Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación
Universidad Fermín Toro
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Integrante:
Diana Rivera
CI 26120978

2. ELIMINACIÓN GAUSSIANA
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:
El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz
aumentada del sistema:
para obtener un sistema equivalente :
donde la notación se usa simplemente para denotar que el elemento cambió.
Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por
esta razón, muchas veces se dice que el método de eliminación Gaussiana
consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
usando el método de eliminación Gaussiana (simple).
Solución . Escalonamos la matriz aumentada del sistema:
Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:
ija' ija

3. Por lo tanto, el sistema equivale a:
De la última ecuación tenemos ; sustituímos este valor en la ecuación
de arriba para obtener ; sustituímos estos valores en la ecuación de arriba
para obtener .
Por lo tanto, la solución del sistema es:
2) Resolver:
usando eliminación Gaussiana (simple).
Solución. Escalonando la matriz aumentada del sistema:
Por lo tanto, el sistema equivale a:
103 x
182 x
71 x

4. De la ecuación ( 3 ) obtenemos ; sustituímos arriba para obtener ;
sustituímos arriba para obtener .
Por lo tanto la solución del sistema es:
El método de eliminación Gaussiana (simple) puede presentar un problema
cuando uno de los elementos que se usan para hacer ceros, es cero.
Por ejemplo, supóngase que en algún paso del proceso de hacer ceros
tenemos la siguiente matriz:
Es claro que el elemento no puede usarse para hacer ceros!
Este problema se puede resolver fácilmente intercambiando los renglones
2 y 3 . De hecho, el resultado que obtenemos es la matriz escalonada :
Sin embargo, el problema puede presentarse también si el elemento aquel es muy
cercano a cero.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema, usando eliminación Gaussiana (simple)
23 x 42 x
41 x
022 a

5. Solución. Usando eliminación Gaussiana (simple) obtenemos:
Que nos da el sistema equivalente:
De donde, ; sustituímos arriba y obtenemos:
El resultado cambia drásticamente de acuerdo al número de cifras
significativas que se usen. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
#
Cifras
Significativas
(*)
Error relativo
porcentual
3 0.667 -33 10,000 %
4 0.0067 -3 1,000 %
5 0.00067 0 100 %
6 0.000067 .3 10 %
7 0.6666667 0.33 1 %
(*) Para calcular este error se tomó el valor verdadero de .
Ahora resolvemos el mismo sistema pero intercambiando los renglones 1 y 2
Lo cual nos da el sistema equivalente:
3
2
2 x
3
1
1 x

6. De donde obtenemos ; sustituyendo arriba nos da:
Nuevamente tomamos distintas cifras significativas y resumimos los
resultados en la siguiente tabla:
#
Cifras
Significativas
(*)
Error Relativo
Porcentual
3 0.667 0.333 0.1 %
4 0.6667 0.3333 0.01 %
5 0.66667 0.33333 0.001 %
6 0.666667 0.333333 0.0001 %
7 0.6666667 0.3333333 0.00001 %
En este último caso, vemos que el error relativo porcentual no varía
drásticamente como en la solución anterior.
Así, vemos que los elementos que son cercanos a cero, son elementos malos
para hacer ceros. En general, para evitar este problema se elige como elemento
para hacer ceros (el cual recibe el nombre de elemento pivotal o simplemente
pivote) como el elemento mayor en valor absoluto de entre todos los candidatos.
A este procedimiento se le llama pivoteo parcial y aplicado a la eliminación
Gaussiana, nos dá el llamado método de eliminación Gaussiana con pivoteo
(parcial).
Podemos resumir el pivoteo (parcial) como sigue:
 · Para elegir el elemento pivote en la primer columna se escoge el elemento
mayor (con valor absoluto) de toda la primer columna.
 · Para elegir el elemento pivote en la segunda columna, se escoge el
elemento mayor (con valor absoluto ) de toda la segunda columna exceptuando
el elemento .
 · Para la tercer columna se exceptúan los elementos y , etc.
3
2
2 x
12a
13a 23a

