ejercicios

1. EJERCICIOS RESUELTOS DE
GRAFOS Y DÍGRAFOS
Bachiller: José M. Meléndez Carrillo
Estructuras Discretas II - Edecio Freitez - SAIA
A

2. DADO EL SIGUIENTE
GRAFO :

3. 1 - M AT R I Z D E A DYAC E N CIA
 La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada A, en la que sus entradas AIJ
pertenecen al número de aristas que van desde VI hasta su vértice VJ.
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4. 2 - M AT R I Z D E I N C I D E NCI A
 La matriz de incidencia es una matriz M, en la que sus entradas MIJ son el número
de veces que la arista J coincide en el vértice I.
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5. 3- ¿Es conexo? El grafo dado es conexo debido a que existe una cadena
entre cualquier par de vértices.
4- ¿Es simple? El grafo es simple ya que no tiene ciclos y no posee mas
de una arista uniendo un par de vértices, se puede observar que para cada
par de vértices que están unidos dicha unión es a través de una sola arista.
5- ¿Es regular? El grafo estudiado no es regular debido a que el grado de
incidencia del vértice V1=5 y el del vértice V3, por lo tanto para que un
grafo sea regular todos los vértices deberían de tener el mismo grado de
incidencia.
6- ¿Es completo? Se puede observar que el grafo es completo porque el
vértice V1 no esta conectado al vértice V5 y para que sea completo cada
vértice debe estar conectado a cualquier otro vértice distinto.

6. 7- Una cadena simple no elemental de grado 6.
Una simple no elemental de grado 6 (se repite el vértice V4) es:
V6 a20 V8 a19 V4 a17 V7 a15 V5 A11 V3 a13 V4.
8- Un ciclo no simple de grado 5.
Un ciclo no simple de grado 5 (se repite la arista a11) es:
V3 a11 V5 a15 V7 a17 V4 a13 V3 a11 V5.

7. 9-ÁRBOL GENERADOR APLICANDO EL
ALGORITMO CONSTRUCTOR :
 Paso 1: Elegir S1=V1, y se coloca H1= {V1}
 Paso 2: Se elige a a4 que conecta a V1 con V4 y se coloca H2= {V1,V4}

8.  Paso 3: Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 y se coloca
H3= {V1, V4, V7}.
 Paso 4: Se elige la arista a17 que conecta V7 con V5 y se coloca
H4= {V1, V4, V7, V5}.

9.  Paso 5: Se elige la arista a19 que conecta V5 con V8 y se coloca
H5= {V1, V4, V7, V5, V8}.
 Paso 6: Se elige la arista a20 que conecta V8 con V6 y se coloca
H6= {V1, V4, V7, V5, V8, V6}.

10.  Paso 7: Se elige la arista a10 que conecta V6 con V2 y se coloca
H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2}.
 Paso 8: Se elige la arista a3 que conecta V2 con V3 y se coloca
H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2, V3}.

11. 1 0 - S U B G R A F O PA RC I A L .
Con V= {V1, V4, V3, V2} y A= {a4, a2, a11, a3, a1}

12. 11- Demostrar si es Euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.
El grafo no es euleriano debido a que no es posible la construcción de un ciclo
euleriano, ya que no todos los vértices tienen grado par.
12- Demostrar si es Hamiltoniano.
El numero de vértices que posee el grafo es8, el grado de V1 es Gr(V1) ≥ 4, el
de V2 es Gr(V2) ≥ 4, el de V8 es Gr(V8) ≥ 4, además de ser un grafo simple, por
lo tanto de es grafo es Hamiltoniano. En la siguiente figura podremos ver un ciclo
Hamiltoniano.
.

13. DADO EL SIGUIENTE
GRAFO:

14. 1 - M AT R I Z D E C O N E X I Ó N
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Ma=
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15.  2- ¿Es simple?
Se puede decir que el dígrafo es simple ya que no posee ni
arcos ni lazos paralelos.
 3- Una cadena no simple no elemental de grado 5.
Una cadena no simple elemental de grado 5 (se repite el vértice
V4) es: V4 a3 V2 a2 V3 a7 V5 a11 V4 a12 V6.
 4- Un ciclo simple.
C=V1 a6 V5 a11 V4 a9 V1

16. 5-DEMOSTRAR SI ES FUERTEMENTE CONEXO
U T I L I Z A N D O L A M AT R I Z D E AC C E S I B I L I DA D.
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MC=
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17. 0
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MC3=
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MC2=
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18. 1
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MC4=
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19. 6-LA DISTANCIA DE V2 A LOS DEMÁS
VÉRTICES UTILIZANDO EL ALGORITMO DE
DIJKSTRA.
Paso1:
D0 (V2) = 0; U0= V2
Paso2:
D1 (V1) = min (Inf, Inf) = Inf
D1 (V3) = min (Inf, 3) = 3
D1 (V4) = min (Inf, 4) = 4
D1 (V5) = min (Inf, Inf) = Inf
D1 (V6) = min (Inf, 3) = 3
U1= V3; D1 (U1) = 3

20. Paso 3:
D2 (V1) = min (Inf, 3 + Inf) = Inf
D2 (V4) = min (4, 3 + 1) = 4
D2 (V5) = min (Inf, 3 + 4) = 7
D2 (V6) = min (Inf, 3) =3
U2= V6; D2 (U2) = 3
Paso 4:
D3 (V1) = min (Inf, 3 + Inf) =Inf
D3 (V4) = min (4, 3 + Inf) =Inf
D3 (V5) = min (7, 3 + 3) =6
U3= V4; D3 (U3) = 4

21. Paso 5:
D4 (V1) = min (Inf, 4 + 4) =8
D4 (V5) = min (6, 4 + Inf) =6
U4= V5; D4 (U4) = 6
Paso 6:
D5 (V1) = min (8, 6 + Inf) =8
U5= V1; D5 (V1) = 8
Entonces:
D(V2, V1)= 8, D(V2, V2)= 0, D(V2, V3)= 3, D(V2, V4)= 4, D(V2,V5)= 6
y D(V2,V6)=3.