0
−
=
0
Propiedades de valor absoluto
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. (desigualdad triangular).

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
26
2.
3.
Dónde: y es el universo dentro del cual se resuelve la ecuación.
Ejemplo 01:
Para resolver la siguiente ecuación con valor absoluto realizamos lo siguiente:
Solución:
Aplicando directamente el Teorema: , entonces del ejercicio planteado hacemos:
Luego:
1
2
La respuesta es: =
1
2
{
{
Ejemplo 02:
Resolvamos: 3 2 = 4
–
Solución:
Aplicando directamente el Teorema: = ⇔ 0 ∧ ∨ − , entonces del ejercicio plan-
teado hacemos:
La respuesta es:
{
{
= −
2
3
; 2
Ejemplo 03:
Resolvamos la siguiente ecuación con valor absoluto 1 − 3 = 2
Solución:
Aplicando directamente el Teorema: = ⟺ ∨ − , entonces del ejercicio planteado hacemos:
Respuesta: = −
1
2
;
3
4
1 −
−
= 0 ⇔ 1
1
−
−
2 0
− − −
3 2 = 4 ⇔ 4 ≥ 0 ∧ 3 2 = 4 ∨ 3 2 = −
−
−
4
luego: 3 2 = 4 ∨ 3 2 = −4
3 6 ∨ 3 2
1 3 2 ⟺ 1 3 2 ∨ 1 − 3 − 2
⟺ −4 −3 ∨ −2 1

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
27
Resuelva las ecuaciones usando las propiedades:
1. | | .
2. | | .
3. | | .
4. | | .
5. | | | |.
LECTURA SELECCIONADA Nº 1:
Lorn, G. (2013). El progreso humano contado a través de 17 ecuaciones explicadas en un libro
de lectura apasionante – Claudi Alsina. Disponible en https://laslecturasdeguillermo.wordpress.
com/2013/03/13/17-ecuaciones-que-cambiaron-el-mundo-de-ian-stewart/
VIDEOS
Video 2: Introducción a las ecuaciones cuadráticas
Título o Tema: Ecuaciones cuadráticas
URL:http://audiovisuales.uned.ac.cr/mediateca/videos/146/
ecuaci%C3%B3n-cuadr%C3%A1tica-(ecuaciones-de-segun-
do-grado)
Duración: 7:29 m
Autor(a): UNED
Año: 2010
Video 3: Aplicación de una ecuación cuadrática
Título o Tema: Plantear y resolver problemas utilizando ecuacio-
nes de segundo grado con una incógnita
URL: https://www.youtube.com/watch?v=KfQlmJHe90M
Duración: 7:39 m
Autor(a): Profe en C@sa, Fundación para la Cooperación, Minis-
terio de Educación Pública (Costa Rica)
Expositor(a): Alejandro Monge
Año: 2014

UNIDAD
I
TEMA
N°
2
28
Video 4: Ejemplo de resolución de una desigualdad lineal
Título o Tema: Desigualdades lineales
URL: http://tu.tv/videos/inecuaciones-lineales
Duración: 3:17 m
Autor(a): Esther Morales
Año: 2010
Video 5: Más ejemplos de modelado de desigualdades
(A)
Título o Tema: Problemas de desigualdades. Metodología y
ejemplo
URL: https://www.youtube.com/watch?v=ZBSMUEek-2g
Duración: 4:23 m
Autor(a): Matematicatuya
Año: 2011
Video 6: Más ejemplos de modelado de desigualdades
(B)
Título o Tema: COSTOS, INGRESOS, UTILIDAD - Problemas con
DESIGUALDADES LINEALES
URL: https://www.youtube.com/watch?v=Slp2GRhiP3o
Duración: 3:55 m
Autor(a): Jorge Cogollo Martínez
Año: 2013

UNIDAD
I
TEMA
N°
3
MATEMÁTICA I
29
TEMA N° 3
“DESIGUALDADES”
IMPORTANTE
Cuando estás resolviendo o construyendo desigualdades, es importante saber qué símbolo de desigualdad vas
a usar. Mira las siguientes frases que te darán una pista:
Frase Desigualdad
“a es más que b” a b
“a es por lo menos b” o “b no es más que a” a ≥ b
“a es menos que b” a b
“b es por lo menos a” o “a no es más que b” a ≤ b
1. LA RECTA NUMÉRICA E INTERVALOS
Recta numérica.
Recta donde se establece una biyección, a cada número real le corresponde un único punto de la recta y a cada
punto le corresponde un único número real.
Intervalos
Intervalos son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos.
Clases de intervalos
Dados a y b son números reales con b
a . A continuación presentamos los siguientes tipos de intervalos.
5 4 3 2
2
16
1
1 0 1 2 3 4 5
0.3 4.3 4.5
4.85
4.9 4.7 3.1725 8
1
4
1
2 2
3
5
4.2 4.4 4.9999
1
2.63 π

UNIDAD
I
TEMA
N°
3
30
NOMBRE
NOTACIÓN
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Intervalo Conjunto
Abierto
( )
b
a, { }
b
x
a
x

/
Cerrado
[ ]
b
a, { }
b
x
a
x ≤
≤
/
Abierto – Cerrado
( ]
b
a, { }
b
x
a
x ≤

/
Cerrado – Abierto
[ )
b
a, { }
b
x
a
x
≤
/
Abierto a la izquierda
( )
∞
,
a { }
a
x
x
/
Cerrado a la izquierda
[ )
∞
,
a { }
a
x
x ≥
/
Abierto a la derecha
( )
b
,
∞
− { }
b
x
x
/
Cerrado a la derecha
( ]
b
,
∞
− { }
b
x
x ≤
/
Los signos ] y [, indican que el extremo del intervalo si está incluido.
Los signos y , indican que el extremo del intervalo no está incluido.
Operaciones. Los intervalos son conjuntos (subconjuntos de ) con ellos es posible realizar las operaciones con-
juntistas: unión, intersección, complementación, diferencia, diferencia simétrica, etc.
2. DESIGUALDADES LINEALES
Si el grado de la desigualdad es uno, se dice que la desigualdad es lineal.
Es de la forma:
0
,
,
, ≥

≤

+ b
ax .
Ejemplo: Resolveremos la desigualdad 3x 9x + 4 y luego graficaremos el conjunto solución.
Solución:
a b
( )
a b
[ ]
a b
( ]
a b
[ )
a(
a[
b
)
b
]

UNIDAD
I
TEMA
N°
3
MATEMÁTICA I
31
El conjunto solución consta de todos los números mayores que -2/3. En otras palabras, la solución de la des-
igualdad es el intervalo . Siendo su gráfica la siguiente:
DESIGUALDADES LINEALES Y ECUACIONES LINEALES
Una desigualdad es similar a una ecuación, sólo que en lugar de tener un signo de igual hay uno de los símbolos
, , ≤ o ≥ .
Ejemplo:
2x - 8 10
Resolver una desigualdad que contiene una variable quiere decir determinar todos los valores de la variable que
hacen que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuación, una desigualdad por lo general tiene
infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta de los números reales.
Ejemplo: Resolvamos a continuación una ecuación lineal e inecuación lineal, en ambos casos despejamos la
variable “x”
.
Ecuación: 4x + 7 = 19 x = 3
Desigualdad: 4x + 7 19 x 3
Resuelva las siguientes desigualdades:
1. 1
5
5
3 +

− x
x 1
1
3
+
x
2. 15
7
5
3 +

− x
x
3.
2
9
5
2
3
+
≥
−
x
x
4. 4
4
3
6
2
−
+
x
x
3x 9x + 4
3x - 9x 9x + 4 - 9x Sustraemos 9x en ambos lados
-6x 4 Simplificamos
(-1/6)(-6x) (-1/6)(4) Y multiplicación por —1/6
x −
2
3
La multiplicación
por el número
invierte la
dirección de la
desigualdad
a ∞
2
3
-

UNIDAD
I
TEMA
N°
3
32
3. APLICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES LINEALES
Las desigualdades permiten resolver diversos problemas de situaciones reales. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
La comisión mensual de un agente de ventas es de 15% de las ventas por arriba de $ 12000. Si su objetivo es
lograr una comisión de al menos $1000 por mes, ¿cuál es el volumen mínimo de ventas que debe alcanzar?.
Solución:
Sea x la comisión mensual del agente de ventas.
Como la comisión mensual del agente es de 15% de las ventas por arriba de $12000, planteamos la siguiente
expresión matemática.
15% (x-12000)
0.15(x-12000)
Además el objetivo es lograr una comisión de al menos(≥) $1000, quiere decir:
0.15(x-12000) ≥ 1000
Resolveremos esta desigualdad:
0.15x – 1800 ≥ 1000
0.15 x ≥ 1000 + 1800
0.15x ≥ 2800
x ≥ 18666.67
por lo tanto el volumen mínimo de ventas que debe alcanzar el agente de ventas es de $18666.67
.
Resuelva los siguientes problemas.
1.
Costo de la renta de un automóvil. Una compañía que renta vehículos ofrece dos planes para rentar un
automóvil.
Plan A : 30 dólares por día y 10 centavos por milla
Plan B : 50 dólares por día y gratis millas recorridas ilimitadas
¿Para qué valor de millas el plan B le hará ahorrar dinero?