7. En un diagrama matricial, tenemos que los elementos pivotes de cada columna
se escogen de entre los siguientes:
Ejemplo 1:
Usar eliminación Gaussiana con pivoteo para resolver el siguiente sistema:
Solución. Escribimos la matriz aumentada del sistema:
Para escoger el primer elemento pivote en la columna 1, tomamos el
elemento mayor con valor absoluto entre -1 , -2 y -0.2 , el cual obviamente es el
-2 ; por lo tanto intercambiamos el renglón 1 y 2 (éste es el primer pivoteo
realizado):
Y procedemos a hacer ceros debajo del pivote. Para ello, multiplicamos el renglón
1 por y se lo sumamos al renglón 2. También, multiplicamos el renglón 1
por y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da la matriz:
2
1
2
2.0

8. Olvidándonos del renglón 1 y de la columna 1, procedemos a escoger el
pivote de la columna 2, pero unicamente entre 0.5 y 1.25 , el cual obviamente
resulta ser 1.25. Por lo tanto intercambiamos los renglones 2 y 3 (éste es el
segundo pivoteo realizado):
Y procedemos a hacer ceros debajo del elemento pivote. Para ello multiplicamos el
renglón 2 por y lo sumamos al renglón 3 para obtener:
La cual es una matriz escalonada. El sistema equivalente es:
Y con la sustitución hacia arriba, obtenemos la solución del sistema:
Ejemplo 2.
Usar eliminación Gaussiana con pivoteo para resolver el siguiente sistema de
ecuaciones:
25.1
05.

9. Solución. La matriz aumentada del sistema es :
El elemento pivote en la columna 1 es el , lo que nos obliga a intercambiar
los renglones 1 y 3:
Haciendo ceros debajo del pivote, obtenemos:
Ahora el elemento pivote en la columna 2 es el -14.55, el cual está bien colocado,
y no hay necesidad de intercambiar renglones. Procedemos a hacer ceros debajo
del pivote, lo cual nos da la siguiente matriz escalonada:
Escribiendo el sistema equivalente, y resolviendo con la sustitución hacia arriba,
obtenemos la solución del sistema:
10

10. METODO DE GAUSS - JORDAN
Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana
(incluyendo el pivoteo), pero con el objetivo de finalizar con una matriz de la
siguiente forma:
donde es la matriz identidad de .
Para lograr esto, se usa la técnica del pivoteo con la única diferencia que el
pivote se usa para hacer ceros hacia abajo y hacia arriba.
Ejemplo 1: Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:
Solución. Comenzamos con la matriz aumentada:
Procedemos a hacer el primer pivoteo, y para ello, intercambiamos los renglones
1 y 2:
nI nxn

11. y haciendo ceros debajo del pivote, obtenemos:
~
Ahora, para colocar adecuadamente el segundo pivote intercambiamos los
renglones 2 y 3:
Para hacer ceros arriba del pivote 1.25, multiplicamos el renglón 2 por y se
lo sumamos al renglón 1; para hacer ceros debajo del mismo pivote, multiplicamos
al mismo renglón 2 por y se lo sumamos al renglón 3 . Todo esto nos da:
Ahora procedemos a hacer ceros arriba del pivote 0.09 . Para ello, multiplicamos
el renglón 3 por y se lo sumamos al renglón 2; igualmente multiplicamos el
renglón 3 por y se lo sumamos al renglón 1. Todo esto nos da:
Finalmente para hacer los 1’s ( unos ) en la diagonal principal, multiplicamos los
renglones 1 , 2, y 3 por y , respectivamente. Obtenemos entonces
la matriz final:
25.1
5
25.1
5.0
09.0
85.0
09.0
9.1
25.1
1
,
2
1
09.0
1

12. La cual nos da la solución del sistema de ecuaciones:
Ejemplo 2. Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:
Solución. Escribimos la matriz aumentada del sistema:
Observamos que el primer elemento pivote está bien colocado y por lo tanto no hay
necesidad de intercambiar renglones. Por lo tanto hacemos ceros debajo del pivote
; para ello, multiplicamos el renglón 1 por 0.4 y se lo sumamos al renglón 2,
y también multiplicamos el mismo renglón 1 por –0.5 y se lo sumamos al renglón
3. Esto nos da la siguiente matriz:
Para elegir el segundo elemento pivote, debemos escoger el elemento mayor (con
valor absoluto) entre y , el cual obviamente es éste último. Por
lo tanto, debemos intercambiar el renglón 2 y el renglón 3. Tenemos entonces:
111 a
8.222 a 432 a

