Cuadernomateiii

CUADERNO DE EJERCICIOS DE MATEMATICAS III
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA
AGOSTO 2005
ITAM,DM-A-94.1
1

En la presente edición se ha tenido el mismo propósito de la edición anterior de apoyar a los
alumnos en la aplicación del Algebra Lineal en sus respectivas áreas de estudio.
Yolanda I. Pretelin Muñoz de Cote
2

PREFACIO
Éste es un cuaderno de apoyo para el curso de Matemáticas III. Se trata de una recopilación de
ejercicios y aplicaciones cuyo propósito es enriquecer el material del curso. La disposición de los
temas obedece al orden del temario y al final de cada capítulo se encuentran las soluciones de los
problemas.
Este trabajo es el resultado de un esfuerzo conjunto del Departamento Académico de
Matemáticas. Cabe decir que en él las pretensiones de originalidad son nulas, y que agradecemos
siempre las correcciones y comentarios que maestros y alumnos nos hacen llegar.
Trinidad Martínez Cornejo preparó esta edición del cuaderno y a ella le agradecemos su excelente
trabajo.
Patricia Souza
3

MATEMATICAS III
1. GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
1.1 Vectores. Representación geométrica.
1.2 Suma de vectores. Producto de un escalar por un vector.
Interpretación geométrica. Propiedades de las operaciones.
1.3 Producto punto. Norma. Vectores ortogonales.
1.4 Ecuaciones paramétrica y normal de la recta.
1.5 Ecuaciones paramétrica y normal del plano.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 y 3 x 3.
Interpretación geométrica.
2.2 Eliminación gaussiana y de Gauss-Jordan en sistemas de mxn.
Pivotes. Grados de libertad.
2.3 Planteamiento de problemas. Modelo de Leontief de insumo-producto.
*2.4 Sistemas homogéneos. Análisis de las soluciones de un sistema homogéneo.
Sistemas no homogéneos y sistemas homogéneos asociados. Forma paramétrica
de las soluciones.
3. ALGEBRA DE MATRICES
3.1 Suma de matrices. Producto de un escalar por una matriz. Propiedades de las
operaciones.
3.2 Producto de matrices. Propiedades.
3.3 Matrices particulares: diagonales, triangulares, simétricas, y elementales.
Transpuesta de una matriz. Propiedades.
3.4 Inversa de una matriz. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de operaciones
elementales Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales nxn.
* 3.5 La matriz de incidencia de una gráfica dirigida.
4. DETERMINANTES
4.1 Concepto y desarrollo por cofactores.
4.2 Propiedades de los determinantes.
4.3 Matriz adjunta. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de la matriz adjunta.
4.4 Regla de Cramer.
5. EL ESPACIO VECTORIAL Rn
5.1 Vectores en Rn
. Suma de vectores. Producto de un escalar por un vector.
Propiedades de las operaciones.
5.2 Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Ejemplos.
4

5.3 Combinación lineal de un conjunto de vectores. Dependencia e independencia lineal.
Bases y dimensión. Interpretación geométrica.
*5.4 Rango y nulidad, espacio nulo, espacio de los renglones y espacio de las columnas de
una matriz.
6. ORTOGONALIDAD
6.1 Producto punto en Rn
. Norma. Vectores ortogonales.
6.2 Proyección sobre un vector.
6.3 Proyecciones y el método de mínimos cuadrados. Ajuste de rectas, planos y
polinomios.
6.4 Ecuación normal de un hiperplano. Poliedros en Rn
.
7. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
7.1 Problemas de programación lineal en dos variables. Análisis gráfico.
7.2 Programas lineales de maximización y de minimización en forma canónica y en
forma estándar.Variables básicas y no básicas. Variables de holgura.
7.3 Método Simplex.
7.4 Planteamiento y solución de programas lineales.
* 7.5 Problema general de Programación Lineal. Método de las dos fases.
7.6 Dualidad.
* 7.7 Introducción al análisis de sensibilidad.
8. VALORES Y VECTORES PROPIOS
8.1 Definiciones. Polinomio característico. Cálculo de valores y vectores propios.
8.2 Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio.
8.3 Diagonalización de matrices.
8.4 Cadenas de Markov.
5

BIBLIOGRAFIA
TEXTO
S. GROSSMAN ”Álgebra Lineal con Aplicaciones” McGraw - Hill, 5a. edición 1996.
REFERENCIAS
1. J.ARYA & R. LARDNER "Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía"
Prentice - Hall Hispanoamericana, 4a. edición, 2002.
2. G. EPPEN, F. GOULD, C.SCHMIDT "Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa", Prentice - Hall Hispanoamericana, 5a. edición, 2000.
3. F. FLOREY "Fundamentos de Álgebra lineal y Aplicaciones"
Prentice - Hall Hispanoamericana, 1987.
4. J. FRALEIGH & R. BEAUREGARD "Álgebra lineal" Addison - Wesley Iberoamérica,
1989.
5. H. GERBER "Álgebra Lineal" Grupo Editorial Iberoamérica, 1992.
6. R. MORONES "Programación Lineal. El Método de Dos Fases en el Simplex"
ITAM, 1991.
7. E.F.HAEUSSLER, JR. & R.S. PAUL "Matemáticas para Administración y
Economía"-Prentice Hall.10a. edición 2003
6

1. GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
1.1 Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas:
a) u = 1,2
b) v = −3,1/4
c) w = 0,0
d) x = 2,1
e) y = −5,−2/3
f) z = 0,−8/5
1.2 Grafique los siguientes segmentos dirigidos en un sistema de coordenadas cartesianas:
a) AB donde A = 2,4 y B = 4,0
b) CD donde C = 0,0 y D = −3,−1/2
c) EF donde E = 0,3 y F = −1,3
d) PQ donde P = 1/3,−5 y Q = 2,−1
e) RS donde R = 6,7 y S = 6,7
1.3 Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas. (observe que,
debido a la perspectiva, el resultado dependerá de cómo dibujemos los ejes coordenados):
a) u = 0,0,3
b) v = 2,0,−1
c) w = 1,5,3
d) x = −2,−6,−1
e) y = 0,8,0
f) z = −5,0,0
1.4 Grafique los siguientes segmentos dirigidos en un sistema de coordenadas cartesianas:
a) AB donde A = 2,4,0 y B = 4,3,1
b) CD donde C = 0,0,0 y D = 0,−2,5
c) EF donde E = 4,0,0 y F = 4,1,2
1.5 Efectúe los cálculos indicados cuando u =  1
4
,3,v = 0,5 y w = −2,1.
a) u + v
b) 4w
c) −2v
d) 0u
e) v − 2w
f) w − 3
2
v + 2u
g) u + 0
7

1.6 Efectúe los cálculos indicados cuando x = 0,− 1
3
,5, y = 2,0,−7 y .z = −1, 4
5
,0
a) x + y
b) 3z
c) −x
d) 0y
e) x + y − 2z
f) 2x − y + 0
1.7 Encuentre dos números a, b tales que 3, 1
4
 + a,b = 0,0
1.8 Encuentre un escalar α tal que
a) α2,3 = 5, 15
2
 b) α1,2,3 =  3
2
,3,9
1.9 Si x = 1,−2,3 y y = 0,1/5,−4, encuentre un vector z tal que
a) 3x + 2z = y b) 2x + y − 1
3
z = 0
1.10 Calcule los vectores asociados a los segmentos dirigidos de los ejercicios 1.2 y 1.4.
1.11 Efectúe los cálculos indicados cuando u = 1,2,v = 3,1, w = −2,0 y x = −2,1.
Observe que algunos cálculos se pueden simplificar usando las propiedades de producto punto.
a) v ⋅ v
b) u ⋅ x
c) u + v ⋅ w
d) u + v ⋅ 3w
e) u ⋅ 0
f) u + v ⋅ x − 1
3
w
g) v − u ⋅ v/u ⋅ uu
1.12 Efectúe los cálculos indicados en el ejercicio anterior si ahora u = 1,2,3,
v = −2,0,1, w = 0,4,0 y x = −3,2,1.
1.13 Calcule la norma de los siguientes vectores:
a) 3,4
b)  1
2 2
,− 1
2 2

c) 2,0,1
d) −3,0,0
e) −1/ 2
6 ,2/ 2
6 ,1/ 2
6 
8

1.14 Describa geométricamente los siguientes conjuntos de vectores:
a) xεR2
∣∥ x ∥= 1
b) xεR3
∣∥ x ∥= 1
c) x,yεR2
∣ xy = 0
d) x,y,zεR3
∣ xyz = 0
1.15 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de las rectas que pasan por los puntos
dados. Observe que hay muchas maneras de dar la ecuación pedida.
a) 1/2,0 y 2,7
b) 1.3/4 y 1,−3
c) 0,2,7 y 1,2,−3/4
d) 1,−3,5 y −3,2,7
1.16 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de la recta que:
a) Pasa por el punto 1,2 y es paralela a la recta X = 0,1 + t2,3.
b) Pasa por el origen y es paralela a la recta X = −2,0,1/3 + s1,2,4.
c) Pasa por 1,−2,3/7 y es paralela al eje Y.
1.17 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de la recta que pasa por el punto dado
y es perpendicular a la recta dada:
a) 2,4,X =  2
5 ,π + t1,−3 b) 0,5,X =  1
301
,e + t7,2
1.18 Halle la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la
recta dada:
a) −3,2,X =  2
2 ,4 + t2,−1 b) 0,0 , X = 2,8 + s1,−1
1.19 Halle la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta
dada:
a) −3,2,X =  2
2 ,4 + t2,−1 b) 0,0 ,X = 2,8 + s1,−1
1.20 Halle la ecuación vectorial paramétrica del plano X = A + su + tv que pasa por los puntos
dados. Observe que hay muchas maneras de dar la ecuación pedida.
a) 1,2,−5,0,0,0 y 2,1/3,6
b) 1,2,4,1/7,0,2/3 y 1,0,0
c) −2,6,1, 0,0,5 y 2,0,−6
1.21 Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto dado y es perpendicular a la
9

recta dada:
a) 0,0,0,X = 1,0, 2
7  + s1,3,−6
b) 2,3,0 , eje Y
c) 1,−3,2 , X = 2,e,1 + t1,3,−6
d) 1/2,2,9,X = 1,0,−2 + r1,1,−3
1.22 Encuentre la ecuación cartesiana del plano cuya normal es paralela a la recta
X = 1,3,−1 + s1,−3,5 y que pasa por el punto 2,−4,0.
1.23 Encuentre la ecuación vectorial paramétrica de la recta que es ortogonal al plano
2x − 3y + 5z = 8 y que pasa por el punto 2,0,−5.
1.24 Encuentre la ecuación vectorial paramétrica del plano que contiene a las rectas
X = 1,0,5 + t1,0,0, Y = 1,0,5 + s0,4,2
10

SOLUCIONES
1.1
a) u = 1,2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
b) v = −3,1/4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
c) w = 0,0 ; no tiene representación.
(0,0)
11

d) x = 2,1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
e) y = −5,−2/3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
f) z = 0,−8/5
12

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
1.2
a) AB donde A = 2,4 y B = 4,0; B − A = 4 − 2,0 − 4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
13

b) CD donde C = 0,0 y D = −3,−1/2; D − C = −3 − 0,−1/2 − 0
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
c) EF donde E = 0,3 y F = −1,3; F − E = −1 − 0,3 − 3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
14

d) PQ donde P = 1/3,−5 y Q = 2,−1; Q − P = 2 − 1/3,−1 − −5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
e) RS donde R = 6,7 y S = 6,7;S − R = 6 − 6,7 − 7
(0,0)
1.3
a) u = 0,0,3
15

b) v = 2,0,−1
c) w = 1,5,3
16

d) x = −2,−6,−1
e) y = 0,8,0
17

f) z = −5,0,0
1.4
a) AB donde A = 2,4,0 y B = 4,3,1;B − A = 4 − 2,3 − 4,1 − 0
18

b) CD donde C = 0,0,0 y D = 0,−2,5;D − C = 0 − 0,−2 − 0,5 − 0
c) EF donde E = 4,0,0 y F = 4,1,2;F − E = 4 − 4,1 − 0,2 − 0
1.5
a) 1/4,8 b) −8,4 c) 0,−10
d) 0,0 e) 4,3 f) −3/2,−1/2
g) 1/4,3
1.6
a) 2,−1/3,−2 b) −3,12/5,0 c) 0,1/3,−5
19

d) 0,0,0 e) 4,−29/15,−2 f) −2,−2/3,17
1.7 a = −3, b = −1/4
1.8 a) α = 5/2
b) No es posible encontrar tal escalar porque al igualar las coordenadas obtenemos que α
debe valer simultáneamente 3/2 y 3.
1.9 a) −3/2,31/10,−13/2 b) 6,−54/5,−6
1.10 Ejercicio 1.2:
a) 2,−4 b) −3,−1/2 c) −1,0
d) 5/3,4 e) 0,0
Ejercicio 1.4:
a) 2,−1,1 b) 0,−2,5 c) 0,1,2
1.11
a) 10 b) 0 c) −8
d) −24 e) 0 f) −7/3
g) 2,−1
1.12
a) 5 b) 4 c) 8
d) 24 e) 0 f) 25/3
g) −29/14,−1/7,11/14
1.13
a) 5 b) 1 c) 2
5
d) 3 e) 1
1.14
a) Circunferencia con centro en el origen y radio 1.
b) Esfera con centro en el origen y radio 1.
c) Unión de los ejes X e Y en el plano.
d) Unión de los tres planos coordenados en el espacio.
1.15 Una recta siempre puede ser descrita por diversas ecuaciones vectoriales paramétricas
20

diferentes. Esto lo ilustramos en el inciso (a). En los incisos restantes sólo escogemos una ecuación.
a) X = 1/2,0 + t3/2,7
X = 2,7 + t3/2,7
X = 1/2,0 + t−3/2,−7
X = 2,7 + t−3/2,−7
X = 1/2,0 + t3,14
Etcétera.
b) X = 1,−3 + t0,15/4 c) X = 0,2,7 + t1,0,−31/4
d) X = −3,2,7 + t4,−5,−2
1.16
a) X = 1,2 + t2,3 b) X = t1,2,4
c) X = 1,−2,3/7 + t0,1,0
1.17 a) X = 2,4 + t3,1 b) X = 0,5 + t−2,7
1.18 a) 2x − y = −8 b) x − y = 0
1.19 a) x + 2y = 1 b) x + y = 0
1.20 Mismo comentario que en el ejercicio 1.15.
a) X = 1,2,−5 + s1,2,−5 + t2,1/3,6
X = s−1,5/3,−11 + t−2,−1/3,−6
X = 2,1/3,6 + s2,1/3,6 + t−1,−2,5
Etcétera.
b) X = 1,0,0 + s0,2,4 + t−6/7,0,2/3
c) X = 0,0,5 + s−2,6,−4 + t2,0,−11
1.21
a) x + 3y − 6z = 0 b) y = 3
c) x + 3y − 6z = −20 d) x + y − 3z = −49/2
1.22
x − 3y + 5z = 14
1.23
X = 2,0,−5 + t2,−3,5
21

