UNIDAD 2 . actividad de matematica, Universidad central del ecuador

7/8/2022
UNIDAD 2
ECUACIONES E INECUACIONES

Contenido:
› Definiciones y principios.
› Clasificación de ecuaciones.
› Ecuación lineal, fraccionaria, y cuadrática.
› Valor Absoluto
› Inecuaciones

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5 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN
Es toda igualdad que se verifica para determinados valores de la variable (soluciones o raíces de la
ecuación). Una ecuación contiene al menos una variable que puede ser remplazado por un número
cualquiera de un conjunto de números diferentes, y las constantes que son números fijos.
• Nunca se permita que en una ecuación haya una variable que tenga un valor para el cual esa ecuación
no esté definida por ejemplo, en
𝑦
Y − 4
= 6 Y no puede ser 4, porque provocaría que el denominador fuese cero.
Mientras que en 𝑥 − 3 = 9, debe cumplirse que x ≥ 3, (No es posible dividir entre cero ni obtener
raíces cuadradas de números negativos).
Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales la ecuación
es verdad. Estos valores se denominan soluciones de la ecuación y se dice que satisfacen la ecuación.
Cuando solo está involucrada una variable, la solución también se conoce como raíz. Al conjunto de
todas las soluciones se le llama conjunto solución de la ecuación.

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Ecuaciones
TERMINOLOGÍA
› X+2=3; la variable x es la incógnita, el
único valor de x que satisface la ecuación
es 1. De aquí 1 sea una raíz y el conjunto
solución sea [1]
ECUACIONES EQUIVALENTES
› Se dice que dos ecuaciones son
equivalentes si ambas tienen las
mismas soluciones, lo que significa
› 4x-5=2x+13 y x+3=12; tiene como
solución x=9

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Clasificación de las ecuaciones

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Otras clasificaciones de las ecuaciones
• Por sus coeficientes: numéricas o literales
• Por sus incógnitas: De 1, 2, 3,…, etc. incógnitas
• Por su grado: Primer grado, segundo grado, …, etc. grado
• Por su número de soluciones:
a) Compatible o consistentes (tienen un número limitado de soluciones)
• Determinado (1,2,3,.. soluciones)
• Indeterminado (Infinitas soluciones).0=0
b) Incompatibles, inconsistentes o absurdas (No tienensolución). 0=3

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✓ Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma expresión numérica o
algebraica definida, se obtendrá otra ecuación equivalente a la primera.
Ejemplo:
5 𝑥 − 5 = 2 𝑥
5 𝑥 − 5 + 5 = 2 𝑥 + 5
✓ Si se multiplica o dividen ambos miembros de una ecuación por una misma cantidad
diferente de cero, da como resultado una ecuación equivalente.
Ejemplo:
𝑥 − 2 = 0
2 𝑥 + 6 = 0
2 𝑥 − 4 = 0
𝑥 + 3 = 0
Principios fundamentales para la
resolución de ecuaciones
✓ Si ambos miembros de una ecuación tienen diferentes factores comunes, no esrecomendable
simplificarlo porque se pueden perder posibles soluciones.

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Incorrecto:
𝑥 − 2 𝑥 + 4 = 5 𝑥 − 2
𝑥 = 1
Correcto:
𝑥 − 2 − 5 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 1
𝑥 + 4
𝑥 − 2
𝑥 = 1 ; 𝑥 = 2
𝑥 + 𝑥 + 5 = 7
𝑥 + 5 = 7 − 𝑥
𝑥 2 − 15𝑥 + 44 = 0
𝑥 2 = 4
𝑥 − 11 𝑥 − 4 = 0𝑥1 = 11 ∨
11 + 11 + 5 = 7 ; 11 + 4 = 7 Falso
4 + 4 + 5 = 7 ; 4 + 3 = 7 Verdadero
✓ Si a ambos miembros de una ecuación se le eleva a una misma potencia, la nueva ecuación conserva las
soluciones anteriores, pudiendo darse el caso que lleve a otra solución más llamada solución extraña.

