El documento explica conceptos básicos de ecuaciones, incluyendo las definiciones de ecuación, variable, solución y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones como lineales, cuadráticas y completando el cuadrado. Presenta ejemplos para ilustrar cada método, como resolver ecuaciones lineales mediante la suma y sustracción de términos o factorización para resolver ecuaciones cuadráticas.

1. Universidad de San Carlos de Guatemala
Centro Universitario de Occidente
División de Ciencias de la Ingeniería
Matemática Básica 1
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ECUACIONES
Una ecuación es un enunciado que nos indica que dos expresiones
matemáticas son iguales. Por ejemplo,
4 + 7 = 11
es una ecuación. Ahora bien, casi todas las ecuaciones que estudiamos
en álgebra contienen variables ya que siendo el álgebra la forma más
general de ver los números, estos pueden ser representados por
variables que son símbolos (por lo general letras) que representan
como se indicó a los números. En la ecuación
3x – 7 = 21
la letra x es la variable. Consideramos x como la “incógnita” de la
ecuación, es decir el valor desconocido de nuestra expresión, y nuestro
objetivo es hallar el valor de x que satisfaga la ecuación por lo que este
valor haría que la ecuación sea verdadera.
A los valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera
les denominamos soluciones o raíces de la ecuación, y el proceso de
hallar las soluciones se llama resolver la ecuación.
Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones reciben el
nombre de ecuaciones equivalentes. Para resolver una ecuación,
tratamos de hallar una ecuación equivalente más sencilla en la que la
variable está sólo en un lado del signo “igual”. A continuación, veamos
las propiedades que usamos para resolver una ecuación. (En estas
propiedades, A, B y C representan cualesquiera expresiones
algebraicas, y el símbolo ⇔ significa “es equivalente a”.)
Propiedad Descripción
1. 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 + 𝐶 = 𝐵 + 𝐶 Sumar la misma cantidad a ambos
lados de una ecuación da una
ecuación equivalente.
2. 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 (𝐶 ≠ 0) Multiplicar ambos lados de una
ecuación por la misma cantidad
diferente de cero da una ecuación
equivalente.
Estas propiedades requieren que el estudiante ejecute la misma
operación en ambos lados de una ecuación al resolverla. Entonces, si
decimos “sume – 8” al resolver una ecuación, es una forma breve de
decir “sume – 8 a cada lado de la ecuación”.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
El tipo más sencillo de ecuación es una ecuación lineal, o ecuación de
primer grado, que es una ecuación en la que cada término es una
constante o un múltiplo diferente de cero de la variable.
Es una ecuación equivalente a una de la forma:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
donde a y b son números reales y x es la variable.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación:
5𝑥 − 4 = 2(𝑥 − 2)
Realice la multiplicación indicada en el lado izquierdo de la ecuación
5𝑥 − 4 = 2𝑥 − 4

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Sume 4 a ambos lados de la ecuación
5𝑥 − 4 + 4 = 2𝑥 − 4 + 4
5𝑥 = 2𝑥
Sume - 2x a ambos lados de la ecuación
5𝑥 + (−2𝑥) = 2𝑥 + (−2𝑥)
3𝑥 = 0
Multiplique
𝑥 = 0
SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
donde a, b y c son números reales con a 0.
Algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse al factorizar y usar
las siguientes propiedades básicas de números reales.
Propiedad del Producto Cero o Producto Nulo
𝐴𝐵 = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝐴 = 0 ó 𝐵 = 0
Esto significa que si podemos factorizar el lado izquierdo de una
ecuación cuadrática (o de otro grado), entonces podemos resolverla
igualando a 0 cada factor a la vez. Este método funciona sólo cuando
el lado derecho de la ecuación es 0.
Solución de una Ecuación Cuadrática Sencilla
Decimos que una ecuación cuadrática es sencilla cuando es una
ecuación de la forma
𝑥 = 𝑐
Reescribiendo la expresión podemos decir también que esta es una
ecuación cuadrática de la forma 𝑥 − 𝑐 = 0, donde c es una constante
positiva, se factoriza como 𝑥 − √𝑐 𝑥 + √𝑐 = 0, de modo que las
soluciones son 𝑥 = √𝑐 y 𝑥 = −√𝑐. Con frecuencia abreviamos esto
como 𝑥 = ±√𝑐.
Ejemplo 2. Encuentre todas las soluciones de la ecuación:
𝑥 − 49 = 0
Presentando la ecuación factorizada ya que esta ecuación es una
diferencia de cuadrados, se puede escribir así
(𝑥 − 7)(𝑥 + 7) = 0
Aplicando la propiedad del producto cero podemos igualar cada uno
de los factores a cero, ya que cuando cualquiera de ellos sea cero el
resultado de la multiplicación será cero también
𝑥 − 7 = 0 𝑥 + 7 = 0