1.24
X = 1,0,5 + s1,0,0 + t0,4,2
22

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1 En cada uno de los incisos siguientes se pide construir ecuaciones de rectas en el plano.
Busque ejemplos sencillos y argumente geométricamente porqué el ejemplo construido satisface las
condiciones pedidas.
a) Dé las ecuaciones de dos rectas en el plano que sean paralelas.
b) Dé las ecuaciones de dos rectas en el plano que se intersecten exactamente en un punto.
c) Dé dos ecuaciones distintas que representen a una misma recta en el plano.
En cada inciso obtenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En (a) el
sistema no tiene solución; en (b) el sistema tiene solución única; y en (c) el sistema tiene una infinidad
de soluciones.
2.2 Este ejercicio es análogo al anterior, pero con planos en el espacio en lugar de rectas en el
plano.
a) Dé las ecuaciones de tres planos que sean paralelos.
b) Dé las ecuaciones de tres planos que se intersecten en exactamente un punto.
c) Dé las ecuaciones de tres planos que se intersecten en una recta.
d) Dé tres ecuaciones distintas que representen a un mismo plano.
En cada inciso obtenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En (a) el
sistema no tiene solución; en (b) el sistema tiene solución única; en (c) y en (d) hay una infinidad de
soluciones.
2.3 Grafique las rectas del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x = 1
y = 2
x + y = 4
a) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
b) ¿Qué sucede si sustituimos la tercera ecuación por x + y = 3?
2.4 Decida si las siguientes matrices están en forma escalonada.
a)
1 3
0 1
b)
0 1
−3 0
c)
4 0 2
0 0 −5
0 1 7
d)
1 2 3
0 0 4
0 0 5
e)
1 −3 5 4
0 0 1 2
0 0 0 1
f)
4 2 8 3 5
0 0 −3 0 2
0 0 0 0 4
0 0 0 0 0
23

2.5 Para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
i. Construya la matriz aumentada asociada al sistema
ii. Usando el método de eliminación gaussiana decida si el sistema tiene solución.
iii. En caso afirmativo, calcule el número de pivotes y el número de grados de libertad del
sistema y dé la solución general del sistema.
a)
2x + 4y = 6
3x + 6y = 5
b)
2x − 4y = 6
− 4x + 6y = 2
c)
x + 3y = 6
2x − 2y = 4
4x + 4y = −8
d)
x + 5y + 11z = −5
2x + 3y + 8z = 4
− x + 2y + 3z = −9
e)
3x + y + 4z = 5
6x + 4y + 5z = 11
− 3x + y − 6z = −4
f)
w + 2x + 3y = 3
y + 2z = −1
2w + 4x + 4y − 4z = 8
g)
2w − 4x = 10
w − 3x + z = −4
w − y + 2z = 4
3w − 4x + 3y − z = −11
24

h)
w − 2x + y − z = 4
2w − 3x + 2y − 3z = −1
3w − 5x + 3y − 4z = 3
− w + x − y + 2z = 5
i)
2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 0
x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0
3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 0
4x1 + 5x2 − 5x3 − 5x4 + 7x5 = 0
2.6 Pruebe que el siguiente sistema es inconsistente si c ≠ 0
x − 2y + z = 2
2x + y + z = 4
5y − z = c
2.7 Pruebe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales
3x + 2y − 4z = a
− 4x + y − z = b
7x + 12y − 22z = c
tiene una infinidad de soluciones si c = 5a + 2b.
2.8 Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b, c, y d para que el siguiente sistema tenga
(a) solución única, (b) solución múltiple, (c) ninguna solución:
ax + by = c
ax − by = d
2.9 En una empresa textil un empleado tarda una hora con cuarenta minutos en hacer una falda y
cinco horas en hacer un saco. Tiene cuarenta horas de trabajo y se desea que se venda todo lo que se
produce. Si sus clientes compran tres faldas por cada saco que adquieren, ¿ cuántas faldas y cuántos
sacos deberá hacer?
25

2.10 Una máquina sella 480 piezas por hora si la pieza no tiene hoyo y 200 piezas si la pieza
tiene hoyo. ¿ Cuántas piezas sella la máquina en una semana (40 horas) si hay 4 piezas sin hoyo por
cada una con hoyo?
2.11 Tres especies de bacterias coexisten en un matraz de Erlenmeyer en la que hay tres
nutrientes. Si la bacteria de tipo i consume aij unidades del nutriente j por día, se tiene que a11 = a12
= a13 = a21 = a31 = 1, a23 = a32 = 3, a22 = 2, a33 = 5. Si se suministran respectivamente 15000,
30000 y 40000 unidades al día de cada nutriente y si cada nutriente se consume totalmente, ¿ cuál es la
población de cada bacteria que puede mantenerse en el tubo?
2.12 ¿Cuál sería la respuesta al ejercicio anterior si las cantidades diarias de nutrientes fueran
20000, 30000 y 40000 unidades, respectivamente?
2.13 Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimento a un lago que
mantiene tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de una
unidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. Cada pez de la especie
2 consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1, cuatro unidades del alimento 2 y
cinco unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el consumo semanal promedio es de dos
unidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Cada semana se
proporcionan al lago 15, 000 unidades del primer alimento, 10, 000 del segundo y 35, 000 del tercero.
Suponiendo que los tres alimentos se consumen, ¿qué población de cada especie se encontrará en
coexistencia? ¿Existe una única solución?
2.14 Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones: A, B y C. Los camiones
están equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada. El número de máquinas de
cada clase que puede transportar cada camión en una operación es:
210Clase 2
112Clase 1
Máquinas
Tipo CTipo BTipo A
Camiones
210Clase 2
112Clase 1
Máquinas
Tipo CTipo BTipo A
Camiones
La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2.
Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que
cada camión debe estar completamente cargado y que el número exacto de máquinas pedidas es el que
se debe despachar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma ¿cuál es
la solución más económica?
2.15 Se desea envasar nueces, almendras y cacahuates en lata, de manera que haya cuatro kilos
de cacahuate por cada kilo de nuez y la misma cantidad de nueces y almendras. Si se desea envasar un
26

total de 20 kilos, ¿cuántos kilos de cada producto hay que adquirir?
2.16 Un estudiante dedica 6 horas a dormir y 2 a comer. El resto lo dedica a estudiar, a jugar
boliche y a otras actividades. Cada hora de estudio le cuesta en promedio $20.00, cada hora de boliche
$120.00 y el promedio por hora de otras actividades es de $40.00. Si dispone de $600.00 por día,
¿cómo puede dividir el tiempo entre las tres cosas?
2.17 Una inversionista le afirma a un corredor de bolsa que todas sus acciones son de tres
empresas, una de aviación, una de hoteles y una de alimentos y que hace 2 días el valor total de sus
acciones bajó en $350 pero que subió $600 el día de ayer.
El corredor recuerda que hace dos días el precio por acción de la compañía de aviación bajó $1,
que el de la compañía de hoteles bajó $1.50, pero que el de la de los alimentos subió $0.50. También
recuerda el corredor que el día de ayer los precios por acción de las tres compañías se comportaron
como sigue: subió el de aviación $1.50, el de hoteles cayó $0.50 y el de alimentos subió $1. Muestre
que el corredor no posee información suficiente para calcular el número de acciones que posee la
inversionista, pero que cuando ella dice tener 200 acciones de la empresa alimenticia, entonces sí es
posible determinar el número de acciones restante.
2.18 Una fábrica distribuye su producción en tres tiendas. La primera pide tanto como las otras
dos juntas y la segunda pide 10% más que la tercera. Si la producción total es de 42 unidades por
semana, ¿de qué manera debe repartirse la producción entre las tres tiendas?
2.19 Un sistema de tuberías de agua enlaza a tres puntos A, B, C como muestra la figura. El
agua fluye en la dirección que indican las flechas y el flujo se da en litros por minuto. El tamaño de las
tuberías impone restricciones a los flujos. Así r1 ≤ 700, r2 ≤ 300, r3 ≤ 600 y r4 ≤ 400. Calcule las
condiciones que deben satisfacer los flujos r1, r2, r3 y r4 si no hay fugas, es decir, si en cada punto la
cantidad de agua que llega es igual a la que sale. Describa los valores de los flujos si (a) r3 = 300, (b)
r1 = 50, (c) r2 = 100.
100
r2r1
r4
A
B r3 C
300
2.20 Hace diez años, tres grupos indígenas han sido estudiados con fines económicos y de
influencia en la Comunidad, considerando una población inicial total de 2000. Se calcula que el grupo I
27

se duplicó, el grupo II se incrementó en 50% y el grupo III se extinguió. Si el incremento de la
población del grupo I fue igual al del grupo II y si la población total se incrementó en 500, ¿cuál fue la
población inicial de cada grupo?
2.21 En cada uno de los siguientes diagramas se representa un sistema de calles. Las flechas
indican el sentido y los números y variables la cantidad de vehículos que transitan por hora en la calle
respectiva. Suponga que el número de vehículos que entran a un cruce es igual al número de vehículos
que salen del mismo cruce. En cada caso diga cuáles son los valores posibles para x1, x2, x3, x4; cuál el
valor mínimo de x1 y cuál el de x3.
a)
28

f)
2.22 Un turista que fue a Europa gastó $30 al día por hospedaje en Inglaterra, $20 al día en
Francia y $20 al día en España. En cuanto a alimentos, el turista gastó $20 diarios en Inglaterra, $30
diarios en Francia y $20 diarios en España. Además, por conceptos varios el turista gastó $10 diarios
en cada uno de los países mencionados. A su regreso, el registro de gastos del viajero indicaba un total
de $340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Calcule el número de días que el
viajero estuvo en cada uno de los tres países o bien muestre que el registro es incorrecto ya que las
cantidades gastadas son incompatibles unas con otras.
2.23 Un espía sabe que en cierto aeropuerto secreto hay estacionados 60 aviones, entre cazas y
bombarderos. El espía desea determinar cuántos de los 60 aviones son cazas y cuántos son
bombarderos. Hay un tipo de cohete que es transportado por ambas clases de aviones; el caza porta
seis de estos cohetes y el bombardero sólo dos. El agente sabe que con 250 cohetes quedan
pertrechados por completo todos los aviones que se hallan en el aeropuerto. Además, se entera de que
en esa base el número de aviones caza es el doble del número de bombarderos. Calcule el número de
aviones caza y bombarderos que hay en el aeropuerto o bien muestre que la información del agente
debe ser incorrecta, ya que es inconsistente.
2.24 Tres empresarios cultivan hortalizas . El empresario A cultiva jitomates, B cultiva maíz y
31

C lechugas. Los tres se ponen de acuerdo para repartir la cosecha entre ellos de la siguiente forma: A
se quedará con la mitad de sus jitomates y recibirá 1/3 de la cosecha de maíz y 1/4 de la cosecha de
lechuga. B recibirá 1/3 de la cosecha de jitomate, 1/3 de la de maíz y 1/4 de la lechuga. C 1/6 de la de
jitomate, 1/3 de la de maíz y se quedará con la mitad de su cosecha de lechuga. ¿Qué valor deberán
asignar a las respectivas cosechas si se debe satisfacer la condición de equilibrio de una economía
cerrada y si la cosecha de menor valor debe venderse a $100?
2.25 Tres Divisiones en una Industria, Finanzas, Recursos Humanos y Logística trabajarán
conjuntamente para desarrollar un proyecto realizando distintas innovaciones cada uno para lograr el
objetivo. Deciden trabajar en total 10 días cada uno de acuerdo al siguiente programa:
344Logística
154R. Humanos
612Finanzas
LogísticaR. HumanosFinanzas
Días de trabajo efectuados por el departamento de
344Logística
154R. Humanos
612Finanzas
LogísticaR. HumanosFinanzas
Días de trabajo efectuados por el departamento de
Eneldepartamentode
Por los impuestos, tienen que reportar y pagarse entre sí, un salario diario , incluyendo el trabajo
que cada una hace en su propia División. Su salario normal diario está comprendido en el intervalo de
$60 a $80, pero acuerdan ajustar sus percepciones de forma que ninguna tenga ventaja, es decir de
forma que la cantidad total pagada por cada una sea igual a la cantidad total que reciba cada una.
¿Cuánto deben ganar diariamente las Divisiones de Finanzas, Recursos Humanos y Logística?
2.26 Una ciudad tiene, principalmente, tres industrias: una mina de carbón, una planta
generadora de energía eléctrica y un ferrocarril local. Para producir $1.00 de carbón mineral, la mina
tiene que comprar $0.20 de energía eléctrica para accionar sus equipos y paga $0.25 de transporte para
cubrir sus necesidades de embarque. Para producir $1.00 de energía eléctrica, la planta generadora
requiere de $0.65 de carbón como combustible, de $0.10 de su propia energía eléctrica para accionar
32

