probabilidades

1. Tema 3Probabilidades
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Tema 3

2. Introducción
Talvezestemosacostumbradosconalgunasideasdeprobabilidad,yaqueestaformapartedelaculturacotidiana.Confrecuenciaescuchamosapersonasquehacenafirmacionesrelacionadasconlaprobabilidad:
•ProbablementeChileganeelprimerpartidoenelmundialdeSudáfrica.
•Hayun98%deprobabilidaddequenolluevamañanaenCopiapó.
•Tengounaposibilidadde50-50deaprobarelexamendeEstadística.
•EsmásprobableperderqueganarenelCasinodeJuegos. ¿Quésignificanexactamenteestetipodeexpresiones?.Algunasafirmacionespuedenestarbasadaseninformacióncientíficayotrasenprejuiciossubjetivos.Cualquieraqueseaelcaso,soninferenciasprobabilísticas:nohechos,sinoconjeturas.
Enestecapítuloestudiaremoselconceptobásicodeprobabilidadysusreglasaplicadasasucesossimplesysucesoscompuestos.
Lateoríadelaprobabilidadeslabasedelainferenciaestadísticayuninstrumentoesencialenelanálisisdelavariabilidad.
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3. Conceptos importantes
Ejemplo: Sea el experimento aleatorio ε:= lanzar una moneda tres veces.
Podemos contar el número de resultados posibles de este experimento como un conjunto:
S = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}
O con un diagrama de árbol:
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4. Conceptos importantes cont.
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5. Conceptos importantes cont.
Ejemplo
Escribir el espacio muestral S para los siguientes experimentos:
a)Lanzarunamonedayseobservarelladovisible.
b)Lanzardosdadosyseregistrarlosnúmerosqueaparecenencadadado.
c)Lanzardosdadosyanotarlasumadelosvalores.
d)Tomarunamuestraaleatoriadetamaño10deunlotedepiezasycontarlasquetienendefectos.
e)Seleccionaraleatoriamenteunestudianteyanotareltiempoqueestudióestadísticaenlasúltimas24horas.
f)Eltiempoqueesperolallegadadelamicroenelparadero.
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6. Ejemplo
Considerarelexperimentodelanzardosdadosyseregistrarlosnúmerosqueaparecenencadadado.
S = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }
Marcar los resultados que corresponden a los siguientes eventos:
a) Evento A = "No sale seis".
b) Evento B = "Sale exactamente un seis".
c) Evento C = "Salen exactamente dos seis".
d) Evento D = “Sale al menos un seis”.
Conceptos importantes cont.
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7. Conceptos importantes cont.
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8. Elcomplementodecualquiersucesoeselconjuntoderesultadosquenoestáncontenidosenesesuceso.
Conceptos importantes cont.
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9. Lossucesossonmutuamenteexcluyentessilaocurrenciadeunodeellosimpidelaocurrenciadelotro.
Ejemplo
¿Mutuamente excluyentes?
Encadacaso,determinarsiloseventossonmutuamenteexcluyentes:
a) Un vendedor hace una venta:
A = “la venta excede $5.000”.
B = “la venta excede $50.0000”.
b) Un vendedor hace una venta:
A = “la venta es de menos de $5.000”.
B = “la venta es de entre $10.000 y $50.000”.
C = “la venta es de más de $100.000”.
Conceptos importantes cont.
EjemploConsiderandoelexperimentoaleatoriodearrojarundadoyregistrarelnúmerodelacarasuperior.Proponer:
•un suceso (evento) elemental
•un suceso imposible
•dos sucesos mutuamente excluyentes
•dos sucesos no mutuamente excluyentes
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10. Definiciones de Probabilidad
Ejemplo:Seaelexperimentoaleatorio:lanzamientodeunamoneda.Cuandoselanzaunamonedaalairesólohaydosresultadosposibles,caraosello.Elresultadonosepuedepredecirdeantemanoyvariarácuandoselanceenformarepetida,sinembargoseobservaunaciertaregularidadenlosresultados,unaregularidadquesóloemergedespuésdemuchasrepeticiones.
LAGRÁFICA1muestralaregularidadobservadaallanzarunamoneda1550veces.Paracadalanzamiento,desdeelprimerohastaelúltimo,seharepresentadolaproporcióndelanzamientosquehandado“cara”hastaesemomento.
Laproporcióndelanzamientosquedancaraesbastantevariablealprincipio,peroposteriormenteseestabilizaamedidaquesehacenmásymáslanzamientos.Llegaunmomentoenqueestaproporciónseacercaa0.5ysemantieneenesevalor.Sediceque0.5eslaprobabilidaddequesalgacara.
Unaprobabilidadde0.5significaqueelsucesocara“ocurrelamitaddelasvecesdespuésdemuchoslanzamientos”.Enotraspalabras,sepuededecirquesisearrojaraungrannúmerodevecesesamonedaalaire,aproximadamenteel50%delasvecesseobservaríaelresultadocaraolafrecuenciarelativadelsucesocaraseríaaproximadamente0.5.
