1. ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
CAPÍTULO 9
Inferencias acerca de proporciones
PROFESIONAL EN FORMACIÓN:
Wilson Arturo Torres Ayala
DOCENTE:
Ing. Luis Patricio Puchaicela Huaca
PARALELO:
C
LOJA-ECUADOR
2007-2008

2. RESUMEN
En este capítulo se estudian técnicas de gran importancia para hacer inferencias acerca
de una sola proporción con muestras bastante grandes. Además se estudia la forma de
determinar el tamaño de la muestra cuando se tiene una estimación previa de p, y
también cunado no la hay.
Hablaremos acerca de los intervalos de confianza, y de la comparación de hipótesis.
MARCO TEÓRICO
ESTIMACIÓN DE PROPORCIONES
Si se quiere estimar una proporción de una población de interés, se identifica un rasgo
específico y luego se clasifica a cada elemento de la población según posea dicho rasgo
o carezca de él.
Estimador puntual de p
X
p=
ˆ
n
X = número en la muestra que tiene el rasgo
n = tamaño de la muestra
Si podemos darnos cuenta esta fórmula no es otra cosa que una media muestral.
ˆ
Un estimador puntual p tiene distribución aproximadamente normal y posee las
siguientes características, es insesgado respecto de p y tiene varianza pequeña para
muestras grandes.
Intervalos de confianza para p
Al referirnos a intervalos de confianza estamos hablando de establecer límites los cuales
deben ser estadísticas, es decir tienen que ser variables aleatorias de tal manera que
puedan extraerse de una muestra.
Para poder obtener los límites de confianza nos valemos del teorema de límite central,
siempre y cuando la muestra sea lo suficientemente grande para que haya una mínima
diferencia entre dos puntos, z y t.
Los límites de confianza se los expresa de acuerdo a la siguiente fórmula:
p ± z α / 2 p(1 − p ) / n
ˆ ˆ ˆ
Tamaño de una muestra para estimar p
Anteriormente se dijo que la muestra debe ser bastante grande para que los resultados
no varíen mucho. Pero como saber para determinar el tamaño de la muestra.
Existen dos formas para establecer el tamaño de la muestra. La primera cuando se
cuenta con la estimación de p basada en experimentos previos.
2
p(1 − p )
ˆ
n = zα / 2 2
d

3. El segundo procedimiento para determinar el tamaño de la muestra es cuando no se
tiene una estimación previa de p. Para esto hay que remplazando ¼ por p(1 − p ) en la
ˆ ˆ
fórmula anterior, concluyendo en lo siguiente:
2
n = zα / 2
4d2
PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE UNA PROPORCIÓN
Las hipótesis sometidas a prueba pueden asumir cualquiera de las tres formas usuales
que describiremos a continuación. Si p0 es el valor nulo de p .Esas formas son las
siguientes:
I H 0 : p = p0
H 1 : p > p0
Prueba de cola derecha
Al evaluar una cola derecha se rechaza H 0 y se acepta H 1 si el valor es un número
positivo grande.
II H 0 : p = p0
H 1 : p < p0
Prueba de cola izquierda
En una prueba de cola izquierda los números negativos grandes llevan al rechazo.
III H 0 : p = p0
H 1 : p ≠ p0
Prueba de dos colas
Mientras que en una prueba de dos colas H 0 se rechaza cuando los valores de prueba
son excesivamente grandes ya sean positivos o negativos.
La estadística usada es X, y tiene distribución binomial con parámetros n y p0 cuando
la hipótesis nula es verdadera.
Estadística de prueba para verificar H 0 : p = p0
( p − p 0 ) / p 0 (1 − p0 ) / n
ˆ
ˆ
Esto es una opción lógica cuando se compara el estimador puntual insesgado de p con
el valor nulo p0 .
COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES: ESTIMACIÓN
Usualmente se compara dos proporciones en ingeniería, cuando existen dos poblaciones
de interés y es factible clasificar a cada elemento de la población como poseedor de un

