1. Método Gauss Jordan

2. Introducción
Matriz inversa:
 Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A
y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A
que verifica la siguiente igualdad:
A. A
1
1
A .A
I
(Siendo I la matriz identidad
de igual orden que A)
 Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en
caso contrario se llama singular, debido a que no todas
las matrices cuadradas pueden tener inversa.

3. Ejemplo:
A. A
2
1
1
1
.
Sea A=
1
a b
2
1
1
, hallar si es posible A-1
1
I
1 0
c d
0 1
2a c 2b d
1 0
a c
0 1
b d
Multiplico los elementos de
las filas de la primer matriz
por los elementos de las
columnas de la segunda y
sumo los productos:
Para la fila 1, columna 1:
2.a+(-1).c=2.a-c
Para la fila 1, columna 2:
2.b+(-1).d=2.b-d
Para la fila 2, columna 1:
1.a+1.c=a+c
Para la fila 2, columna 2:
1.b+a.d=b+d
Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1

4. Ejemplo:
2
1
Sea A=
2a c 2b d
1 0
a c
0 1
b d
2a c 1
2b d
a c 0
2a c 1
a c 0
3a 0c 1
3a 1
2b d
A partir de esta igualdad podemos
deducir las siguientes ecuaciones:
2.a-c=1
2b-d=0
a+c=0
b+d=1
b d 1
a
c
c
1/ 3
a
1/ 3
0
1
, hallar si es posible A-1
1
 Armar estos sistemas de ecuaciones…
0
b d 1
3b 0d 1
3b 1
b 1/ 3
d
d
1 b
1 1/ 3
d
2/3
…Y resolverlos por alguno de los métodos vistos
(suma, resta, igualación, sustitución, etc…)
En este caso fue resuelto por la suma de
las ecuaciones del sistema y el posterior
despeje de las incógnitas….

5. Ejemplo:
Sea A=
2
1
1
, hallar si es posible A-1
1
Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la
matriz inversa de A
A. A
2
1
2
1
1
1
.
1
a
b
c
I
d
1
1
3
.
1
1
3
1
3
2
3
1 0
0 1
Para la fila 1, columna 1:
2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1
Para la fila 1, columna 2:
2.(1/3)+(-1).(2/3)=0
Para la fila 2, columna 1:
1.a+1.c=a+c
Para la fila 2, columna 2:
1.b+a.d=b+d
 El resultado coincide con
los valores de la identidad…

6. Ejemplo:
Sea A=
2
1
1
, hallar si es posible A-1
1
… lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A
A
1
1
3
1
3
1
3
2
3

7.  El método recién explicado resulta sencillo con una
matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas
grandes se hace mas complicado el despeje de las
incógnitas….
… es por ello que veremos el método Gauss Jordan.

8. Método Gauss Jordan.
1
 Preparación de la matriz:
A=
0
1
1
2
2
2
1
1
Para facilitar el entendimiento del método utilizaremos una grilla…
1.
En la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra
matriz en orden y respetando su ubicación original
1
1
1
0
0
1
2
2.
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad

9. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
1. Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la
matriz dada, y se divide por él la fila correspondiente.
En este caso elijo el 1 para
ahorrar cuentas, ya que
debo dividir cada elemento
de la fila por el numero
que elijo.
Por lo tanto, debido a que
elegí el 1 se mantienen los
valores de la fila
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1

10. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
2. Los restantes elementos de la columna del pivote se
transforman en cero.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1

11. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
Seleccionamos el
elemento a
transformar
Entre el pivote y el
elemento seleccionado
hay un rectángulo
imaginario
Siendo la diagonal la
línea que va del pivote
al 2 la contra
diagonal seria la que
va del 0 al 1
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
0
1
Que consiste en
restarle a dicho
elemento el producto
contra diagonal
dividido por el pivote
Entonces, para determinar
este elemento debemos
hacer la sig. cuenta…
2-(1.0)/1= 2
Y lo ubicamos en la tabla…

12. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
Ahora seleccionamos
otro elemento a
transformar
1
0
1
1
0
0
Armamos el rectángulo
imaginario
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
Y determinamos los
elementos de la
contra diagonal para
hacer la
transformación
1
0
1
0
0
0
2
0
1
-1
-2 - [1.(-1)]/1 =
-2 - (-1) =
-2 + 1 = -1
Y así sucesivamente
hasta completar la
tabla…

13. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
0
1
-1
-1
 0-( 1 . 1 )/1= -1

14. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
0
1
-1
-1
1
 1-( 1 . 0 )/1= 1

15. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
1
0
0
1
-1
-1
 0-( 1 . 0 )/1=0

16. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
1
0
0
1
-1
-1
 -1-( 2 . 0 )/1=-1

17. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
1
0
0
1
-1
3
-1
 1-( 2 . -1 )/1=3

18. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
-2
1
0
0
1
-1
3
 0-( 2 . 1 )/1=-2

19. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
-2
1
0
0
0
1
-1
3
 0-( 2 . 0 )/1=0