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11. Definiciones de Probabilidad: GRÁFICA 1
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12. Definiciones de Probabilidad cont.
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13. Definiciones de Probabilidad cont.
Definicionclásica de probabilidad o de Laplace
Sehaconsideradoalaprobabilidaddeocurrenciadeunresultadodeterminadodeunexperimentoaleatorio,comolaproporcióndeveces(frecuenciarelativa)queseobtienedichoresultadodespuésdeunagrancantidadderepeticiones.
Sinembargo,considerandolaexperienciaaleatoriadearrojarunamoneda,sepodríahaberconjeturadosinrepetirdichaexperiencia,quelaprobabilidaddeobtenerelresultado“cara”es0.5.
Estosesustentaenquesilamonedanoestácargada,cadaresultadotienelamismachancedeocurrir.EstadescripciónpermiteintroducirloqueseconocecomodefiniciónclásicadeprobabilidadodeLaplace. 13
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14. Definiciones de Probabilidad cont.
Probabilidad subjetiva
Enlosdosenfoquesdeprobabilidadanteriores,sedefinióalaprobabilidadcomolaproporciónderesultadosfavorablesrespectoaltotalderesultados.Enlaprimerasituación,dichaproporciónsebasaendatosobservadosyenlasegundaenelconocimientopreviodeunproceso(númerofinitoderesultadosigualmenteprobables).
Eltercerenfoquedeprobabilidadsellamaprobabilidadsubjetivayserefierealaprobabilidadasignadaaunsucesoporunapersonaenparticular.Lamismapuedeserbastantediferentedelaprobabilidadsubjetivaqueestipulaotrapersona.
Siunequipodeadministraciónpiensaquehayunaprobabilidadde0.35dequeunnuevo
productotengaéxitoenelmercado,estoconstituyeunaprobabilidadsubjetiva.Elvalor0.35esunaopinión,másqueunvalorbasadoenunaevidenciaobjetiva.
Estetipodeprobabilidadesfrecuenteenlatomadedecisionesenelmercado,siendoconfiablesiladeterminaunexpertoenlamateria.
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15. Definiciones de Probabilidad cont.
Ejemplo: Asignando Probabilidades a eventos.
Experimento=lanzardosdados.Asumaquelos36puntosenelespaciomuestralsonequiprobables.¿Cuáleslaprobabilidaddelossiguienteseventos?
S = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }
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17. Definiciones de Probabilidad cont.
Ejemplo:Supongamosqueseregistrainformaciónsobresexoyniveldeeducaciónde200adultosseleccionadosalazarentrelosresidentesdeciertacomuna.
Considerar los siguientes eventos:
A="adulto seleccionado tiene educación universitaria"
B="adulto seleccionado es mujer"
¿Cuáleslaprobabilidaddequeunadultoseleccionadoaleatoriamentetengaeducaciónuniversitariaoseamujer?
Ejemplo:Unacompañíadeconstrucciónlocalpresentósusproyectosendospropuestas. Lacompañíacreequetieneunaprobabilidadde0.5deganarlaprimerapropuesta,de0.4deganarlasegundayunaprobabilidadde0.2deganaramboscontratos. a)¿Cuáleslaprobabilidaddequelacompañíaganealmenosuncontrato,esdecir,laprobabilidaddeganarelprimercontratooelsegundooambos? b)DibujarundiagramadeVennparamostrarlosdoseventos:A=“ganaelprimercontrato”yB=“ganaelsegundocontrato”. c)¿Cuáleslaprobabilidaddeganarelprimercontratoperonoelsegundo? d)¿Cuáleslaprobabilidaddeganarelsegundocontratoperonoelprimero? e)¿Cuáleslaprobabilidaddenoganarningúncontrato?
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18. Definiciones de Probabilidad cont.
Probabilidad Condicional.
Enocasiones,elconjuntodetodoslos"resultadosposibles"puedeconstituirunsubconjuntodelespaciomuestraloriginal.
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19. Definiciones de Probabilidad cont.
Ejemplo
Elaño2004laUniversidaddeTalcatenía5453estudiantes,enlatablasemuestraeldetalledelacomposición.
a)¿Cuáleslaprobabilidaddequeunestudianteelegidoalazarseaunestudiantedepostgrado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer elegida al azar sea estudiante de postgrado?
c) Es este contexto, dar un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes.
Ejemplos
1) Sea el experimento de lanzar un dado. El espacio muestral es S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un dos?
b)Supongaquesabemosqueelresultadoespar,¿Cuálesahoralaprobabilidaddeobtenerundos?