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✓ Si a ambos miembros de una ecuación se le extrae una misma raíz, la nueva ecuación tiene menos
soluciones que la primera.
2 𝑥 − 1 2 = 9 ; sacando la raíz a ambos miembros
2 𝑥 − 1 2 = 32 ; aquí se está cancelando una solución ya que laecuación
2 𝑥 − 1 = 3
2 𝑥 = 4
𝑥 = 2
es de segundo grado.
La forma correcta es:
2 𝑥 − 1 2 = 9
4 𝑥 2 − 4 𝑥 + 1 − 9 = 0
4 𝑥 2 − 4 𝑥 − 8 = 0
𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0
𝑥 2 = −1
𝑥 1 = 2 ∨ 𝑥 2 = −1
Siendo la solución 𝑥 1 = 2 ó

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Ecuación lineal
DEFINICIÓN
› Una ecuación lineal en la variable x o de
primer grado es una ecuación que puede
escribirse en la forma ax+b=0; donde a y b
son constantes y a≠0.
› Para resolver una ecuación lineal se
realizan operaciones sobre ella hasta
obtener una ecuación equivalente cuyas
soluciones sean obvias, lo que significa
hallar una ecuación en la que la variable
quede aislada en un lado de la ecuación.

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Ecuaciones Lineales
INTERPRETACIÓN
› Si 𝑎 ≠ 0 ^ 𝑏 ≠ 0; se tendrá 𝑥 = − 𝑏
ó 𝑥 = 𝑏
𝑎 𝑎
› Si 𝑎 ≠ 0 ^ 𝑏 = 0; se tendrá 𝑥 = 0 (solución nula)
0
› Si 𝑎 = 0 ^ 𝑏 = 0; se tendrá 𝑥 = 0
(indeterminación)
› Si 𝑎 = 0 ^ 𝑏 ≠ 0; se tendrá 𝑥 = 𝑏
lo que significa que no hay solución o
es
0
una ecuación incompatible o absurda

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Ecuaciones con literales
DEFINICIÓN
› Las ecuaciones en las que algunas de las constantes no están especificadas,
pero están representadas por letras, como a, b, c o d, se llaman ecuaciones
con literales y las letras se conocen como constantes literales. Por ejemplo,
en la ecuación con literales x + a =4b, puede considerarse a y b como
constantes arbitrarias.
› Ejemplo
Interés simple

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Ecuaciones fraccionarias
DEFINICIÓN
› Una ecuación fraccionaria es una ecuación en la que hay una incógnita en
un denominador. En esta sección, se demostrará que al resolver una
ecuación no lineal de este tipo puede obtenerse una ecuación lineal
Ejemplo
1) Resuelva:
5 6
𝑥 − 4
=
𝑥 − 3

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Ecuaciones fraccionarias
NOTA
✓En el primer paso se multiplica a cada lado por una expresión que incluye a la
variable x, esto significa que no se tiene garantía de que la última ecuación
sea equivalente a la original. Así que es necesario verificar si el resultado
satisface o no la ecuación original.
✓Algunas ecuaciones que no son lineales no tienen solución. En ese caso se
deduce que el conjunto solución es el conjunto vacío, que se denota por Ø
✓Ejemplo
Resuelva para x la siguiente ecuación 3 𝑥 + 4
− 3 𝑥 − 5
=
x + 2 x− 4 𝑥 2 − 2 𝑥 − 8
12

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• Cuando una situación debe describirse
matemáticamente, no es raro que surja un
conjunto de ecuaciones, como
1
2
5 𝑥 + 2 𝑦 = 36
8 𝑥 − 3 𝑦 = −54
Sistemas de Ecuaciones
• A este conjunto de ecuaciones le llamamos
sistema de dos ecuaciones lineales en las
variables (o incógnitas) x e y. La solución
consiste en encontrar los valores x e y para
las cuales las dos ecuaciones sean verdaderas
de manera simultánea. Estos valores se
llaman soluciones del sistema.
• Como las ecuaciones (1) y (2) son lineales,
sus gráficas son líneas rectas; llamémoslas L y
L2, si éstas se dibujan en el mismo plano,
existen tres posibles situaciones:

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21 Posibles situaciones al resolver un sistema
L1
L2
(xo ;yo)
L2
L1
El sistema es consistente y las ecuaciones son El sistema es Inconsistente. No hay solución.
Independientes. Tiene exactamente una solución.

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Posibles situaciones al resolver un sistema
El sistema es Consistente pero las ecuaciones son
dependientes. Tienen Infinitas Soluciones
L1
L2
En general un sistema de ecuación
puede tener soluciones (compatible) o
no tenerlo (Incompatible). Los sistemas
compatibles pueden tener una solución
(Determinado) o infinitas soluciones
(Indeterminado).

