1. MECANICA DE LOS FLUIDOS
Ing. Alejandro Mayori
6 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

2. -Teoría matemática y resultados experimentales han desarrollado soluciones practicas
-Permite realizar experimentos en modelos a escala
-Análisis dimensional y la semejanza hidráulica simplifica las experiencias y el análisis de los resultados obtenidos
6 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA 6.1 Introducción

3. -Toda ec. que exprese una relación física entre magnitudes debe igualar las magnitudes por los valores numéricos y por las dimensiones
-Todas las relaciones físicas pueden reducirse a una relación entre Fuerza, Longitud y Tiempo o entre Masa, Longitud y Tiempo
6.2 Análisis Dimensional

4. Aplicaciones : - Conversión de unidades
-Desarrollo de ecuaciones
-Reducción nro.. variables requeridas experimento
-Establecimiento de los principios para el diseño de modelos
6.2 Análisis Dimensional

5. -Modelos pueden ser verdaderos o distorsionados
-Modelos verdaderos esta a escala (semejanza geométrica) y satisfacen las restricciones de diseño (semejanza cinemática y dinámica)
-Resultados obtienen modelos son buenos
6.3 Modelos Hidráulicos

6. -Hay semejanza geométrica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homologas son iguales
-Lrel = Lmodelo / Lprototipo Lr = Lm / Lp
-Lrel 2 = Amodelo / Aprototipo = Lmodelo 2 / Lprototipo 2
6.4 Semejanza Geométrica

7. -Hay semejanza cinemática entre el modelo y el prototipo cuando
-1 Las trayectorias de las partículas móviles homologas son geométricamente semejantes
-2 Las relaciones entre velocidades de las partículas homologas son iguales
-Velocidad Vm/Vp = (Lm/Tm )/ (Lp/Tp ) = Lr/Tr
-Aceleracion am/ap = (Lm/Tm 2)/(Lp/Tp 2) = Lr/Tr 2
-Caudal Qm/Qp = (Lm 3/Tm)/(Lp 3/Tp)= Lr 3/Tr
6.5 Semejanza Cinemática

8. -Hay semejanza dinámica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre fuerzas homólogas son iguales
-Las condiciones para la semejanza completa se obtiene del 2 principio de Newton Σ F = m a
-Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relación de fuerzas
-ΣFuerzasmodeloΣFuerzasprototipo= MmamMpap
6.6 Semejanza Dinámica

9. -Fr = FuerzamFuerzap = MmamMpap = ρmLm 3ρpLp 3Lr Tr 2 =ρrLr 2 ( Lr Tr ) 2
6.7 Relación entre Fuerzas de Inercia (Ecuación Newtoniana)
-Fr = ρr Lr 2 Vr 2 = ρr Ar Vr 2

10. -Euler = M ap A = ρL3(L/T2) p L 2 = ρV2 p
6.8 Relación entre Fuerzas de Inercia a las de Presión (Nro. Euler)
6.9 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Viscosas (Nro. Reynolds)
-Reynolds= M at A = M am (푑푉 푑푦)A= ρL2V2 m (푉 퐿)L2= ρVL m

11. -Froud2= M aM 푔 = ρL2V2 ρg L3 = V2 g L
6.10 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Gravitatorias (Nro. Freud)
6.11 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Elásticas (Nro. Cauchy)
-Cauchy = M aE A = ρL2V2 E L2= ρV2 E
-A su raíz se le conoce nro. de March

12. -Weber = M as L = ρ L2 V2 s L = ρ L V2 s
6.12 Relación entre Fuerzas de Inercia a las de Tensión Superficial (Nro. Weber)
6.13 Relación de Tiempos
-Las relaciones de tiempos gobernadas por la viscosidad, la gravedad, la tensión superficial o la elasticidad son :
-Tr = Lr 2 /vr Tr=Lr /gr
-Tr=Lr 3 rr /sr Tr=Lr /Er /rr

13. •EXPERIMENTACIÓN MECÁNICADE FLUIDOS
•ADIMENSIONALES MECÁNICA DE FLUIDOS
•SEMEJANZA DE MODELOS
Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach
6.13 Metodología

15. Las ecuaciones fundamentales de un flujo no son generalmente suficientes para una solución completa del problema. En Mecánica de fluidos que pueden intervenir hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible la experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6; pero todavía es excesivo.

16. Mediante el análisis dimensional podemos formar
agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas
en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con
ello se reduce el número de variables a (n - m):
n = número de magnitudes físicas que intervienen
m = número de magnitudes básicas que intervienen

17. Cuantas menos agrupaciones resulten, menos experiencias hay que hacer: una agrupación requeriría una experiencia; dos agrupaciones varias experiencias (10 por ejemplo) para construir una curva, y tres nos llevaría a varias (10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo). Una ventaja adicional que nos proporciona la teoría dimensional es la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando con un modelo a escala.