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Resolviendo las ecuaciones lineales
𝑥 − 7 = 0 𝑥 + 7 = 0
𝑥 = 7 𝑥 = −7
Otra forma de resolver esta ecuación es aplicando las leyes de los
exponentes de la siguiente manera
𝑥 − 49 = 0
Sumando 49 a ambos lados de la ecuación
𝑥 = 49
Elevamos ambos lados de la ecuación al exponente 1/2 que es
equivalente a aplicar una raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación
(𝑥 ) ⁄
= (49) ⁄
o
𝑥 = √49
Lo que conduciría a las mismas soluciones
𝑥 = ±7
Toda raíz cuadrada tendrá una solución positiva y una solución
negativa
𝑥 = 7 𝑥 = −7
Al sustituir estos valores en la ecuación inicial podemos constatar
que ambos valores solucionan o resuelven la ecuación.
Ejemplo 3. Encuentre todas las soluciones de la ecuación por
factorización:
2𝑥(4𝑥 + 15) = 27
Realice la operación indicada al lado derecho de la ecuación
8𝑥 + 30𝑥 = 27
Sume -27 a ambos lados de la ecuación
8𝑥 + 30𝑥 − 27 = 0
Factorice el trinomio
8𝑥 + 30𝑥 − 27 = 0
Observe que al multiplicar 8 *- 27 = - 216, por lo que podemos
factorizar la ecuación si determinamos 2 números que al sumarse nos
den 30 y al multiplicarse nos den – 216, para luego dividir toda la
expresión dentro de 8, escribiéndola de la siguiente manera
(8𝑥 + 36)(8𝑥 − 6)
8
= 0

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Si vemos al sumar 36 y – 6 el resultado es 30 y si multiplicamos 36*6
el resultado es 216, como multiplicamos – 27 *8, dividimos toda la
expresión dentro de este mismo valor para que la igualdad se mantenga
al no alterar algebraicamente la ecuación, como ninguno de los dos
factores es exactamente divisible dentro de 8 podemos operar cada
factor de la siguiente manera
(8𝑥 + 36)
4
∗
(8𝑥 − 6)
2
= 0
(2𝑥 + 9)(4𝑥 − 3) = 0
Podemos comprobar nuestra factorización multiplicando los factores
resultantes entre sí y si la factorización es correcta debe darnos
exactamente la misma ecuación inicial
(2𝑥 + 9)(4𝑥 − 3) = 0
Aplicando la propiedad del producto cero podemos igualar cada uno
de los factores a cero, ya que cuando cualquiera de ellos sea cero el
resultado de la multiplicación será cero también
2𝑥 + 9 = 0 4𝑥 − 3 = 0
Resolviendo las ecuaciones lineales
2𝑥 + 9 = 0 4𝑥 − 3 = 0
2𝑥 = −9 4𝑥 = 3
𝑥 = − 𝑥 =
Al sustituir los valores de x = - 9/2 y x = 3/4 en la ecuación original
podemos comprobar que ambos valores resuelven la ecuación.
Completar el Cuadrado
Si una ecuación cuadrática es de la forma (𝑥 ± 𝑎) = 𝑐, entonces
podemos resolverla al tomar la raíz cuadrada de cada lado. En una
ecuación de esta forma el lado izquierdo es un cuadrado perfecto: el
cuadrado de una expresión lineal en x.
Por lo tanto, si una ecuación cuadrática no se factoriza fácilmente,
entonces podemos resolverla usando la técnica de completar el
cuadrado.
Para ejecutar este procedimiento tenemos que hacer que los términos
𝑥 + 𝑏𝑥 lleguen a ser un cuadrado perfecto, para lo cual se debe sumar
la expresión , que es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
Esto nos permite construir el cuadrado perfecto.
𝑥 + 𝑏𝑥 +
𝑏
2
= 𝑥 +
𝑏
2
Ejemplo 4. Resuelva la ecuación completando el cuadrado:
5𝑥 + 13𝑥 − 6 = 0
Es conveniente primero reescribir la ecuación para que los únicos
términos que contengan x se encuentren en el lado izquierdo, así como
que el coeficiente principal de la ecuación (el coeficiente que
acompaña a la variable elevada al cuadrado) sea 1:
Sumando 6 a ambos lados de la ecuación