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Métodos de solución
IGUALACIÓN
SUSTITUCIÓN
› Despejar una de las variables de una de
las ecuaciones y reemplazar el resultado
en la otro ecuación.
SUMA Y RESTA
› Determine la variable a eliminar en las
ecuaciones,; multiplique cada ecuación por
el valor numérico de la otra, de ser
necesario cambiando el signo y sume en
forma vertical.
Despejamos una misma variable
de las dos ecuaciones e
igualamos sus valores,
encontrando de esta forma el
valor de la una variable con la
cual sustituiremos su valor en
cualesquiera de las ecuaciones
para hallar el valor de la otra
variable.

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Ejercicio aplicativo
DETERMINARLASOLUCIÓN DELSISTEMAPORLOS 3 MÉTODOS
1
2
5 𝑥 + 2 𝑦 = 36
8 𝑥 − 3 𝑦 = −54

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Sistemas de ecuaciones con 3 variables
PASOSPARARESOLVERLO
➢Para la solución de sistemas de tres
ecuaciones y tres incógnitas utilizamos el
conocimiento en la solución de sistemas
de 2 ecuaciones.
➢Elija que variable va a eliminar y trabaje
combinando las ecuaciones, por ejemplo,
la (1) con (2) o (1) y (3) o (2) y (3).
➢Ahora tiene 2 ecuaciones con dos
incógnitas con las mismas variables,
elimine una de ellas y el proceso es
similar al de dos variables

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Tarea 14
RESOLVERLOS SIGUIENTES SISTEMASDEECUACIONES

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Ejercicios en clase
RESOLVERLOS SIGUIENTES SISTEMASDEECUACIONES

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28 Tarea 15
1)Telas Una fábrica textil produce telas elaboradas a partir de diferentes fibras. El propietario necesita
producir una tela que cueste $3.25 por libra con algodón, poliéster y nylon. El costo por libra de estas
fibras es de $4.00, $3.00 y $2.00, respectivamente. La cantidad de nylon debe ser la misma que la de
poliéster. ¿Cuánto de cada fibra debe tener el producto final? R. 0,5 lb de algodón, 0,25 de poliéster,
0,25 de nylon.
2)Venta de muebles Un fabricante de comedores produce dos estilos: americano antiguo y
contemporáneo. Por su experiencia, la gerencia ha determinado que pueden venderse 20% más
comedores del estilo americano antiguo que del contemporáneo. Cada venta de un americano antiguo
reporta una utilidad de $250, mientras que se gana $350 en cada contemporáneo. Si para el año próximo
la gerencia desea una ganancia total de $130 000, ¿cuántas unidades de cada estilo deben venderse? R.
240, 200
3)Costo de igualación United Products Co. fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton
y Whyton. En de Exton, los costos fijos son de $7000 al mes, y el costo de producir cada calculadora es
de $7.50. En la planta de Whyton, los costos fijos ascienden a $8800 al mes y la producción de cada
artículo cuesta $6.00. Para el mes que viene United Products necesita 1500 calculadoras. ¿Cuántas debe
producir cada planta si el costo total en cada una debe ser el mismo? R. 800 de Exton y 7000 de whyton
.

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Ecuación de segundo grado
DEFINICIÓN
› Una ecuación
variable x es
cuadrática en la
una ecuación que
a, b y c son
FORMADERESOLVER
› Un método útil para resolver
ecuaciones cuadráticas se basa en la
factorización o en caso de que no
sea posible se puede recurrir a la
regla de Ruffini o a la formula
general.
puede escribirse de la forma
𝐚 𝐱 𝟐 +
𝐛 𝐱 + 𝐜 ; donde
constantes y 𝑎 ≠ 0.
› .
Ejemplo 1:
𝒙 𝟐 + 𝟑 𝟑 − 𝒙 = 𝟑
𝑥 =
− 𝑏 ± 𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐
2

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30
Ecuación con radicales
DEFINICIÓN
› Una ecuación con radicales es
aquélla en la que una incógnita
aparece en un radicando. Los dos
ejemplos siguientes ilustran las
técnicas empleadas para resolver
tales ecuaciones.
FORMADERESOLVER
› Para resolver esta ecuación radical,
se elevan ambos lados a la misma
potencia para eliminar el radical.
Esta operación no garantiza la
equivalencia, de modo que es
necesario verificar las “soluciones”
resultantes
Ejemplo 1:
𝒙 𝟐 + 𝟑 𝟑 − 𝒙 = 𝟑

