Insercion de ecuaciones

1. Presentación sobre los Sistemas de
Ecuaciones Lineales de Gauss y
Gauss – Jordan
ANTHONY DE LA CRUZ

2. Método de Gauss
• El método de Gauss consiste en utilizar el método
de reducción de manera que en cada ecuación (de
tres incógnitas cada una) tengamos una incógnita
menos que en la ecuación precedente. Tres
ecuaciones de ejemplo:
3x+ 2y+ z=1 x+ y− z=1
5x+ 3y+ 4z=2 3x+ 2y+ z=1
x+ y− z=1 5x+ 3y+ 4z=2

3. Tomamos los coeficientes de todos los términos de la
ecuación (incluyendo los independientes al lado de la
igualación) y los escribimos en forma de matrices. En un orden
de izquierda a derecha comenzando por la x, seguido por la y,
luego por la z y los términos independientes de últimos y
separados por una línea recta o punteada. (Columnas)
En un orden de arriba abajo, los escribimos en el orden
que establecimos de las ecuaciones anteriormente con
respecto a sus coeficientes. (Filas)
X Y Z = Términos Independientes
Fila 1
Fila 2
Fila 3

4. Ahora dependiendo de cada matriz, se
multiplicaran algunas filas con un número N, mediante
el cual sumándolas en un distinto orden, haga que los
términos de la X de la segunda y tercera fila den “0”,
pero no importa que altere los demás.
Por ejemplo la Fila 2 menos 3 veces la Fila 1 y la
Fila 3 menos 5 veces la fila 1.

5. Luego debemos volver el coeficiente del término
Y de la tercera fila 0 también, formando un triangulo de
ceros debajo de la diagonal (Xfila1, YFila2 y ZFila3).
Pero para lograr esto, no podemos seguir trabajando
con la fila 1. Porque si bien podríamos conseguir volver
el termino Y “0”, desharíamos el “0” del termino X, así
que estrictamente se trabajara con la segunda fila. En
este caso se hará la operación Fila 3 menos 2 veces la
Fila 2:

6. Ahora con los coeficientes que restaron, armamos
un nuevo grupo de ecuaciones, pero esta vez una de
ellas quedara sólo con una incógnita y así será más fácil
encontrar el valor de las dos restantes.
X + Y – Z = 1 De modo que ya nos dio el valor de Z siendo 1. Con
-Y + 4Z = -2 despeje podemos hallar el valor de las demás.
Z = 1 -Y + 4(1) = -2  -Y + 4 = -2  -Y = -6  Y = 6
X + (6) – (1) = 1  X + 6 – 1 = 1  X + 5 = 1  X = -4
Gracias al sistema de Gauss, se determino más
rápidamente el valor de las incógnitas de las ecuaciones
Z = 1, Y = 6 y X = -4.

7. Método de Gauss - Jordan
• El Método de Gauss – Jordan es similar al de Gauss,
sólo que un poco más extenso. En vez de formar un
triangulo de “0” debajo de la diagonal, se hará un
triangulo de “0” también encima de la diagonal y al
final dará el resultado directo de cada una de las
incógnitas, sin necesidad de despejar esta vez.
Un ejemplo de ecuaciones:

8. El proceso es similar al del método de Gauss.
Comenzamos acomodando los coeficientes de las
incógnitas y términos independientes en forma de
matriz. Con el orden de izquierda a derecha de X, Y, Z y
TI y de arriba abajo en filas comenzando con los
términos de la ecuación con los coeficientes más
pequeños.

9. En este ejemplo, eliminamos el coeficiente de
X de la Fila 2 sumando 3/2 veces la Fila 1 a la misma
Fila 2 y después sumamos la Fila 1 a la Fila 3.
Ahora eliminamos Y de la Fila 1 restando 2 veces
la Fila 2 a la Fila 1, y restando 4 veces la Fila 2 a la Fila 3
para eliminar Y.
Para finalmente eliminar Z de la Fila 1 restando 2
veces la Fila 3 a la Fila 1, y sumando 1/2 veces la Fila 3 a
la Fila 2 para eliminar Z. Dando el siguiente resultado:

10. Multiplicando la Fila 1 por ½ , la Fila 2 por 2 y la
Fila 3 por 1, dará el siguiente resultado:
Dando los valores de las incógnitas
directamente. Siendo X = 2; Y = 3; Z = -1.