UNIDAD
I
TEMA
N°
3
MATEMÁTICA I
33
2.
Costos de manejo de un automóvil. Se estima que el costo anual de manejar un cierto automóvil nuevo
se obtiene mediante la fórmula.
C = 0.35 m + 2200
Donde m representa la cantidad de millas recorridas al año y C es el costo en dólares. Francisco compró uno de
esos vehículos y decide apartar para el año próximo entre 6400 y 7100 dólares para los costos de manejo. ¿Cuál
es el intervalo correspondiente de millas que puede recorrer con su nuevo automóvil?.
4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
En las inecuaciones con valor absoluto es conveniente recordar las siguientes propiedades que son una conse-
cuencia inmediata de las propiedades de valor absoluto estudiadas anteriormente:
1. | | )
)
[
[
.
2. | | )
)
[
[.
3. | | | | | | | | .
Ejemplo 01:
Resolvamos: | |
Solución:
Aplicando el Teorema: | | Entonces del ejercicio planteado hacemos:
Directamente:

Respuesta:
Ejemplo 02:
Resolvamos:
Solución:
Aplicando el Teorema: | | Entonces del ejercicio planteado hacemos:

UNIDAD
I
TEMA
N°
3
34
Respuesta:
Ejemplo 03:
Resolvamos:
Solución:
Aplicando el Teorema: entonces del ejercicio planteado hacemos:
Resuelva las desigualdades con valor absoluto usando las propiedades:
1. .
2. .
3.
1
2
≥ 1
| | .
4. .
5. .
0 2
+
+ -
2 1 1 2 1 2
1 2
⟺ 2 1 2
1 2
0
por diferencia de cuadrados: ⟺ 2 1 − 1 2 1 1 0
2 3 0
por puntos críticos:
Respuesta: 0 ; 2
| | | |

UNIDAD
I
TEMA
N°
4
MATEMÁTICA I
35
TEMA N° 4
“MODELADO DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
El método algebraico para modelar problemas consiste en identificar con un símbolo aquello cuyo valor se quiere
conocer y emplear este símbolo como si ya se conociera, tratando de esta manera expresar mediante opera-
ciones, igualdades o desigualdades todo lo que se sabe acerca de la incógnita. Por lo tanto se obtiene lo que
llamamos una ecuación o desigualdad y después, por un proceso algebraico, se trata de determinas el valor o
valores de la incógnita.
1.
Modelación de situaciones que se describen por medio de ecuaciones y
desigualdades.
Los siguientes ejemplos te ilustran la aplicación de las ecuaciones y desigualdades con una variable.
Ejemplo1: Determinación de una variable de una variable en términos de las otras.
El área superficial Ade la caja rectangular cerrada de la figura se puede calcular a partir del largo I, el ancho w
y la altura hde acuerdo con la fórmula: 2 2 2
A lw wh lh
= + +
Figura 1
Determine w en términos de las otras variables de esta ecuación.
Técnica de Solución: Aunque esta ecuación contiene más de una variable, la resolveremos de la manera usual,
aislando a wen un lado y tratando a las otras variables como si fueran números.
(2 2 ) 2
A lw wh lh
= + + Agrupación de términos que contienen w
2 2 2
A lh lw wh
− = + Recta de2lh
2 (2 2 )
A lh l h w
− = + Se factoriza w
l
h
w

UNIDAD
I
TEMA
N°
4
36
2
2 2
A lh
w
l h
−
=
+
Division entre 2 2
l h
+
La solución es
2
2 2
A lh
w
l h
−
=
+
Ejemplo 2: Las ecuaciones cuadráticas presentan un sin número de modelados entre ellos tenemos algunos
problemas de economía que dan lugar a una ecuación de segundo grado. Veamos un ejemplo más:
Mensualmente una compañía puede vender “ ” unidades de cierto artículo a “ ” nuevos soles cada uno, en
donde la relación entre y (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación de
demanda: .
¿Cuántos artículos debe vender para obtener un ingreso de 12000 nuevos soles?
Partimos de la siguiente ecuación de economía.
Datos:
Ingreso: 12000 nuevos soles
Precio de venta:
N° de artículos vendidos:
Sustituímos estos datos en la ecuación de economía:
Destruyendo paréntesis nos queda:
Damos forma a nuestra ecuación cuadrática:
Esta ecuación simplificamos diviendo cada término entre 40 quedando:
Resolviendo: y
Interpretación: Por lo tanto se deben vender 15 ó 20 artícilos para obtener un ingreso de S/. 12000
Escuchando el lenguaje
Te encuentras con desigualdades matemáticas casi todos los días, pero tal vez no las notas porque te son fami-
liares. Piensa en las siguientes situaciones: Límites de velocidad en la autopista, pagos mínimos en las tarjetas
de crédito, el número de mensajes de texto que puedes enviar desde tu celular cada mes, el tiempo que te toma
llegar a la Universidad. Todas estas pueden ser representadas como desigualdades matemáticas. Y, de hecho,
usas pensamiento matemático cuando consideras éstas situaciones cada día.
Ingreso = Precio de venta x N° de artículos vendidos

UNIDAD
I
TEMA
N°
4
MATEMÁTICA I
37
situación Desigualdad matemática
Límite de velocidad Velocidad legal en la autopista ≤ 65 millas por hora
Targeta de crédito Pago mensual ≥ 10% de tu balance en el ciclo de tu factura
Mensajes de texto Número de mensaje permitido al mes ≤ 250
tiempo de viaje Tiempo necesario par acaminar hasta la escuela I ≥ 18
minutos
Cuando hablamos de estas situaciones, normalmente nos referimos a límites, como “la velocidad límite es de
65 millas por hora” o “Tengo un límite de 250 mensajes de texto al mes”
. Sin embargo, no tenemos que viajar
exactamente a 65 millas por hora en la autopista, ni mandar y recibir precisamente 250 mensajes de texto al
mes — el límite sólo establece una frontera para lo que es permitido. Pensar en estas situaciones como des-
igualdades proporciona una visión más amplia de lo que es posible.
Considera el siguiente problema:
Un camión de 18 ruedas se detiene sobre una balanza antes de pasar un puente. El peso límite del puente es de
65,000 libras. La cabina del camión pesa 20,000 libras, y la caja del camión pesa 12,000 libras cuando está vacía.
En libras, ¿cuál es la carga que puede llevar el camión para que se le permita pasar el puente?.
Este problema ofrece un límite superior — 65,000 libras — pero nos interesa encontrar todo el rango de posibi-
lidades para el peso de la carga. Podemos representar la situación usando la siguiente desigualdad, donde c es
el peso (en libras) de la carga del camión:
peso de la
cabina
+
peso de la
caja
+
peso de
la carga
≤
peso
permitido
20,000 + 12,000 + c ≤ 65,000
Resolviendo c en la igualdad, encontramos que c ≤ 33,000. Esto significa que el peso de la carga en el camión
puede variar entre 0 y 33,000 libras y se le permitirá al camión cruzar el puente.
20000 + 12000 + c ≤ 65000
c ≤ 65000 - 32000
c ≤ 33000

UNIDAD
I
TEMA
N°
4
38
GLOSARIO DE LA UNIDAD I
A
Absoluto, valor
El valor absoluto de un numero x, denotado por |x| se define como su valor numerico sin considerar su signo.
Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es: | − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es: |3| = 3. Geometricamente, el
valor absoluto ´ representa la distancia del origen de la recta numerica al punto que le corresponde el número:
D
Descomposición en factores
(álgebra): Cuando una expresión algebraica se expresa en forma de la multiplicacion de otras, se dice que se ha
descompuesto en factores.
Por ejemplo:
Discriminante: En la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, y las raíces
son x = -b ± DISCRIMINANTE
2a
El discriminante D se define como el argumento del radical:
E
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Por ejemplo,
Ecuación algebraica
Es una ecuación que se expresa en base a operaciones algebraicas (suma, resta, división, multiplicación) de
polinomios. Por ejemplo la siguiente es algebraica.
Ecuación cuadrática
3 2
3 2 1 0 1 2 3
x
1
x + 2
(x - 1)(x + 3)
x + 5
= 1

UNIDAD
I
TEMA
N°
4
MATEMÁTICA I
39
Una ecuación es cuadrática si tiene la forma:
Donde:
Ecuación lineal
Es una ecuacion en la cual las incógnitas tienen exponente uno. Por ejemplo, la ecuación: 7 x + 1 = 50 es lineal,
pues la unica incógnita que aparece (x) tiene exponente igual a 1.
Ecuación Literal
Ecuación en la cual los coeficientes constantes son escritos como literales porque se desconoce su valor. Por
ejemplo, en la ecuación , los coeficientes a, b, c son literales, porque no se conoce su valor.
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I
BÁSICA
Haeussler, E. Paul, R.,(2007). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida (8a.
ed.). México: Pearson.
RECOMENDADA
Stewart, J., Redlin, L. yWatson, S., (2007).Précalculo: Matemáticas para el cálculo(5a. ed.). México: Cengage-
Learning.
Demana, F., Waits, B., Foley, G. yKennedy,D.,(2007). Precálculo: gráficas, numérico, algebraico (7a ed.).Méxi-
co:Pearson Educación.
Larson, R. y Hostetler, R., (2008).Precálculo (7a ed.). China:Reverté.
Tan,S., (2000). Matemáticas para administración y Economía. México: Thomson Editores.Código biblioteca UC:
519 / T19 2009
Peterson, J., (2001).Matemáticas básicas: Algebra, trigonometría y geometría analítica (3a. ed.). México: CECSA.
Zill,D. y Dewar,J., (2008).Precálculo con avances de cálculo(4a. ed.). Colombia: McGraw Hill.