sus equipos auxiliares y $0.25 de transporte. Para proporcionar $ 1.00 de transporte, el ferrocarril
requiere de $0.70 de carbón mineral como combustible y de $0.10 de energía eléctrica para su equipo
auxiliar. En una semana, la mina recibe pedidos por $33,000 de carbón provenientes de consumidores
externos y la planta generadora recibe también de consumidores externos pedidos por $17, 000 de
energía eléctrica. El ferrocarril es la única industria que no tiene ninguna demanda externa. ¿Cuál debe
ser la producción de las tres industrias, en esa semana, para satisfacer exactamente su demanda y la
externa?
2.27 Cada uno de los siguientes tres ingenieros tiene un despacho de asesorías: IC (civil), IE
(electricista) e IM (mecánico). En estos despachos se atienden varias disciplinas, por lo cual cada
ingeniero puede recurrir a los servicios de los otros dos. Por cada $1.00 de asesoría que presta IC, éste
paga $0.10 de asesoría a IE y $0.20 a IM. IE no requiere los servicios de sus dos colegas. Por cada
$1.00 de asesoría que vende IM, éste paga $0.10 por los servicios de IC y $0.50 por los de IE. En una
determinada semana, IC no recibe a ningún cliente externo, mientras que IE e IM reciben solicitudes
de asesoría externa por $90 y $980, respectivamente. En esa semana, ¿cuánto ganará cada ingeniero en
total por sus servicios de asesoría?
2.28 Las siguientes tablas de insumo-producto representan economías hipotéticas con dos
industrias. Las cantidades están dadas en millones de pesos al año. En cada caso
i. Complete la tabla de ser necesario.
ii. Calcule las matrices de tecnología y de Leontief.
iii. Calcule la producción total de A y B que se necesita para satisfacer la demanda indicada.
iv. Escriba la tabla de insumo-producto que corresponde a la demanda indicada.
a)
60202020B
80303020A
Producción TotalDemanda FinalBA
60202020B
80303020A
Nueva demanda final (90,30)
b)
6090300B
90270240A
6090300B
90270240A
33

c)
600200200B
800300200A
600200200B
800300200A
2.29 En cada uno de los incisos siguientes escriba la solución general del sistema no
homogéneo Ax = b como una solución particular de este sistema más la solución general del sistema
homogéneo Ax = 0
(a) A =
1 −1
−3 3
b =
2
−6
(b) A =
1 2
3 4
b =
1
1
(c) A =
1 2 3 4
2 4 7 9
−3 −6 −9 −12
b =
0
1
0
(d) A =
3 0 −1 0
−6 0 2 0
b =
2
−4
(e) A =
2 4 0 1
1 2 −1 3
−1 −2 5 −13
b =
3
2
−4
f) A =
2 −1 5 −3
2 1 1 3
4 −1 8 −3
b =
−9
13
−7
34

Ejercicios de Repaso
2.30 Productos Unidos, S.A. fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton y
Whyton. En la planta de Exton los costos fijos son de $7000 por mes, y el costo de producir cada
calculadora es de $7.50. En la planta de Whyton los costos fijos son de $8800 por mes, y cada
calculadora cuesta $6 producirla. Si el mes siguiente, Productos Unidos debe producir 1500
calculadoras, ¿cuántas debe producir cada planta si el costo total en cada una debe ser el mismo?
2.31 Una compañía paga a sus trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de
ensamblado. Los trabajadores semicalificados en ese departamento ganan $9 por hora. A los
empleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un incremento en los pedidos, la compañía
necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un
total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, deben emplearse el
doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. ¿Cuántos trabajadores
semicalificados, calificados y empleados de envíos debe contratar la compañía?
2.32 Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros
$100,000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100,000. Si un
agente recibió $8,500 por ventas de $175,000, y otro, recibió $14,800 por ventas de $280,000,
encuentre los dos porcentajes.
2.33 Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son 125p − q − 250 = 0 y
100p + q − 1100 = 0, respectivamente, encuentre el precio de equilibrio.
2.34 Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándar (E), de lujo
(D) y Gold Star (G).
Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 de tipo B y 8 tipo C.
Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 tipo B y 28 de C.
Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 tipo B y 36 de C.
Suponga que un inversionista desea comprar exactamente 220 acciones tipo A, 176 tipo B y 264
tipo C, comprando unidades de los tres fondos.
a. Determine las combinaciones de unidades E, D y G que satisfagan los requerimientos del
inversionista.
b. Suponga que cada unidad de E cuesta al inversionista $300 (las de D y G, $400 y $600
respectivamente). ¿Cuáles de las combinaciones de la parte (a) minimizarán el costo total del
inversionista?
2.35 Un grupo de inversionistas decide invertir $500,000 en las acciones de tres compañías. La
compañía D vende en $60 una acción y tiene un rendimiento esperado de 16% anual. La compañía E
vende en $80 cada acción y tiene un rendimiento esperado de 12% anual. La compañía F vende cada
acción en $30 y tiene un rendimiento esperado de 9% anual. El grupo planea comprar cuatro veces más
acciones de la compañía F que de la compañía E. Si la meta del grupo es 13.68% de rendimiento
anual, ¿cuántas acciones de cada compañía deben comprar los inversionistas?
35

2.36 Dada la siguiente matriz de insumo -producto:
800600Otros
900200400Gobierno
500500200Educación
Industria
Demanda FinalGobiernoEducación
Industria
800600Otros
900200400Gobierno
500500200Educación
Industria
Demanda FinalGobiernoEducación
Industria
Encuentre la matriz de producción, si la demanda final cambia a 600 para Educación y 805 para
Gobierno. Encuentre el valor total de los otros costos de producción que esto implica.
2.37 Dada la matriz de insumo-producto
400300200Otros
400300100200Manufactura
300100400200Agricultura
200200200400Gobierno
Industria
Demanda FinalManufacturaAgriculturaGobierno
Industria
400300200Otros
400300100200Manufactura
300100400200Agricultura
200200200400Gobierno
Industria
Demanda FinalManufacturaAgriculturaGobierno
Industria
con entradas en miles de millones de dólares, determine la matriz de producción para la economía,
si la demanda final cambia a 300 para Gobierno, 350 para Agricultura y 450 para Manufactura.
Redondee las entradas al entero de miles de millones de dólares más cercano.
36

SOLUCIONES
2.1
a)
x + y = 0
x + y = 1
b)
x + y = 0
x − y = 0
Estas rectas se intersectan en el origen.
c)
x + y = 0
2x + 2y = 0
2.2
a)
x + y + z = 0
x + y + z = 1
x + y + z = 2
b)
x = 1
y = 2
z = 3
Estos tres planos se intersectan en el punto 1,2,3.
c)
x = 0
y = 0
x − y = 0
Estos tres planos son verticales y se intersectan en el eje Z.
d)
x + y + z = 0
2x + 2y + 2z = 0
3x + 3y + 3z = 0
37

2.3
a) El sistema no tiene solución porque las tres rectas no se intersectan simultáneamente en
ningún punto.
b) El nuevo sistema tiene solución única: x = 1, y = 2.
2.4
a) Sí b) No
c) No d) No
e) Sí f) No
2.5 En el inciso (i) indicamos la matriz aumentada pedida. En el inciso (ii) damos una matriz
aumentada en forma escalonada. Esta matriz la obtuvimos de la matriz en (i) aplicando el metodo de
eliminación gaussiana. El estudiante debe observar que esta matriz no es única. Es posible llegar a
38

diferentes matrices en forma escalonada partiendo de una misma matriz.
a) i.
2 4 ∣ 6
3 6 ∣ 5
ii.
1 2 ∣ 3
0 0 ∣ −4
Como hay una inconsistencia el sistema no tiene solución.
b) i.
2 −4 ∣ 6
−4 6 ∣ 2
ii.
1 −2 ∣ 3
0 1 ∣ −7
El sistema sí tiene solución.
iii. El sistema no tiene grados de libertad y tiene dos pivotes. La solución es única:
x = −11, y = −7
c) i.
1 3 ∣ 6
2 −2 ∣ 4
4 4 ∣ −8
ii.
1 3 ∣ 6
0 1 ∣ 1
0 0 ∣ 3
Como hay una inconsistencia el sistema no tiene solución.
d) i.
1 5 11 ∣ −5
2 3 8 ∣ 4
−1 2 3 ∣ −9
ii.
1 5 11 ∣ −5
0 1 2 ∣ −2
0 0 0 ∣ 0
iii. El sistema tiene un grado de libertad y dos pivotes. La solución general es: en forma
paramétrica
x = 5 − t, y = −2 − 2t, z = t
o en forma vectorial paramétrica
x,y,z = 5,−2,0 + t−1,−2,1
e) i.
3 1 4 ∣ 5
6 4 5 ∣ 11
−3 1 −6 ∣ −4
ii.
1 1/3 4/3 ∣ 5/3
0 1 −3/2 ∣ 1/2
0 0 1 ∣ 0
iii. El sistema no tiene grados de libertad y tiene tres pivotes. La solución es única:
x = 3/2, y = 1/2, z = 0
f) i.
1 2 3 0 ∣ 3
0 0 1 2 ∣ −1
2 4 4 −4 ∣ 8
ii.
1 2 3 0 ∣ 3
0 0 1 2 ∣ −1
0 0 0 0 ∣ 0
iii. El sistema tiene dos grados de libertad y dos pivotes. La solución general es: en forma
39

paramétrica
w = 6 − 2t + 6s,x = t,y = −1 − 2s,z = s
w,x,y,z = 6,0,−1,0 + t−2,1,0,0 + s6,0,−2,1
g) i.
2 −4 0 0 ∣ 10
1 −3 0 1 ∣ −4
1 0 −1 2 ∣ 4
3 −4 3 −1 ∣ −11
ii.
1 −2 0 0 ∣ 5
0 1 0 −1 ∣ 9
0 0 1 −4 ∣ 19
0 0 0 13 ∣ −101
iii. El sistema no tiene grados de libertad y tiene cuatro pivotes. La solución es única:
w = 97/13, x = 16/13, y = −157/13, z = −101/13
h) i.
1 −2 1 −1 ∣ 4
2 −3 2 −3 ∣ −1
3 −5 3 −4 ∣ 3
−1 1 −1 2 ∣ 5
ii.
1 −2 1 −1 ∣ 4
0 1 0 −1 ∣ −9
0 0 0 0 ∣ 0
0 0 0 0 ∣ 0
iii. El sistema tiene dos pivotes y dos grados de libertad. La solución general es: en forma
paramétrica.
w = −14 + 3t − s,x = t − 9,y = s,z = t
w,x,y,z = −14,−9,0,0 + s−1,0,1,0 + t3,1,0,1
i) i.
2 1 −1 −1 1 ∣ 0
1 −1 1 1 −2 ∣ 0
3 3 −3 −3 4 ∣ 0
4 5 −5 −5 7 ∣ 0
ii.
1 −1 1 1 −2 ∣ 0
0 3 −3 −3 5 ∣ 0
0 0 0 0 0 ∣ 0
0 0 0 0 0 ∣ 0
iii. El sistema tiene dos pivotes y tres grados de libertad. La solución general es: en forma
paramétrica
x1 = 1
3
t, x2 = r + s − 5
3
t, x3 = r, x4 = s, x5 = t
x1,x2,x3,x4,x5 = r0,1,1,0,0 + s0,1,0,1,0 + t1/3,−5/3,0,0,1
2.6 La matriz aumentada del sistema es:
40

1 −2 1 ∣ 2
2 1 1 ∣ 4
0 5 −1 ∣ c
1 −2 1 ∣ 2
0 5 −1 ∣ 0
0 0 0 ∣ c
Esto muestra que el sistema es inconsistente cuando c ≠ 0, y que es consistente cuando c = 0
2.7 La matriz aumentada del sistema es:
3 2 −4 ∣ a
−4 1 −1 ∣ b
7 12 −22 ∣ c
Después de aplicar el método de eliminación gaussiana llegamos a la matriz aumentada
3 2 −4 ∣ a
0 11 −19 ∣ 4a + 3b
0 0 0 ∣ −5a − 2b + c
Vemos entonces que el sistema es consistente solamente cuando −5a − 2b + c = 0. En este caso el
sistema tiene un grado de libertad y por lo tanto hay una infinidad de soluciones.
2.8
a) a ≠ 0, b ≠ 0
b) a = b = c = d = 0
o bien a = 0,b ≠ 0,c = −d
o bien a ≠ 0,b = 0,c = d
c) a = 0,c ≠ −d ó b = 0,c ≠ d
2.9
1) Planteamiento:
x = número de faldas que hace el empleado por semana
y = número de sacos que hace el empleado por semana
100x + 300y = 2400
x − 3y = 0
41

2) Solución del sistema:
x = 12, y = 4
3) Interpretación de la solución:
El empleado deberá hacer 12 faldas y 4 sacos por semana.
2.10
1) x = número de piezas sin hoyo que sella la máquina por semana
y = número de piezas con hoyo que sella la máquina por semana
x − 4y = 0
x/480 + y/200 = 40
2)
x = 12,000 , y = 3,000
3) La máquina sella por semana 12,000 piezas sin hoyo y 3,000 piezas con hoyo.
2.11
1) xi= número de bacterias tipo i que se mantienen en el tubo, i = 1,2,3
x1 + x2 + x3 = 15000
x1 + 2x2 + 3x3 = 30000
x1 + 3x2 + 5x3 = 40000
2) El sistema de ecuaciones no tiene solución.
3) Los tres tipos de bacterias no pueden coexistir con las cantidades de alimento
proporcionado.
2.12
1) xi= número de bacterias tipo i que se mantienen en el tubo, i = 1,2,3
x1 + x2 + x3 = 20000
x1 + 2x2 + 3x3 = 30000
x1 + 3x2 + 5x3 = 40000
2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es:
x1 = 10000 + t, x2 = 10000 − 2t, x3 = t
3) Los valores de las variables deben ser enteros mayores o iguales a cero, pues indican un
número de bacterias. De esto se sigue que t debe ser un número entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5000.
Por lo tanto hay 5001 soluciones diferentes: si t es un número entero entre 0 y 5000 obtenemos la
solución.
x1 = 10000 + t, x2 = 10000 − 2t, x3 = t
42

2.13
1) xi = número de peces de la especie i, i = 1,2,3
x1 + 3x2 + 2x3 = 15000
x1 + 4x2 + x3 = 10000
2x1 + 5x2 + 5x3 = 35000
x1 = 30000 − 5t, x2 = −5000 + t, x3 = t
3) Como las variables indican un número de peces, los valores que tomen deben ser enteros
mayores o iguales a cero. De esto se sigue que t debe ser un número entero en el intervalo
5000 ≤ t ≤ 6000.
Por lo tanto hay 1,001 soluciones diferentes. Si t es un número entero entre 5000 y 6000,
obtenemos la solución
x1 = 30000 − 5t, x2 = −5000 + t, x3 = t
2.14
1)
x = número de camiones del tipo A
y = número de camiones del tipo B
z = número de camiones del tipo C
2x + y + z = 32
y + 2z = 10
x = 11 + t/2,y = 10 − 2t,z = t
3) Como las variables indican un número de camiones, los valores que pueden tomar son
enteros no negativos. Para que esto suceda t debe ser un entero par en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5. Por lo
tanto hay 3 soluciones:
11,10,0, 12,6,2 y 13,2,4
La más económica es la que utiliza menos camiones, es decir: 13 camiones tipo A, 2 camiones tipo
B y 4 camiones tipo C.
2.15
1) x = número de kilos de nueces
y = número de kilos de almendras
z = número de kilos de cacahuates
4x − z = 0
x − y = 0
x + y + z = 20
43

2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es:
x = 10/3, y = 10/3, z = 40/3
3) Hay que adquirir 3 1
3
kilos de nuez, 3 1
3
kilos de almendra y 13 1
3
kilos de cacahuates.
2.16
1) x = número de horas al día dedicadas a estudiar
y = número de horas al día dedicadas a jugar boliche
z = número de horas al día dedicadas a otras actividades
x + y + z = 16
20x + 120y + 40z = 600
2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución es:
x = 66
5
− 4
5
t, y = 14
5
− 1
5
t, z = t
3) Como las variables sólo pueden tomar valores mayores o iguales a cero, el parámetro t varía
en el intervalo 0 ≤ t ≤ 14. Para cualquier número t en este intervalo el estudiante puede dividir su
tiempo como sigue: 13.2 −.8t horas para estudiar, 2.8 − .2t horas para jugar boliche y t horas para
otras actividades.
2.17
1) x = número de acciones de aviación que tiene el inversionista
y = número de acciones de hoteles que tiene el inversionista
z = número de acciones de alimentos que tiene el inversionista
− x − 1.5y +.5z = −350
1.5x −.5y + z = 600
2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución es:
x = 4300
11
− 5
11
t, y = − 300
11
+ 7
11
t, z = t
3) Como las variables deben tomar valores enteros mayores o iguales a cero, el parámetro t
debe ser un número entero en el intervalo 43 ≤ t ≤ 860. Además t debe asegurar que 4300
11
− 5
11
t y
− 300
11
+ 7
11
t sean números enteros. Utilizando elementos de Teoría de Números se puede ver que para
que esto suceda t debe ser de la forma 2 + 11k, con k entero. Como t está en el intervalo arriba
mencionado, k debe satisfacer las desigualdades 43 ≤ 2 + 11k ≤ 860. Resolviendo estas desigualdades
para k entero, obtenemos que 4 ≤ k ≤ 78. Así vemos que hay 75 soluciones diferentes. Por ejemplo, si
k = 4, t = 46 y obtenemos la solución (370, 2, 46). Si k = 78, t = 860 y obtenemos la solución (0,
44

520, 860). En resumen: el sistema tiene más de una solución. Por lo tanto el corredor no posee
información suficiente para calcular el número de acciones de la inversionista.
Si ahora ella dice tener 200 acciones de alimentos, se sigue de la solución general que la
inversionista tiene 300 acciones de aviación y 100 acciones de hoteles.
OBSERVACION. En este curso no se espera que el estudiante sepa Teoría de Números. Hicimos
un análisis detallado del problema para mostrar que es posible describir todas las soluciones enteras
usando otro tipo de herramienta matemática.
Del estudiante se espera sólo que se dé cuenta que hay más de una solución posible a los datos
proporcionados por la inversionista.
2.18
1) xi = número de unidades de producción enviadas a la tienda i a la semana, i = 1,2,3
x1 − x2 − x3 = 0
x2 − 1.1x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 42
2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es
x1 = 21, x2 = 11, x3 = 10
3) La fábrica envía a la semana 21 unidades a la tienda 1, 11 unidades a la tienda 2, y 10
unidades a la tienda 3.
2.19
1) Las variables están definidas en el diagrama
r1 + r2 = 100
r1 − r3 + r4 = 0
r2 + r3 = 300
r1 = −200 + t, r2 = 300 − t, r3 = t, r4 = 200
con 200 ≤ t ≤ 300
3)
i. Si r3 = 300, entonces r1 = 100, r2 = 0, r4 = 200
ii. Si r1 = 50, entonces r2 = 50, r3 = 250, r4 = 200
iii. Si r2 = 100, entonces r1 = 0, r3 = 200, r4 = 200
2.20
45

1) xi = número de personas del grupo indígena i hace 10 años, i = 1,2,3
x1 + x2 + x3 = 2000
x1 +.5x2 − x3 = 500
x1 −.5x2 = 0
x1 = 500, x2 = 1000, x3 = 500
3) La población inicial era la siguiente: 500 personas del grupo indígena I, 1000 del grupo
indígena II y 500 del grupo indígena III.
2.21 Para cada inciso las variables están definidas en el diagrama correspondiente.
a) 1)
x1 + x2 = 600
x2 + x3 = 1100
x3 − x4 = 100
− x1 + x4 = 200
2) El sistema es inconsistente, no tiene solución.
3) No es posible que entren y salgan al sistema de calles las cantidades de vehículos
indicadas. La razón es que la cantidad total de vehículos que entran al sistema de calles, en este caso
1200, es diferente de la cantidad total de vehículos que salen del sistema de calles, en este caso 1400.
b)
1)
x1 − x2 = 300
x2 − x3 = 50
x3 − x4 = −150
− x1 + x4 = −200
x1 = 200 + t, x2 = −100 + t, x3 = −150 + t, x4 = t
3) Los valores de las variables sólo pueden ser números enteros mayores o iguales a cero. Esto
impone la restricción t ≥ 150 en el parámetro. Así, los valores posibles para x1, x2, x3, x4 son los
indicados en (2) con la restricción t ≥ 150. En este caso hay solución porque el número de vehículos
que entran al sistema de calles es igual al número de vehículos que salen del sistema. Este número es
1200.
El valor mínimo para x1 es 350 y el valor mínimo para x3 es 0.
Obsérvese que las variables pueden tomar valores arbitrariamente grandes. Esto se debe a que
46

falta un dato: el número máximo de vehículos que puede circular por cada calle. Con esta información
obtendríamos restricciones adicionales en el parámetro t.
c)
1)
x1 − x2 = −150
x2 − x3 = −300
x3 − x4 = −100
− x1 + x4 = 50
2) El sistema es inconsistente. No tiene solución.
3) Misma explicación que en (a).
d)
1)
x1 + x2 = 300
x2 − x3 = 0
x3 + x4 = 300
− x1 + x4 = 0
x1 = t, x2 = 300 − t, x3 = 300 − t, x4 = t
3) Los valores posibles que pueden tomar las variables son los indicados en (2) con la
restricción adicional: t es un entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 300. El valor mínimo de x1 es 0, y el valor
mínimo de x3 es 0.
e)
1)
x1 + x2 = 400
x2 − x3 = 50
x3 + x4 = 400
− x1 + x4 = −50
3) Misma explicación que en (a).
f)
1)
x1 − x2 = −100
x2 + x3 = 400
x3 + x4 = 300
− x1 + x4 = 0
47

x1 = t, x2 = 100 + t, x3 = 300 − t, x4 = t
3) Los valores posibles que pueden tomar las variables son los indicados en (2) con la
restricción adicional: t es un entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 300. El valor mínimo de x1 es 0, y el valor
mínimo de x3 es 0.
2.22
1) x = número de días que estuvo en Inglaterra
y = número de días que estuvo en Francia
z = número de días que estuvo en España
30x + 20y + 20z = 340
20x + 30y + 20z = 320
10x + 10y + 10z = 140
x = 6, y = 4, z = 4
3) El turista estuvo 6 día en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España.
2.23
1) x = número de aviones de caza
y = número de bombarderos
x + y = 60
6x + 2y = 250
x − 2y = 0
3) La información del agente es incorrecta porque el sistema es inconsistente.
2.24
1) x = valor de la cosecha de jitomate
y = valor de la cosecha de maíz
z = valor de la cosecha de lechuga
1
2
x − 1
3
y − 1
4
z = 0
− 1
3
x + 2
3
y − 1
4
z = 0
− 1
6
x − 1
3
y + 1
2
z = 0
48

x = 9
8
t, y = 15
16
t, z = t
3) La cosecha de menor valor siempre será la de maíz. Por lo tanto t = 1600
15
. Entonces el valor
de las cosechas será: jitomate $120, maíz $100, lechuga $106.67.
2.25
1) x = salario diario de la D. Finanzas
y = salario diario de la D. Recursos Humanos
z = salario diario de la D. Logística
8x − y − 6z = 0
− 4x + 5y − z = 0
− 4x − 4y + 7z = 0
x = 31
36
t, y = 8
9
t, z = t
3) Como los valores de x, y y z deben estar comprendidos en el intervalo de 60 a 80,
obtenemos que el parámetro debe estar en el intervalo 69.68 ≤ t ≤ 80 . Para cualquier valor de t en
este intervalo obtenemos, utilizando los valores dados en (2), una solución diferente al problema.
2.26
1) x = producción semanal en pesos de carbón mineral
y = producción semanal en pesos de electricidad
z = producción semanal en pesos de transporte
x − 13
20
y − 7
10
z = 33000
− 1
5
x + 9
10
y − 1
10
z = 17000
− 1
4
x − 1
4
y + z = 0
x = 80,000, y = 40,000, z = 30,000
3) La producción semanal de carbón mineral debe ser de $80,000, la de electricidad de
$40,000, y la del ferrocarril de $30,000.
2.27
1) x = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero civil
y = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero electricista
49

z = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero mecánico
x − 1
10
z = 0
− 1
10
x + y − 1
2
z = 90
− 1
5
x + z = 980
x = 100, y = 600, z = 1000
3) El ingeniero civil gana semanalmente $100, el ingeniero electricista gana $600 y el ingeniero
mecánico $1000.
2.28
a) i. La tabla está completa.
ii. La matriz de tecnología es
1
4
1
2
1
4
1
3
La matriz de Leontief es
3
4
− 1
2
− 1
4
2
3
iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser,
respectivamente, 200 y 120.
iv.
120304050B
200906050A
120304050B
200906050A
b)
i.
50

4506090300B
60090270240A
4506090300B
60090270240A
2/5 3/5
1/2 1/5
3/5 −3/5
−1/2 4/5
iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser, respectivamente,
de 630 y 525 unidades.
iv.
525105105315B
63063315252A
525105105315B
63063315252A
c)
i.
600200200200B
800300300200A
600200200200B
800300300200A
1/4 1/2
1/4 1/3
3/4 −1/2
−1/4 2/3
51

iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser, respectivamente,
de 1520 y 1020 unidades.
iv.
1020300540380B
1520630510380A
1020300540380B
1520630510380A
Comentario. El estudiante habrá observado que las matrices de tecnología de los incisos (a) y (c)
son iguales. En ambos casos se trata de la misma economía, pero con diferentes niveles de producción.
2.29
(a) x,y = 2,0 + t1,1
(b) x,y = −1,1 + t0,0
(c) w,x,y,z = −3,0,1,0 + s−2,1,0,0 + t−1,0,−1,1
(d) w,x,y,z = 2/3,0,0,0 + r0,1,0,0 + s1/3,0,1,0 + t0,0,0,1
(e) w,x,y,z = 3/2,0,−1/2,0 + s−2,1,0,0 + t−1/2,0,5/2,1
(f) w,x,y,z = 1,11,0,0 + s−3/2,2,1,0 + t0,−3,0,1
2.30 800 calculadoras de la Planta Exton
700 calculadoras de la Planta Whyton
2.31 20 trabajadores calificados
40 trabajadores semicalificados
10 empleados de envíos
2.32 4% sobre los primeros $ 100,000
6% sobre el resto
2.33 precio = 6
2.34
a) Sean e,d,g el número de unidades de E,D y G respectivamente.
e = 5 − t
d = 8 − t
g = t
Las seis combinaciones están dadas por
52

543210g
345678d
012345e
543210g
345678d
012345e
b) La combinación e=0 d=3 g= 5
2.35 D: 5000 acciones E: 1000 acciones F: 4000 acciones
2.36
1290
1425
; 1405
2.37;
1301
1215
1188
53