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5𝑥 + 13𝑥 = 6
Multiplicando por 1/5 ambos lados de la ecuación
𝑥 +
13
5
𝑥 =
6
5
Completando el cuadrado sumando a ambos lados (13 10
⁄ )
𝑥 +
13
5
𝑥 +
169
100
=
6
5
+
169
100
Ecuación equivalente
𝑥 +
13
10
=
289
100
Aplique raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación
𝑥 +
13
10
= ±
289
100
Sumando – 13/10 a ambos lados de la ecuación
𝑥 = −
13
10
±
17
10
Las soluciones son
𝑥 = −
13
10
+
17
10
=
4
10
=
2
5
𝑥 = −
13
10
−
17
10
= −
30
10
= −3
Al sustituir los valores de x = 2/5 y x = - 3 en la ecuación original
podemos comprobar que ambos valores resuelven la ecuación.
La Fórmula Cuadrática
Podemos usar la técnica de completar el cuadrado para obtener una
fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática general
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
donde 𝑎 ≠ 0, las raíces de la ecuación son
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏 − 4𝑎𝑐
2𝑎
La cantidad 𝑏 − 4𝑎𝑐 que aparece bajo el signo de raíz cuadrada en la
fórmula cuadrática se denomina discriminante de la ecuación 𝑎𝑥 +
𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 y está dada por el símbolo D.
El discriminante nos ofrece la siguiente información
1. Si D >0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
2. Si D = 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.
3. Si D < 0, entonces la ecuación no tiene soluciones reales.
Ejemplo 5. Resuelva la ecuación usando la Ecuación Cuadrática:

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4𝑥 + 81 = 36𝑥
Rescriba la ecuación de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, sumando - 36x a
ambos lados de la ecuación
4𝑥 − 36𝑥 + 81 = 0
En este caso los valores a sustituir en la ecuación cuadrática son 𝑎 =
4, 𝑏 = −36 𝑦 𝑐 = 81
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−36) ± (−36) − (4)(4)(81)
2(4)
𝑥 =
36 ± √0
8
=
36
8
=
9
2
Ya que el discriminante de la ecuación es igual a cero, se dice que tiene
una sola solución o que tiene dos soluciones iguales, siendo las mismas
𝑥 = 𝑥 =
Al sustituir el valor de x = 9/2 en la ecuación original podemos
observar que resuelve la ecuación.
Bibliografía:
1. Stewart, J., Lothar, R., Saleem, W. (2017). Precálculo, Matemáticas
para el cálculo. 7ma Edición. Editorial CENGAGE Learning. México.
2. Swokowski, E., Cole, J. (2006). Álgebra y Trigonometría con
Geometría Analítica. 11va. Edición. Editorial Thomson Learning.
México.