18. Para establecer los posibles adimensionales, supongamos que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión, de gravedad, de fricción, de elasticidad y de tensión superficial. Expresemos la resultante (Σ F), o fuerza de inercia (Fi),que provoca la aceleración del flujo, en función de la velocidad u:
-ΣF = F = ma = ρL3 L T2 = ρL2 u2

19. Fuerza de presión (p):
Fuerza elástica (K):
Fuerza tensión superficial (s)
Fuerza de gravedad (g):
Fuerza viscosa (μ):
Fp = l2 p
Fg = l3ρ g
Fr = l2 t = l u μ
Fs = l s
FK = l2 K

20. Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:
l2 p + l3휌 g + l u μ + l2 K + l s = 휌 l2 u2
expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con
frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.
Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar
de las 8 (dimensionales).
f (l, p, ρ, g, u, μ, K, s) = 0
-Φ ( 푝 휌u2 , lg u2, 휇 휌푙u , 퐾 휌u2 , s 휌lu2) = 0

21. -Φ ( 푝 휌u2 , lg u2 , 휇 휌푙u , 퐾 휌u2 , s 휌l u2) = 0
Número de Reynolds Re = 휌푙u 휇
Número de Mach Ma = 푢 퐾/휌 = 푢 푎
Número de Weber We = 푢 s/휌푙
Coeficiente de person Cp = 푝 휌u2
Número de Froude Fr = 푢 푙푔
-Φ ( 푝/휌 u2/2 , 푢 푙푔 , 휌푙u 휇 , 푢 퐾/휌 , 푢 s/휌푙 ) = 0

22. -Φ ( 푝/휌 u2/2 , 푢 푙푔 , 휌푙u 휇 , 푢 퐾/휌 , 푢 s/휌푙 ) = 0
( 푝/휌 u2/2 ) = f (Fr, Re, Ma, We)
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l
y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:
( 푝/휌 u2/2 ) = f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)
En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuya intervención sea nula o poco importante

23. No es necesario ensayar con el mismo fluido
que utilice el prototipo. El agua y el aire son
los fluidos que generalmente se utilizan.
Los modelos se hacen de materiales diversos
madera, escayola, metales, hormigón, plástico
etc.
6.14 Ensayos con Modelos

24. Los ensayos de canalizaciones, puertos, presas, aliviaderos, etc., se hacen en los laboratorios de hidráulica. Los ensayos de modelos de aviones, y en general de cuerpos sumergidos, se hacen en túneles de viento y en túneles de agua. Los ensayos de barcos se hacen en los llamados canales hidrodinámicos

25. Leyes de semejanza
Existe semejanza cinematica en dos corrientes fluidas cuando las lineas de flujo de una lo sean respecto a las homologas de a otra. Para ello es necesario
Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos Deben ser semejantes
a) Semejanza geométrica
-λ = Lp / Lm ; λ2 = Lp2 / Lm2 ; λ3 = Lp3 / Lm3

26. a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad: semejanza de Froude, Frp = Frm b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds, Rep = Rem c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach, Map = Mam d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber, Wep = Wem

27. Frp = Frm
Semejanza de Froude
y si gp=gm, como es lo habitual:
Por ejemplo, si λ = 25, up /um=5.
Relación de velocidades
푢푝 푙p푔p= 푢푚 푙m푔m
푢푝 푢푚 =λ 푔푝 푔m
푢푝 푢푚 =λ

28. Relación de caudales (Q = S u)
Relación de fuerzas (F = γ l 3)
푄푝 푄푚 = 푆푝 푆푚 푢푝 푢푚
푄푝 푄푚 =λ5/2
퐹푝 퐹푚 = γ푝 γ푚 λ3
y si γ p = γ m, como es lo habitual:
퐹푝 퐹푚 =λ3
Por ejemplo, si λ = 25, Fp /Fm = 15625.

29. Relación de potencias (P = F u)
y si γ p = γ m,
푃푝 푃푚 = 퐹푝 퐹푚 푢푝 푢푚 = λ3 λ1/2
Por ejemplo, si λ = 25, Pp /Pm = 78125.

30. Semejanza de Reynolds 푅푒푝 = 푅푒푚 Relación de velocidades.
푙푝 푢푝 ν푝 = 푙푚 푢푚 ν푚
Por ejemplo, si λ = 25, up / um = 1/25 Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor. Por lo que no es posible que se cumplan ambos a la vez, salvo que la escala sea la unidad
푢푝 푢푚 = ν푝 푙푚 ν푚푙푝
푢푝 푢푚 = ν푝 ν푚 1 λ

31. ṁ푝 ṁ푚 = ρ푝 푠푝푢푝 ρ푚 푠푚푢푚 = ρ푝 ρ푚 λ2ν푝 ν푚 1 λ= ρ푝 ρ푚 ν푝 ν푚 λ
Relación de caudales ṁ = ρ Q = ρ S u
ṁ푝 ṁ푚 = μ푝 μ푚 λ

32. F푝 F푚 = l푝 푢푝휇푝 l푚 푢푚휇푚 = λ 휈푝 휈푚 1 λρ푝 ρ푚
Relación de fuerzas (F = l u 흁)
F푝 F푚 = (휈푝 휈푚 )2ρ푝 ρ푚
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm: el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta su menor superficie de rozamiento

33. Relación de Match
Ma p = Ma m
Relación de Velocidades
푢푝 퐾푝/휌푝 = 푢푚 퐾푚/휌푚
푢푝 푢푚 = 푎푚 푎푚

34. Relación de Fuerzas (F = K S )
ṁ푝 ṁ푚 = ρ푝 푠푝푢푝 ρ푚 푠푚푢푚 = ρ푝 ρ푚 λ2푎푝 푎푚
Relación de Caudales (ṁ = ρ Q = ρ S u )
F푝 F푚 = 퐾푝 푆푝 퐾푚 푆푚 = 퐾푝 퐾푚 λ2
y como
푎=퐾/휌
F푝 F푚 = 휌푝 휌푚 ( 푎푝 푎푚 )2 λ2

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