3. ALGEBRA DE MATRICES
3.1 Efectúe los cálculos indicados cuando
A =
1 0 −3
0 2 4
B =
2 3 0
1 0 2
y C =
0 1 0
−5 0 −2
a) A + B b) 4A c) 1
2
A − 4C
d) 0B e) A − 3
2
B + 2C
3.2 Efectúe los cálculos indicados cuando
A =
1
3
0
B =
5
0
−2
y C =
0
4
7
a) 2A + 4B − 1
5
C b) 3A − 2B + 2C c) A − 52A + 1
4
C
3.3 Si A =
1 3 5 7
2 4 6 8
y B =
1 0 3 0
0 2 0 4
Encuentre una matriz C tal que
a) 3A + 2C = B b) 2A + B − 1
3
C = 0
Aquí 0 denota la matriz "cero" del tamaño correspondiente.
3.4 Un fabricante de joyería tiene pedidos por dos anillos, tres pares de aretes, cinco
prendedores y un collar. El fabricante estima que requiere 1 hora de trabajo el elaborar un anillo, 1 1
2
horas el hacer un par de aretes, 1
2
hora hacer un prendedor y 2 horas la elaboración de un collar.
a) Exprese las órdenes de trabajo o pedidos como una matriz 1 x 4.
b) Exprese los tiempos de elaboración de los diversos productos como una matriz 4 x 1.
c) Utilice el producto de matrices para determinar el número total de horas que se requerirán
para surtir los pedidos.
3.5 Una compañía les paga a sus ejecutivos su sueldo y les concede participación en las
acciones como gratificación anual. El año pasado, el presidente recibió 80,000 unidades monetarias
(u.m.) y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes recibió 45,000 u.m. y 20 acciones, y el
tesorero, 40,000 u.m. y 10 acciones.
a) Exprese los pagos en dinero y en acciones por medio de una matriz de 2x3.
b) Exprese el número de ejecutivos de cada categoría por un vector columna.
c) Utilice la multiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y de acciones
54

que erogó la compañía en el pago a sus funcionarios principales el último año.
3.6 Si A =
1 0 2
0 3 −4
y B =
−5
2
7
,
Calcule AB, A2B, 2AB y 2AB.
3.7 Construya ejemplos de matrices de 2 x 2 tales que
a) AB ≠ BA
b) A2
= −1
c) B2
= 0 y B ≠ 0
d) CD = −DC y CD ≠ 0
e) EF = 0 y ninguna entrada de E o de F es cero
f)
1 0
0 0
B =
1 0
0 0
C ; pero B ≠ C
3.8 ¿Cuáles de las siguientes matrices son con seguridad iguales a A + B2
?
B + A2
, A2
+ 2AB + B2
, AA + B + BA + B, A + BB + A, A2
+ AB + BA + B2
3.9 Calcule todas las potencias A2
, A3
,..., An
de las siguientes matrices.
a) A =
1/2 1/2
1/2 1/2
b) A =
1 0
0 −1
c) A =
1/2 −1/2
1/2 −1/2
d) A =
1 1
1 1
e) A =
0 1 0
0 0 1
1 0 0
f) A =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
3.10 Encuentre una matriz
w x
y z
tal que
2 1
5 3
w x
y z
=
1 0
0 1
Sugerencia: plantee un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas y resuélvalo.
55

3.11 Dé la representación matricial de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a)
x − y = 3
x + y = 7
b)
3x + 2y − z = 5
y + z = 0
2x + 7z = −3
c)
2x − y + z = 3
− w − 3y + 4z = 2/7
3.12 Verifique que
a)
a b
c d
x
y
= x
a
c
+ y
b
d
b)
a b c
d e f
x
y
z
= x
a
d
+ y
b
e
+ z
c
f
c)
a b c
d e f
g h i
x
y
z
= x
a
d
g
+ y
b
e
h
+ z
c
f
i
3.13 Calcule las matrices transpuestas de las siguientes matrices. ¿Cuáles de ellas son
simétricas?
a)
1
−2
3
b)
1 1 1
1 1 1
c)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
d)
1 2
2 3
e)
1 2 3
2 4 5
3 5 6
f) 0 1 0
56

3.14 Si A =
3
1
y B =
2
2
, calcule AT
B, BT
A, ABT
, BAT
3.15 ¿Cuáles de las siguientes matrices son triangulares superiores, triangulares inferiores,
diagonales?
a)
1 2
2 3
b)
1 0 0
0 2 0
0 0 3
c)
1 2 3
0 0 0
0 0 4
d)
1 0 1
0 3 0
2 4 0
e)
0 0 0
0 0 0
1 0 0
3.16 Decida si las siguientes matrices son invertibles. En caso afirmativo calcule la matriz
inversa por el método de Gauss-Jordan.
a)
3 2
1 2
b)
1 3
−2 −6
c)
3 8
0 5
d)
2 0
−3 0
e)
1 2 3
1 2 4
0 1 2
f)
2 −1 4
−1 0 5
19 −7 3
g)
2 0 1
0 3 2
0 0 5
h)
2 −1 11
1 5 0
3 2 13
i)
1 2 0
0 3 1
1 2 5
j)
2 0 1
0 4 1
4 0 5
k)
1 0 0 0
1/4 1 0 0
1/3 1/3 1 0
1/2 1/2 1/2 1
3.17 ¿Bajo qué condición es la matriz
1 b
c d
invertible? Calcule la matriz inversa cuando
exista.
57

3.18 Invierta la matriz de Hilbert
A =
1 1
2
1
3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4
1
5
usando el método de Gauss-Jordan. Trabaje con quebrados.
3.19 Redondee las entradas de la matriz de Hilbert (a) a 2 decimales, (b) a 3 decimales, (c) a 5
decimales. En cada caso invierta la matriz obtenida usando calculadora y compare los resultados con el
ejercico anterior.
3.20 Sea A una matriz cuadrada nxn invertible. Demuestre:
a) Si B es una matriz nxm y AB = 0, entonces B = 0.
b) Si B y C son matrices nxm y AB = AC, entonces B = C.
c) AT
es invertible y AT
−1
= A−1
T
.
d) Si A es simétrica, entonces A−1
es simétrica.
3.21 ¿Bajo qué condiciones es la matriz diagonal
a 0 0
0 b 0
0 0 c
invertible?
Calcule la inversa cuando ésta exista. Formule un resultado análogo para matrices diagonales nxn.
3.22 Calcule las matrices de incidencia asociadas a las siguientes gráficas:
a)
58

f)
3.23 Calcule las gráficas asociadas a las siguientes matrices:
a)
1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1
b)
0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
c)
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
d)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
3.24 Use las potencias de la matriz de incidencia calculada en el ejercicio 3.22c para
determinar el número de caminos de 1 a 4 de longitudes dos, tres y cuatro.
3.25 ¿Cuántas gráficas dirigidas con n vértices hay? ¿Cuántas gráficas dirigidas, sin lazos, con
n vértices hay?
3.26 ¿Qué se puede decir de la gráfica asociada a una matriz de incidencia simétrica?
60

3.27 Sean A =
1 −6 2
−4 2 1
, B =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, C =
1 1
2 2
3 3
, D =
1 0
2 3
,
E =
1 2 3 4
0 1 6 0
0 0 2 0
0 0 6 1
, F = 6 2 , G =
5
6
1
, H =
1 6 2
0 0 0
0 0 0
, J = 4 ,
a. Establezca el orden de cada matriz. d. ¿Cuáles son vectores renglón?
b. ¿Cuáles matrices son cuadradas? e. ¿Cuáles son vectores columna?
c. ¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores?
3.28 Considere la siguiente matriz
A = aij =
7 −2 14 6
6 2 3 −2
5 4 1 0
8 0 2 0
a) ¿Cuál es el orden de A?
b) Determine las entradas siguientes.
a43 a12 a32 a34 a44
c) ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal?
3.29 La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices
cuyos renglones, en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos,
mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las
matrices para enero (E) y febrero (F) son
E =
2 6 1 2
0 1 3 5
2 7 9 0
, F =
0 2 8 4
2 3 3 2
4 0 2 6
.
(a) En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancos se vendieron?
(b) En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron?
61

(c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras?
(d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses?
(e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo?
(f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?
(g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?
3.30 Encuentre todos los valores de x para los cuales
x2
+ 2000x x2
x2
lnex

=
2001 −x
2001 − 2000x x
3.31 Realizar las operaciones indicadas.
a)
2 0 −3
−1 4 0
1 −6 5
+
2 −3 4
−1 6 5
9 11 −2
b)
1 4
−2 7
6 9
−
6 −1
7 2
1 0
c) 3 1 −3 1 + 2 −6 1 4 − 0 −2 7 4
d)
1 2
3 4
+
7
2
e) −6
2 −6 7 1
7 1 6 −2
f)
2 −4 0
0 6 −2
−4 0 10
+ 1
3
9 0 3
0 3 0
3 9 9
3.32 Calcule las matrices requeridas si
A =
2 1
3 −3
, B =
−6 −5
2 −3
, C =
−2 −1
−3 3
, O =
0 0
0 0
.
62

a) −B b) 2O c) 2A − 2B d) 3A − C + 6
e) 2B − 3A + 2C f) 1
2
A − 2B + 2C
3.33 Exprese la ecuación matricial
x
2
1
− y
−3
5
= 2
8
11
como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo.
3.34 Resuelva las ecuaciones matriciales
a) 3
x
y
− 3
−2
4
= 4
6
−2
b).
2
4
6
+ 2
x
y
4z
=
−10
−24
14
3.35 Una compañía de artículos electrónicos fabrica televisores, VCR y reproductores de CD en
dos plantas A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el minorista X, y la
matriz Y representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que
represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son como
sigue:
A B A B
X=
TV
VCR
CD
20 40
45 30
15 10
; Y =
TV
VCR
CD
15 25
30 25
10 5
3.36 En los problemas siguientes realice las operaciones indicadas.
a)
2 −4
3 2
4 0
−1 3
b)
2 0 3
−1 4 5
1
4
7
63

c)
1 4 −1
0 0 2
−2 1 1
2 1 0
0 −1 1
1 1 2
d) −1 2 3
3 1 −1 2
0 4 3 1
−1 3 1 −2
e)
2
3
−4
1
2 3 −2 3
f) 3
−2 0 2
3 −1 1
+ 2
−1 0 2
1 1 −2
1 2
3 4
5 6
g)
1 2
3 4
2 0 1
1 0 −2
1 −2
2 1
3 0
h)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
x
y
z
i)
2 1 3
4 9 7
x1
x2
x3
3.37 En los problemas siguientes calcule las matrices requeridas si
A =
1 −2
0 3
B =
−2 3 0
1 −4 1
C =
−1 1
0 3
2 4
D =
1 0 0
0 1 1
1 2 1
E =
3 0 0
0 6 0
0 0 3
F =
1
3
0 0
0 1
6
0
0 0 1
3
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a) DI − 1
3
E b)3A − 2BC c) 2I − 1
2
EF d) DCA
64

3.38 Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo
D. Los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente. Escriba un
vector renglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo. Escriba un vector
columna que represente el precio por acción de cada tipo. Utilizando la multiplicación de matrices
encuentre el costo total de las acciones.
65

SOLUCIONES
3.1
a)
3 3 −3
1 2 6
b)
4 0 −12
0 8 16
c)
1/2 −4 −3/2
20 1 10
d)
0 0 0
0 0 0
e)
−2 −5/2 −3
−23/2 2 −3
3.2
a)
22
26/5
−47/5
b)
−27
17
26
c)
−9
−32
−35/4
3.3
a)
−1 −9/2 −6 −21/2
−3 −5 −9 −10
b)
12 18 48 42
12 36 36 72
3.4
a) A = 2 3 5 1 b) B =
1
1.5
.5
2
c) AB = 11
3.5
a) A =
80000 45000 40000
50 20 10
b) B =
1
3
1
c) AB =
255000
120
66

3.6
a) AB =
9
−22
b) A2B = 2AB = 2AB =
18
−44
3.7
a) Sean A =
1 2
0 3
y B =
−1 0
2 4
Entonces AB =
3 8
6 12
y BA =
−1 −2
2 16
b) Sea A =
0 1
−1 0
. Entonces A2
= −1
c) Sea B =
2 4
−1 −2
. Entonces B ≠ 0 y B2
= 0
d) Sean C =
2 −1
1 −2
y D =
−1 2
−2 1
Entonces CD =
0 3
3 0
y CD = −DC
e) Sean E =
2 3
4 6
y F =
−3 3
2 −2
Entonces EF = 0
f) Sean B =
1 2
3 4
y C =
1 2
5 6
Entonces
1 0
0 0
B =
1 0
0 0
C y B ≠ C
3.8 Las siguientes matrices son siempre iguales a A + B2
:
B + A2
, AA + B + BA + B, A + BB + A, A2
+ AB + BA + B2
.
La matriz A2
+ 2AB + B2
puede ser distinta de A + B2
67

3.9
a) An
=
1/2 1/2
1/2 1/2
, n ≥ 1
b) An
=
1 0
0 1
si n es par; An
=
1 0
0 −1
si n es impar.
c) An
=
0 0
0 0
, n ≥ 2 d) An
= 2An−1
=
2n−1
2n−1
2n−1
2n−1
, n ≥ 2
e) A2
=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
, A3
= I, A4
= A
Si n ≥ 1 sea r el residuo que se obtiene al dividir n entre 3, r = 0,1,2. Entonces An
es igual a:
I si r = 0,
A si r = 1,
A2
si r = 2.
f) A2
=
0 0 1
0 0 0
0 0 0
, An
= 0 si n ≥ 3.
3.10 Se obtiene el sistema de ecuaciones:
2w + y = 1
2x + z = 0
5w + 3y = 0
5x + 3z = 1
El sistema tiene solución única. La matriz buscada es:
w x
y z
=
3 −1
−5 2
3.11
68

a)
1 −1
1 1
x
y
=
3
7
b)
3 2 −1
0 1 1
2 0 7
x
y
z
=
5
0
−3
c)
2 −1 1 0
0 −3 4 −1
x
y
z
w
=
3
2
7
3.12 En cada inciso desarrollamos ambos lados de la igualdad obteniendo la misma matriz:
a)
ax + by
cx + dy
b)
ax + by + cz
dx + ey + fz
c)
ax + by + cz
dx + ey + fz
gx + hy + iz
3.13
a)
1
−2
3
T
= 1 −2 3
b)
1 1 1
1 1 1
T
=
1 1
1 1
1 1
c)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
T
=
1 4 7
2 5 8
3 6 9
No es simétrica.
d)
1 2
2 3
T
=
1 2
2 3
Sí es simétrica.
e)
1 2 3
2 4 5
3 5 6
T
=
1 2 3
2 4 5
3 5 6
Sí es simétrica.
69