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31 Tarea 16 Ecuaciones cuadráticas

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33
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
ECUACIÓN EXPONENCIAL
› En una ecuación exponencial la
incógnita aparece en un exponente,
como en 23 𝑥 = 7.
› Para su resolución es necesario
recordar las propiedades de
potenciación.
RECUERDAQUE:
› Dos potencias con la misma base
son iguales si, y solamente si, sus
exponentes son iguales.
› Se puede extraer factor común para
simplificar su resolución.
› Se puede aplicar un cambio de
variable.

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35
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
ECUACIÓN LOGARÍTMICA
› Incluye al logaritmo de una
expresión que contiene una
incógnita. Por ejemplo, 2 ln (x + 4)
= 5 es una ecuación logarítmica
› El número de sistemas de logaritmos
es infinito, pero solo se estudian dos
como los más notables; el decimal y
neperiano.

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36
Ecuación logarítmica
DEFINICIÓN
› Como 𝑦 = 𝑎 𝑥 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 es
una función uno a uno, tiene en
consecuencia una función inversa. La
función logarítmica es una función de la
forma:
› y= Potencia (Número Real y Positivo);
a= Base del Logaritmo;
x= Logaritmo (resultado); x es el exponente
al que se eleva la base a para obtener “y”.
› El logaritmo de un número es una base
dada, positiva y distinta de la unidad, es el
exponente al cual debe elevarse la base
para obtener dicho número.

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37 Sistemas logaritmos
SISTEMA DE LOGARITMO DECIMAL
› El número de sistemas de logaritmos es
infinito, pero solo se estudian dos como
los más notables; el decimal y neperiano.
• Utiliza como base el número “10”
› log10 𝑁 = log 𝑁
SISTEMAS DE LOGARITMOS NEPERIANOS.
› El sistema de logaritmos neperianos,
naturales o hiperbólicos tienen como base
el numero trascendente “e”, donde e=
2,71828,…; loge N= ln N.

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Propiedades Generales
• No existe logaritmo de un número negativo log3 −7 = 𝑛 𝑜
𝑒 𝑥 𝑖 𝑠 𝑡 𝑒
• No existe logaritmo de una base negativa log(−3) 9 = 𝑛 𝑜
𝑒 𝑥 𝑖 𝑠 𝑡 𝑒
• No existe logaritmo si la base es la unidad log1 8 = 𝑛 𝑜 𝑒 𝑥 𝑖 𝑠 𝑡 𝑒
Propiedades particulares base: b>1
• Si un número real es mayor que 1; su logaritmo es positivo:
• Si un número es menor que 1; pero mayor que cero, su logaritmo es negativo
• Logaritmos de base: b=10

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Propiedades particulares logaritmos
PROPIEDADES PARTICULARES BASE:
0< B <1
• Si un número real es mayor que 1; su
logaritmo es negativo:
• Si un número es menor que 1; pero mayor
que cero, su logaritmo es positivo

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Propiedades Operativas

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41 Ejercicios
RESOLVER LAS SIGUIENTES
ECUACIONES LOGARÍTMICAS.
› a) 3𝑥 + 4 = 21 − 3 𝑥
R. -1.16
2
›
4 𝑥 + 6
b) log 𝑥 +1
= 2 𝑥 − 3 R. 3/2
› c) log 𝑥 3 − 9 = 2 R. 21,6
› d) 𝑥 𝑙 𝑜 𝑔 𝑥 = 108 R. 104
› e) log2 4 𝑥 + 4 = 𝑥 + log2 2𝑥 + 1 R. x=2

EJERCICIOS RELACIONADOS A LA
ECONOMÍA
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› Costo fijo es la suma de todos los
costos que son independientes
del nivel de producción, como
renta, seguros, etc. Este costo
debe pagarse independientemente
de que la compañía produzca o
no. Costo variable es la suma de
todos los costos dependientes
del nivel de producción, como
mano de obra y materiales. Costo
total es la suma de los costos
variable y fijo:
› costo total = costo variable +
costo fijo
MSC.GUTSAVO HERMOSA