13. Procedemos a hacer ceros arriba y abajo de nuestro segundo elemento pivote; para
ello, multiplicamos el renglón 2 por 0.5 y lo sumamos al renglón 1, y también
multiplicamos el mismo renglón 2 por y lo sumamos al renglón 3. Esto nos da:
Nuestro tercer elemento pivote es . Para hacer ceros arriba de este
elemento, multiplicamos el renglón 3 por y lo sumamos al renglón 2, y también
multiplicamos el mismo renglón 3 por y lo sumamos al renglón 1. Esto nos da:
Finalmente, hacemos los 1’s (unos) en la diagonal, multiplicando el renglón 2 por
y el renglón 3 por . Esto nos da la matriz final:
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
COMPOSICIÓN LU APLICACIONES
Anteriormente ya se ha escrito que un sistema de n ecuaciones con n
incógnitas se puede escribir de la siguiente manera
4
8.2
15.033 a
15.0
5.0

15.0
75.2
4
1
 15.0
1


14. 




























































n
i
n
i
nnnjnnn
inijiii
nj
nj
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa






2
1
2
1
321
321
22232221
11131211
......
......
......
......
O simplemente: bAx 
Supongamos que la matriz A se puede escribir como el producto de LU ,
donde
L: es una matriz triangular inferior de orden nxn
U : es una matriz triangular superior de orden nxn
Es decir:  





























jil
jill
quetall
llll
lll
lll
ll
l
L
ij
ijij
nxnij
nnnnn
iiii
,0
,0...
0...0
0...00
321
21
333231
2221
11












 





























jiu
jiuu
quetalu
u
uu
uuu
uuuu
uuuuu
U
ij
ijij
nxnij
nn
inij
nj
nj
nj
,0
,
000
00
......00
.....0
......
3333
222322
11131211












Cuando es posible factorizar LUA  se dice que A tiene una
descomposición LU , pero esto no ocurre de una única forma.

15. Cuando nilii ,...,3,2,1,1  La matrizL se transforma en una matriz
triangular inferior unitaria; en este caso se le llama FACTORIZACIÓN DE
DOOLITTLE.
La otra manera seria niuii ,...,3,2,1,1  transformando a U en una matriz
triangular superior unitaria se le conoce con el nombre de FACTORIZACIÓN
DE CROUT.
Cuando U =Lt de modo que lii es igual a uii para ni 1 se le llama
descomposición de CHOLESKY. Esta descomposición de Cholesky requiere
de varias propiedades especiales, la matriz A debe ser real, simétrica y
definida positiva.
Por ejemplo para una matriz 4x4 se tiene.





































44
3433
242322
14131211
434241
3231
21
44434241
34333231
24232221
14131211
000
00
0
.
1
01
001
0001
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
1414131312121111 ,,, uauauaua 
241421242313212322122122112121 ,,,. uulauulauulaula 
3224321431343323231331332232123132113131 ,,,. uululauululaululaula 
4432432442144144334323421341432242124142114141 ,,,. uulululaulululaululaula 



),min(
11
..
ji
s
sjis
n
s
sjisij ulula
Es decir:

16. 2414212422122124
2
1
24 uulululaula
s
sjis  

4434432442144144
4
1
44 uulululaula
s
sjis  

Observación:
a) 0isl Para is  ; silis  ,1
b) 0sju Para js 
c) El primer renglón “fila” de U es igual al de A; es decir:
1414131312121111 ;;; uauauaua 
4,3,2,1;11  jau jj
d) Multiplicamos la segunda fila, la tercera fila y la cuarta fila de L por
la primera columna de U
114141113131112121 ;; ulaulaula 
11
41
41
11
31
31
11
21
21 ;;
u
a
l
u
a
l
u
a
l 
e) Multiplicando la segunda fila de L , por la segunda, tercera y cuarta
columna de U y la igualamos con los elementos de A, se tiene:
241421242313212322122122 ;; uulauulauula 
Determinamos: 242322 ;; uuu
142124241321232312212222 ;; ulauulauulau  

