Semejanza de modelos, Teoria de modelos, Numero de Euler, Froude, Reynolds, Mach y Weber

1. Elaborado por: Luis E. Sulbarán M
Prof: Ing. Pedro Guedez
Experimentación
Mecánica de Fluidos

2. Semejanza de modelos
Hay semejanza geométrica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre todas
las dimensiones correspondientes u homologas son iguales.
Lrel = Lmodelo / Lprototipo Lr= Lm / Lp
Lrel
2 = Amodelo / Aprototipo = Lmodelo
2 / Lprototipo
2
Hay semejanza cinemática entre el modelo y el
prototipo cuando:
- Las trayectorias de las partículas móviles
homologas son geométricamente semejantes
- Las relaciones entre velocidades de las
partículas homologas son iguales.
- Velocidad Vm/Vp= (Lm/Tm)/ (Lp/Tp ) = Lr/Tr
- Aceleración am/ap= (Lm/Tm2)/(Lp/Tp2) = Lr/Tr2
- Caudal Qm/Qp= (Lm3/Tm)/(Lp 3/Tp)= Lr3/Tr
Hay semejanza dinámica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre
fuerzas homólogas son iguales.
Las condiciones para la semejanza completa se obtiene del 2 principio de Newton Σ F = m
a
- Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relación de fuerzas
Σfuerzasmodelo/ΣFuerzasprototipo= Mmam/Mpap

4. Teoría de Modelos
NUMERO DE REYNOLDS
Controla el termino de los efectos de la viscosidad; si el Re es pequeño, se tiene flujo con
viscosidad dominante, y el termino al que afecta el Re es importante; en el movimiento de
las partículas, las altas interacciones por viscosidad las ordenan en la dirección del flujo,
con lo que sus trayectorias no se cruzan, se tiene régimen laminar.
Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables, excepto en las
zonas del flujo donde se tengan altos gradientes de velocidad; las partículas se mueven
desordenadamente, entrecruzándose continuamente las trayectorias, se tiene régimen
turbulento. Para un fluido que circula por el interior de una tubería circular recta, el número
de Reynolds viene dado por: donde:
NUMERO DE EULER
Controla el termino de los efectos de la presión termodinámica con respecto a la presión
dinámica. Por ejemplo en flujos confinados que trabajan a alta presión, se tienen Eu
grande; en cambio en flujo con superficie libre el Eu es pequeño.
En el flujo en turbomáquinas hidráulicas, es importante para evaluar los efectos de la
cavitación, el denominado número de cavitación:
Si el número de Reynolds es menor de 2100 el flujo será laminar y si
es mayor de 3000 el flujo será turbulento. El mecanismo y muchas de
las razones por las cuales un flujo es laminar o turbulento es todavía
hoy objeto de especulación.

5. Teoría de Modelos
En flujo externo, se evalúa la resultante de las fuerzas de superficie sobre un
determinado objeto, con los coeficientes de sustentación y de arrastre, que
derivan del número de Euler:
NUMERO DE FROUDE
Controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, lo
mas normal es que sea exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor sea el Fr
menor será la importancia de la fuerza gravitacional.
En flujo confinado (limitado por una superficie rígida), el orden de magnitud de las
fuerzas de inercia es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene Fr
altos, y por lo tanto son poco importantes los efectos gravitacionales.
En flujo con superficie libre, se tiene Fr bajos del orden de la unidad; y su valor
determina el diverso comportamiento del flujo ante perturbaciones. Si se introduce una
pequeña perturbación en la superficie libre, la velocidad de propagación de las ondas
superficiales que se producen vienen determinadas por:

6. con lo que el número de Froude es el cuadrado de la relación entre la velocidad del flujo
y la velocidad de las perturbaciones en la superficie libre:
Cuando la velocidad del flujo es menor que la de las perturbaciones, el Fr<1, las
perturbaciones se van atenuando, el flujo es estable y se denomina subcritico. Cuando
la velocidad de la corriente es mayor que la de las perturbaciones, el Fr>1, las
perturbaciones se incrementan, el flujo es inestable y se denomina supercrítico.
Teoría de Modelos