UNIDAD
I
TEMA
N°
4
40
AUTOEVALUACION DE LA UNIDAD I
Resuelva los siguientes ejercicios y aplicaciones:
1. x – (2x + 8) = 5(-x + 3)
2. 8
5
4
3
2
3
2
−
=
+
− x
x
x
3. 0
1
4
3 2
=
+
+ x
x
4.
2
9
5
2
3
+
≥
−
x
x
5. 5
5
3
2
+
≤ x
6.
7
.
8.
9.
10.
Población de peces. La población de peces de un lago aumenta y disminuye según la fórmula
. En este caso, F es la cantidad de peces que hay en el tiempo t, donde t se mide en años desde
el primero de enero de 2002, cuando la población de peces se estimó por vez primera.
¿En qué fecha la población de peces volverá a ser la misma que en el primero de enero de 2002?

MATEMÁTICA I
41
UNIDAD II
FUNCIONES
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II
Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de utilizar las funciones, su regla de correspon-
dencia y representación gráfica para resolver problemas matemáticos de su entorno cotidiano.

42
CONTENIDOS
TemaN°1:Dominiodeunafunción.
1
Funciones: Definición y
determinación de dominios.
2
Evaluación de funciones y sus
aplicaciones.
Tema N° 2: Gráficas de funciones.
1 Gráficas en coordenadas
rectangulares.
2 Gráfica de funciones definidas
por partes.
Tema N° 3:Transformaciones de
funciones.
1
Desplazamientos verticales de
gráficas.
2
Desplazamientos horizontales de
gráficas.
3
Reflexiones de gráficas.
4
Estiramiento y acortamiento
vertical.
5
Acortamiento y alargamiento
horizontal de gráficas.
• Define y evalúa una función
real, reconociendo: dominio,
rango, variables independiente y
dependiente y su gráfica.
• Analiza y aplica propiedades al
determinar el dominio de una
función.
• Utiliza la regla de correspondencia
para calcular imágenes.
• Estima valores numéricos a partir de
la observación de la representación
gráfica de una función.
• Grafica las funciones construyendo
tablas de valores y representando
pares ordenados en el plano
cartesiano.
• Graficaunafuncióndefinidaporpartes.
• Grafica funciones mediante
traslaciones y reflexiones.
• Analiza la relación entre magnitudes
a partir de la gráfica de funciones de
entorno cotidiano.
• Utiliza la regla de correspondencia
de funciones aplicadas a la economía
y entorno cotidiano, para calcular e
interpretar resultados.
resultados.
RECURSOS:
Videos:
Tema Nº 1: Dominio de una función.
Video 7: Transformación de funciones
Tema Nº 2: Gráficas de funciones.
Video 8: Formas de expresar la ecuación de una recta, Teoría
Tema Nº 3:Transformaciones funciones.
http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDAwMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ--
“Apuntes importantes de funciones”

MATEMÁTICA I
43

Instrumento de
evaluación
Prueba de desarrollo

Complementaria)
BASICA
COMPLEMENTARIA
DEMANA F
McGraw Hill. 2008.

Recursos Educativos
digitales
KHANACADEMY (2006) Base de datos. Estados Unidos. Recuperado el 28 de enero de
2015, de
DITUTOR (5 de febrero 20115). Diccionario de Matemática (html). Recuperado de
PROFESOR EN LÍNEA (6 de febrero 2015). Números Reales (html). Recuperado de
CURSO DE ALGEBRA (5 de febrero 2015). Números Reales (video). Recuperado de

UNIDAD
II
TEMA
N°
1
44
TEMA N° 1
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.
Supóngase que un hombre de 90 kg bebe cuatro cervezas en rápida sucesión. Sabemos que su concentración
de alcohol en la sangre, CAS, primero se eleva y después disminuye en forma paulatina a cero. Pero, ¿Cuál es la
mejor manera de describir que tan rápido se eleva la CAS, en dónde alcanza su punto máximo y qué tan rápido
disminuye?.
Si obtenemos las medidas de los valores de CAS para este bebedor en particular, podemos mostrarlas en una
tabla como sigue:
Sin embargo, una tabla sólo puede mostrar un número limitado de valores en realidad no proporciona la imagen
global.
En lugar de lo anterior, podríamos relacionar la CAS con el tiempo si utilizamos una combinación de ecuaciones
lineales y cuadráticas (recuerde la unidad I).
Así mismo, como en la tabla, es difícil ver las ecuaciones y entender rápidamente lo que sucede con el CAS en
el transcurso del tiempo; quizá la mejor descripción de cambio en la CAS con el tiempo es una gráfica como el
que se muestra debajo. Aquí, con facilidad vemos qué sucede.
La concentración, de alcohol en la sangre asciende rápidamente, tiene un máximo de 0,083% después de apro-
ximadamente una hora, y luego disminuye de manera gradual durante las siguientes 5 horas y media. Observe

UNIDAD
II
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
45
que por más de tres horas la CAS de este bebedor está por arriba de 0,055, el punto en el que, por lo regular,
las habilidades que uno tiene para conducir algún vehículo empiezan a declinar. La curva variará de un bebedor a
otro, pero las mujeres por lo común se ven afectadas con mayor severidad que los hombres, no solo a causa de
la diferencia de peso; sino también a consecuencia del diferente contenido de agua entre los cuerpos de ambos
sexos.
La relación entre el tiempo y el contenido de alcohol en la sangre, es un ejemplo de FUNCIÓN. En esta unidad
se trata a fondo las funciones y sus gráficas.
1. FUNCIÓNES: DEFINICIÓN Y DETERMINACIÓN DE DOMINIOS.
Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función.
En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades están relacionados por una correspon-
dencia de dependencia, como por ejemplo:
• El área de un círculo es una función de su radio.
• El número de bacterias en un cultivo es una función del tiempo.
• El peso de un astronauta es una función de su elevación.
• El precio de un artículo es una función de la demanda de ese artículo.
• El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso.
• La temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar
Esto nos conduce a la definición de función.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función de un conjunto A en un conjunto B, es una regla que hace corresponder a cada elemento x per-
teneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de por , que se denota:
= ( )
En símbolos, se expresa : A B, siendo el conjunto A el dominio de , y el conjunto B el rango.
Fuente:
Haeussler, E. y Paul, R. (2007). Matemáticas para adminis-
tración, economía, ciencias sociales y de la vida (8a.ed.). Mé-
xico: Pearson.
La notación = ( ) señala que es una función de . La variable x es la
variable independiente, y el valor se llama variable dependiente, y es el
nombre de la función.

