Resolución de Actividad Obligatoria 3B

1. CURSO DE INDUCCIÓN FCA 2017
NMIS
CLASE Nº 3 – UNIDAD Nº 2
Actividad obligatoria 3B
Alumno
 Diego Alejandro Segovia
Consigna
 Resolver paso a paso cuatro actividades de proceso (AP) del material de lectura obligatorio para esta clase.
Elíjalos de manera salteada así cubre diferentes técnicas. Los AP enlistados (y dentro de los cuales hará la
selección) son: 25 a 31 incluidos; 33 a 39 incluidos, 41, 43 a 48 incluidos.
Respuesta
AP 29 (c)
Se trata de hallar el valor de la letra desconocida "x" (que representa un número real desconocido rotulado o llamado
"x") en la igualdad con estructura de ecuación:
ln(3𝑥 + 7)3
= 2 ln (9𝑥 + 21) − ln32
Lo primero que debemos señalar y explicitar es la restricción, es decir, para que esta ecuación tenga solución, y
como involucra logaritmos, las bases tienen que ser positiva y distinta de 1 (en este caso se cumple porque sus
bases son el número e) y sus argumentos tienen que ser positivo; caso contrario los logaritmos no devuelven
números reales:
3𝑥 + 7 > 0 ⇒ 𝑥 > −
7
3
∧ 9𝑥 + 21 > 0 ⟹ 𝑥 > −
21
9
⇒ 𝑥 > −
7
3
Concluimos, de este análisis, que para que esta ecuación tenga solución la letra (que representa un número real
desconocido), debe ser mayor a -7/3.
Segundo paso; como tenemos una ecuación no lineal donde el dato desconocido o incógnita es el argumento del
logaritmo usamos sus propiedades. En este caso, en la ecuación citada aparece en distintos términos la misma base
del logaritmo.
- Aplicando propiedad: 𝑎 log 𝑐 𝑏 = log 𝑐 𝑏 𝑎
ln(3𝑥 + 7)3
= ln (9𝑥 + 21)2
− ln 32
ln(3𝑥 + 7)3
+ ln32
= ln (9𝑥 + 21)2
- Aplicando propiedad: log 𝑐 𝑎 + log 𝑐 𝑏 = log 𝑐 𝑎𝑏
ln[(3𝑥 + 7)3
∗ 32
] = ln (9𝑥 + 21)2
- Aplicando propiedad: log 𝑐 𝑓(𝑥) + log 𝑐 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓( 𝑥) = 𝑔(𝑥)
(3𝑥 + 7)3
∗ 32
= (9𝑥 + 21)2
9(3𝑥 + 7)3
= (9𝑥 + 21)2
243𝑥3
+ 1701𝑥2
+ 3969𝑥 + 3087 = 81𝑥2
+ 378𝑥 + 441
243𝑥3
+ 1701𝑥2
+ 3969𝑥 + 3087 − 81𝑥2
− 378𝑥 − 441 = 0

2. CURSO DE INDUCCIÓN FCA 2017
NMIS
243𝑥3
+ 120𝑥2
+ 3591𝑥 + 246 = 0
27(9𝑥3
+ 60𝑥2
+ 133𝑥 + 98) = 0
27 ( 𝑥 + 2)(3𝑥 + 7)(3𝑥 + 7) = 0
27 ( 𝑥 + 2)(3𝑥 + 7)2
= 0
- Luego aplicamos la propiedad de la multiplicación por cero
𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥 = −2
3𝑥 + 7 = 0 ⇒ 𝑥 = −
7
3
Finalmente, como la restricción indica que x > -7/3, la solución final de la ecuación es x = -2
AP 31 (e)
Se trata de hallar el valor de la letra desconocida "x" (que representa un número real desconocido rotulado o llamado
"x") en la igualdad con estructura de ecuación:
x − 5
𝑥 + 5
= 0
Lo primero que debemos señalar y explicitar es la restricción, es decir, para que esta ecuación que tiene la incógnita
formando parte del denominador de una fracción, existirá una solución siempre y cuando no sea nulo. Identificamos
para qué valor es nulo resolviendo una ecuación lineal.
x + 5 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −5
Concluimos, de este análisis, que para que esta ecuación tenga solución la letra (que representa un número real
desconocido), debe ser diferente de -5.
Segundo paso, planteamos el concepto de igualdad entre dos números racionales y allí terminamos de explicitar la
variable al resolver otra ecuación lineal.
Recordemos que, un cociente es nulo si el denominador NO se anula y el numerador SÍ. Esto implica resolver dos
ecuaciones lineales que deben verificarse en forma simultánea:
x − 5 = 0 ∧ 𝑥 + 5 ≠ 0 ⟹ 𝑥 = +5 ∧ 𝑥 ≠ −5
Finalmente, como la restricción indica que x ≠ -5, la solución final de la ecuación es x = +5.
AP 38 (e)
Se trata de hallar el valor de la letra desconocida "x" y construir, a partir del producto, la forma general de la ecuación
cuadrática:
( 𝑥 − 9)( 𝑥 + 9) = 0
Lo primero que debemos señalar y explicitar es la ecuación no presenta restricción alguna al tratarse de una
ecuación polinómica algebraica.
Segundo paso, aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación:

3. CURSO DE INDUCCIÓN FCA 2017
NMIS
𝑥2
+ 9𝑥 − 9𝑥 − 81 = 0
𝑥2
+ 0𝑥 − 81 = 0
Utilizamos la fórmula de Baskara:
𝑋1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−0 ± √02 − 4 ∗ 1 ∗ (−81)
2 ∗ 1
=
±√324
2
=
±18
2
⟹ 𝑥1 = +9 ∧ 𝑥2 = −9
Finalmente, la solución final de la ecuación es 𝑥1 = +9 𝑦 𝑥2 = −9 y, fórmula general es 𝑥2
+ 0𝑥 − 81 = 0.
AP 44 (b)
Se trata de hallar el valor de la letra desconocida "t" en la igualdad con estructura de ecuación:
√𝑡 + 5 − √𝑡 − 1 = 0
Lo primero que debemos señalar y explicitar es la restricción, es decir, para que esta ecuación tenga solución, y
como involucra una raíz par, el radicando sea mayor o igual a 0, caso contrario, la raíz par (2 en este caso) no
devuelve un número real.
{ 𝑡 + 5 ≥ 0 ⟹ 𝑡 ≥ −5
𝑡 ≥ 0
} ⇒ 𝑡 ≥ 0
Concluimos, de este análisis, que para que esta ecuación tenga solución la letra (que representa un número real
desconocido), debe ser mayor o igual a 0.
Segundo paso; La idea será dejar UN signo de raíz como ÚNICO término del miembro izquierdo de la igualdad:
Por definición de raíz cuadrada: √𝑡 + 5 − √𝑡 − 1 = 0 ⇒ √𝑡 + 5 = 1 + √𝑡 𝑠𝑖 𝑡 + 5 = (1 + √𝑡)2
Llevamos a la forma general la ecuación: 𝑡 + 5 = 1 + 2√𝑡 + 𝑡
0 = −4 + 2√𝑡
Resolvemos la ecuación formada: 4 = 2√𝑡 ⇒ 2 = √𝑡 ⇒ 22
= 𝑡 ⇒ 𝑡 = 4
Finalmente, la solución final de la ecuación es t = 4.