f) 0 1 0
T
=
0
1
0
3.14 AT
B = 3 1
2
2
= 8
BT
A = 2 2
3
1
= 8
ABT
=
3
1
2 2 =
6 6
2 2
BAT
=
2
2
3 1 =
6 2
6 2
3.15
a) No es nada. b) Diagonal.
c) Triangular superior. d) No es nada.
e) Triangular inferior.
3.16 Una matriz cuadrada es invertible si el número de pivotes es igual al número de columnas.
a) Sí. A−1
=
1/2 −1/2
−1/4 3/4
b) No
c) Sí. A−1
=
1/3 −8/15
0 1/5
d) No
e) Sí. A−1
=
0 1 −2
2 −2 1
−1 1 0
f) No
g) Sí. A−1
=
1/2 0 −1/10
0 1/3 −2/15
0 0 1/5
h) No
70

i) Sí. A−1
=
13/15 −2/3 2/15
1/15 1/3 −1/15
−1/5 0 1/5
j) Sí. A−1
=
5/6 0 −1/6
1/6 1/4 −1/12
−2/3 0 1/3
k) Sí. A−1
=
1 0 0 0
−1/4 1 0 0
−1/4 −1/3 1 0
−1/4 −1/3 −1/2 1
3.17 Llevamos la matriz A =
1 b
c d
a la forma escalonada U. Para esto restamos al
segundo renglón c veces el primero. Obtenemos la matriz U =
1 b
0 d − bc
. Sabemos que A es
invertible si y sólo si U tiene dos pivotes, es decir, si y sólo si d − bc ≠ 0 o equivalentemente d ≠ bc,
en cuyo caso A−1
= 1
d−bc
d −b
−c 1
3.18 A−1
=
9 −36 30
−36 192 −180
30 −180 180
3.19
a) A =
1 .5 .33
.5 .33 .25
.33 .25 .2
A−1
=
55.5556 −277.778 255.556
−277.778 1446.03 −1349.21
255.556 −1349.21 1269.84
b) A =
1 .5 .333
.5 .333 .25
.333 .25 .2
A−1
=
9.67066 −39.5082 33.2836
−39.5082 210.186 −196.951
33.2836 −196.951 195.772
71

c) A =
1 .5 .33333
.5 .33333 .25
.33333 .25 .2
A−1
=
9.06174 −36.3232 30.3026
−36.3232 193.675 −181.562
30.3026 −181.562 181.453
3.20
a) Suponemos AB = 0. Como A es invertible podemos multiplicar por A−1
ambos lados de la
igualdad. Así obtenemos la cadena de igualdades
B = IB = A−1
AB = A−1
AB = A−1
0 = 0
b) Suponemos AB = AC. Como A es invertible podemos multiplicar por A−1
ambos lados de la
igualdad. Así obtenemos la cadena de igualdades
B = IB = A−1
AB = A−1
AB = A−1
AC = A−1
AC = IC = C
c) Para ver que AT
es invertible y que AT
−1
= A−1
T
basta probar que
AT
A−1
T
= I = A−1
T
AT
Esto se sigue de las igualdades:
AT
A−1
T
= A−1
AT
= IT
= I = IT
= AA−1
T
= A−1
T
AT
d) Utilizando que A = AT
del inciso anterior obtenemos que
A−1
= AT
−1
= A−1
T
Por lo tanto A−1
es simétrica.
3.21 La matriz
a 0 0
0 b 0
0 0 c
es invertible si y sólo si a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0.
En general una matriz diagonal de tamaño nxn es invertible si y sólo si todos los elementos de la
diagonal son distintos de cero.
3.22
a)
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1 1 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
b)
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
72

c)
0 1 1 1 1
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
d)
1 1 1
1 0 1
1 1 0
e)
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0
f)
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0 0
3.23
a)
b)
73

c)
d)
3.24 A2
=
0 0 2 3 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
Hay tres caminos de longitud dos de 1 a 4.
A3
=
0 0 0 2 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Hay dos caminos de longitud tres de 1 a 4. A4
= 0.
No hay caminos de longitud cuatro de 1 a 4.
74

3.25 Hay 2n2
gráficas dirigidas con n vértices, y hay 2n2−n
gráficas dirigidas, sin lazos, con n
vértices.
3.26 Dados dos vértices distintos cualesquiera de la gráfica o no hay aristas entre ellos, o hay
aristas en ambos sentidos.
3.27
a) A2 × 3 B3 × 3 C3 × 2 D2 × 2 E4 × 4
F1 × 2 G3 × 1 H3 × 3 I1 × 1
b) B,D,E,H,J
c) H,J Triangulares Superiores D,J Triangulares Inferiores
d) F,J Vectores Renglón
e) G,J Vectores Columna
3.28
a) 4 × 4
b) 2,−2,4,0
c) 7,2,1,0
3.29 a) 7 b) 3 c) d) Azul de lujo e) Febrero f) Febrero g) 38
3.30 -2001
3.31 a)
4 −3 1
−2 10 5
10 5 3
b)
−5 5
−9 5
5 9
c) −9 −7 11 d) No definida
e)
−12 36 −42 −6
−42 −6 −36 12
f)
5 −4 1
0 7 −2
−3 3 13
3.32 a)
6 5
−2 3
b) O c)
28 22
−2 6
d)No definida e)
−22 −15
−11 9
75

f)
21 29
2
19
2
−15
2
3.33 x= 146
13
; y = −28
13
3.34 a) x = 6
y = 4
3
b) x = −6
y = −14
z = 1
3.35
35 65
75 55
25 15
3.36 a)
12 −12
10 6
b)
23
50
c)
1 −4 2
2 2 4
−3 −2 3
d) −6 16 10 −6
e)
4 6 −4 6
6 9 −6 9
−8 −12 8 −12
2 3 −2 3
f)
78 84
−21 −12
g)
−5 −8
−5 −20
h)
z
y
x
i)
2x1 + x2 + 3x3
4x1 + 9x2 + 7x3
3.37 a)
0 0 0
0 −1 1
1 2 0
b)
−1 −20
−2 23
c)
3
2
0 0
0 3
2
0
0 0 3
2
d)
−1 5
2 17
1 31
3.38 240,000
76

4. DETERMINANTES
4.1 Calcule, utilizando las fórmulas para los casos 2x2 y 3x3, los determinantes de las
siguientes matrices:
a)
1 2
−5 −10
b)
8 1
5 1
2
c)
1 2
−3 4
d)
4 − λ 2
1 −λ
e)
3 0 −2
−1 5 7
4 −8 9
f)
1 −5 −4
2 0 2
3 7 10
g)
1 2 3
0 2 3
0 0 3
4.2 Si det
a b
c d
= 5 calcule, utilizando las propiedades de los determinantes, los
determinantes de las siguientes matrices:
a)
c d
a b
b)
2a b
2c d
c)
a b
a + c b + d
d)
3a 3b
3c 3d
e)
−b 2a
−d 2c
f)
a c
b d
4.3 Si A es una matriz nxn y α es un escalar, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
¿Por qué?
a) detαA = α detA b) detαA = αn
detA
4.4 En general, la manera más eficiente de calcular determinantes es utilizando eliminación
gaussiana. Calcule los determinantes de las matrices dadas con este método:
77

a)
−3 2 4
1 −1 2
−1 4 0
b)
1 −1 2 4
0 −3 5 6
1 4 0 3
0 5 −6 7
c)
1 2 −2 0
2 3 −4 1
−1 −2 0 2
0 2 5 3
d)
1 5 −3 0
3 13 −9 4
−1 −5 0 3
0 2 3 7
4.5 ¿Cuál es el determinante de
1 2
2 0 15
7
0 −2 π 187
0 0 3 e.01
0 0 0 −4
?
4.6 Compruebe, utilizando propiedades de determinantes, que
a) det
1 a a2
1 b b2
1 c c2
= b − ac − ac − b
b) det
1 a a2
a3
1 b b2
b3
1 c c2
c3
1 d d2
d3
= b − ac − ad − ac − bd − bd − c
4.7 Demuestre que hay un único polinomio de grado 2 que pasa por los puntos
1,0, 2,3, 3,−1 y calcule dicho polinomio. Siga los siguientes pasos:
a) Sustituya cada uno de los tres puntos en la ecuación y = α + βx + γx2
. Así obtendrá un
sistema con tres ecuaciones con incógnitas α, β, γ
b) Calcule el determinante de la matriz asociada al sistema utilizando el ejercicio 4.6(a).
Concluya que el sistema tiene solución única.
c) Resuelva el sistema y obtenga el polinomio buscado.
4.8 Busque dos matrices A y B, de tamaño 2x2, tales que
detA + B ≠ detA + detB
78

4.9 Cuando una matriz cuadrada tiene bastantes ceros puede ser conveniente calcular su
determinante usando desarrollo por menores. Utilice este método para calcular los determinantes de las
matrices siguientes:
a)
2 0 −5
−1 0 3
15 1 − 2
2
b)
4 0 0 0
− 2
5 0 0 − 1
2
7
3
e5
2 −3
153 − 1
4
0 105
4.10 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.
a)
2x + 3y = 4
5x − 7y = 11
b)
2x + y + z = 6
3x − 2y − 3z = 5
8x + 2y + 5z = 11
Observe que para un sistema nxn esta fórmula requiere del cálculo de n + 1 determinantes, lo cual
es engorroso y poco práctico para n ≥ 3. Sin embargo, para cuestiones teóricas esta fórmula resulta de
mucha utilidad. De ahí su inclusión en este curso.
4.11 Calcule la inversa de cada una de las siguientes matrices usando la matriz adjunta:
a)
3 4
1 2
b)
a b
c d
c)
1 3 −5
2 8 −7
−3 −8 17
Observe que este método es, para matrices nxn con n ≥ 3, mucho más tardado que el de
Gauss-Jordan. Sin embargo, al igual que la regla de Cramer, resulta útil en cuestiones teóricas.
4.12 Encuentre el área del paralelogramo determinado por los vectores 3,1, 2,3.
4.13 Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores
1,−3,2, 2,−8,5, 5,−13,7.
79

4.14 Sean las matrices A =
0 −2 1
1 10 2
4 0 −1
Cof A= −2 −4 −8
−14 2
a) Completar la matriz de Cofactores de A.
b) Calcular las matrices Adjunta e Inversa de A.
c) Utilizar la matriz A−1
para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
− 2y + z = 0
x + 10y + 2z = 0
4x = 5 + z
4.15 Calcular el determinante de la siguiente matriz:
A =
1 0 1 −1 8
0 0 1 0 0
1 1 −1 0 1
−1 0 2 4 −1
0 −1 1 0 0
4.16 Calcule el determinante
2 5 −1
3 1 2
4 −6 6
por desarrollo por Menores
4.17 Supóngase que
det
a b c
d e f
g h i
= 4
Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el determinante de la siguiente matriz:
80

3g − 7d 3h − 7e 3i − 7f
d e f
a b c
Justificar brevemente.
4.18 Supóngase que al resolver un sistema de ecuaciones por la Regla de Cramer se obtiene la
siguiente información acerca de su solución única:
x1 =
1 0 3
−5 0 −4
0 2 0
D
x3 =
1 0 1
0 0 −5
6 2 0
D
Utilizar esta información para obtener (exclusívamente) el valor de x2 por la Regla de Cramer.
No es necesario calcular x1 ni x3.
4.19 Determine todos los valores de c tales que la regla de Cramer no pueda utilizarse para
resolver el sistema siguiente:
x + cy + 8z = −4
cx − z = 1
− 53x − 6y + z = 2
4.20 Demuestre que la regla de Cramer no se aplica a
2 − y = x
3 + x = −y
81

SOLUCIONES
4.1
a) 0 b) −1 c) 10
d) λ2
− 4λ − 2 e) 327 f) 0
g) 6
4.2
a) −5 b) 10 c) 5
d) 45 e) 10 f) 5
4.3
a) No es válida en general. El inciso (d) del ejercicio anterior nos da un contraejemplo.
b) Siempre es verdadera. Sea B una matriz cuadrada. Sea C la matriz que se obtiene al
multiplicar un renglón de B por α. Entonces por una propiedad de los determinantes sabemos que
detC = αdetB
La matriz αA se obtiene de A multiplicando cada renglón de A por el escalar α. Como A tiene
n renglones, aplicando n veces la propiedad mencionada obtenemos
detαA = αn
detA
4.4
a) 32 b) −260
c) 20 d) 84
4.5 Como la matriz es triangular superior, el determinante es el producto de las entradas en la
diagonal. Por esto el determinante es igual a 24.
4.6 a)
1 a a2
1 b b2
1 c c2
=
1 0 0
1 b − a b2
− a2
1 c − a c2
− a2
=
b − a b − ab + a
c − a c − ac + a
= b − ac − a
1 b + a
1 c + a
= b − ac − ac − b
82

b)
1 a a2 a3
1 b b2
b3
1 c c2
c3
1 d d2
d3
=
1 0 0 0
1 b − a b2
− ab b3
− ab2
1 c − a c2
− ac c3
− ac2
1 d − a d2
− ad d3
− ad2
=
b − a bb − a b2
b − a
c − a cc − a c2
c − a
d − a dd − a d2
d − a
= b − ac − ad − a
1 b b2
1 c c2
1 d d2
= b − ac − ad − ac − bd − bd − c
4.7 Sustituyendo cada uno de los puntos dados en la ecuación y = α + βx + γx2
obtenemos el
sistema de ecuaciones lineales
α + β + γ = 0
α + 2β + 4γ = 3
α + 3β + 9γ = −1
La matriz de coeficientes del sistema es
1 1 1
1 2 4
1 3 9
=
1 1 12
1 2 22
1 3 32
Por el ejercicio 4.6 (a) su determinante es igual a 2 − 13 − 13 − 2 = 2 ≠ 0. Como el
determinante de la matriz de coeficientes del sistema es distinto de cero, el sistema tiene solución
única. Por esto hay un único polinomio de grado 2 que pasa por los tres puntos dados. Resolviendo el
sistema de ecuaciones encontramos que α = −10, β = 27
2
y γ = − 7
2
. Entonces el polinomio buscado
es
y = −10 + 27
2
x − 7
2
x2
4.8 Casi cualquier par de matrices sirve. Por ejemplo A =
1 0
0 1
= B
Entonces detA = 1, detB = 1 y detA + B = 4.
4.9 a) −1 b) −1
4.10
83

a) x = 61
29
, y = − 2
29
b) x = 2, y = 5, z = −3
4.11
a)
1 −2
−1/2 3/2
b) 1
ad−bc
d −b
−c a
c)
80 −11 19
−13 2 −3
8 −1 2
4.12 El área es igual al valor absoluto del determinante de la matriz
3 1
2 3
. Éste es igual a
7.
4.13 El volumen es igual al valor absoluto del determinante de la matriz
1 −3 2
2 −8 5
5 −13 7
. Éste es igual a 4.
4.14
a) CofA =
−10 4 −40
−2 −4 −8
−14 1 2
b) AdjA =
−10 −2 −14
9 −4 1
−40 −8 2
A−1
= −1
58
−10 −2 −14
9 −4 1
−40 −8 2
c)
x
y
z
=
35
29
−5
58
−5
29
4.15 28
84