UNIDAD
II
TEMA
N°
1
46
Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden resumirse en estas dos:
a) Existencia: Cada elemento del dominio debe tener imagen
b) Unicidad: La imagen de cada elemento del dominio debe ser única.
Ejemplos:
La siguiente relación es función porque cada elemento de A está relacionado con uno y sólo uno de B.
La relación del diagrama no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F
.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.
El Dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente .
El Rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente .
Ejemplos.
Determinación dominios de funciones
Hallaremos el dominio de cada función

UNIDAD
II
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
47
a) =

b) = c) =
1
3
Solución:
a) La solución no está definida cuando el denominador es 0. Puesto que:

2 1

2 1
1
Se puede observar que no está definida cuando Así el dominio de es:
El dominio se puede escribir en notación de intervalo como:
b)
No se puede sacar la raíz cuadrada de una cantidad negativa, así que se debe tener Con la pro-
piedad adecuada se puede resolver esta desigualdad para hallar que: Así, el dominio de la fun-
ción es:
c)
No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo, y tampoco se puede dividir entre cero, así que
se debe tener , es decir, . Por lo tanto, el dominio de es:
2. EVALUACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES.
En la definición de una función la variable independiente x desempeña el papel de “marcador de posición” Por
ejemplo, la función se puede considerar como:
Para evaluar es un número, se sustituye el número para el marcador de posición.
Ejemplo: Sea . Evalúe cada valor de la función.
A)
B)
C)
1
2
=
1
2
2
−
1
2
+ 3 =
5
2

UNIDAD
II
TEMA
N°
1
48
Determina del dominio de cada función:
1)
2
2
1 x
f (x)
1 x
+
=
−
2) f(x) 2x 4
= +
3) 2
f (x) x 4
= −
4)
2
2x 3
g(x)
x 2x 3
−
=
+ +
5) Sea =
1
1
. Evalúe cada valor de la función 3 ;
−1
3
1)
VIDEOS
Video 7: Transformación de funciones
Título o Tema: Transformación de funciones
URL: https://www.youtube.com/watch?v=fBwLhZM-u-w
Duración: 4:59 m
Autor(a): Institución Universitaria Pascual Bravo
Año: 2013

UNIDAD
II
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
49
TEMA N° 2
GRÁFICA DE FUNCIONES.
Las gráficas permiten obtener una representación visual de una función. Éstas entregan información que puede
no ser tan evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas.
Para representar gráficamente una función , es común utilizar un sistema de coordenadas rectangulares
o cartesianas, en las cuales, la variable independiente se representa en el eje horizontal, y la variable depen-
diente y en el eje vertical.
1. GRÁFICAS DE COORDENADAS CARTESIANAS O RECTANGULARES.
Ejemplo:
Trazaremos las gráficas de las siguientes funciones:
a) b) c)
Solución: Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados en la tabla y se
unen mediante una curva lisa para obtener la gráfica.
Luego los bosquejos de las gráficas son:

UNIDAD
II
TEMA
N°
2
50
En la tabla siguiente se muestran gráficas de algunas funciones básicas:

UNIDAD
II
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
51
2. GRÁFICA DE FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES.
Graficaremos la siguiente función definida por partes:
La grafica es la siguiente:
http://functions.wolfram.com/
Archivo de gráficas de funciones matemáticas

UNIDAD
II
TEMA
N°
2
52
Trace la gráfica de las siguientes funciones:
1. f(x) = 3x – 2
2. g(x) = 4x –1; para x
[0
∈ ,
]
5
3. h(x) =
2
x ; para x 4
−
∈ , 6
4. f(x) = 6 – 2x
5.
2
f (x) x 3x
= −
6. f(x) 3 x
= −
APUNTES IMPORTANTES DE FUNCIONES
1.
Definición y propiedades de funciones cre-
cientes y decrecientes.
Sea una función con dominio D.
Definiciones
• Se dice que es creciente en el intervalo
si, cualesquiera que sean 1, 2 verificando 1
2, se cumple que ; es decir, si a
medida que crece en el intervalo , crece .
• Se dice que es decreciente en el intervalo
si, cualesquiera que sean 1, 2 verificando
1 2, se cumple que es decir, si
a medida que crece en el intervalo decrece
.
2. GRAFICAS.
De la siguiente gráfica:

UNIDAD
II
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
53
es creciente en: [ ] y [ c,d ]
es decreciente en: [ ]
Ejemplo:
De la función: su gráfica es la si-
guiente:
Se observa lo siguiente:
• Es decreciente en
• Es creciente en
ACTIVIDADES:
Se da la gráfica de una función.
Determine los intervalos en los que la función es a)
creciente y b) decreciente.

UNIDAD
II
TEMA
N°
2
54
3. FUNCIONES PAR E IMPAR.
Definición y gráficas
Sea f una función.
FUNCIÓN PAR FUNCIÓN IMPAR
Ejemplo:
De las siguientes funciones determinaremos si son
funciones par; impar o ni par ni impar.
1. f(x) = x5
+ x
Solución:
Reemplazamos x por –x en la función
f(-x) = (-x)5
+ (-x) = -x5
– x = -(x5
+ x) = -f(x)
La función cambió de signo, por lo tanto, f es una
función impar.
2. g(x) = 1 – x4
Solución:
g(-x) = 1 – (-x)4
= 1 – x4
= g(x)
por lo tanto g es par.
3. h(x) = 2x – x2
Solución:
h(-x) = 2(-x) – (-x)2
= -2x – x2
Puesto que h(-x) ≠ h(x) y h(-x) ≠ -h(x), se concluye que
h no es par ni impar.
Las gráficas de los ejemplos anteriores se muestran
a continuación. La gráfica La gráfica de la función f
es simétrica respecto al origen, y la gráfica de g es
simétrica con respecto al eje y. La gráfica de h no es
f es par si f(-x) = f(x) para toda x en el dominio de f.
f es impar si f(-x) = - f(x) para toda x en el dominio de f.

UNIDAD
II
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
55
simétrica respecto al eje y o al origen.
ACTIVIDAD:
Determine si la función f es par, impar o ninguna. Si
f es par o impar, use la simetría para bosquejar su
gráfica.
1.
2
)
( −
= x
x
f
2. 2
4
4
)
( x
x
x
f −
=
3.
1
( )
f x x
x
= +
VIDEOS
Video 8: Formas de expresar la ecuación de una recta,
Teoría
Título o Tema: Formas de expresar la ecuación de una recta,
Teoría
URL: https://youtu.be/lvAAGy2fRik
Duración: 8:15 m
Autor(a): Academia Vasquez
Año: 2013

UNIDAD
II
TEMA
N°
3
56
TEMA N° 3
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES:
TRASLACIONES Y REFLEXIONES
Las transformaciones de funciones que se estudiarán son desplazamiento, reflexión y estiramiento. Esto nos
proporciona una mejor comprensión de cómo graficar una función.
1. TRASLACIONES VERTICALES DE GRÁFICAS.
Si sumamos una constante a una función, ésta desplaza su gráfica en dirección vertical; el desplazamiento es
hacia arriba si la constante es positiva y el desplazamiento es hacia abajo si la constante es negativa.
Suponiendo que la constante sea c y mayor que cero (c0), entonces podemos concluir en lo siguiente:
Veamos este tipo de desplazamiento en las gráficas siguientes.
En la primera grafica observamos que la gráfica se desplazó c unidades hacia arriba. Así mismo para la segunda
gráfica se desplazó c unidades pero hacia abajo.
Para graficar y = f(x) + c, se desplaza c unidades hacia arriba la gráfica de y= f(x)
Para graficar y = f(x) - c, se desplaza c unidades hacia abajo la gráfica de y= f(x)

UNIDAD
II
TEMA
N°
3
MATEMÁTICA I
57
2. TRASLACIONES HORIZONTALES DE GRÁFICAS.
De igual manera si c es una constante y es mayor que cero (c 0), obtenemos lo siguiente:
Como se puede observar las gráficas se han desplazado horizontalmente c unidades, a la derecha e izquierda
respectivamente.
3. REFLEXION DE GRÁFICAS.
Para graficar y = f(x-c), se desplaza la gráfica de y = f(x) a la derecha c unidades.
Para graficar y = f(x+c), se desplaza gráfica de y = f(x) a la izquierda c unidades.
Para graficar y = - f(x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x.
Para graficar y = f(-x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y.

UNIDAD
II
TEMA
N°
3
58
4. ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO VERTICAL.
Para graficar y = c f(x)
5. ACORTAMIENTO Y ALARGAMIENTO HORIZONTAL DE GRÁFICAS.
La gráfica de y = f(cx)
Si c 1, alargue verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de c.
Si c 1, acorte verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de c.
Si c 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c
Si 0 c 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.

UNIDAD
II
TEMA
N°
3
MATEMÁTICA I
59
Ejemplo:
Bosquejaremos la gráfica de la función
2
)
4
(
2
1
)
( −
−
= x
x
f
Solución. Comenzamos con la gráfica y = x2
, se desplaza primero a la derecha 4 unidades para obtener la gráfica
de y = (x-4)2
. Luego se refleja en el eje x y se alarga por un factor de 2 para obtener la gráfica de y = -2(x-4)2
. Por úl-
timo, se desplaza 1 unidad hacia arriba para obtener la gráfica de f(x) = 1 – 2(x-4)2
mostrada en la siguiente figura.
Realice la gráfica de la función, no mediante la graficación de puntos, sino iniciando con la gráfica de una
función estándar y aplicando transformaciones.
1.
2
1
( ) ( 4) 9
3
f x x
=
− + +
2. 2
( ) ( 6) 4
f x x
= − − −
3.
2
( ) 10( 2) 1
f x x
= − −
4.
2
( ) 10( 2) 1
f x x
= − −
5. 1
2
)
( +
+
−
= x
x
f
6. 8
2
)
( +
−
−
= x
x
f
http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6Ii-
MwMDAwMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ--
Graficadora de funciones

UNIDAD
II
TEMA
N°
3
60
7. 3
4
2
1
)
( −
+
= x
x
f
8. 3
)
6
(
)
( −
−
= x
x
f
GLOSARIO DE LA UNIDAD II
A
Asíntota
Se dice que una curva tiene una asíntota si se acerca mucho a una recta, pero sin llegar a tocarla. La recta repre-
senta la asíntota de la curva.
C
Cartesiano
Plano: Sistema de coordenadas en el cual los ejes son mutuamente perpendiculares y ambos utilizan la misma
unidad de medida. La siguiente figura muestra un plano cartesiano.
F

UNIDAD
II
TEMA
N°
3
MATEMÁTICA I
61
Función algebraica
Es una función que se expresa en base a operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación y división)
de polinomios. Por ejemplo la función “ ” es algebraica.
Función líneal
Función que puede reducirse a la forma La gráfica de una función líneal es una línea recta.
Función cuadrática
Una función de la forma donde La gráfica de una función cuadrática es una parábola vertical.
Función cúbica
Una función de la forma donde a≠0. La siguiente gráfica corresponde a la de una función
cúbica.

UNIDAD
II
TEMA
N°
3
62
BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II
BÁSICA
Haeussler, E. y Paul, R.,(2007). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida (8a.
ed.). México: Pearson.
RECOMENDADA
Stewart, J., Redlin, L. yWatson, S., (2007).Précalculo: Matemáticas para el cálculo(5a. ed.). México: Cengage-
Learning.
Demana, F., Waits, B., Foley, G. yKennedy,D.,(2007). Precálculo: gráficas, numérico, algebraico (7a ed.).Méxi-
co:Pearson Educación.
Larson, R. y Hostetler, R., (2008).Precálculo (7a ed.). China:Reverté.
Tan,S., (2000). Matemáticas para administración y Economía. México: Thomson Editores.Código biblioteca UC:
519 / T19 2009
Peterson, J., (2001).Matemáticas básicas: Algebra, trigonometría y geometría analítica (3a. ed.). México: CECSA.
Zill,D. y Dewar,J., (2008).Precálculo con avances de cálculo(4a. ed.). Colombia: McGraw Hill.

UNIDAD
II
TEMA
N°
3
MATEMÁTICA I
63
AUTOEVALUACION DE LA UNIDAD II
1.
El costo C en dólares de producir x metros de cierta tela se expresa mediante la función:
a) Halle C(120); (Considerar sus respuestas con una cifra decimal)
b) ¿Qué representa su respuesta del inciso a)?
2. Costo de Estancia en un hotel: Un Consorcio de hoteles cobra 80 soles por noche para las dos primeras
noches y 60 soles por cada noche adicional. El costo total T es una función del número de noches “x” que
permanece un huésped.
a) Complete la expresión en la siguiente función definida por partes.
:0 2
( )
: 2
si x
T x
si x
≤ ≤

= 


b) Determine T(2), y T(7) Interprete sus respuestas.
3. Bosquejar la gráfica, dar el dominio y rango é indicar los intervalos en los que la función es creciente y de-
creciente.
4.
El departamento de sistemas requiere comprar computadoras. En una de las cotizaciones dice: El precio
de cada equipo es de S/. 2 000; si la compra es a partir de una docena recibe un descuento del 10% en la
compra; pero si la compra es a partir de una centena, el descuento es del 15%, además un bono de S/. 1
000.
a) Dar la función que representa el costo de x equipos.
b) Hallar: F(10); F(60) y F(120)
c) Decir lo que representa el inciso b.
5. Sea la función base: ( )
f x x
=
Bosqueje la gráfica luego de realizar las siguientes transformaciones: Un desplazamiento horizontal de 3 unida-
des a la izquierda, luego un desplazamiento vertical de 2 unidades hacia abajo, un reflejo respecto al eje “x” y
finalmente las intersecciones con los ejes del plano.

MATEMÁTICA I
65
UNIDAD III
Funciones Cuadráticas y Sistemas de
Ecuaciones
DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III
Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de representar gráficamente rectas y
parábolas y resolver sistemas de ecuaciones lineales relacionadas a un contexto real.

66
CONTENIDOS
Tema N° 1 : Rectas.
1
Pendiente de una recta.
2
Ecuaciones de una recta.
3 Rectasparalelasyperpendiculares.
4
Aplicaciones y funciones lineales.
Tema N° 2: Parábolas.
1
Función cuadrática: Gráficos.
2
Valor máximo o mínimo de una
función cuadrática.
3
Modelado con funciones
cuadráticas.
TemaN°3:Sistemasdeecuaciones.
1 Sistema de ecuaciones lineales
con dos variables.
2 Sistema de ecuaciones lineales
con tres variables.
3
Aplicaciones de sistemas de
ecuaciones.
• Calcula e interpreta la pendiente de
una recta.
• Determina la ecuación de una recta
a partir de las coordenadas de un
punto y la pendiente.
• Resuelve ejercicios de rectas
paralelas y perpendiculares de una
recta.
• Resuelve problemas utilizando
rectas.
• Grafica una función cuadrática
señalando el vértice y puntos de
corte con los ejes.
• Determina e interpreta el valor
máximo o mínimo de una función
cuadrática.
• Resuelve sistemas de ecuaciones
lineales con dos y tres variables
justificando el uso de distintos
métodos.
• Resuelve problemas de contexto
real con sistema de ecuaciones
lineales con dos y tres variables.
Procedimientose indicadores de
evaluación permanente:
• Entrega puntual del trabajo realizado.
• Calidad, coherencia y Pertinencia de
contenidos desarrollados.
• Prueba teórico-práctica individual.
• Actividades desarrolladas en trabajo
colaborativo y tutorizado.
Criterios de evaluación
resultados.
RECURSOS:
Videos:
Tema Nº 1: Rectas.
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/matematicas/geometria/pdf/geo_3.pdf
Tema Nº 2: Parábolas.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
Tema Nº 3: Sistemas de ecuaciones.
Video 9: Sistema de ecuaciones lineales
“Puntos de intersección de una recta con los ejes coordenados”
.

MATEMÁTICA I
67

Instrumento de
evaluación
• Rúbrica del portafolio
• Prueba mixta
• Prueba de desarrollo

Complementaria)
BASICA
Código biblioteca UC: 519/ H14.
COMPLEMENTARIA
DEMANA F
McGraw Hill. 2008.

Recursos Educativos
digitales
KHANACADEMY (2006) [Base de datos]. Estados Unidos. Recuperado el 28 de enero de
2015, de
DITUTOR (5 de febrero 20115). Diccionario de Matemática (html). Recuperado de
PROFESOR EN LÍNEA (6 de febrero 2015). Números Reales (html). Recuperado de
CURSO DE ALGEBRA (5 de febrero 2015). Números Reales (video). Recuperado de

68
Para el problema de la contaminación industrial, algunas personas recomiendan una solución basada en el mer-
cado: dejar que los fabricantes contaminen, pero hacer que ellos paguen por ese privilegio. Entre mayor conta-
minación mayor pago o gravamen. La idea es dar a los fabricantes un incentivo para no contaminar más de lo
necesario.
¿Funciona este enfoque? En la figura de abajo, la línea 1 representa el costo por tonelada de reducción de conta-
minación. Una compañía que contamina de manera indiscriminada puede casi siempre reducir en alguna forma
su contaminación a un costo mínimo. Sin embargo, conforme la cantidad de contaminación se reduce, el costo
por tonelada se eleva y eventualmente se dispara.
Esto se ilustra por medio de la línea que se eleva indefinidamente conforme las toneladas totales de contamina-
ción producidas se aproximas a cero.
La línea 2 es un esquema de gravamen que es menos estricto con operaciones que se efectúan con limpieza,
pero que cobra una cuota creciente por tonelada conforme la cantidad de contaminación total crece.
En contraste, la línea 3 es un esquema en el que los fabricantes que contamina poco pagan un gravamen alto
por tonelada, mientras que los grandes contaminadores pagan menos por tonelada (pero más de manera global).
Surgen preguntas de equidad, ¿Qué tan bien funcionará cada esquema como una medida de control de conta-
minación?.
Al enfrentarse con un impuesto por contaminar, una compañía tiende a disminuir la contaminación mientras
ahorre más en costos de impuestos que en costos por reducción de contaminación. Los esfuerzos por reducción
continúan hasta que el ahorro de impuestos y los costos por reducción empiezan a equilibrarse.

MATEMÁTICA I
69
La segunda mitad de este capítulo estudia los sistemas de ecuaciones.
Aquí las líneas 1 y 2 representan un sistema de ecuaciones y las líneas 1 y 3 representan un sistema alterno. Una
vez que haya aprendido cómo resolver sistemas de ecuaciones, puede regresar a esta página y verificar que el
esquema de la línea 2 conduce a una reducción de contaminación de una cantidad A a una cantidad B, mientras
que el esquema de la línea 3 no funciona como una medida de control de contaminación, ya que deja el nivel de
contaminación en el nivel A.
Toneladas totales
de contaminación
B A
3
2
1
Costo
por
tonelada
de
limpieza
o
gravamen
1
Fuente:
Haeussler, E. y Paul, R. (2007). Matemáticas para administración,
economía, ciencias sociales y de la vida (8a.ed.). México: Pearson.