2)Seaelexperimentodelanzarunamonedadosveces.ElespaciomuestralesS={CC,SC, CS,SS}.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento?
b)¿Cuáleslaprobabilidaddequesalgacaraenelsegundolanzamientodadoquesaliócaraenelprimerlanzamiento?
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20. Independencia
Comparar los resultados en los dos ejemplos anteriores.
En2),lainformaciónnocambiólaprobabilidadbuscada,esdecirsaberque"saliócaraenelprimerlanzamiento"nocambiólaprobabilidadde"quesalgacaraenelsegundolanzamiento“.
Estoesasíporqueloslanzamientosdelamonedasoneventosindependientes.
Cuandoelresultadodeuneventonoafectalaprobabilidaddeocurrenciadeotroevento,sedicequelossucesossonestadísticamenteindependientes. 20
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21. Ejemplo
SERNACrealizaunaencuestaacercadelacalidaddelserviciodereparacióndeautomóvilesen86talleres:
a)¿Cuáleslaprobabilidaddequeuntallerelegidoalazardeunabuenaatención?
b)¿Cuáleslaprobabilidaddequeuntallerelegidoalazarseanoautorizado?
c)¿Cuáleslaprobabilidaddequeuntallerelegidoalazarseanoautorizadoydeunabuenaatención?
d)¿Cuáleslaprobabilidaddequelostalleresnoautorizadosdenunabuenaatención?
e)¿Sonloseventos"noautorizado"y"buenaatención"disjuntos?
f)¿Sonloseventos"noautorizado"y"buenaatención"independientes?
g)Sifueranindependientes,¿Cuántostalleresnoautorizadosquedanbuenaatenciónesperaríasencontrar?
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22. Resumen
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23. Resumen cont.
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24. Regla de Bayes
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Ejemplo.Entrelapoblacióneconómicamenteactivadeunaciudad,el40%hacompletadolaenseñanzabásica,el50%laenseñanzamediayel10%laenseñanzasuperior.Entrelosindividuosquetieneneducaciónbásicahayuna10%dedesempleados,entrelosquetieneneducaciónmediaun5%yentrelosgraduadosuniversitariosun2%.¿Cuáleslaprobabilidaddequeunindividuoeconómicamenteactivoestédesempleado?.
Seanlossiguienteseventos:
B : desempleado.
A1: nivel de enseñanza básica completa
A2: nivel de enseñanza media completa
A3: nivel de enseñanza universitaria completa
Las probabilidadesrespectivas son:
P(A1) = 0.40,P(A2) = 0.50,P(A3) = 0.10,P(B|A1) = 0.10,
P(B|A2) = 0.05,P(B|A3) = 0.02
Observar que:
A1,A2yA3representanunaparticióndelespaciomuestralSyBesotrosucesorelacionadoconAk.Deestamanerasepuedeexpresarlosiguiente:
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25. Regla de Bayescont.
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Esto indica que un 6.7 % de los trabajadores están desempleados.
Generalizando:
Esta aplicación se conoce como Teorema de las probabilidades totales.
Pararesolverestetipodeproblemastambiénesútilrecurriraundiagramadeárbol:
Enlasprimerasramassecolocanlasprobabilidadesapriori,enlassegundaslasprobabilidadescondicionales.Elproductodeestasdanorigenalasprobabilidadesconjuntas.
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26. Regla de Bayescont.
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27. 27
Enelejemplo:
Teorema de Bayes
Laprobabilidadcondicionaltomaencuentainformaciónacercadelaocurrenciadeunsucesoparaencontrarlaprobabilidaddeotro.Esteconceptopuedeextendersepararevisarprobabilidadesbasadasennuevainformaciónyparadeterminarlaprobabilidaddequeunefectoenparticularsedebaaunacausaespecífica.ElprocedimientopararevisarestasprobabilidadesseconocecomoTeoremadeBayes.
Enelejemplo,supongamosqueseeligeuntrabajadoralazaryseencuentraqueesundesempleado¿cuáleslaprobabilidaddequehubieraterminadosuenseñanzamedia?
ElTeoremadeBayessepuededesarrollarapartirdeladefinicióndeprobabilidadcondicional:
Regla de Bayescont.
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28. 28
SepuededecirqueciertasCAUSAS(tipodeeducación:A1,A2,A3....)tienenprobabilidadesaprioriP(Ak).ExisteunEFECTOB(desempleo),quenosiempreocurrecuandolacausaestápresente,poresosehabladeP(B|Ak).
Cuandoseusalaprobabilidadcondicionalparainvertirloanterior,secalculalaprobabilidaddeunacausa,dadoelefecto,esdecir,laprobabilidadaposterioriP(Ak|B).
DadoSe deduce
P(Ak)
→P(Ak| B)
P(B | Ak)
En general, el Teorema de Bayesse obtiene en la ecuación:
Observarqueeldenominadoreslaaplicacióndelteoremadelasprobabilidadestotales.
Regla de Bayescont.
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