4.16 8
4.17 -12
4.18 x2 = 33
4
4.19 c= 3 c= 2
4.20 det = 0
85

5. EL ESPACIO VECTORIAL Rn
5.1 Calcule
a) a1,0 + b0,1
b) a1,0,0,0 + b0,1,0,0 + c0,0,1,0 + d0,0,0,1
c) a1,2,3 + b1,2,3 + c1,2,3
d) 3a,b + 3c,d
5.2 Demostrar que todo plano en el espacio que pasa por el origen es un subespacio vectorial
de R3
.
Sugerencia Emplear una ecuación cartesiana.
5.3 En cada uno de los siguientes incisos decida si el primer vector es combinación lineal de los
restantes. En caso afirmativo calcule dicha combinación lineal y diga si ésta es única. Sugerencia: En
cada caso plantee un sistema de ecuaciones y vea si hay inconsistencias; si no las hay, cuente los
grados de libertad.
a) 2,−1; 1,0, 2,3
b) 1,1; 2,1, 1,2, 0,1
c) 1,2,3; 1,1,1, 3,−1,0, 4,0,1
d) 5,8,0,0; 1,2,−1,3, 3,4,2,6
5.4 En cada uno de los siguientes incisos determine si los vectores son linealmente
dependientes.
En caso afirmativo encuentre una combinación lineal de estos vectores que sea igual a cero sin
ser trivial (es decir: con al menos un escalar distinto de cero).
a) 1,0,1,1
b) 1,0,1,1,0,0
c) 1,0,0,1,1,0,1,1,1
d) 2,−1,3,−1,4,2,3,2,8
e) 1,2,3,4,−1,1,0,1
5.5 Sean v1,v2,v3,v4 vectores en Rn
. ¿Son los vectores
v1 − v2,v2 − v3,v3 − v4,v4 − v1 linealmente dependientes o independientes?
5.6 Dé un ejemplo de tres vectores en R5 que sean linealmente independientes.
5.7 Dé un ejemplo de tres vectores en R4 que sean linealmente dependientes.
86

5.8 Encuentre un vector a,b,c tal que 2,1,2, −1,3,4 y a,b,c sean linealmente
independientes.
5.9 Sean v1,...,vn vectores en Rm
. Determinar cuáles de las opciones:
n < m,n = m, n > m pueden pasar si
a) v1,...,vn son linealmente independientes
b) v1,...,vn son linealmente dependientes
5.10 Sea A =
2 4 0 1
1 2 −1 3
−1 −2 5 −13
a) Dé un ejemplo de un vector b, distinto de cero, tal que el sistema Ax = b tenga solución.
b) Dé un ejemplo de un vector b tal que Ax = b no tenga solución.
5.11 Sea B = 2,−1,4,1,0,k,3,−1,5
¿Para qué valores de k es B una base de R3
?
5.12 Sea A =
1 2 4 0
3 1 3 1
0 1 0 1
a) Calcular el rango y la nulidad de la matriz A.
b) Determinar el espacio nulo de A e interpretarlo geométricamente. Dar una base para él.
c) Dar una base para el espacio de renglones de A.
d) Indicar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al espacio de renglones de A:
2,6,8,2,4,4,7,2,1,0,0,0,0,1,1,0
e) Dar una base para el espacio de columnas de A.
f) Indicar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al espacio de columnas de A:
2
−3
1
,
4
4
4
,
5
1
0
,
3
4
5
87

SOLUCIONES
5.1
a) a,b
b) a,b,c,d
c) a + b + c,2a + 2b + 2c,3a + 3b + 3c
d) 3a + 3c,3b + 3d
5.2 Un plano π en R3
que pasa por el origen posee una ecuación cartesiana de la forma
π : ax + by + cz = 0.
Este subconjunto de R3
contiene al origen, luego es no vacío.
Sean x1,y1,z1,x2,y2,z2dos puntos cualesquiera de π.
Entonces ax1 + by1 + cz1 = 0 y ax2 + by2 + cz2 = 0.
Sea α cualquier escalar.
Entonces x1,y1,z1 + x2,y2,z2 = x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2 es a su vez un punto de π
porque
ax1 + x2 + by1 + y2 + cz1 + z2 = ax1 + by1 + cz1 + ax2 + by2 + cz2 = 0 + 0 = 0
a la vez que αx1,y1,z1 = αx1,αy1,αz1 pertenece al plano π
porque aαx1 + bαy1 + cαz1 = αax1 + by1 + cz1 = α0 = 0.
Por lo tanto π es un subespacio vectorial de R3
.
5.3 En cada inciso se indica la matriz aumentada del sistema planteado.
a)
1 2 ∣ 2
0 3 ∣ −1
El sistema no tiene grados de libertad. La combinación lineal
2,−1 = 8
3
1,0 − 1
3
2,3
es única.
b)
2 1 0 ∣ 1
1 2 1 ∣ 1
El sistema tiene un grado de libertad. Hay una infinidad de
combinaciones lineales. Una de ellas es:
1,1 = 2
3
2,1 − 1
3
1,2 + 10,1
c)
1 3 4 ∣ 1
1 −1 0 ∣ 2
1 0 1 ∣ 3
. El sistema es inconsistente. El vector 1,2,3 no es
combinación lineal de los restantes.
88

d)
1 3 ∣ 5
2 4 ∣ 8
−1 2 ∣ 0
3 6 ∣ 0
El sistema es inconsistente. El vector 5,8,0,0 no es combinación
lineal de los
restantes.
5.4
a) No. b) Sí: 01,0 + 01,1 + 10,0 = 0,0
c) No. d) Sí: −22,−1,3 − 1−1,4,2 + 3,2,8 = 0,0,0
e) No.
5.5 Los vectores son linealmente dependientes porque
v1 − v2 + v2 − v3 + v3 − v4 + v4 − v1 = 0
5.6 Los vectores 1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,1 son linealmente independientes.
5.7 Los vectores 1,1,0,0,0,0,2,2,1,1,2,2 son linealmente dependientes.
5.8 Cualquier vector a,b,c tal que 2a + 10b − 7c ≠ 0. Por ejemplo el vector 1,1,1.
5.9 a) n ≤ m b) Cualquiera de las tres.
5.10
a) El vector b puede ser cualquier combinación lineal de las columnas. Por
ejemplo para b = 2,1,−1, una solución del sistema es x = 1,0,0,0.
b) Si el vector b = c,d,e es tal que −2c + 5d + e ≠ 0, el sistema Ax = b no tiene solución.
Por ejemplo, cuando b = 2,1,0.
5.11 B contiene tres vectores en R3
, luego B constituye una base de R3
si y sólo si estos
vectores son linealmente independientes.
Esto se cumple para todo valor de k distinto de 1 ya que el determinante de la matriz
2 −1 4
1 0 k
3 −1 5
es igual a 1 − k.
89

5.12
a) El rango de A es igual a 3
La nulidad de A es igual a 1.
b) X = t−2,−3,2,3
Constituye una recta en R4
que pasa por el origen. Una base para este espacio es
−2,−3,2,3
c) Por ejemplo B = 1,2,4,0,3,1,3,1,0,1,0,1
d) Solamente los primeros dos.
e) Por ejemplo
B =
1
3
0
,
2
1
1
,
4
3
0
f) Todos.
90

6. ORTOGONALIDAD
6.1 Calcule la norma de los siguientes vectores:
a) 1,1 b) 1,1,1
c) 1,1,1,1 d) 1,4,0,2
e) 1,0,2,0,7
6.2 Calcule el producto punto de los siguientes pares de vectores. ¿Cuáles son ortogonales?
a) 1,2,3,2,1,1 b) −3,2,0,4,1,− 3
2
,8,0
c) 4,1,2,5,0,3,−2/3,1/4
6.3 Dé un ejemplo de dos vectores en R2
que sean linealmente independientes pero no
ortogonales entre sí.
6.4 Sea v ∈ Rn
un vector y sea λ un escalar. Decida cuál de las siguientes igualdades es
verdadera y demuéstrela. Para cada una de las igualdades que no son ciertas en general dé un
contraejemplo.
a) ‖λv‖ = λ‖v‖ b) ‖λv‖ = |λ|‖v‖
c) ‖λv‖ = 2
λ ‖v‖ d) ‖λv‖ = λ2
‖v‖
6.5 Encuentre todos los vectores que son ortogonales a 1,4,4,1 y a 2,9,8,2.
6.6 ¿Qué múltiplo de 1,1,1 es el más cercano a 2,4,4? ¿Cuál es el punto en la línea que
pasa por 2,4,4 y el origen que está más cercano a 1,1,1?
6.7 ¿Cuál es la proyección de a1...an sobre el vector 1,...,1?
6.8 En cada uno de los incisos siguientes encuentre la recta que mejor se ajusta a los puntos
dados y calcule el vector de errores. Grafique los puntos, la recta encontrada e interprete el vector de
errores.
a) 0,0,1,1,2,7 b) 1,3,−2,4,7,0
c) −1,1,1,1,2,3,0,1
6.9 Encuentre la línea que mejor se ajusta a los puntos −2,4,−1,3,0,1,2,0. También
calcule la proyección del vector 4,3,1,0 y exprésela como combinación lineal de las columnas de
91

A =
1 −2
1 −1
1 0
1 2
6.10 Encuentre el plano z = α + βx + γy que mejor se ajusta a los puntos
a) 0,0,0,2,0,1,0,2,1,0,0,2
b) 0,−1,0,2,0,0,0,0,2,0,1,0
6.11 Utilizando el método de mínimos cuadrados encuentre el plano z = α + βx + γy que
mejor se ajusta a los puntos 0,0,0,−1,−1,−1,1,1,1,2,2,2. ¿Es este plano único? Justifique su
respuesta.
6.12 Encuentre la parábola y = α + βx + γx2
que mejor se ajusta a los puntos
−2,3,−1,0,1,0,2,1.
6.13 Utilizando el método de mínimos cuadrados demuestre que la línea horizontal y = c que
mejor se ajusta a los puntos a1,b1,...,am,bm está dada por c = b1+...+bm
m , el promedio de las
ordenadas de los datos.
6.14 Encuentre el polinomio de grado tres y = α + βx + γx2
+ δx3
que mejor se ajusta a los
puntos −1,0,0,0,1,0,2,0.
6.15 Un hospital somete a algunas víctimas de quemaduras graves a un tratamiento nuevo. La
siguiente tabla muestra los resultados obtenidos.
202
101
00
0-1
No. de pacientes (Y)Mes (X)
202
101
00
0-1
No. de pacientes (Y)Mes (X)
a) Utilizar el método de mínimos cuadrados para determinar la recta que mejor se ajusta a
estos datos.
b) ¿Cuántos pacientes espera curar el hospital en el mes 4?
6.16 Un distribuidor compra grandes cantidades de refacciones para autos. El observa que el
92

costo depende cuadráticamente del número de cajas que compra. De experiencia anterior obtiene la
tabla siguiente:
$502
$201
$301
$200
$100
Costo TotalNo. de cajas
$502
$201
$301
$200
$100
Costo TotalNo. de cajas
a) Encuentre su función de costo.
b) Estime el costo que corresponde a 3 cajas.
6.17 El dueño de una empresa quisiera pronosticar cuál será el Indice Nacional de Precios al
Consumidor en los siguientes meses para saber si le conviene o no firmar un contrato. En el radio oye
que los cambios en dicho índice están fuertemente ligados a los cambios en el gasto del gobierno y
piensa que si pudiera establecer una función entre estas dos series de datos podría obtener los
pronósticos que necesita. Para establecer dicha función cuenta con la siguiente información:
3330Abril
2220Marzo
1110Febrero
199Enero
Gasto del gobiernoINPCMes
3330Abril
2220Marzo
1110Febrero
199Enero
Gasto del gobiernoINPCMes
a) Grafique los datos anteriores tomando al INPC como variable dependiente y al gasto como
variable independiente.
b) Decida, al analizar los datos, si la forma de la función que se va a establecer es lineal o
cuadrática. Ajuste la más conveniente usando el método de mínimos cuadrados.
c) Grafique el resultado en la misma gráfica de (a).
d) Si al dueño de la empresa le aseguran que el gasto del gobierno en el mes de noviembre será
de 2.5 millones de pesos, ¿ cuál será el valor del Indice Nacional de Precios al Consumidor en ese
mes?
6.18 En cada uno de los siguientes incisos calcule la ecuación cartesiana X ⋅ h = A ⋅ h, del
hiperplano en Rn
que pasa por el punto dado, y que es ortogonal a la dirección dada:
a) A = 2,5, h = −10,4
b) A = 1,0,2, h = 1,1,−1
c) A = 0,1,2,3, h = −2,0,1,−1
93

d) A = 0,0,0,0,0, h = 1,−2,−1,5,3
6.19 Grafique las regiones en el plano definidas por los conjuntos de desigualdades dados en
los incisos siguientes:
a) x ≥ 0, y ≥ 0
b)
2x + y ≤ 5
2x − y ≥ −2
x − y ≤ 1
x + y ≥ −1
c)
2x − y ≤ 5
− x + y ≥ −2
y ≤ 3
x,y ≥ 0
d)
x + y ≥ 2
− x + y ≥ 1
y ≤ 3
x,y ≥ 0
e)
x + 2y ≤ 2
x + y ≥ 3
y ≥ 0
f)
− x + y ≤ 1
y ≤ 2
x,y ≥ 0
6.20 Utilice desigualdades lineales para definir los polígonos cuyos vértices se dan a
continuación.
a) 1,0,3,0,2,1,3,1 b) 2,1,4,1,3,3
c) 0,0,0,1,1,2,2,1,1,0
6.21 Grafique las regiones en el espacio definidas por los siguientes conjuntos de
desigualdades:
a) x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
b)
94

x ≤ 2
y ≤ 2
z ≤ 2
x,y,z ≥ 0
c) Las desigualdades del inciso (b) y además x + y + z ≤ 5.
d) Las desigualdades del inciso (b) y además x + y ≤ 3.
e)
− x + z ≤ 2
3x + y + 2z ≤ −4
x,y,z ≥ 0
f)
x + y ≤ 1
x,y,z ≥ 0
95