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
70
TEMA N° 1
RECTAS.
Existen problemas del área de la Economía y de la Administración, que se resuelven mediante el planteo y
resolución de modelos matemáticos. Algunos de estos modelos son ecuaciones lineales de oferta, demanda,
costos, etc. Estos son casos particulares de los llamados modelos lineales.
A modo de ejemplo supongamos la siguiente situación:
• Un fabricante de bicicletas desea conocer la relación que existe entre el precio por unidad, p, y la cantidad
de bicicletas ofrecidas al mercado, x. Para ello, le solicita a un especialista un “estudio de mercado”
, quien
luego de realizarlo, le informa que la relación entre x y p puede responder a un modelo lineal con dos varia-
bles.
El fabricante dispone además de la siguiente información:
• Cuando el precio unitario es $ 100 se ofrecen al mercado 150 unidades.
• Cuando el precio unitario es $200 se ofrecen al mercado 450 unidades.
La pregunta que se plantea el fabricante es la siguiente:
Con los datos disponibles, ¿qué cantidad corresponde ofrecer al mercado cuándo el precio unitario es $150?.
1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
Seandos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta es:

−
−

Ejm:

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
71

−
−

=

NOTA IMPORTANTE:
2. ECUACIONES DE LA RECTA.

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
72
NO OLVIDEMOS:
• La ecuación de una recta vertical es
• La ecuación de una recta horizontal
Ejemplos:
Por lo tanto toda igualdad de la forma ax + by = c, donde a,b,c R, también se puede escribir en la forma y =
mx + n , es decir como una función, donde m es la pendiente o coeficiente de dirección y n es la intersección
de la recta con el eje y , llamada también coeficiente de posición.
De esta forma, podemos afirmar que una recta está perfectamente definida si se conocen:
Dos puntos de ella
Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5, 4) y B(7
, 8)
Calculemos su pendiente 2
m
2
4
m
5
-
7
4
-
8
m =
⇔
=
⇔
=
Como y = mx + n , considerando el punto A(5,4) con x = 5 e y = 4
Tenemos 4 = 2 · 5 + n
4 = 10 + n /-10
-6 = n
Luego: y = 2x – 6 es la ecuación pedida
Un punto y su pendiente.
Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y tiene pendiente -4
Como, el punto dado es A(2,-5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m=-4
Entonces y = mx + n
Tenemos -5 = -4 · 2 + n
-5 = -20 + n /+20
15 = n
Luego: y = -4x + 15 es la ecuación pedida

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
73
Más ejemplos:
REFUERZA EL SIGUIENTE VIDEO, OBSERVANDO EL SIGUIENTE VIDEO
Relaciona el contenido del video con la ejecución de los diferentes ejercicios realizados y elabora tus conclusio-
nes.
1. Supongamos que se tienen 4 rectas L1
, L2
, L3
y L4
de modo que :
L1
pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1)
L2
pasa por los puntos: P(1, 2) y Q(5,2)
L3
pasa por los puntos: D(1,2) y E(1,-5)
L4
pasa por los puntos: R(1,2) y T(-2,-6)
2.Grafica cada una de éstas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.
3.Calcula la pendiente de cada una de éstas rectas.
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/matematicas/geo-
metria/pdf/geo_3.pdf

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
74
“Puntos de intersección de una recta con los
ejes coordenados”
PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON
LOS EJES COORDENADOS
Según la gráfica que se muestra a continuación, los
puntos donde la recta L corta al eje x son de la forma
(x, 0) y donde corta al eje y , de la forma (0, y).
Ejemplo:
Hallar la intersección de la recta 2x – 3y = 12 con los
ejes coordenados:
• Intersección con el eje x : se hace y = 0
Resulta: 2x = 12
de donde : x = 6
Así la recta corta al eje x en el punto (6, 0)
• Intersección con el eje y : se hace x = 0
Resulta: -3y = 12
de donde : y = -4
Así la recta corta al eje y en el punto (0, -4)
Actividad
Dadas las siguientes rectas encuentra la intersección
de ellas con los ejes coordenados:
1. x – 2y = 2
3. 3x – 6y = 18
2. x +
2
1
y = 1
4. 1
y
3
1
x
2
1
=
+
3. RECTAS PARALELASY PERPENDICULARES.

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
75
Ejemplo:
Hallar una recta paralela a la recta x + 2 y + 3 = 0, que
pasen por el punto A(3;5).
Primeramente sabemos que las rectas que debemos
determinar pasan por el punto dado A (3; 5). Pero con
un solo punto no podemos hallar las ecuaciones de
las rectas que nos piden. (Recuerden que por un pun-
to pueden pasar infinitas rectas). Necesitamos otro
dato: Las rectas que debemos hallar tienen una re-
lación con la recta dada x + 2y + 3 = 0. Una de las
rectas es paralela.
• Para el caso de la recta paralela a la recta
dada: recordemos que cuando las rectas son
paralelas sus pendientes son iguales. Por lo
tanto, calculemos primeramente la pendiente
de la recta:

−
=
=
−1
2

Si conocemos que la recta pasa por A (3; 5) y que
tiene pendiente
2
1
− podemos aplicar la fórmula para
determinar la ecuación de la recta dados un punto y
su pendiente:
( )
1
1 x
x
m
y
y −
=
−
Sustituyendo y linealizando tenemos:
5 = −
− −
1
2
( 3)
Por lo tanto la ecuación general de la nueva recta es:

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
76
Ejemplo:
Hallar una recta perpendicular a la recta x + 2 y + 3 =
0, que pasen por el punto A(3;5).
Primeramente sabemos que las rectas que debemos
determinar pasan por el punto dado A (3; 5). Pero con
un solo punto no podemos hallar las ecuaciones de
las rectas que nos piden. (Recuerden que por un pun-
to pueden pasar infinitas rectas). Necesitamos otro
dato: Las rectas que debemos hallar tienen una re-
lación con la recta dada x + 2y + 3 = 0. Una de las
rectas es perpendicular.
• Para el caso de la recta perpendicular a la rec-
ta: recordemos que cuando las rectas son per-
pendiculares el producto de sus pendientes
es igual a -1.
1
−
=
⋅ s
r m
m
1
2
1
−
=
⋅
− s
m Entonces 2
=
s
m
Por lo tanto conociendo un punto y la pendiente de la
recta que queremos determinar:
( )
1
1 x
x
m
y
y −
=
−
Por lo tanto:
4. APLICACIONESY FUNCIONES LINEALES.
Muchas situaciones de la economía pueden descri-
birse utilizando rectas, como lo muestra ejemplo 1.
Ejemplo 1(Niveles de producción)
Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de mate-
rial para hacer los productos A y B que requieren de
4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente,
entonces todos los niveles de producción están da-
dos por las combinaciones de y que satisfacen la
ecuación: donde , ≥ 0.
Por tanto, los niveles de producción de A y B están
relacionados linealmente. Al resolver para se obtiene:
=-2 +50 (Forma pendiente-ordenada al origen).
De modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja
la tasa de cambio del nivel de producción de B con
respecto al de A. Por ejemplo si se produce una uni-
dad adicional de A, se requerirán 4 libras más de ma-
terial, de lo que resultan
4
2
= 2 unidades menos de
B. Por lo tanto cuando aumenta en una unidad, el
valor correspondiente de disminuye en 2 unidades.
Para hacer el bosquejo de la gráfica de =-2 + 50
podemos utilizar la intersección con el eje (0; 50) y el
hecho de que cuando =10 =30. .
Ahora centraremos la atención en las curvas de ofer-
ta y de demanda que son líneas rectas; se les de-
nomina curvas de oferta lineal y de demanda lineal.
Tales curvas tienen ecuaciones en las que “p” y “q”
están relacionadas de manera lineal. Puesto que una
curva de demanda por lo general desciende de iz-
quierda a derecha, una curva de demanda lineal tie-
ne pendiente negativa. Sin embargo, la pendiente de
una curva de oferta lineal es positiva, ya que la curva
asciende de izquierda a derecha.

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
MATEMÁTICA I
77
Ejemplo 2: Determinación de una ecuación de de-
manda
Suponga que la demanda por semana de un producto
es de 100 unidades, cuando el precio es de 58 soles
por unidad y de 200 unidades a un precio de 51 soles
cada una. Determinar la ecuación de demanda supo-
niendo que es lineal.
RESOLUCION:
La pendiente de la recta que pasa por (100; 58) y
(200; 51) es:

−
−

Una ecuación de la recta (forma punto-pendiente) es:
− −

−
(
(

Al simplificar se obtiene la ecuación de demanda:

−

Fuente:
Haeussler, E. y Paul, R. (2007). Matemáticas para administración,
economía, ciencias sociales y de la vida (8a.ed.). México: Pearson

UNIDAD
III
TEMA
N°
1
78
Resuelve los siguientes ejercicios:
1.
Determinar los valores de R para que las rectas R1 y R2 de ecuaciones (1 – R)x – 10y + 3 = 0 y ( m + 2 )
x + 4y – 11m –18 = 0 sean:
a) perpendiculares
b) paralelas
2.
Dado el siguiente gráfico, determinar las ecuaciones de las rectas M, N yT sabiendo queT es perpendicular
a M y paralela a N.
3.
Determinar y de manera que la recta pasa por (-4, -3) y (8, y) sean paralela a la recta que pasa por (4,-4) y (3,
5).
4.
Determinar y de manera que la recta que pasa por (-2, -1) y (10, y) sea perpendicular a la recta que pasa
por (6, -2) y (5, 7).
5. Escribir la recta que pasa por (8, -2) y que es perpendicular a la recta 5x – 3y = 7
.

UNIDAD
III
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
79
TEMA N° 2
PARÁBOLAS.
1. FUNCIONES CUADRÁTICAS.
Una función cuadrática es una función f de la forma:
Donde a, b, c son números reales y a ≠ 0
Una función cuadrática se puede expresar en la forma estándar.
Completando cuadrados. La gráfica de f es una parábola con vértice V(h, k); la parábola se abre hacia arriba si
a0 o hacia abajo si a0.
2. VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Sea f una función cuadrática con forma estándar f(x) = a(x – h)2
+ k. El valor máximo o mínimo de f ocurre en x
= h.
f(x) = ax2
+ bx + c
f(x) = a (x – h)2
+ k
Vérce (h,k)
h
k
f(x) = a(x-h)2
+ k, a0
Vérce (h,k)
h
k
f(x) = a(x-h)2
+ k, a0
Si a0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k
Si a0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k

UNIDAD
III
TEMA
N°
2
80
El valor máximo o mínimo de una función cuadrática ocurre en:
a
b
x
2
−
=
Si a0, entonces el valor mínimo es 





−
a
b
f
2
Si a0, entonces el valor máximo es 





−
a
b
f
2
Ejemplos:
Resolveremos función cuadrática f(x) = -x2
+ x + 2
1. Exprese f en la forma estándar:
Solución:
Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el cuadrado.
f(x) = -x2
+ x + 2
= -(x2
-x) + 2 Factorizamos -1 de los términos en x
= -(x2
-x+1/4) + 2 – (-1)1/4 Complete el cuadrado: sume ¼ dentro del paréntesis, reste (-1)1/4 fuera.
= - ( x – ½)2
+ 9/4 Factorizando y simplificando.
2. Bosqueje la gráfica y determine el valor máximo de f
Solución:
De la forma estándar se puede observar que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba y tiene vértice (1/2,
9/4). Como ayuda para trazar la gráfica, se encuentran las intersecciones. Las intersecciones y es f(0)=2. Para
hallar las intersecciones con x, se establece f(x) = 0 y se factoriza la ecuación resultante.
h
Máximo
h
Mínimo
k k
f(x) = a(x-h)2
+ k, a0
f(x) = a(x-h)2
+ k, a0

UNIDAD
III
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
81
-x2 + x + 2 = 0
-(x2 - x – 2) = 0
-(x-2)(x+1) = 0
Así las intersecciones x son x=2 y x =-1. La gráfica es el siguiente:
Puesto que el coeficiente de x2
es negativo, f tiene un valor máximo, que es
1
2
=
9
4
COMPLEMENTA TU INFORMACIÓN TEÓRICA CON LA INFORMACIÓN DEL SIGUIENTE VIDEO:
(1/2,9/4)
Valor máximo 9/4
-1 2 x
2
y
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
Graficas de funciones cuadráticas

UNIDAD
III
TEMA
N°
2
82
1. Se da una función cuadrática
I. Exprese la función cuadrática en la forma estándar.
II. Halle su vértice y sus intersecciones x y y
III. Bosqueje la gráfica

a) x
x
x
f 6
3
)
( 2
−
=
b) 3
4
2
)
( 2
+
+
= x
x
x
f

c) 8
3
)
( 2
+
−
= x
x
x
f

d) 5
14
5
)
( 2
−
+
= x
x
x
f
2. Se da una función cuadrática
I. Exprese la función cuadrática en la forma estándar.
II. Bosqueje su gráfica
III. Halle su valor máximo o mínimo
a) 1
2
)
( 2
−
+
= x
x
x
f

b)
2
)
( x
x
x
f +
=

c)
2
4
4
3
)
( x
x
x
f −
−
=

d)
2
4
2
)
( x
x
x
f −
−
=
3. Halle el valor máximo o mínimo de la función.
a)
2
4
49
200
)
( t
t
t
f −
−
=
b) 6
4
2
1
)
( 2
−
−
= x
x
x
f
c) 7
2
5
)
(
2
−
+
−
= x
x
x
f
d) 8
)
4
(
2
)
( +
−
= x
x
x
f

UNIDAD
III
TEMA
N°
2
MATEMÁTICA I
83
3. MODELADO CON FUNCIONES CUADRÁTICAS.
Muchos de los procesos estudiados en las ciencias físicas y sociales requieren entender como varía una cantidad
respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia de una cantidad en otra se llama modelado.
Los pasos para modelar una función son las siguientes:
1.
Exprese el modelo en palabras. Identifique la cantidad que quiere modelar y exprésala, en palabras, como
una función de otras cantidades en el problema.
2.
Elija la variable. Identifique las variables empleadas para expresar la función en el paso 1. Asigne un símbolo,
como x, a una variable y exprese las otras variables en términos de ese símbolo.
3.
Establezca el modelo. Exprese la función en el lenguaje del algebra al escribirla como una función de la
única variable elegida en el paso 2.
4. Use el modelo. Emplee la función para contestar las preguntas planteadas en el problema.
Ejemplo:
Un fabricante elabora una lata de metal que contiene 1 L (litro) de aceite. ¿Qué radio reduce al mínimo la cantidad
de metal en la lata?
Solución:
El modelo que se desea es una función que da el área de superficie de la lata.
Exprese el modelo en palabras
Se sabe que para una lata cilíndrica
Área superficial = área de la parte superior y el fondo + área de los lados
Elija la variable
Hay dos cantidades variables: radio y altura. Puesto que la función que se desea depende del radio, sea r = radio
de la lata
A continuación, se debe expresar la altura en términos del radio r. Como el volumen de una lata cilíndrica es V =
πr2
h y el volumen debe ser 1000 cm3
, se tiene:
πr2
h = 1000 El volumen de la lata es 1000 cm3
ℎ =
1000
2
Despeje h
Ahora se pueden expresar las áreas de la parte superior, el fondo y los lados en términos de r solamente.
En palabras En algebra
Radio de la lata r
Altura de la lata
1000
2
r

UNIDAD
III
TEMA
N°
2
84
Área de la parte superior y el fondo 2πr2
Área de los lados (2πrh) 2πr
El modelo es la función S que proporciona el área de la superficie de la lata como una función del radio r.
Área de superficie = área de la parte superior y el fondo + área de los lados.
S(r) = 2πr2 + 2πr
1000
2
S(r) = 2πr2 +
2000

Se emplea el modelo para hallar el área de la superficie mínima de la lata. Con ayuda de un graficador se realiza
lo siguiente:
Por lo tanto el radio que reduce al mínimo la cantidad de metal en la lata es 5.4 cm.
ACTIVIDADES:
1. Área. La longitud de un lote de edificación rectangular es tres veces su ancho. Encuentre una función que
modela su área en términos de su ancho w.
2. Volumen. Una caja rectangular tiene una base cuadrada. Su altura es la mitad del ancho de la base. Encuen-
tre una función que modele su volumen V en términos de su ancho w.
5.4
555.4

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
MATEMÁTICA I
85
TEMA N° 3:
SISTEMAS DE ECUACIONES.
1. SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES.
Una ecuación de la forma ax + by = c se dice ecuación lineal con dos incógnitas e indeterminada, es decir tiene
infinitos pares (x,y) como solución.
Ejemplo: En la ecuación x + 2y = 7 se tiene que.
para y = 1 , x = 5 de donde un par solución sería (5,1)
para y = -3 , x = 13 de donde otro par solución sería (13,-3)
para y = 2 , x = 3 de donde otro par solución sería (3 , 2)
y así sucesivamente, tendríamos infinitos pares solución de la ecuación.
Si se forma otra ecuación de las mismas incógnitas y al mismo tiempo, se dice que se forma un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas, es decir tienen la forma:
Para resolver estos sistemas de ecuaciones existen varios métodos algebraicos.
1°) METODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN:
Consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incógnitas en función de la otra y sustituir este valor
en la otra ecuación.
Ejemplo:
Se despeja “x” en la primera ecuación: x =
3
y
4
31 −
Se sustituye en la segunda ecuación: 4
( )
3
y
4
31 −
+ 6y
= 44
Se multiplica por 3 y se resuelve el paréntesis: 124 - 16y + 18y = 132
De donde 2y = 8 y = 4
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
3x + 4y = 31
4x + 6y = 44

