Clase 11 MGJP

1. Método Gauss-Jordan
Clase 9
20-Junio-2014

2. Método de Gauss-Jordan
 Este método consiste en eliminar todas las incógnitas de cada
ecuación, excepto aquella que se encuentra ubicada en la
diagonal principal. Para ilustrar como funciona se resolverá el
siguiente ejemplo.

3. Ejemplo
 Emplear el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente
sistema
1 2 1
1 2 3
1 2 3
3 2
4 2 1
4 15
x x x
x x x
x x x
  
   
  

4. Solución
 Al representar el sistema anterior en forma matricial se tiene:
3 1 1 2
1 4 2 1
1 1 4 15
 
  
 
  

5. Solución
 Para normalizar el primer renglón y transformar en ceros los
elementos de la columna que se encuentran debajo del elemento
𝑎11, se utiliza el mismo procedimiento que se utilizo en eliminación
Gaussiana, por lo que se efectúan las siguientes operaciones:

6. Solución
 Al representar el sistema anterior en forma matricial se tiene:
1 1
2 2 1
3 3 1
1 1/ 3 1/ 3 2 / 3
/ 3
1 4 2 1
1 1 4 15
(1) 1 1/ 3 1/ 3 2 / 3
0 13 / 3 7 / 3 5 / 3(1)
0 2 / 3 13 / 3 43 / 3
R R
R R R
R R R
 
   
 
  
   
     
   

7. Solución
 Para normalizar el segundo renglón y transformar en ceros los
elementos que se encuentran arriba y abajo del elemento 𝑎22 se
hacen las siguientes operaciones:

8. Solución
2 2
1 1 2
2 2 1
1 1/ 3 1/ 3 2 / 3
0 13 / 3 7 / 3 5 / 3
0 2 / 3 13 / 3 43 / 3
1 1/ 3 1/ 3 2 / 3
(3 /13)
0 1 7 /13 5 /13
0 2 / 3 13 / 3 43 / 3
(1/ 3) 1 0 2 /13 7 /13
0 1 7 /13 5 /13(2 / 3)
0 0 61/13 183 /13
R R
R R R
R R R
 
   
 
  
 
    
 
  
   
    
   

9. Solución
 Para normalizar el tercer renglón y transformar en ceros los
elementos de la columna que se encuentra arriba del elemento 𝑎33
se efectúan las siguientes operaciones:

10. Solución
3 3
2 2 3
1 1 3
1 0 2 /13 7 /13 1 0 2 /13 7 /13
(13 / 61)
0 1 7 /13 5 /13 0 1 7 /13 5 /13
0 0 61/13 183 /13 0 0 1 3
(7 /13)
(2 /13)
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
R R
R R R
R R R
    
      
   
      
 
 

 
 
 
  

11. Solución
 La matriz anterior contiene la solución del sistema lineal, el ultimo
vector 𝑎𝑖,4, para 𝑖 = 1, 2, 3, la solución del sistema, de esta forma el
vector solución es:
1
2
3
1
2
3
x
x x
x
   
    
   
     

12. Solución
 Este método tiene la ventaja de proporcionar directamente la
solución, sin necesidad de despejar y sustituir hacia atrás, como
ocurre con el método de eliminación Gaussiana. La desventaja del
método Gauss-Jordan es que el numero de operaciones que se
efectúan para llegar a la solución es aproximadamente el doble
que el método de eliminación gaussiana.

13. Implementación del método de Gauss-
Jordan mediante el uso de Excel
1. Introducir el sistema anterior a resolver en forma de matriz
aumentada y normalizar el elemento 𝑎11, tal como se muestra en
la figura 1.

14. Figura 1. Normalización del primer renglón de la matriz aumentada de un
sistema lineal De ecuaciones

15. Implementación del método de Gauss-
Jordan mediante el uso de Excel
2. Transformar en ceros los elementos de la columna debajo del
elemento normalizado de la diagonal principal, tal como se
muestra en la figura 2. Cabe aclarar que se hace la misma
operación a lo largo de todo el renglón, para no cometer ninguna
violación algebraica.

16. Figura 2. Generación de ceros debajo del primer elemento de la diagonal
principal

17. Implementación del método de Gauss-
Jordan mediante el uso de Excel
3. Normalizar el renglón dos y transformar en ceros los elementos de
la columna que se encuentra arriba y abajo del elemento
normalizado de la diagonal principal. Tal como se muestra en la
figura 3.

18. Figura 3. Normalización del segundo renglón y generación de ceros arriba y
abajo del elemento 𝑎22

19. Implementación del método de Gauss-
Jordan mediante el uso de Excel
4. Normalizar el tercer reglón y transformar en ceros los elementos de
la columna que se encuentra arriba del elemento 𝑎33, tal como se
muestra en la figura 4.

20. Figura 4. Normalización del tercer renglón y generación de ceros arriba del
elemento 𝑎33