Seminario de profundización en la teoría de los sistemas autoorganizados. Sesión 2016 11-18

1. Seminario: Profundización en la teoría de los
Sistemas auto-organizados
Sesión: 18-11-2016
1.- Primer resumen del seminario sobre los sistemas auto-
organizados.
2.- Estructuras disipativas
3.- Teoría del Caos
4.- Atractores
5.- Crecimientos

2. 1.- Primer resumen del seminario sobre los sistemas auto-
organizados.
La auto-regulación de los mecanismos.
Un sistema es un conjunto de partes en interacción, es decir, es un
conjunto delimitado donde ocurre una actividad continua.
La primera característica de un sistema auto-organizado es la auto-
regulación. Globalmente, el conjunto de las actividades se mantiene en un
estado de equilibrio dinámico, es decir lejos de un equilibrio estático
termodinámico, lejos de la inmovilidad y del reposo.
Para mantenerse en esta situación, dispone de mecanismos internos de
tipo "termostato".
Es lo que se llama una retroacción "negativa", es decir que la retroacción
va siempre en el sentido opuesto a la tendencia: si hace frío, el calentador se
enciende; si hace demasiado calor, el calentador se apaga.
La homeostasis en un organismo es de este tipo.
Esta actividad interna regulada supone un ritmo y unos ciclos internos. Un
sistema dispone, pues, de una "frecuencia o tiempo interior".
La dialéctica "divergencia-convergencia" en la base de la organización.
Un sistema auto-organizado, de una manera más precisa, alberga dos
tipos de actividad:
 una divergente, de expansión y multiplicación
 y otra convergente, de diferenciación y reducción.
Por ejemplo, en el caso de un sistema poblacional "presa-predador", la
multiplicación de los conejos es limitada por los lobos.
El sistema, como tal, es el resultado de la dialéctica constante entre
estas dos tendencias internas.
Esta dialéctica se materializa a través de la organización misma, que
incluye un nivel de control y una jerarquía de secuencias.
La optimización dentro de un sistema.
Un sistema auto-organizado tiende a la optimización. En el caso de un
ecosistema, por ejemplo, un estado anterior va preparando las condiciones
necesarias para que emerja un estado más complejo, hasta un límite
máximo llamado "climax del ecosistema".
El "exterior" de un sistema es el sistema superior que lo contiene.

3. El sistema organismo, por ejemplo, pertenece al sistema especie. Este a
su vez pertenece a un ecosistema que se integra en una biosfera. La biosfera
está en un sistema solar que forma parte de una galaxia, etc...etc...
La dinámica de tipo convergente que limita y canaliza la dinámica
divergente proviene del nivel superior sistémico.
Por ejemplo, la especie, en este enfoque sistémico, es un sistema de
comportamientos (actitudes, acciones, coraje, miedo, etc...) que actúa en los
organismos a través de las hormonas y del cerebro. La especie es
esencialmente un sistema poblacional (o una red) de "actores".
El ecosistema, que contiene las especies, es un sistema de
comunicaciones, asociaciones y simbiosis.
Por su lado, la biosfera puede mantener unas condiciones globales
favorables a la vida a pesar de la variación de algunos parámetros como el
calor de sol (aumento de un 25% desde la aparición de la vida en la Tierra), o
la salinidad del mar (la erosión de los relieves montañosos lleva una cantidad
ingente de sales minerales a los océanos).
Lo hace gracias a su propia estructura en bucles geo-ecológicos donde
los seres vivos participan como factores aceleradores y transformadores. Así
subió el nivel de oxígeno en la atmosfera, en un momento de la evolución de la
vida, lo que permitió la aparición de unos organismos más complejos.
La biosfera es, de hecho, un sistema que produce y controla su propio
entorno.
2.- Estructuras disipativas
Las estructuras disipativas constituyen la aparición de estructuras coherentes,
auto-estructuradas en sistemas alejados del equilibrio. Eso ocurre en sistemas
abiertos, es decir que permiten la circulación de energía y/o materia.
Se trata de un concepto de Ilya Prigogine, que recibió el Premio Nobel de
Química «por una gran contribución a la acertada extensión de la teoría
termodinámica a sistemas alejados del equilibrio, que sólo pueden existir en
conjunción con su entorno».
El término estructura disipativa busca representar la asociación de las ideas de
orden y disipación. El nuevo hecho fundamental es que la disipación de energía
y de materia, que suele asociarse a la noción de pérdida y evolución hacia el
desorden, se convierte, lejos del equilibrio, en fuente de orden.
Inestabilidad de Bénard
El ejemplo clásico utilizado por Prigogine para las estructuras disipativas es la
«inestabilidad de Bénard».

4. Se trata de una capa horizontal de líquido que tiene una diferencia de
temperatura entre la superficie superior e inferior producto de que esta última
es calentada.
Existe por tanto un gradiente de temperatura, al estar la base más caliente que
la superficie, que produce la conducción de calor de abajo hacia arriba. La
inestabilidad se produce cuando el gradiente sobrepasa cierto límite. En este
caso el transporte de calor por conducción –colisión entre partículas— se ve
aumentado por un transporte por convección, en el que las moléculas
participan de un movimiento colectivo.
Se forman vórtices que distribuyen la capa líquida en «celdas» de agua. Si se
analiza la probabilidad de que un fenómeno como la «inestabilidad de Bénard»
se produzca espontáneamente, se llega a la conclusión de que dicho fenómeno
es prácticamente imposible.
3.- Teoría del caos
El comienzo de la reciente historia del caos se sitúa en la década de
1950 cuando se inventaron los ordenadores y se desarrollaron algunas
intuiciones sobre el comportamiento de los sistemas no lineales. Esto es,
cuando se vieron las primeras gráficas sobre el comportamiento de estos
sistemas mediante métodos numéricos.
En 1963 Edward Lorenz trabajaba en unas ecuaciones, las
mundialmente conocidas como ecuaciones de Lorenz, que esperaba predijeran
el tiempo en la atmósfera, y trató mediante los ordenadores de ver
gráficamente el comportamiento de sus ecuaciones.
La teoría del caos es la denominación popular de la rama de las
matemáticas, la física y otras ciencias (biología, meteorología, economía, entre
otras) que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos muy
sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales.

5. Estos sistemas son en rigor deterministas, es decir; su comportamiento
puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.
Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:
 Estables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales
suficientemente cercanas siguen siendo cercanas a lo largo del tiempo.
Así, un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita,
según su dimensión (atractor o sumidero).
 Inestables, cuando dos soluciones con condiciones iniciales diferentes
acaban divergiendo por pequeñas que sean las condiciones iniciales. Así
un sistema inestable "escapa" de los atractores.
 Caóticos, cuando el sistema no es inestable y si bien dos soluciones se
mantienen a una distancia "finita" cercana a un atractor del sistema
dinámico, las soluciones se mueven en torno al atractor de manera
irregular y pasado el tiempo ambas soluciones no son cercanas, si bien
suelen ser cualitativamente similares. De esa manera, el sistema
permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin
tender a un atractor fijo.
Una de las principales características tanto de los sistemas inestables
como los caóticos es que tienen una gran dependencia de las condiciones
iniciales (esto diferencia a ambos tipos de los sistemas estables).
De un sistema del que se conocen sus ecuaciones de evolución
temporal características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede
conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los
sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el
sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplo: impredectibilidad
de la meteorología. (Wikipedia)
Ecuaciones de Lorenz
El primer sistema de ecuaciones bien caracterizado que exhibía
comportamiento caótico fue el sistema de ecuaciones propuesto por Lorenz:
X’ = σ ( y − x ) y’ = r x − y − x z z’ = x y − b
z
donde σ es el número de Prandtl (viscosidad/conductividad térmica), r es
el número de Rayleigh (John Strutt) (diferencia de temperatura entre base
y superficie superior) y b es la razón entre la longitud y altura del sistema.
4.- Atractor
En el campo matemática de los sistemas dinámicos, un atractor es un
conjunto de valores numéricos hacia la cual un sistema tiende a
evolucionar, en una amplia variedad de condiciones iniciales del sistema.
Un atractor es un objeto matemático abstracto: no puede ser
observado en la naturaleza.
Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, o incluso
un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extraño.
La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los
grandes logros de la teoría del caos.
La trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer

6. ninguna propiedad especial excepto la de permanecer en el atractor; puede ser
periódica, caótica o de cualquier otro tipo.
Los atractores son partes del espacio de fases del sistema dinámico.
Espacio fásico (o de fases)
En mecánica clásica, el espacio fásico es una construcción matemática
que permite representar el conjunto de posiciones y momentos (masa por
velocidad) de un sistema de partículas. Es decir, cada punto del espacio fásico
representa un estado del sistema físico.
Atractor extraño
En los atractores clásicos, todas las trayectorias convergen en un único
punto o un ciclo límite, es decir, todas las trayectorias terminan en un estado
estacionario puntual o cíclico.
Ejemplos: el estado final de una piedra que cae, un péndulo que se
inmoviliza o un vaso con agua que se estabiliza.
(Un ciclo límite es una órbita periódica del sistema que corresponde a un
mínimo o un máximo)
A diferencia de los atractores clásicos, los atractores extraños tienen
estructura a todas las escalas. Un atractor es extraño si tiene una dimensión
no entera (o "fractal": dimensión de Hausdorff) o si la dinámica en el atractor es
caótica.
Matemáticamente, se habla de caos o comportamiento caótico para
referirse a un comportamiento determinista aperiódico muy sensible a las
condiciones iniciales: una pequeña variación inicial se puede transformar en
una variación muy grande final (popularizado por el "efecto mariposa").
5.- Crecimientos
Crecimiento exponencial
La expresión crecimiento exponencial se aplica a una magnitud tal que su
variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece muy
rápidamente en el tiempo, de acuerdo a la ecuación:

7. M t = M0
e ⋅ r t
M t : es el valor de la magnitud en el instante t > 0 ;
M0 : es el valor inicial de la variable, valor en t = 0 , cuando empezamos a
medirla;
r : es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento
durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0 ;
e = 2,718281828459..
Función logística
La función logística, curva logística o curva en forma de S es una función
matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones,
propagación de enfermedades epidémicas y difusión en redes sociales.

8. La función logística simple se define mediante la expresión matemática:
P(t) = 1 / (1 + e-t
) donde la variable P puede ser considerada o denotada como
población, donde e es la constante de Euler y la variable t puede ser
considerada el tiempo.
En el desarrollo de un embrión, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el
número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un
crecimiento exponencial.
Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda soportar;
así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de células,
y la tasa de crecimiento disminuye.
Después de un tiempo, el niño nace y continúa creciendo. Finalmente, el
número de células se estabiliza y la estatura del individuo se hace constante.
Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se detiene. Una típica
aplicación de la ecuación logística es el cálculo del crecimiento poblacional
según el cual:
 la tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
 la tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles
El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos
disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.
Crecimiento hiperbólico
El crecimiento hiperbólico tiene una singularidad en tiempo finito (crece hasta
infinito con tiempo finito). Ciertos modelos matemáticos sugieren que hasta la
década de 1970 la población mundial experimentó un crecimiento hiperbólico.

9. La función: x(t) = 1 / (tc – t) presenta crecimiento hiperbólico con una
singularidad en el momento tc : en el límite de t → tc , la función llega a infinito.
Un número de 1960 de la revista Science incluyó un artículo de Heinz von
Foerster (1911- 2002) en el que declaraba que la población humana alcanzaría
el "infinito" el 13 de noviembre de 2026, una predicción que fue conocida por el
nombre de "Doomsday Equation" (Ecuación del Día del Juicio Final).