› Ingreso total es el dinero que
un fabricante recibe por la
venta de su producción:
› ingreso total
unidad)(número
vendidas)
= (precio por
de unidades
› Utilidad es el ingreso total
menos el costo total: utilidad
= ingreso total − costo total
› La Formula para calcular la
utilidad de un producto es:
› % Ut= (PVU-CTU)/PVU

Problemas aplicados a la economía
1)Impuesto de venta Un agente de ventas necesita calcular el costo de un artículo cuyo impuesto
de venta de 8.25%. Escriba una ecuación que represente el costo total c de un artículo que cuesta x
dólares
2)Depreciación lineal Si usted compra un artículo para uso empresarial, puede repartir su costo
entre toda la vida útil del artículo cuando prepare la declaración de impuestos. Esto se denomina
depreciación. Un método de depreciación es la depreciación lineal, en la cual la depreciación anual
se calcula al dividir el costo del artículo, menos su valor de rescate, entre su vida útil. Suponga que
el costo es C dólares, la vida útil es N años y no hay valor de rescate. Entonces el valor V (en
dólares) del artículo al final de n años está dado por 𝑣 = 𝐶 1 − 𝑛
.Si el mobiliario nuevo de una
oficina se compró por $3200, tiene una vida útil de 8 años y no tiene valor de rescate, ¿después de
cuántos años tendrá un valor de $2000?

3)Utilidad. La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es
de $6 y el costo fijo de $80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el
número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de $60,000
4) Inversión Se invirtió un total de $10,000 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del
primer año, A y B tuvieron rendimientos de 6% y 53% %, respectivamente, sobre las inversiones
4
originales. ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de
$588.75?
5) Negocios Suponga que los clientes comprarán q unidades de un producto cuando el precio sea
de (80 − q)/4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso por ventas
sea de $400?

6) El ingreso mensual de cierta compañía está dado por R = 800p − 7p2, donde p
es el precio del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso
será de $10 000 si el precio debe ser mayor de $50?
7) Negocios Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada
unidad de A es
 $2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son $1500 y $1000,
respectivamente, y se
 producen 25 unidades más de A que de B. ¿Cuántas unidades de cada
producto sefabrican?
8) Punto de equilibrio. Un fabricante de juegos de video, vende cada copia en
$21.95. El costo de fabricación de cada copia es de $14.92. Los costos fijos
mensuales son de $8500. Durante el primer mes de ventas de un juego nuevo,
¿cuántos debe vender para llegar al punto de equilibrio (esto es, para que el
ingreso total sea igual al costo total)?
9) Retiro de bonos En tres años, una compañía requerirá de $1 125 800 con el fin de
retirar algunos bonos. Si ahora invierte $1 000 000 para este propósito, ¿cuál debe
ser la tasa de interés, compuesta anualmente, que debe recibir sobre este capital
para poder retirar los bonos?

7/8/2022
49
INTERÉS COMPUESTO
› Las funciones exponenciales están
implicadas en el interés
compuesto, en el cual el interés
que genera una cantidad de dinero
invertida (o capital), se invierte
nuevamente de modo que también
genere intereses. Es decir, el interés
se convierte (o compone) en capital
y, por lo tanto, hay “interés sobre
interés”.
EJEMPLO
› Por ejemplo, suponga que se invierten
$100 a una tasa de 5% compuesto
anualmente. Al final del primer año, el
valor de la inversión es el capital original
($100), más el interés sobre el capital
[100(0.05)]:
› Ésta es la cantidad sobre la cual se genera
el interés para el segundo año. Al finaldel
segundo año, el valor de la inversión es el
capital del final del primer año ($105),
más el interés sobre esa cantidad
[105(0.05)]:
S=𝑃 1+𝑟𝑛
Aplicaciones de ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.