SOLUCIONES
6.1 a) 2
2 b) 2
3 c) 2
d) 2
21 e) 3 2
6
6.2 a) 7 b) −6 c) 35
12
Como el producto punto no es cero ninguna de las tres parejas de vectores es ortogonal.
6.3 Los vectores 1,0 y 1,1 son linealmente independientes pero no ortogonales entre sí.
6.4 a) Falso. v = 1,0, λ = −2
b) Verdadero. ‖λv‖=2 λv ⋅ λv =2 λ2
v ⋅ v  =2
λ2 2 v ⋅ v =|λ|‖v‖
c) Falso v = 1,0,0, λ = 4
d) Falso v = 0,1, λ = 2
6.5 Son todos los vectores a1,a2,a3,a4 que satisfacen simultáneamente:
a1 + 4a2 + 4a3 + a4 = 0
2a1 + 9a2 + 8a3 + 2a4 = 0
La solución general de este sistema de ecuaciones es:
a1 = −4s − t, a2 = 0, a3 = s, a4 = t
6.6 a) 10/3,10/3,10/3 b) 5/9,10/9,10/9
6.7 a1+...+an
n 1,...,1
6.8 a) y = − 5
6
+ 7
2
x E =  5
6
,− 5
3
, 5
6

b) y = 68
21
− 19
42
x E =  3
14
,− 1
7
,− 1
14

c) y = 6
5
+ 3
5
x E =  2
5
,− 4
5
, 3
5
,− 1
5

6.9 y = 61
35
− 36
35
x
El vector proyección es p =  133
35
, 97
35
, 61
35
,− 11
35
 = 61
35
1,1,1,1 − 36
35
−2,−1,0,2
96

6.10 a) z = 1 b) z = 2
3
− 1
3
x
6.11 El plano no es único. Al intentar resolver el problema utilizando mínimos cuadrados
obtenemos el sistema de ecuaciones
4 2 2
2 6 6
2 6 6
α
β
γ
=
2
6
6
Las columnas de la matriz de coeficientes son linealmente dependientes. Por eso la solución no es
única. En este caso hay una infinidad de soluciones. La solución general del sistema anterior es: α = 0,
β = 1 − t, γ = t. Así para cualquier valor de t en el plano z = 1 − tx + ty es una posible solución
dada por el método de mínimos cuadrados. Nota: en este caso la solución no es única porque los cuatro
puntos son colineales, es decir, están contenidos en una línea recta.
6.12 y = − 2
3
− 2
5
x + 2
3
x2
6.13 Aplicando el método de mínimos cuadrados llegamos al sistema de ecuaciones
mc = b1+...+bm
6.14 y = 0. El resultado es una recta y no un polinomio de grado 3 porque los puntos dados
son colineales.
6.15 a) y = 7x + 4 b) 32 pacientes
6.16 a) y = 15 + 2.5x + 7.5x2
b) $ 90 aproximadamente
6.17 La función es lineal. Si y denota el INPC y x denota el gasto del gobierno, entonces
y = −8 + 113x
El INPC para noviembre será 274.50 aproximadamente.
6.18
a) −10x + 4y = 0 b) x + y − z = −1
c) −2x1 + x3 − x4 = −1 d) x1 − 2x2 − x3 + 5x4 + 3x5 = 0
97

d)
e) La región es vacía
f)
100

6.20
a)
x ≤ 3
y ≤ 1
x − y ≥ 1
y ≥ 0
b)
y ≥ 1
2x − y ≥ 3
2x + y ≤ 9
c)
− x + y ≤ 1
x + y ≤ 3
− x + y ≥ −1
x,y ≥ 0
6.21
a) La región es todo el primer octante.
b)
101

d)
e) La región es vacía.
f) Prisma vertical y no acotado en el primer octante.
103

7. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
7.1 Transforme los siguientes programas lineales en programas lineales de maximización en
forma canónica.
a)
Max 2x + 2y
s.a. 2x + y ≤ 4
− x − 2y ≥ −5
x,y ≥ 0
b)
Min − 5x − y
s.a 3x + y ≤ 7
− x − y ≥ −3
− x − 2y ≥ −5
x,y ≥ 0
c)
Min x + 4y
s.a. x + y ≤ 7
x + y ≥ 5
x ≤ 4
− y ≥ −4
x,y ≥ 0
7.2 Transforme los siguientes programas lineales en programas lineales de minimización en
forma canónica.
a)
Min x − y
s.a. x + y ≥ 4
x + 2y ≤ 10
x,y ≥ 0
105

b)
Max x + 3y
s.a. x + 2y ≥ 3
4x − y ≤ 6
x,y ≥ 0
c)
Max 2x + 7y
s.a. 2x + 5y ≤ 8
4x + 6y ≥ 11
x,y ≥ 0
7.3 Resuelva los programas lineales de los ejercicios 7.1 y 7.2 usando el método gráfico.
7.4 Considere la región factible del ejercicio 6.19.c.
a) Construya una función objetivo que alcance su máximo solamente en el punto 4,3.
b) Construya una función objetivo que alcance su máximo simultáneamente en los puntos 3,1
y 2,0. ¿Hay otros puntos de la región factible en los cuales la función construida alcanza el máximo?
7.5 ¿Tienen solución óptima los siguientes programas lineales? ¿Por qué? Utilice el método
gráfico.
a)
Max 3x + 4y
s.a. − x + y ≤ 2
y ≤ 4
x,y ≥ 0
b)
Max − 3x + y
s.a − x + y ≤ 2
y ≤ 4
x,y ≥ 0
c)
106

Max x − 2y
s.a. x + 2y ≤ 2
− x − y ≤ −3
x,y ≥ 0
7.6 Resuelva cada uno de los siguientes programas lineales usando el método simplex.
Grafique la región factible y dibuje la trayectoria simplex del origen al punto óptimo.
a)
Max 3x + y
s.a. x ≤ 5
y ≤ 4
x − y ≤ 3
x,y ≥ 0
b)
Max 6x + 3y
s.a. x + y ≤ 4
2x + y ≤ 6
x,y ≥ 0
c)
Max x + 2y + 3z
s.a. x ≤ 2
y ≤ 2
z ≤ 2
x + y + z ≤ 5
x,y,z ≥ 0
d)
Max y + 3z
s.a. x ≤ 2
y ≤ 2
z ≤ 2
x + y ≤ 3
x,y,z ≥ 0
107

7.7 En los siguientes programas lineales la región factible es no acotada y la función objetivo
no alcanza su máximo. ¿Cómo podemos saber ésto usando el método simplex?
a)
Max 3x + y
s.a. − 2x + y ≤ 1
x − y ≤ 2
x,y ≥ 0
b)
Max − x + 2y − 3z
s.a. x ≤ 3
z ≤ 1
x + 3z ≤ 3
x,y,z ≥ 0
7.8 Un gerente de producción está planeando cómo distribuir tres productos en dos máquinas.
Para ser manufacturado cada producto requiere cierto tiempo (en horas) en cada una de las dos
máquinas.
El tiempo requerido está resumido en la siguiente tabla:
22C
12B
11A
21
Máquinas
22C
12B
11A
21
Máquinas
Producto
La máquina 1 está disponible 40 horas a la semana y la 2 está disponible 34 horas a la semana.Si la
utilidad obtenida al vender los productos A, B y C es de 2,3 y 5 pesos por unidad respectivamente,
¿cuál debe ser la producción semanal que maximiza las utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima?
7.9 Una compañía mueblera fabrica tres tipos de libreros: el "intelectual", el "juvenil" y el
"ejecutivo". Cada librero es elaborado utilizando tres tipos de madera: roble, pino y caoba. El librero
tipo "intelectual" requiere 2 unidades cuadradas de hoja de roble, 6 de pino y 4 de caoba. El librero tipo
"juvenil" requiere respectivamente 1, 4 y 3 unidades cuadradas de hoja de roble, pino y caoba. Y el
librero tipo "ejecutivo" requiere respectivamente 2, 2 y 8 unidades cuadradas de hoja de pino, roble y
caoba.
108

La ganancia por librero vendido de los tipos "intelectual", "juvenil" y "ejecutivo" es
respectivamente de $20, $5 y $40.
Si la compañía dispone en sus bodegas de 100 unidades cuadradas de hoja de roble, 600 unidades
de pino y 300 unidades de caoba, ¿cuántos libreros de cada tipo se deberán fabricar para maximizar la
ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima?
7.10 Un agricultor tiene 31 hectáreas donde siembra café y cacao. Los gastos son de 120
dólares por hectárea de café y de 480 dólares por hectárea de cacao. La "cosecha" debe ser almacenada
en latas especiales. Por cada hectárea de café se llenan 32 latas, mientras que por cada hectárea de
cacao sólo se llenan 8 latas. Cada hectárea de café produce una ganancia de 400 dólares y cada
hectárea de cacao produce una ganancia de 500 dólares. Si el agricultor tiene sólo 800 latas y dispone
de un capital de 12,000 dólares, ¿cómo debe distribuir su cosecha para maximizar su ganancia?
7.11 Una compañía que produce frutas mezcladas tiene en almacén 10,000 kilos de peras,
12,000 kilos de duraznos y 8,000 kilos de cerezas. La compañía produce tres mezclas de frutas, que
vende en latas de un kilo. La primera combinación contiene la mitad de peras y la mitad de duraznos.
La segunda combinación contiene cantidades iguales de cada fruta. La tercera combinación tiene la
mitad de duraznos y la mitad de cerezas. Las ganancias por lata vendida de cada combinación son de
$3, $4 y $5 respectivamente. ¿Cuántas latas de cada combinación deberán producirse con el objeto de
maximizar ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima?
7.12 Un fabricante de muebles necesita una hora para hacer un archivero, una hora para hacer
una silla y cuatro horas para hacer una mesa. El fabricante estima que no podrá vender más de 15
archiveros, 10 sillas y 3 mesas a la semana. Además él no quiere trabajar más de 30 horas a la semana.
Si sus ganancias son de $25 por archivero, $60 por silla y $90 por mesa, ¿cuántos archiveros, sillas y
mesas debe fabricar para maximizar ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima?
7.13 Jimmy Carter tiene almacenadas 121 toneladas de cacahuate y 49 toneladas de nuez de la
India. Produce dos mezclas. La barata consta de 80% de cacahuate y de 20% de nuez, mientras que la
mezcla de lujo consta de 30% de cacahuate y de 70% de nuez. Si vende a 5,000 y 8,000 dólares la
tonelada de cada una de estas mezclas, ¿ qué cantidades de cada mezcla debe producir para maximizar
sus ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo?
7.14 Un empleado de una tienda de helados quiere crear la combinación más rica en calorías
que quepa en un vaso de 12 onzas. Los ingredientes son jarabe, crema, soda y helado. Para que se vea
como soda y sepa a soda la mezcla no debe contener más de 4 onzas de helado; debe tener al menos
tanta soda como la cantidad total de jarabe y crema combinados, y no más de una onza más de jarabe
que de crema. El número de calorías por onza en cada uno de los ingredientes es, respectivamente,
jarabe 75, crema 50 y helado 40. La soda no contiene calorías. ¿Cuántas onzas de cada ingrediente
debe usar? ¿Cuántas calorías tendrá el producto?
7.15 Resuelva los siguientes programas lineales usando el método de las dos fases. En cada
caso grafique la región factible y la trayectoria simplex.
109

a)
Max x + 5y
s.a. 2 ≤ y ≤ 3
x ≥ 1
x + y ≤ 5
x,y ≥ 0
b)
Max 2x + 4y
s.a 3 ≤ x ≤ 5
x − y ≤ 2
x + 2y ≤ 13
x,y ≥ 0
7.16 Resuelva los siguientes programas lineales usando el método de las dos fases. En caso
necesario transforme el programa lineal en uno equivalente de maximización y use el método simplex.
a)
Max 3x − y
s.a. x + y ≤ 4
2x + 3y ≥ 18
x,y ≥ 0
b)
Min − x + 2y − 3z
s.a. x + y + z = 6
− x + y + 2z = 4
z ≤ 2
x,y,z ≥ 0
7.17 Escriba el problema dual de cada uno de los siguientes programas lineales:
a)
Max 3x + 2y − z
s.a. x − z ≤ 5
2x + y ≤ 3
x,y,z ≥ 0
110

b)
Min x − y
s.a. 3x − y ≥ 3
x + y ≥ −8
y ≥ 5
x ≥ 3
x,y ≥ 0
c)
Max w + 2x − y − z
s.a. x + 2z ≤ 5
w + 3y ≤ −2
w,x,y,z ≥ 0
7.18 Resuelva los siguientes ejercicios utilizando dualidad.
a)
Min 5x + 3y
s.a. 2x + y ≥ 1
x + 2y ≥ 1
x + y ≥ 3
x,y ≥ 0
b)
Min 2x + 3y
s.a. 2x + y ≥ 1
x + 2y ≥ 1
x,y ≥ 0
c)
Min 3x + 4y + 6z
s.a. 4x + 7y + z ≥ 3
x + 3y + 5z ≥ 7
2x + y + 4z ≥ 10
x,y,z ≥ 0
111

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