4. rasgo o carente de este. Estas muestras son independientes, de tal modo que los objetos
obtenidos de una no determinan cuales objetos se deben extraer de la otra.
Para estimar la diferencia puntual de dos proporciones se resta una estimación puntual
de la otra, de esta forma:
p1 − p 2 = p1 − p 2 = X 1 / n1 − X 2 / n2
ˆ ˆ
Intervalo de confianza de p1 − p 2
La distribución de probabilidad de un estimador puntual p1 − p 2 se expresa en es te
ˆ ˆ
teorema:
En el caso de muestras grandes, el estimador p1 − p 2 es aproximadamente normal, con
ˆ ˆ
media p1 − p 2 y varianza p1 (1 − p1) / n1 + p 2 (1 − p 2 ) / n2
Al igual que en el caso de una muestra, el problema se resuelve al sustituir las
ˆ ˆ
proporciones poblacionales con sus estimadores puntuales p1 y p 2 . Esto nos da como
resultado la siguiente fórmula:
( p1 − p 2 ) ± z α / 2 p1 (1 − p1 ) / n1 + p 2 (1 − p 2 ) / n2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Entonces si queremos relacionar dos proporciones con gran exactitud las muestras que
se seleccionen deben ser de igual tamaño en cada población.
COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES: PRUEBA DE HIPÓTESIS
Suele ocurrir que en algunos problemas antes del experimento, una proporción o
porcentaje difieren de otro en una cantidad específica. Dado que ( p1 − p 2 ) 0 representa
el valor nulo de la diferencia entre las proporciones tenemos:
H 0 : p1 − p 2 = ( p1 − p 2 ) 0 H 0 : p1 − p 2 = ( p1 − p 2 ) 0 H 0 : p1 − p 2 = ( p1 − p 2 ) 0
I II III
H 1 : p1 − p 2 > ( p1 − p 2 ) 0 H 1 : p1 − p 2 < ( p1 − p 2 ) 0 H 1 : p1 − p 2 < ( p1 − p 2 ) 0
Prueba de cola derecha Prueba de cola izquierda Prueba de dos colas
La siguiente fórmula es una opción lógica de estadística de prueba ya que en ella se
compara la diferencia estimada de las proporciones p1 − p 2 con su diferencia hipotética
ˆ ˆ
( p1 − p 2 ) 0 . Si el valor hipotético es correcto las diferencias deben tener valores muy
cercanos entre si. Entonces el numerador debe ser cercano a cero, para que la estadística
.de prueba tenga un valor bajo
( p1 − p 2 ) − ( p1 − p 2 ) 0
ˆ ˆ
p1 (1 − p1 ) / n1 + p 2 (1 − p 2 ) / n2
ˆ ˆ ˆ ˆ

5. Proporciones agrupadas
Si la diferencia hipotética ( p1 − p 2 ) 0 puede tener cualquier valor, el propuesto mas
comúnmente es cero.
H 0 : p1 = p 2 H 0 : p1 = p 2 H 0 : p1 = p 2
I II III
H 1 : p1 > p 2 H 1 : p1 < p 2 H 1 : p1 ≠ p 2
Prueba de cola derecha Prueba de cola izquierda Prueba de dos colas
ˆ
Para poder analizar estas hipótesis existe otro procedimiento que aprovecha que p1 y
ˆ
p 2 son estimadores de una misma proporción, que se denota con p, si H 0 es verdadera.
ˆ ˆ
Puesto que p1 y p 2 son estimadores insesgados de p, tiene sentido que se los combine.
Para poder agrupar se multiplica cada estimador por su tamaño muestral para obtener el
estimador agrupado de p:
n1 p1 + n2 p 2
ˆ ˆ
p=
ˆ
n1 + n2
ˆ
Sustituyendo p con p se tiene:
p1 − p 2
ˆ ˆ
p(1 − p )(1 / n1 + 1 / n2 )
ˆ ˆ
La fórmula anterior es una estadística para comparar dos proporciones. Esta
combinación es inapropiada para probar H 0 : p1 − p 2 = ( p1 − p 2 ) 0 , donde ( p1 = p 2 ) ≠ 0 ,
ˆ ˆ
en virtud de que p1 y p 2 se estiman proporciones distintas.
CONCLUSIONES
-El estimador puntual es una media muestral muy especial. Es decir p = X .
ˆ
-Para poder determinar el tamaño de la muestra cuando no se tienen una estimación
2
p(1 − p )
ˆ ˆ
previa se remplaza ¼ por p(1 − p ) en la fórmula n = z α / 2 2
ˆ ˆ quedando la nueva
d
2
expresión de la siguiente manera n = z α / 2 .
4d2
-Si queremos obtener el estimador agrupado de p cuando p1 = p 2 , se multiplica cada
estimador por su tamaño muestral.