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Ejemplo
 › Suponga que se invierten $1000
durante 10 años al 6% compuesto
anualmente.
 › Encuentre el monto compuesto.
 › Solución: Se utiliza la ecuación (1)
donde P = 1000, r = 0.06 y n = 10:
 › S = 1000 1 + 0,0610=$1790.85
› Encuentre el interés compuesto.
› Solución: Con el uso de los
resultados del inciso (a), se tiene
interés compuesto = S - P
› = 1790.85 - 1000 = $790.85

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51
Tarea 19
1. La población de una ciudad de 10,000 habitantes crece a razón de 2% anual. Encuentre la población
dentro de tres años.
2. Planificación de servicio de agua potable. En la actualidad la ciudad de Quito (2015) tiene una
población de 2´350.000 habitantes, se ha determinado estadísticamente que la población crecerá a
razón del 1.7% anual. De los estudios actuales se desprende que el consumo de agua potable es de
150 litros/habitante por día. Determine la cantidad de metros cúbicos de agua por cada día
necesarios para el año 2025.
3. Capital Encuentre el tiempo para que un capital de $25.000 se transforme en $30.000 con una tasa
de interés del 5% capitalizable semestralmente.
4. Inversión Se compra un certificado de depósito por $6500 y se conserva durante seis años. Si gana
4% compuesto trimestralmente, ¿cuál es el valor del certificado al cabo de seis años? R. $8253.28
5. Población A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye arazón
de 1.5% anual. Al inicio había 350 000 habitantes. ¿Cuántos habrá después de tres años? Dé su
respuesta al entero más cercano. R. 334,485
6. Inversión Si se invierten $2500 en una cuenta de ahorros que genera interés a 4.3% compuesto
anualmente, ¿después de cuántos años completos la cantidad al menos se duplicará? R. 3
7. Inversiones Encuentre el monto compuesto de una inversión de $4000 durante cinco años a una tasa
de 11% compuesto mensualmente.

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53 Inecuaciones
DESIGUALDAD
› Es la relación que establece que dos
cantidades tienen diferente valor. Los
signos que se utilizan para designar
desigualdades son:
› Las desigualdades que no incluyen el signo
igual se denominan estrictas y las que lo
incluyen se denominan no estricta

7/8/2022
54
Propiedades desigualdades

7/8/2022
56
Tipos de desigualdades
DESIGUALDAD ABSOLUTA
DESIGUALDAD CONDICIONAL
Es una desigualdad que se verifica para determinados valores que se den en la
variable.
2x – 7 > 1; x > 4 ; se verifica para todos los valores mayores que 4

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60
Tipos de desigualdades
DESIGUALDAD LINEAL
› Una desigualdad lineal puede
expresarse en la forma: ax+b<0 o
con la solución no es única, sino
un conjunto de valores
representados por un intervalo.
› Para su resolución se considera si
la desigualdad es estricta o no
estricta para determinar el tipo de
intervalos en la solución de la
siguiente manera
DESIGUALDAD CUADRÁTICA
› Donde 𝑎 ≠ 0 𝑦 a,b,c ∈ ℜ
› Para su resolución se aplica el
método del diagrama de signos o
de los puntos referenciales.

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63
Nota
Raíces de multiplicidad Par o Impar
Al descomponer en factores el polinomio puede darse el caso
de que algunos factores se repitan (raíz múltiple), en cuyo caso
se debe considerar la siguiente regla:
a) Si se repite un número par de veces (multiplicidad par), los
signos en los intervalos situados a ambos lados de la raíz o
puntos críticos son iguales.
b) Si se repite un número impar de veces (multiplicidad impar)
los signos en los intervalos situados a ambos lados de la raíz
son diferentes.

7/8/2022
64 Inecuaciones fraccionarias
Para su resolución se debe proceder a factorizar el numerador y denominador,
cada factor se debe igualar a cero y obtener los puntos críticos, es importante
recordador que los puntos críticos del denominador deben ser valor abiertos en
la recta de valores.

7/8/2022
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Valor absoluto
DEFINICIÓN
› El valor absoluto de un número
real “a”, se denota así | a | y es la
distancia, en una recta numérica,
desde el origen al punto cuya
coordenada es “a”.

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71
Propiedades del valor absoluto

7/8/2022
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MÉTODO DE REGIONES
› Cuando se tiene dos o más valores absolutos
lineales y no se puede aplicar las propiedades
es útil recurrir al método de regiones
Desigualdad (d > 0) Solución
|x| < d - d < x < d
|x| ≤ d - d ≤ x ≤d
|x| > d x < -d ó x > d
|x| ≥ d x ≤ -d ó x ≥d
Soluciones de desigualdades lineales
con valor absoluto

7/8/2022
74
Inecuaciones irracionales
TEOREMAS:
Tarea 27

UNIDAD 2 . actividad de matematica, Universidad central del ecuador

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