20. Método Gauss Jordan.
 Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la
columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
-2
1
0
0
1
0
1
-1
3
 1-( 2 . 0 )/1=1

21. Método Gauss Jordan.
1
Los restantes
elementos de la
columna del pivote se
transforman en cero.
1
1
0
0
1
2
Se elige otro pivote que
no pertenezca ni a la
fila ni a la columna del
pivote anterior, y se
divide por él la fila
correspondiente.
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
-½
-½ ½
0
1
0
0
1
0
0

22. Método Gauss Jordan.
Seleccionamos el
elemento a
transformar
Siendo la diagonal la
línea que va del pivote
al 1 la contra diagonal
seria la que va del 0 al 0
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
Entre el pivote y el
elemento seleccionado
hay un rectángulo
imaginario
1
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
1
0
0
1
-½
-½ ½
0
1
0
El transformado de todo
elemento que no figure
en la fila ni en la
columna del pivote se
determina por la regla
del rectángulo
Entonces, para determinar
este elemento debemos
hacer la sig. cuenta…
1-(0.0)/1= 1
Y lo ubicamos en la tabla…

23. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
1
0
0
1
-½
-½ ½
0
0
1
0
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
0-(0.-1)/2= 0

24. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
1
0
0
1
-½
-½ ½
0
0
5/2
1
0
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
3-(-1.-1)/2= 5/2

25. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
1
0
0
1
-½
-½ ½
0
0
5/2
-5/2
1
0
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
-2-(-1.-1)/2= -5/2

26. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
1
0
0
1
-½
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
0-(-1.1)/2= 1/2

27. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
1
0
0
1
-½
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
1
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
1-(-1.0)/2= 1

28. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
-2
1
0
0
1
1
0
0
1
-½
0
0
5/2
1
-1
3
0
-½ ½
-5/2 ½
0
1
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
0-(0.0)/2= 0

29. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
-2
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
-1
3
1
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
0-(1.0)/2= 0

30. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
-2
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
-1
3
1
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
1-(-1.0)/2= 1

31. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
1
Y ahora se repiten
los pasos hasta que
se completa la
tabla….
-1-(-1.0)/2= -1

32. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
-2
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
1
Una vez completa,
repito los pasos
hasta obtener una
matriz identidad
en la columna A y
la inversa de A en
la columna I…
Como puede verse
aquí aun hace falta
otro cuadrante
para cumplir con la
condición…

33. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
1
1
0
1-(-1.0)/5/2= 1
0
0
0
1
Una vez completa,
repito los pasos
hasta obtener una
matriz identidad
Y aplico la
en la columna A y
regla del
la inversa de A en
cuadrado al
la columna I…
resto de los
Como puede verse
elementos…
aquí aun hace falta
otro cuadrante
para cumplir con la
condición…
-1
1/5
2/5

34. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
1
1
0-(-1.0)/5/2= 0
0
0
0
1
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
-1
1/5
2/5

35. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
1
0
0
1
0
1
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
1
1-(-1/2.0)/5/2= 1
-1
1/5
2/5

36. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
1
1-(-1/2.0)/5/2= 1
-1
1/5
2/5

37. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
0
1
0
-1
0
0
1
-1
1
1/5
1
2/5
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
-1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1

38. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
0
1
0
-1
3/5
0
0
1
-1
1/5
1
1
2/5
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
1/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5

39. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
0
1
0
-1
3/5
1/5
0
0
1
-1
1/5
2/5
1
1
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
0-(-1/2.1)/5/2= 1/5

40. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
0
0
1
0
-1
3/5
1/5
0
0
1
-1
1/5
2/5
1
1
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
1-(-1.-5/2)/5/2= 0

41. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
0
1/5
0
1
0
-1
3/5
1/5
0
0
1
-1
1/5
2/5
1
1
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
0-(1/2.-1)/5/2= 1/5

42. Método Gauss Jordan.
1
Reemplazo por 0
los elementos de
la columna…
1
0
0
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-1
3
-1
0
Divido los
elementos de
su fila por el
pivote…
1
1
2
Elijo mi tercer
pivote…
0
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
0
1/5
2/5
0
1
0
-1
3/5
1/5
0
0
1
-1
1/5
2/5
1
1
Y aplico la
regla del
cuadrado al
resto de los
elementos…
0-(-1.1)/5/2= 2/5

43. Método Gauss Jordan.
1
0
1
1
0
0
1
2
2
1
2
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
-1
3
-1
0
2
-1
1
0
0
1
1
0
-1
1
0
0
0
1
-½
0
0
0
5/2
-½ ½
-5/2 ½
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1/5
2/5
0
-1
3/5
1/5
1
-1
1/5
2/5
 Esta seria nuestra
matriz inversa

44. Método Gauss Jordan.
Entonces, resulta que la inversa de A es:
0
1/ 5 2 / 5
1 3 / 5 1/ 5
1 1/ 5 2 / 5