Este documento introduce la probabilidad condicional y provee ejemplos para ilustrarla. La probabilidad condicional se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ha ocurrido. Se define formalmente como la probabilidad de un evento B dado un evento A dividido por la probabilidad de A. Los ejemplos incluyen calcular la probabilidad de que la segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja, y la probabilidad de obtener 3 águilas al lanzar una moneda 3 veces dado que salió por lo menos un águ

1. PROBABILIDAD CONDICIONAL
En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos
depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos
ejemplos.
Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una
bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a. La primera semilla sea roja?
b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
Solución:
a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que
hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación
de probabilidad tenemos:
b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por
lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una
condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de
probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota
por
, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.
Esta probabilidad
un total de 14 restantes.
, puesto que todavía hay 5 semillas blancas en
Veamos la situación en un diagrama de árbol:

2. Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A
y B en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con P(A)  0, la
probabilidad del evento B dado el evento A, se define
por
.
Ejemplo 28: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad
de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?
Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces
es
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}
Por lo tanto, A B ={aaa} y
De donde
Nótese que
es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que
son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A

3. es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste
fuera un nuevo espacio muestra S* = A.
Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,
Demostración: Para cualquier evento B,
Como los eventos (B A) y (B AC) son mutuamente exclusivos y su unión
es B, entonces por el axioma 3, tenemos:
[3.3]
Despejando P(A B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos
P(A B) = P(A) P(B/A) y P(AC B) = P(AC) P (B/AC)
Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(AC) P (B/AC).
Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica
P(A) P(B/A) = P(A B) y P(AC) P(B/AC) = P(AC B)
Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4
rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y
luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea
blanca.

4. Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de
seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las
dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de
seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3
esferas blancas en un total de 7 y P(B/AC) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8
esferas blancas en un total de 12.
Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos: