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1. Página 1
GEOMETRÍA ANALÍTICA
DEL ESPACIO
1. Introducción. -
Geometría Analítica del Espacio se encarga del estudio de los principales
lugares geométricos: La Recta, El Plano, La Esfera, La Elipsoide, etc.
2. Distancia entre dos puntos. -
La distancia mínima entre dos puntos: y , se
calcula con la ecuación.
3. Punto de División. -
Si punto “P” divide al segmento de la recta contenida entre dos puntos P1 y
P2 en una relación “r”, se puede demostrar que las coordenadas del punto P
están dadas por una relación, pero se pueden calcular mediante:
JAVI ENSEÑANDO CALCULO II – GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
     
2 2 2
2 1 2 1 2 1
x y
d x y z z
  
   …….. (1)
   
1 1 1 1 2 2 2 2
P x ,y ,z P x ,y ,z
 
1
2
P P
r
P P

 
1 1 1 1
P x , y ,z

 
2 2 2 2
P x ,y ,z

 
P x,y,z

2
PP
1
P P
1 2
x r x
x
1 r



1 2
x r x
x
1 r



1 2
x r x
x
1 r



…….. (2)
…….. (3)
…….. (5)
…….. (4)

2. Página 2
4. Punto de División. -
La recta que une cualquier punto “P” con el origen de coordenadas
determina tres ángulos con los ejes coordenados. Los cosenos de estos tres
ángulos se denominan “Cosenos Directores”.
5. La Recta. -
La Recta en el espacio “L” es el lugar geométrico de puntos que satisfacen
dos ecuaciones lineales en tres variables de la forma:
Donde A1, B1, C1, D1, A2, B2,
C2, D2 son constantes.
Sean Po, P1, P2 puntos que
pertenecen a la recta “L”.
Sea la dirección
que sigue la recta “L”.
…….. (6)
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2 2 2
d x y z
  
 
x
cos
d
 
 
y
cos
d
 
 
z
cos
d
 
     
2 2 2
cos cos cos 1
     

d
y
x
z

 …….. (7)
…….. (8)
…….. (9)
…….. (10)
1 1 1 1
A x B y C z D 0
   
2 2 2 2
A x B y C z D 0
   
 
u a,b,c

1
P
2
P
P
L
u
o
P
o
P P

…….. (11)
…….. (12)

3. Página 3
La ecuación vectorial de la recta, se obtiene teniendo en cuenta que:
La ecuación paramétrica de la recta, se obtiene desarrollando la ecuación
vectorial:
La ecuación simétrica de una recta también se denomina ecuación cartesiana
de la recta y se obtiene de la forma paramétrica:
o
P P u

o t
P P u

 
o
P P t u
   …….. (13)
o
P P t u
  
     
o o o
x, y,z x , y ,z t a,b,c
  
   
o o o
x, y,z x t a, y t b,z t c
      
o
o
o
x x t a
y y t b
z z t c
  
  
  





…….. (14)

o
o
x x
x x t a t
a

    
o
o
y y
y y t b t
b

    
o
o
z z
z z t c t
c

    
o o o
x x y y z z
a b c
  
 
…….. (15)
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5.1. Distancia de un punto a una recta. -
La distancia mínima entre un punto que no pertenece a la
recta “L” se puede calcular mediante la ecuación:
5.2. Distancia entre rectas. -
Sean las rectas no paralelas L1 y L2. Para hallar la distancia requerida se
deben construir dos planos que contengan a las rectas L1 y L2. A
continuación se podría hallar un vector perpendicular o normal a ambos
vectores direccionales “ ” el cual estará dado por:
 
E E E E
P x ,y ,z

o
P
u
E
P
L
 
E o
P P u
d
u
 
 …….. (16)
 
E E E E
P x ,y ,z

n
2
P
1
u
d
1
L
2
u
2
L
1
P
1 2
n u u
 
 
2 1
P P n
d
n


…….. (17)
…….. (18)
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6. El Plano. -
Si P es un plano y Po un punto sobre este plano.
Se define al vector normal de este plano como
La ecuación vectorial de un plano se obtiene teniendo en cuenta que el
vector normal es perpendicular a cualquier vector contenido sobre el
plano .
La Ecuación General de un plano, se obtiene desarrollando la forma
vectorial.
La forma reducida de un plano se determina a partir de la Forma General.
 
N A,B,C

N
N
P
O
P
O
N P P
 
 
O
P P N 0
  …….. (19)
 
O
P P N 0
 
     
o o o
x, y,z x , y ,z A,B,C 0
 
 
 
   
o o o
x x , y y ,z z A,B,C 0
   
     
o o o
A x x B y y C z z 0
     
Ax By Cz D 0
   
 
o o o
Ax By Cz D
    
…….. (20)
y
x
z
c
a
b
Ax By Cz D
   
x y z
1
D D D
A B C
     
  
     
  

 
 

x y z
1
a b c
   …….. (21)
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6.1. Distancia de un Punto a una Plano. -
Si Po un punto del plano . Si es cualquier punto sobre el plano , es
el vector normal, entonces la distancia que separa a de es igual a la
componente de vector sobre la dirección del vector normal .
6.2. Distancia entre dos Planos Paralelas.-
Sean dos planos paralelas , cuyos vectores normales son ,
La distancia entre ambos planos puede calcularse mediante la ecuación:
7. La Esfera. -
La esfera es la superficie de puntos que satisface la ecuación:
La Ecuación General de una esfera se obtiene desarrollando la forma
Centro – Punto.
 1
P  N

O
P
O 1
P P
 N
 
o
o o o
P , 2 2 2
Ax By Cz D
d
A B C

  

 
…….. (22)
1
 1
N
2
 2
N
1 2
N t N
 
 
1 2
2 1
, 2 2 2
D D
d
A B C
 


 
…….. (23)
     
2 2 2 2
x h y j z k R
      .….. (24)
 
C h, j,k

y
x
z
R
     
2 2 2 2
x h y j z k R
     
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7. Página 7
8. El Elipsoide. -
Es la superficie que se determina por la ecuación:
Donde a, b, c se denomina semiejes del elipsoide.
9. Hiperboloide de una Hoja. -
Es la superficie que se determina por la ecuación:
2 2 2 2 2 2 2
x y z 2hx 2jy 2kz h j k R 0
         
2 2 2
x y z Dx Ey Fz G 0
       .….. (25)
y
x
z
c
a
b
2 2 2
x y z
1
a b c
     
  
     
     
.….. (26)
2 2 2
x y z
1
a b c
     
  
     
     
.….. (27)
y
x
z
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8. Página 8
10. Hiperboloide de dos Hoja. -
Es la superficie que se determina por la ecuación:
11. Paraboloide Elíptico. -
Es la superficie que se determina por la ecuación:
12. Paraboloide Hiperbólico. -
Es la superficie que tiene la forma de una silla de montar y se determina por
la ecuación:
2 2 2
x y z
1
a b c
     
  
     
     
.….. (28)
y
x
z
2 2
x y
cz
a b
   
 
   
   
.….. (29)
y
x
z
c 0

2 2
x y
cz
a b
   
 
   
   
.….. (30)
 
P 0,0,0

y
x
z
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13. El Cono. - Punto de Ensilladura
Es la superficie que tiene la ecuación:
Si Cono Circular
Si Cono Elíptico
14. El Cilindro. -
La Ecuación de cualquier cilindro es una superficie que no contiene a alguna
de las variables:
2 2 2
x y z
a b c
     
 
     
     
.….. (31)
a b

y
x
z
a b

2 2 2
x y a
  .….. (32)
y
x
z
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