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
86
Se sustituye este valor en x =
3
y
4
31 −
quedando x = 5
Así el par solución del sistema dado es (5,4) ¿Cómo comprobar que esto es cierto?.
2°) ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN:
Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar los valores de la variable elegida.
Ejemplo :
Eligiendo la variable x:
• en la primera ecuación:
3
13
2y
x
+
=
Ambos valores de “x” son iguales
• en la segunda ecuación:
2
3y
-
x =
Luego
2
3y
-
3
13
2y
=
+
; despejando y se obtiene y = -2
Reemplazando en la ecuación 2x + 3y = 0 ,
se tiene 2x + 3 ·-2 = 0
2x - 6 = 0
2x = 6
de donde x = 3
Así, el par solución del sistema es (3,-2). ¡¡ Compruébalo!!
3°) ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN:
Consiste en multiplicar ambas ecuaciones por valores de tal manera que los coeficientes de una de las incógni-
tas sean iguales y con signos distintos; en seguida se suman las ecuaciones resultantes.
Ejemplo:
3x – 2y = 13
2x + 3y = 0
9x - 8y = 32 --3
7x - 6y = 26 -4

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
MATEMÁTICA I
87
Resulta
Sumando, se obtiene: x = 8
Reemplazando en la ecuación 9x - 8y = 32 ,
se tiene 9-8 - 8y = 32
72 - 8y = 32
-8y = -40
de donde y = 5
Así, el par solución del sistema es (8,5). ¡¡ Compruébalo!!
4°) Regla de Cramer:
Dado el sistema.
al resolverlo por cualquiera de los métodos anteriores obtenemos para sus incógnitas los siguientes valores:
a
b
b
a
c
b
b
c
x
2
1
2
1
2
1
2
1
−
−
=
; a
b
b
a
c
a
c
a
y
2
1
2
1
1
2
2
1
−
−
=
Como el numerador y denominador de las soluciones del sistema son diferencias de dos productos, podemos
expresar estas soluciones como determinantes de orden dos.
Al resolver determinante obtendrás un número real.
Ahora bien, un determinante de orden dos se resuelve
-27x + 24y = -96
28x - 24y = 104
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
d
c
b
a
= ad – bc

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
88
Luego:
2
2
1
1
2
2
1
1
b
a
b
a
b
c
b
c
x = ;
2
2
1
1
2
2
1
1
b
a
b
a
c
a
c
a
y =
Observa que el determinante de ambos denominadores es el mismo, éste se llama determinante principal y
sus elementos son los coeficientes de las incógnitas del sistema de ecuaciones. Se designa por ∆p.
Así: ∆p =
2
2
1
1
b
a
b
a
Entonces, ∆x; ∆y serán respectivamente: ∆x =
2
2
1
1
b
c
b
c
; ∆y =
2
2
1
1
c
a
c
a
Finalmente: x =
p
x
∆
∆
; y =
p
y
∆
∆
Ejemplo:
Calculamos los tres determinantes:
∆p =
2
3
8
-
5
= 10 – (-24) = 34
∆x =
2
32
8
-
42
= 84 – (-256) = 340 y ∆y =
32
3
42
5
= 160 – 126 = 34
Luego: x =
p
x
∆
∆
=
34
340
= 10 ; y =
p
y
∆
∆
=
34
34
= 1
Así, el par solución del sistema es (10,1). ¡¡ Compruébalo!!
2. SISTEMA DE ECUACIONES CON TRES VARIABLES
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos
una incógnita menos que en la ecuación precedente.
1º
Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente de x igual a 1 ó -1. En caso de que no fuera
posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.
5x – 8y = 42
3x + 2y = 32

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
MATEMÁTICA I
89
2º
Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después po-
nemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E’2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
E’3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E’’3 = E’3 − 2E’2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones ahora es fácil.
z = 1
− y + 4 ·1 = −2 y = 6
x + 6 −1 = 1 x = −4

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
90
3. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES.
A continuación veremos algunos problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones y algunos ejemplos
de cómo plantear los sistemas para poder resolver fácilmente los problemas.
Ejemplos
1.
Juan pagó $50 por 3 cajas de tachuelas o taquetes y 5 cajas de clavos. Pedro compró 5 cajas de taquetes y
7 de clavos y tuvo que pagar $74. ¿Cuál es el precio de cada caja de taquetes y de cada caja de clavos?
Para plantear la solución de este problema, identificamos en primer lugar aquello sobre lo que se nos pregunta,
es decir: ¿qué debemos averiguar? En este caso debemos encontrar dos cantidades, el precio de una caja de
tachuelas y el precio de una caja de clavos.
En segundo lugar debemos identificar las relaciones (o condiciones) que sobre esas dos cantidades se plantean
en el problema. Si llamamos x al precio de una caja de tachuelas y llamamos y al precio de una caja de clavos, po-
demos expresar lo que gastó Juan a través de una ecuación y lo que gastó Pedro por medio de otra. Para ello ana-
licemos la información que nos presenta el problema y veamos cómo expresar algebraicamente las relaciones.
Ahora ya podemos plantear y resolver el sistema:
3x + 5y = 50
5x + 7y = 74
Como los coeficientes son todos positivos, sabemos que debemos restar para eliminar una de las incógnitas y
como todos son números distintos debemos efectuar primero las multiplicaciones convenientes. Por ejemplo si
queremos eliminar la x, multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por 5 y los dos miembros de la
segunda por 3 (si se quiere eliminar la y, se debe multiplicar la primera ecuación por 7 y la segunda por 5).

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
MATEMÁTICA I
91
Entonces y = =7
, ahora sustituimos y por ese valor en la primera ecuación y obtenemos el valor de x (también
podríamos haber sustituido en la segunda ecuación):
3x + 5y = 50
3x + 5(7) = 50
3x = 50 – 35
x = = 5
Podemos entonces decir que la caja de tachuelas cuesta $5 y la de clavos cuesta $7
.
2. Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4 toneladas, se hicieron en total
23 viajes para transportar 80 toneladas de madera. ¿Cuántos viajes realizó cada camión?.
Si llamamos x a la cantidad de viajes que realizó el primer camión y y a la cantidad de viajes que realizó el segun-
do camión, podemos expresar algebraicamente la información que nos presenta el problema:
El sistema de ecuaciones es entonces:
3x + 4y = 80
x + y = 23
Usted puede resolver el sistema y encontrar los valores de x y de y, para concluir que el primer camión realizó
12 viajes y el segundo 11.

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
92
Plantee el sistema que permite resolver cada uno de los siguientes problemas y resuélvalo.
1. Jovita y Felipe hacen paletas de chocolate para vender.
La materia prima necesaria para hacer una paleta grande les cuesta $5.00 y para una paleta chica $3.00. Si dis-
ponen de $570.00 y quieren hacer 150 paletas, ¿cuántas paletas de cada tamaño podrán hacer?
2.
El costo de las entradas a una función de títeres es de $30 para los adultos y $20 para los niños. Si el sábado
pasado asistieron 248 personas y se recaudaron $5930, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron a la
función el sábado?.
REFUERZA TUS CONOCIMIENTOS OBSERVANDO Y ANALIZANDO LOS CONTENIDOS DEL SIGUIENTE
VIDEO.
COMPARA AMBOS CONTENIDOSY ELABORATUS PROPIAS CONCLUSIONES
VIDEOS
http://juanmanuellopezpazos.appspot.com/proyectos/web/aplicaciones/soluciona-
dorSistemasEcuacionesLineales.html
Graficas de funciones cuadráticasSolucionador de sistemas de ecuaciones
Video 9: Sistema de ecuaciones lineales
Título o Tema: Sistema de ecuaciones lineales
URL: https://youtu.be/mdb4PMaSu0
Duración: 8:04 m
Autor(a): D.R.
Año: 2013

UNIDAD
III
TEMA
N°
3:
MATEMÁTICA I
93
GLOSARIO DE LA UNIDAD IiI
p
Parábola
Curva plana generada por un punto que se mueve de manera que se mantiene a la misma distancia de un punto
fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Pendiente
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos se define como el cociente:
Geométricamente, la pendiente indica cuantas unidades avanza verticalmente la gráfica por cada unidad avanza-
da en el sentido del eje x. La pendiente de una recta es igual a la tangente que ésta forma con el eje horizontal:
r
Recta
Línea que no cambia de dirección y se denota por L. Frecuentemente se utiliza la palabra línea como sinónimo
de recta. Una línea también puede ser curva. Por ejemplo una circunferencia también es una línea, pero no es
recta, pues cambia constantemente de dirección.

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