17. En general el algoritmo de descomposición LU es la que sigue:
MÉTODO DE CHOLESKY
Matriz Positiva:
Diremos que una matriz simétrica A, es positiva si solo si los determinantes de
las sub matrices de A son positivos.
0,.....,0,,0
21
21
222121
111211
333231
212221
131211
2221
1211
11 
nnnjnn
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaa
aaa
aaa
aa
aa
a






Seudocódigo
Input n,(aij)
For k = 1,2,…,
for j = k+1,k+2,…n
end
for i= k+1,k+2,…n
end
end
Output (lij), (uij)

18. Supongamos que tenemos el sistema en la forma LU toma la forma de LLT, en
donde L es una matriz triangular inferior i.e.























nnninnn
iiiii
LLLLL
LLLL
LLL
LL
L
L







321
321
333231
2221
11
0
00
000
0000
Observación:
Los cálculos se reducen pues estimaremos n (n+1)/2 elementos, los Lij ≠ 0 en
lugar de de n2 elementos de una factorización nominal:
Ejemplo: Resolver el sistema siguiente































4
2
1
502
021
214
3
2
1
x
x
x
La matriz de coeficiente es simétrica y positiva, luego aplicamos Cholesky.
Supongamos su descomposición sea:































502
021
214
00
00
00
33
3222
312111
333231
2221
11
L
LL
LLL
LLL
LL
L
963396.114286.0155
37796.032287.1
2
1
0
32287.125.022
12
2
1
0
24
3331
2
33
2
32
2
31
3232223121
22
2
22
2
21
313111
212111
1111
2
11






LLLLL
LLLLL
LLL
LLL
LLL
raiceslastodasdepositivovaloreltomaseLaL

19. i)Resolver el sistema LC=b
0367.2
32287.1
32287.1
32289.1
4
1
2
232289.1
2
,2/1
4
2
1
96396.137796.00
032287.10
002
3
2
222
1
1
3
2
1











































c
c
ccc
c
c
c
c
c
ii) Resolver el sistema LTx = C



















































037.1
29629.1
59259.0
5959.0
2
0367.2)29629.1(5.05.0
29629.1
32287.1
)037.1(37796.032287.1
037.1
96396.1
0367.2
0367.2
32287.1
21
96396.100
37796.032287.10
1212
1
2
33
3
2
1
x
x
x
xx
x
x
x
Generalización para un sistema de n ecuaciones
jiL
nj
njji
lla
L
L
ilaL
ni
L
a
L
aL
ij
i
k
jkikijij
i
k
inii
i
i

























0
,.....,3,2
1,....,2,11
2;
,....,3,2,
1
111
2
1
1
1
2
11
11
1
1
1111
1.5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR
MÉTODOS ITERATIVOS

20. Debemos resaltar que lo métodos vistos hasta la actualidad para solucionar
sistemas de ecuaciones algebraicas lineales son muy caros
computacionalmente.
Estos métodos exigen una memoria de máquina proporcional al cuadrado del
orden de la matriz de coeficiente A.
De igual manera se producen grandes errores de redondeo como
consecuencia del número de operaciones.
Debemos mencionar que en estos métodos necesitan tener una
aproximación inicial de la solución y no esperamos tener una solución exacta
aun cuando todas las operaciones se realicen utilizando una aritmética
exacta. Pero podemos decir que en muchos casos son mas efectivos que los
métodos directos por requerir mucho menos esfuerzo computacional y sus
errores se reducen, esto es cierta cuando la matriz es dispersa es decir
cuando la matriz tienen un alto porcentaje de elementos nulos.
En esta oportunidad estudiaremos métodos más efectivos que ha permitido
solucionar sistemas de hasta 1000 ecuaciones y variables a un más,
sistemas que se presentan en la solución numérica de ecuaciones
diferenciales parciales (EDP).
Supongamos que tenemos el sistema
Ax = b
(1)
Luego podemos escribir como:
Ax – b = 0
(2)
Que es una ecuación vectorial que se puede escribir así:
f (x) = 0
(3)
El propósito es buscar una matriz B y su vector C de tal forma que la ecuación
vectorial es la siguiente:

21. x = B x + C
(4)
Sea un arreglo de la ecuación (1) ie que la solución de una ecuación sea
también solución de la otra ecuación, luego se propone lo siguiente:
Primero: Proponer un vector inicial x(0) como la primera aproximación al
vector solución x
Segundo: calcular la sucesión de vectores que son soluciones aproximadas
soluciónvectorxxxxx ,.....,,,, )4()3()2()1(
Usando:
,.....2,1,0,)()1(

RCBxx RR
Donde:
 TR
n
RRR
xxxx ,......,, 21
)(

Observación:
 Para que la sucesión de soluciones converja a x vector solución es
necesario que njxm
j 1, se aproxime al vector njx j 1, ie decir
njxx j
m
j  1, sean menores que un valor pequeño fijado previamente
y que se mantengan menores para todos los vectores siguientes de la
iteración. Es decir:
njxx j
m
j
m


1,lim
 La forma como llegar a la ecuación x = Bx + C se define al algoritmo y
su convergencia.
Sea dada el sistema
3
2
1
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211


































b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa

22. Con a11 ≠ 0, a22 ≠ 0, a33 ≠ 0
De 1 tenemos que: 3
11
13
2
11
12
11
1
1 x
a
a
x
a
a
a
b
x 
2
33
32
1
33
31
33
3
3
3
22
23
1
22
21
22
2
2
x
a
a
x
a
a
a
b
x
x
a
a
x
a
a
a
b
x


. . . . . . . . . . . . . (5)
CBxx
a
b
a
b
a
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
x
x






























































33
3
22
2
11
1
3
2
1
33
32
33
31
22
23
22
21
11
13
11
12
3
2
1
0
0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . (6)
Una vez que es determinada la ecuación (6) se propone un vector inicial x(0)
que puede ser x(0) = 0 “cero” o algún otro vector que sea aproximado al vector
solución x.
Para determinar la sucesión buscada de solución iterativo tenemos dos
formas:
a) Método de Jacobi (Desplazamiento simultaneo)
b) Método de Gauss –Seidel (Desplazamiento sucesivo)
METODO DE GAUSS-SEIDEL
El método de Gauss-Seidel, es un método iterativo y por lo mismo, resulta ser un
método bastante eficiente. Comenzamos con nuestro sistema de ecuaciones:

23. De la ecuación 1 despejemos , de la ecuación 2 despejemos , …, de la
ecuación n despejemos . Esto nos da el siguiente conjunto de ecuaciones:
Este último conjunto de ecuaciones son las que forman nuestras fórmulas
iterativas. Para comenzar el proceso iterativo, le damos el valor de cero a las
variables ; esto nos dará un primer valor para . Más precisamente,
tenemos que:
Enseguida, sustituímos este valor de en la ecuación 2, y las variables
siguen teniendo el valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para :
Estos últimos valores de y , los sustituímos en la ecuación 3, mientras que
siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la
última ecuación. Todo este paso, nos arrojará una lista de primeros valores para
nuestras incógnitas, la cual conforma nuestro primer paso en el proceso iterativo.
Digamos que tenemos:
1x 2x
nx
nxx ,,2  1x
1x nxx ,,3 
2x
1x 2x
nxx ,,4 

24. Volvemos a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en
vez de ceros como al inicio, obtendremos una segunda lista de valores para cada
una de las incógnitas. Digamos que ahora tenemos:
En este momento, podemos calcular los errores aproximados relativos, respecto
a cada una de las incógnitas. Así, tenemos la lista de errores como sigue:
El proceso se vuelve a repetir hasta que:
donde es una cota suficiente prefijada.
Ejemplo 1
Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:
hasta que .
Solución
s
%1a

