cclasico

1. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
1
1. Breve reseña histórica. Diversas concepciones de probabilidad.
En el temauno destacamoslaimportanciadel problemade hacer inferencias sobre una
poblaciónapartir de observacionesprocedentesde unamuestra.Estamuestrase obtiene con
la intenciónde conocerciertascaracterísticasde la población, pero normalmente no aportará
información sobre algunos aspectos.
Por ejemplo,unproductopuede serpuestoapruebaa travésde su ventaen un número
limitadode concesionarios,evaluándoseasílareacción de losconsumidores.Losresultados se
utilizanparahacerse unaideade la posible demandaencasode que el producto fuese puesto
a la venta en todo el ámbito nacional.
Normalmente, si nos basamos en la información muestral, es imposible determinar
exactamente la reacción de la totalidad de la población. Cualquier medida de dicha reacción
inevitablemente llevará consigo incertidumbre.
Aunque basándonos en la muestra no es posible deducir cierta información sobre la
población, es posible hacer afirmaciones sobre la naturaleza de la incertidumbre. Estas
afirmaciones se expresan en el lenguaje de la probabilidad que es, por tanto, un concepto
fundamenta en inferencia estadística. Es también una noción que se encuentra
frecuentemente en la vida diaria.
Por ejemplo la probabilidad de precipitaciones es un elemento importante en las
previsionesdiarias del tiempo, las decisiones de inversión están basadas en las valoraciones
que el inversor hace sobre la rentabilidad futura más probable y un aficionado al fútbol
utilizará informaciones tales como resultados pasados y las alineaciones iniciales para
formarse un juicio sobre la probabilidad de que un equipo gane un determinado partido.
Para hacer afirmacionessobre unentornoincierto,necesitamosdesarrollarunlenguaje.
Se puede pensar en la probabilidad como el lenguaje en el cual se habla de incertidumbre.
Antesde podernoscomunicar en este lenguaje, necesitamos adquirir un vocabulario común.
Además,comoencualquierotro lenguaje se necesitan reglas gramaticales de manera que se
puedanemitirfrasesclarasconnuestro vocabulario. Será necesario, por tanto, introducir una
gran cantidadde terminologíanuevayfamiliarizarnosconlamanipulaciónde estostérminos a
la hora de realizar afirmaciones sobre probabilidad.

2. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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2. Experimentos aleatorios. Sucesos.
Consideremos los siguientes sucesos:
I) El lanzamiento de una moneda.
II) El lanzamiento de un dado.
III) Se le pregunta a un consumidor cuál de entre dos productos es su preferido.
IV) Un determinado apartado de un conjunto de cuentas es examinado por un
auditor.
V) Se observa el cambio diario de un índice de precios en bolsa.
VI) Se analiza una cantidad de una sustancia química producida por un proceso
particularpara determinarsi contiene unporcentajemayorque el permitido de
impurezas.
Definiciones.
 Un experimento aleatorio es un proceso que puede concretarse en al menos dos
resultados posibles con incertidumbre en cuanto a cuál de ellos tendrá lugar.
 Los resultados posibles de un experimento aleatorio se llaman resultados básicos.
Ejemplo: Los resultados básicos de una moneda son la probabilidad de sacar
cara y la probabilidad de sacar cruz.
 El conjunto de todos los resultados básicos se llama espacio muestral ≡ Ω. Los
resultados básicos no se pueden dar de forma simultánea.
Ejemplo 1: Resultados básicos dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6
𝛀 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
Ejemplo 2: Un inversor sigue el mercado de la bolsa y está particularmente
interesado en el índice industrial de Dow-Jones. Este inversor considera los
siguientes resultados:
- Al cierre de los mercados, el índice de Dow-Jones será más alto que el
cierre del día anterior.
- Al cierre de los mercados, el índice de Dow-Jones no será más alto que
el cierre del día anterior.
 Un suceso esun conjuntode resultadosbásicosde unespaciomuestral y decimos que
ocurre si el experimento da lugar a uno de los resultados básicos que lo forman. Los
sucesos siempre se denotan con letra mayúscula.

3. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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 Sean A y B dos sucesos pertenecientes al espacio muestal Ω: el suceso 𝑨 ∩ 𝑩 es el
conjunto de todos los resultados básicos en el espacio muestal Ω que pertenecen
tanto a A como a B. En general, dados K sucesos 𝑬 𝟏,… , 𝑬 𝒌 ; 𝑬 𝟏 ∩ …∩ 𝑬 𝒌 es el
conjunto de todos los resultados básicos que pertenecen a 𝑬 𝟏, 𝑬 𝟐, 𝑬 𝟑,…, 𝑬 𝒌.
 Sean A y B dos sucesos de espacio muestral Ω tales que su intersección es disjunta
(vacía), los sucesos se denominan mutuamente excluyentes. En general, dados K
sucesos 𝑬 𝟏,…, 𝑬 𝒌 de Ω,diremosque sonmutuamente excluyentescuandoloseandos
a dos.
𝑺𝒆𝒂𝒏 𝑨, 𝑩 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒅𝒆 Ω 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
 Sean A y B dos sucesos del espacio muestral Ω: el suceso 𝑨 ∪ 𝑩 es el conjunto de
todoslosresultadosbásicosenel espaciomuestral Ω que pertenecen al menos a uno
de estossucesos.Engeneral,launión de K sucesos ⋃ 𝑬𝒌
𝒊=𝟏 es el conjunto de todos los
resultados básicos en Ω que pertenecen al menos a uno de los K sucesos.
 Dados 𝑬 𝟏,…, 𝑬 𝒌 ; 𝑬 𝒌 𝑬Ω, si ocurre lo siguiente: si la unión de todos ellos me da el
espacio muestral, diremos que estos sucesos son colectivamente exhaustivos.
⋃ 𝑬𝒊
𝒌
𝒊=𝟏
= Ω
 Sea A un suceso del espacio muestral Ω, el conjunto de resultados básicos de un
experimentoaleatoriopertenecientea Ω perono a A se llamasucesocomplementario
del suceso A.
Suceso complementario de A ≡ 𝐀𝐜 ó 𝐀
Ejemplo: Lanzamiento de un dado, consideremos los siguientes sucesos:
- A {sale número par}
- B {sale como mínimo un 4}
𝑨 = {𝟐, 𝟒, 𝟔} 𝑩 = {𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 = {𝟏, 𝟑, 𝟓} 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟒, 𝟔} 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟐, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 ∩ 𝑨 = ∅ ⟹ Mutuamente excluyentes.
𝑨 ∪ 𝑨 = Ω ⟹ Colectivamente exhaustivos.

4. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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 Proposición 1
a) Sea A y B dos sucesos, entonces 𝑨 ∩ 𝑩 y 𝑨 ∩ 𝑩 son excluyentes y
además ( 𝑨 ∩ 𝑩) ∪ ( 𝑨∩ 𝑩) = 𝑩
b) Sean A y B dos sucesos, entonces se verifica lo siguiente:
𝑨 ∩ ( 𝑨∩ 𝑩) = ∅ ; 𝑨 ∪ ( 𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑨 ∪ 𝑩
c) Sea 𝑬 𝟏,… , 𝑬 𝒌 sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos y sea A otro suceso, entonces 𝑬 𝟏 ∩ 𝑨, 𝑬 𝟐 ∩ 𝑨,… , 𝑬 𝒌 ∩ 𝑨
d) ( 𝐄 𝟏 ∩ 𝐀) ∪ ( 𝐄 𝟐 ∩ 𝐀) ∪ … ∪ ( 𝐄 𝐤 ∩ 𝐀) = 𝐀
Ejemplo: Lanzamiento del dado
𝑨 = {𝟐, 𝟒, 𝟔} 𝑩 = {𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 = {𝟏, 𝟑, 𝟓}
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟒, 𝟔} 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟐, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟓}
( 𝑨 ∩ 𝑩) ∪ ( 𝑨∩ 𝑩) = { 𝟒, 𝟓, 𝟔} = 𝑩
𝑨 ∪ ( 𝑨 ∩ 𝑩) = { 𝟐, 𝟒, 𝟓, 𝟔} = 𝑨 ∪ 𝑩
3. ¿Qué es la probabilidad? Postulados.
El conceptode probabilidadpretendeapartaruna medida numérica de la verosimilitud
de ocurrenciade un suceso.La probabilidadse mide enunaescalade 0 a 1. En losextremosde
este rango, una probabilidad de 0 indica un suceso imposible, es decir, es seguro que no
ocurrirá, mientras que una probabilidad de 1 indica que el suceso ocurrirá seguro.
A lossucesosinciertoslesdaremosunaprobabilidad entre 0 y 1, de manera que cuanto
más próximo estén los sucesos a 1 más probabilidad tendrá de que ocurra, es decir, cuanto
más probable seanlossucesosmayorserásuprobabilidad.Porejemplo,sabemosque la lluvia
esmás probable bajociertas condiciones meteorológicas, un gerente con experiencia puede
atribuir mayor probabilidad de penetración en el mercado a un producto que a otro.

5. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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Definición
Sea n el número de ocurrencias de un suceso A, la probabilidad de que A ocurra es el
límite del cociente entre n y N. A medida que el número de intentos N se hace grande.
𝑷 = 𝐥𝐢𝐦
𝑵→∞
𝒏
𝑵
Ejemplo: Lanzamiento de una moneda
C, C, X, C, X, C, X, C, C, C, C, X…, X
𝟏
𝟏
,
𝟐
𝟐
,
𝟐
𝟑
,
𝟑
𝟒
,
𝟑
𝟓
,
𝟒
𝟔
,
𝟒
𝟕
,
𝟓
𝟖
,
𝟔
𝟗
,
𝟕
𝟏𝟎
,
𝟖
𝟏𝟏
,
𝟗
𝟏𝟐
,… ,
𝟏𝟎
𝟏𝟖
𝟏, 𝟏, 𝟎. 𝟔𝟔, 𝟎. 𝟕𝟓, 𝟎. 𝟔, 𝟎. 𝟔𝟔, 𝟎. 𝟓𝟕,… , 𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔
 Proposición 2
Sea 𝛀 el espaciomuestral de unexperimentoaleatorioysea 𝑶𝒊 losresultadosbásicos,seaA el
suceso que estamos estudiando. Se verifica lo siguiente:
I. La probabilidad de A estará siempre entre 0 y 1.
𝟎 ≤ 𝑷( 𝑨) ≤ 𝟏
II. La probabilidad de A es la suma de las probabilidades posibles.
𝑷( 𝑨) = ∑𝑷(𝑶𝒊)
III. La probabilidad del espacio muestral siempre será 1.
𝑷(Ω) = 𝟏
IV. La probabilidad de la suma de las probabilidades posibles siempre será 1.
∑𝑷( 𝑶𝒊) = 𝟏

6. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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Corolario:
a) Si Ω está formado por n-resultados básicos equiprobables (𝑶𝒊,… , 𝑶 𝒏)
entonces cada uno de ellos verifica lo siguiente:
𝑷( 𝑶𝒊) =
𝟏
𝒏
b) Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes entonces:
𝑷( 𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷( 𝑨) + 𝑷(𝑩)
Si en vez de dos sucesos tenemos K sucesos mutuamente excluyentes
entonces:
𝑷(⋃ 𝑬𝒊
𝒌
𝒊=𝟏
) = 𝑷( 𝑬 𝟏 ∪ … ∪ 𝑬 𝒏) = 𝑷( 𝑬 𝟏) + ⋯+ 𝑷(𝑬 𝒏)
c) Si 𝑬 𝟏,… , 𝑬 𝒌 son sucesos mutuamente excluyentes entonces:
𝑷(⋃ 𝑬𝒊
𝒌
𝒊=𝟏
) = 𝟏
d) La probabilidadde A esel resultadode dividirlosresultadosfavorables n entre
los resultados posibles N.
𝑷( 𝑨) =
𝒏 𝒂
𝑵
=
𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Ejemplo:
Una organización de caridad vende 1.000 billetes de lotería. Hay 10 primeros premios y 100
premios de consolación, todos los cuales deben ser distribuidos. El proceso de selección de los
ganadoresestalque al principio cada boleto tiene las mismasposibilidadesdeganarun primer
premio y cada uno tiene las mismas posibilidades de ganar un premio de consolación. Ningún
boleto puede ganar más de un premio.
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar un primer premio?
b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar un premio de consolación?
c) ¿Cuál es la probabilidad de ganar algún premio?

7. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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a) A= Billete elegido gana primer premio
𝑷( 𝑨) =
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
b) B= Billete elegido gana premio de consolación
𝑷( 𝑩) =
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
c) El billete elegido gana algún premio
𝑷( 𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷( 𝑨) + 𝑷( 𝑩) = 𝟎. 𝟎𝟏 + 𝟎. 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟏
4. Reglas de probabilidad.
i. Sea A un suceso y 𝑨 ó 𝑨 𝒄 su complementario
𝑷( 𝑨) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
ii. Sean A y B dos sucesos:
𝑷( 𝑩) = 𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩) + 𝑷( 𝑨∩ 𝑩)
𝑷( 𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷( 𝑨) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
iii. Suma de probabilidades. Sean A y B dos sucesos cualesquiera:
𝑷( 𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷( 𝑨) + 𝑷( 𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Ejemplo:
Una cadena de hamburgueserías sabe que el 75 % de sus clientes utilizan mostaza, el
80 % utiliza kétchup y el 65 % utiliza mostaza y kétchup. ¿Cuál es la probabilidad de que un
determinado cliente utilice al menos uno de los dos?
A= 75 % mostaza
B= 80 % kétchup
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)= 65 % ambos
𝑷( 𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷( 𝑨) + 𝑷( 𝑩) − 𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎. 𝟕𝟓 + 𝟎. 𝟖𝟎− 𝟎. 𝟔𝟓 = 𝟎. 𝟗

8. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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Definición
Sean A y B dos sucesos cualesquiera, la probabilidad condicional del suceso A dado el
suceso B llamada probabilidad de A condicionado a B se define como:
𝑷( 𝑨 𝑩⁄ ) =
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
𝑷(𝑩) > 𝟎 𝑷( 𝑩 𝑨⁄ ) =
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑨)
𝑷(𝑨) > 𝟎
Ejemplo:
Si el 75 % de los consumidores utilizan mostaza, el 80 % kétchup y el 65 % ambos, ¿cuáles son
las probabilidades de que un consumidor de kétchup utilice mostaza y la probabilidad de que
un consumidor de mostaza utilice kétchup?
A= 75 % mostaza 𝑷( 𝑨 𝑩⁄ ) = 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟓
B= 80 % kétchup 𝑷( 𝑩 𝑨⁄ ) = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔𝟕
Regla del producto de probabilidades
Sean A y B dos sucesos:
𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷( 𝑨 𝑩⁄ )· 𝑷( 𝑩)
𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷( 𝑩 𝑨⁄ ) · 𝑷(𝑨)
Definición
SeaA y B dos sucesos,decimosque lossucesosA yB sonindependientessi y solamente
si:
𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷( 𝑨) · 𝑷(𝑩)
De la regla del producto deducimos que son condiciones equivalentes las siguientes:
 𝑷( 𝑨 𝑩⁄ ) = 𝑷(𝑨) si 𝑷( 𝑩) > 𝟎
 𝑷( 𝑩 𝑨⁄ ) = 𝑷(𝑩) si 𝑷( 𝑨) > 𝟎
De forma general, diremos que K sucesos 𝑬 𝟏,…, 𝑬 𝒏 son independientes cuando:
𝑷( 𝑬 𝟏 ∩ …∩ 𝑬 𝒏) = 𝑷( 𝑬 𝟏)… 𝑷(𝑬 𝒌)

9. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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Ejemplo:
Se estima que el 48 % de los grados son obtenidos por mujeres y que el 17,5 % de todos los
gradoslo son en ADE. El 4,7 % de todos los grados corresponden a mujeres que se gradúan en
ADE. ¿Son los sucesos el graduado es una mujer y el graduado lo es en ADE independientes?
A= Graduado es una mujer
B= Graduado en ADE
𝑷( 𝑨) = 𝟎, 𝟒𝟖 𝑷( 𝑨) · 𝑷( 𝑩) = 𝟎, 𝟎𝟖𝟒 ≠ 𝟎, 𝟎𝟒𝟕 = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷( 𝑩) = 𝟎, 𝟏𝟕𝟓 No son sucesos independientes.
𝑷( 𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕 𝑷( 𝑨 𝑩⁄ ) =
𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝟎,𝟎𝟒𝟕
𝟎,𝟏𝟕𝟓
= 𝟎, 𝟐𝟔𝟗
Grado de dependencia
El 26,9 % de los graduados en ADE corresponden a mujeres, mientras que las mujeres
corresponden al 48 % de los graduados.
5. Probabilidades bivariantes.
Supongamosque tengamosque realizarun experimentoaleatorio y el interés se centra
en dos grupos distintos de sucesos; los llamaremos 𝐴1,…, 𝐴ℎ y 𝐵1, …, 𝐵 𝑘.
Los sucesos 𝐴 𝑖 sonmutuamente excluyentesycolectivamente exhaustivos, al igual que
los sucesos 𝐵𝑗. Sin embargo cada suceso 𝐴 𝑖 puede ocurrir conjuntamente con cualquier
suceso 𝐵𝑗 de modo que se pueden dar las intersecciones 𝐴 𝑖 con 𝐵𝑗.
(𝐴 𝑖 ∩ 𝐵𝑗)
Estas interseccionessonlosresultadoselementalesdel experimento. Dos conjuntos de
sucesos considerados de esta manera conjuntamente se denominan bivariantes y sus
probabilidades se llaman probabilidades bivariantes.

10. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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Ejemplo:
Imaginemosqueun anunciantepotencialquieresaber,no sólo el tamaño dela audiencia de un
determinado programa de televisión, sino también características relevantes de dicha
audiencia dividiendo a las familias en aquellas que ven el programa regularmente,
ocasionalmenteo no ven el programa nunca (todos 𝐴 𝑖) y también aquellos cuyos ingresos son
altos, medios o bajos (todos 𝐵𝑗).
Ven el programa regularmente Ingresos altos
Ven el programa ocasionalmente 𝐴 𝑖 Ingresos medios 𝐵𝑗
No ven el programa Ingresos bajos
Estos resultados dan una tabla de resultados conjuntos
𝐵1 𝐵2 𝐵3
𝐴1 ( 𝐴1 ∩ 𝐵1) (𝐴1 ∩ 𝐵2) (𝐴1 ∩ 𝐵3)
𝐴2 (𝐴2 ∩ 𝐵1) (𝐴2 ∩ 𝐵2) (𝐴2 ∩ 𝐵3)
𝐴3 (𝐴3 ∩ 𝐵1) (𝐴3 ∩ 𝐵2) (𝐴3 ∩ 𝐵3
Enfoque alternativo: Diagrama de árbol
A
M
Regularmente B
A
Población total Ocasionalmente M
B
A
Nunca M
B

11. Tema 3: Introducciónal conceptode probabilidad
Estadística II
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Definición
En el contexto de las probabilidades bivariantes 𝑃(𝐴 𝑖 ∩ 𝐵𝑗) se llama probabilidades
conjuntas siendo 𝑃(𝐴 𝑖) y 𝑃(𝐵𝑗)probabilidades marginales.
Ejemplo:
(El mismo que el de anunciante)
Frecuencia Ingresos Total
Altos Medios Bajos
Regularmente
Ocasionalmente
Nunca
0,04 0,13 0,84 0,21
0,10 0,11 0,06 0,27
0,13 0,17 0,22 0,52
Total 0,27 0,41 0,32
Tiene que salir 1 para estar bien
¿Cuáles la probabilidad dequeuna persona elegida al azar vea el programa ocasionalmente?
𝑃( 𝑣𝑒𝑎 𝑜𝑐𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎) = 0,27
𝑃( 𝑣𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎) = 0,21
𝑃( 𝑛𝑜 𝑣𝑒𝑎 𝑛𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎) = 0,52
𝑃(𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑜𝑠) = 0,27
𝑃(𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑏𝑎𝑗𝑜𝑠) = 0,32
𝑃(𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠) = 0,41
𝑃( 𝑣𝑒𝑎 𝑜𝑐𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒/𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠) =
0,11
0,41
= 0,27
𝑃( 𝑣𝑒𝑎𝑜𝑐𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒/𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠) =
0,11
0,27
= 0,41
1,00