7. El número de Froude (Fr) es un número adimensional que relaciona el efecto
de las fuerzas de inercia y la fuerzas de gravedad que actúan sobre un fluido.
Debe su nombre al ingeniero hidrodinámico y arquitecto naval inglés William
Froude (1810 - 1879). De esta forma el número de Froude se puede escribir
como:
Numero de Froude en canales abiertos:
Teoría de Modelos

8. NUMERO DE MACH
Es la relación entre la velocidad del flujo y la velocidad de pequeñas perturbaciones en
el seno del fluido, que se denomina velocidad del sonido. Las perturbaciones provocan
compresiones-expansiones (variaciones de densidad) en el fluido, y la rapidez de
transmitirlas, es decir la velocidad del sonido (con perturbaciones de poca intensidad),
depende de la facilidad del fluido a experimentar variaciones de densidad: así en un
fluido de alto módulo de compresibilidad, las perturbaciones se transmiten rápidamente
con lo que la velocidad del sonido es alta; todo ello viene reflejado por la ecuación que
da la velocidad del sonido:
y recordando la definición de módulo de compresibilidad, se tiene la relación entre la
velocidad del sonido y el módulo de comprensibilidad:
Sustituyendo, quedaría:
Otra consecuencia del Ma, es el distinto comportamiento del flujo, en función de que la
velocidad del flujo sea menor, igual o menor a la velocidad de las perturbaciones; es
decir que el Ma sea menor, igual o mayor que la unidad:
Ma<1 régimen subsónico las perturbaciones se mueven más rápidas que el flujo
Ma=1 régimen sónico las perturbaciones se mueven a igual velocidad que el flujo
Ma>1 régimen supersónico las perturbaciones se mueven más lentas que el flujo
Teoría de Modelos

9. Teoría de Modelos
NÚMERO DE WEBER
Es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos y que es útil en el análisis
de flujos en donde existe una superficie entre dos fluidos diferentes. Es una medida de
la importancia relativa de la inercia del fluido comparada con su tensión superficial. Por
ejemplo, este número es útil en analizar flujos multifásicos en superficies curvadas,
flujos de capas finas y en la formación de gotas y burbujas. Se denomina así en honor
a Moritz Weber (1871-1951) y se escribe como:
Es la relación de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tensión
superficial. Éste es importante en interfases gas-líquido o líquido-líquido y también
donde estas interfases se encuentran en contacto con una frontera. La tensión
superficial causa pequeñas ondas (capilaridad) y la formación de gotas, y tiene un
efecto sobre la descarga de orificios y vertederos con pequeñas cabezas.

10. Leyes de semejanza
Existe semejanza cinemática en dos corrientes fluidas cuando las líneas de flujo de una lo
sean respecto a las homologas de a otra. Para ello es necesario
a) Semejanza geométrica
λ = Lp/ Lm ;λ2= Lp
2 / Lm
2;λ3 = Lp
3 / Lm
3
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos deben ser semejantes
Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem
-Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad:
semejanza de Froude, Frp = Frm
-Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de
viscosidad: semejanza de Reynolds, Rep = Rem
-Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la
compresibilidad: semejanza de Mach, Map = Mam
-En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber,
Wep = Wem

11. Semejanza de modelos
Semejanza de Froude

12. Semejanza de modelos

13. Semejanza de modelos

14. Semejanza de modelos
Semejanza de Reynolds
Por ejemplo, si λ = 25, up / um = 1/25
Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y
con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor. Por lo que no es posible que se
cumplan ambos a la vez, salvo que la escala sea la unidad.

15. Semejanza de modelos
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm: el mayor esfuerzo
cortante en el modelo contrarresta su menor superficie de rozamiento.

16. Semejanza de modelos
Semejanza de Mach