25. Primero despejamos las incógnitas , y de las ecuaciones 1, 2 y 3
respectivamente. Tenemos:
Estas últimas, son nuestro juego de fórmulas iterativas.
Comenzamos el proceso iterativo, sustituyendo los valores de en la
primera ecuación, para calcular el primer valor de :
Ahora, sustituimos y en la segunda ecuación, para obtener
:
Ahora sustituimos y en la tercera ecuación, para
obtener :
Así, tenemos nuestra primera aproximación a la solución del sistema:
Puesto que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, repetimos el
proceso pero ahora con los últimos datos obtenidos para las incógnitas:
Sustituyendo y en la ecuación 1 obtenemos
. Sustituyendo y en la ecuación 2 obtenemos
; finalmemente, sustituyendo y en la
1x 2x 3x
032  xx
1x
66667.21 x 03 x
2x
66667.21 x 82381.22 x
3x
82381.22 x 1051.73 x
6626.31 x 6626.31 x 1051.73 x
24404.32 x 6626.31 x 24404.32 x

26. ecuación 3 obtenemos . Así, tenemos la segunda lista de valores de
aproximación a la solución del sistema:
Ahora si podemos calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas.
Tenemos:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, debemos repetir el mismo proceso con
los últimos valores obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que aunque el
error aproximado ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe de cumplir
para los tres errores aproximados!
Por lo tanto repetimos el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios,
obtenemos:
Y en este caso tenemos los siguientes errores aproximados:
Vemos que ahora si se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores
aproximados. Por lo tanto, concluímos que la solución aproximada es:
06106.73 x
3,a

27. ALGORITMO DE LOS MÉTODOS DE JACOBI – GAUSS SEIDEL
Para solucionar el sistema de Ax = b
Datos: Número de ecuaciones N
La matriz de coeficientes A
El vector de términos independientes b
El vector inicial xº
El número de iteración MATIZ
El valor de Eps. y M = 0 para usar Jacobi y M ≠ 0 para usar Gauss Seidel
obtenemos la solución aproximada x y el número de iteraciones K o el
mensaje “No se alcanzó la convergencia”
Paso1: Arreglar la matriz aumentada de manera que la matriz
coeficiente quede lo más cercano posible a la diagonal dominante
Paso2: Hace K = 1
Paso3: Mientras K ≤ Maxit repetir los pasos 4 a 18
Paso4: Si M = 0 ir al paso 5 de otro modo hacer x = xº
Paso5: Hacer I = 1
Paso6: Mientras I ≤ N repetir los pasos 7 al 14
Paso7: Hacer suma = 0
Paso8: Hacer J = 1
Paso9: Mientras J ≤ N, repetir los pasos 10 a 12
Paso10: Si J = I ir al paso 12
Paso11: Hacer suma = suma + A(IJ) * xº(J)
Paso12: Hacer J = J + 1
Paso13: Si M = 0 hacer
x(J) = -(b(J) - suma)/A(JJ)
de otro modo hacer
xº(I) = (b(J) – suma)/A(JJ)

28. Paso14: Hacer I = J + 1
Paso15: Si |x – xº| ≤ Eps. Ir al paso 19
de otro modo hacer
Paso16: Si M = 0, hacer xº = x
Paso17: Hacer K = K + 1
Paso18: Imprimir mensaje “No se alcanzó la convergencia”, el vector x,
MAXIT
Paso19: Imprimir el mensaje “Vector Solución”, x, K y el mensaje
iteraciones terminada
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema con el método de Gauss Seidel con E = 10-
2 aplicando a |xK+1 – xK|
Resolviendo: x1 de (1) x2 de (2) x3 de (4) y x4 de (3)
2
322
9
15
9
4
9
8
9
10253
24
43213
431
2
4321




xx
xxxxx
xxx
x
xxxx
Si x0 = (0, 0, 0, 0)T : determinamos:
05.143971.1680.11082.1701.6313
0.15917.202.121172.189889.672
62.177778.0222.147778.20000.101
000000
|| 1
4321



 KKKKKK
xxxxxxK
32
2
15489
10253
4321
42
4321
4321




xxxx
xx
xxxx
xxxx

29. EL proceso diverge: Luego podemos arreglar las ecuaciones para
despejar los diferentes xi y, que despejadas sean distintas, para aplicar
el teorema se debe tener solo en cuenta una aproximación pues caso
contrario son raros en donde se encontraría tales sistemas.
2
5
10
5
2
5
3
5
9
15
9
4
9
8
9
2
3
222
24
421
3
431
2
432
1




xx
xxx
x
xxx
x
xxx
x
n
K
n
K
K
xx
xx
xx




22
11
Caso contrario se alejan