PH1M

2. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
Adriana Quintero Palomino
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
HIP ´OTESIS ESTAD´ISTICA
Cuando un cient´ıfico o un ingeniero conjeturan algo acerca de un sistema, se
ven obligados a utilizar datos experimentales para poder tomar una decisi´on.
La conjetura que se plantea puede ser expresada en forma de una hip´otesis
estad´ıstica.
En esta presentaci´on describiremos los procedimientos que conducen a la
aceptaci´on o al rechazo de algunas hip´otesis estad´ısticas de inter´es general,
las cuales hacen parte del conjunto de conceptos de la inferencia estad´ıstica.

4. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
ESTRUCTURA DE LA PRUEBA DE HIP ´OTESIS
La conjetura que se desea probar se denomina hip´otesis nula, y esta se denota
con H0. Cuando se rechaza el planteamiento, es decir H0, debe existir la
aceptaci´on de una contraparte, la cual se denominar´a hip´otesis alternativa, que
se denota con H1.
La hip´otesis alternativa H1 por lo general representa la pregunta que se
responder´a o la teor´ıa que se probar´a, por lo que su especificaci´on es muy
importante. La hip´otesis nula H0 anula o se opone a H1 y a menudo es el
complemento l´ogico de H1. En este sentido se podr´an tener cualquiera de las
siguientes dos conclusiones:
Rechazar H0 a favor de H1 debido a evidencia suficiente en los datos.
No rechazar H0 debido a evidencia insuficiente en los datos.
EJEMPLO: HIP ´OTESIS
H0: El 90 % de los estuadiantes de Probabilidad y Estad´ıstica de
Colombia aprueban el curso.

5. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
ERROR TIPO I
El rechazo de la hip´otesis nula cuando es verdadera se denomina error tipo I.
ERROR TIPO II
No rechazar la hip´otesis nula cuando es falsa se denomina error tipo II.
H0 es verdadera H0 es falsa
No rechazar H0 Decisi´on correcta Error tipo II
Rechazar H0 Error tipo I Decisi´on correcta
P-VALOR
Un valor P es el nivel (de significancia) m´as bajo en el que el valor observado
del estad´ıstico de prueba es significativo.

6. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
El modelo para la situaci´on subyacente se centra alrededor de un experimento
con X1, X2, . . . , Xn, que representan una muestra aleatoria de una distribuci´on
con media µ y varianza σ2 > 0. Para la hip´otesis: H0 : µ = µ0 H1 : µ = µ0
El estad´ıstico de prueba adecuado se debe basar en la variable aleatoria ¯X.
PROCEDIMIENTO DE PRUEBA PARA UNA SOLA MEDIA (VARIANZA
CONOCIDA)
z = ¯x−µ0
σ√
n
> −zα/2 o z = ¯x−µ0
σ√
n
< zα/2
Si −zα/2 < z < zα/2, no se rechaza H0. El rechazo de H0, desde luego,
implica la aceptaci´on de la hip´otesis alternativa µ = µ0. Con esta definici´on
de la regi´on cr´ıtica deber´ıa quedar claro que habr´a ? probabilidades de
rechazar H0 (al caer en la regi´on cr´ıtica) cuando, en realidad, µ = µ0

7. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
EJEMPLO: PRUEBA DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA (σ2 CONOCIDA)
Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas con queso chedar pesan, en
promedio, 5.23 onzas, con una desviaci´on est´andar de 0.24 onzas. Pruebe la
hip´otesis de que µ = 5,5 onzas contra la hip´otesis alternativa de que µ < 5,5
onzas, al nivel de significancia de 0.05.

8. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
Soluci´on:
1 Identificar datos:
Tama˜no de muestra: n = 64
Media poblacional: µ = 5,23
Deasviaci´on poblacional: σ = 0,24
Media muestral: ¯x = 5,5
Nivel de significancia: α = 0,05
2 Planteamiento de Hip´otesis:
H0 : µ = 5,5
H1 : µ < 5,5
3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ < 5,5, la prieba que se
realizar´a ser´a de una sola cola, por tanto se rechazar´a H0 si z < −1,645
4 Calcular estad´ıstico de prueba: z = 5,5−5,23
0,05√
64
z = 43,2
5 Decisi´on: No rechazar H0
6 Conclusi´on: No existe evidencia para afirmar que una bolsa de palomitas
con queso chedar pesa en promedio menos de 5.5 onzas.

9. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
PROCEDIMIENTO DE PRUEBA PARA UNA SOLA MEDIA (VARIANZA
DESCONOCIDA)
El estad´ıstico t para una prueba sobre una sola media. Para la hip´otesis
bilateral (dos colas):
H0 : µ = µ0
H1 : µ = µ0
rechazamos H0 a un nivel de significancia α cuando el estad´ıstico t calculado
t = ¯x−µ
S√
n
excede a t(α/2,n−1) o es menor que −t(α/2,n−1).
EJEMPLO: PH PARA UNA MUESTRA (σ2 DESCONOCIDA)
Se afirma que los autom´oviles recorren en promedio m´as de 20.000
kil´ometros por a˜no. Para probar tal afirmaci´on se pide a una muestra de 100
propietarios de autom´oviles seleccionada de manera aleatoria que lleven un
registro de los kil´ometros que recorren. ¿Estar´ıa usted de acuerdo con esta
afirmaci´on, si la muestra aleatoria indicara un promedio de 23.500 kil´ometros
y una desviaci´on est´andar de 3900 kil´ometros?

10. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
Soluci´on:
1 Identificar datos:
Tama˜no de muestra: n = 100
Media poblacional afirmada: µ = 20000
Desviaci´on muestral: S = 3900
Media muestral: ¯x = 23500
Nivel de significancia: Se fijar´a en α = 0,01
2 Planteamiento de Hip´otesis:
H0 : µ = 20000
H1 : µ > 20000
3 Establecer zona de aceptaci´on: Dado que H1 : µ > 20000, la prueba que
se realizar´a ser´a de una sola cola, por tanto se rechazar´a H0 si
t > t(0,01,99) = 2,364
4 Calcular estad´ıstico de prueba: z = 20000−235300
3900√
100
z = −8,97
5 Decisi´on: No rechazar H0
6 Conclusi´on: No existe evidencia para afirmar que los autom´oviles
recorren en promedio menos de 20.000 kil´ometros por a˜no.

11. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
PRUEBA DE UNA PROPORCI ´ON (MUESTRAS PEQUE ˜NAS)
1 H0 : p = p0.
2 Una de las alternativas H1 : p < p0, p > p0 o p = p0.
3 Elegir un nivel de significancia igual a α.
4 Estad´ıstico de prueba: variable binomial X con p = p0.
5 C´alculos: obtener x, el n´umero de ´exitos, y calcular el valor P adecuado.
6 Decisi´on: sacar las conclusiones apropiadas con base en el valor P.
EJEMPLO: PRUEBA DE UNA PROPORCI ´ON (MUESTRAS PEQUE ˜NAS)
Un constructor afirma que en 70 % de las viviendas que se construyen
actualmente en la ciudad de Richmond, Virginia, se instalan bombas de calor.
¿Estar´ıa de acuerdo con esta afirmaci´on si una encuesta aleatoria de viviendas
nuevas en esta ciudad revelara que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor?
Utilice un nivel de significancia de 0.10.

12. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
Soluci´on:
1 H0 : p = 0,7
2 H1 : p = 0,7
3 α = 0,10
4 Estad´ıstico de prueba: Variable binomial X con p = 0,7 y n = 15.
5 C´alculos: x = 8 y np0 = (15)(0,7) = 10,5. Por lo tanto, el valor P
calculado es:
P = 2P(X ≤ 8 cuando p = 0.7) = 2 8
x=0 b(x; 15, 0,7) = 0,2622 > 0,10
6 Decisi´on: No rechazar H0. Concluir que no hay raz´on suficiente para
dudar de la afirmaci´on del constructor.

13. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
PRUEBA DE UNA PROPORCI ´ON (MUESTRAS GRANDES)
Sin embargo, para n grande por lo general se prefiere la aproximaci´on de la
curva normal, con los par´ametros µ = np0 y σ2 = np0q0, la cual es muy
precisa, siempre y cuando p0 no est´e demasiado cerca de 0 o de 1. Si
utilizamos la aproximaci´on normal, el valor z para probar p = p0 es dado por
z =
xnp0
√
np0q0
=
ˆp − p0
p0q0/n
que es un valor de la variable normal est´andar Z. Por consiguiente, para una
prueba de dos colas al nivel de significancia α, la regi´on cr´ıtica es z < −zα/2
o z > zα/2. Para la alternativa unilateral p < p0, la regi´on cr´ıtica es z < −zα,
y para la alternativa p > p0, la regi´on cr´ıtica es z > zα.

14. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
PRUEBA SOBRE LA VARIANZA POBLACIONAL
Para probar la hip´otesis nula H0 de que la varianza de la poblaci´on σ2 es igual
a un valor espec´ıfico σ2
0 contra una de las alternativas comunes σ2 < σ2
0,
σ2 > σ2
0 o σ2 = σ2
0. El estad´ıstico apropiado sobre el que basamos nuestra
decisi´on es el estad´ıstico chi cuadrada. Por lo tanto, si suponemos que la
distribuci´on de la poblaci´on que se muestrea es normal, el valor de chi
cuadrada para probar σ2 = σ2
0 es dado por
χ2
=
(n − 1)s2
σ2
0
donde n es el tama˜no de la muestra, s2 es la varianza muestral y σ2
0 es el valor
de σ2 dado por la hip´otesis nula. Si H0 es verdadera, χ2 es un valor de la
distribuci´on chi cuadrada con v = n − 1 grados de libertad. En consecuencia,
para una prueba de dos colas a un nivel de significancia α, la regi´on cr´ıtica es
χ2 < χ1−α/2 o χ2 > χα/2. Para la alternativa unilateral σ2 < σ2
0, la regi´on
cr´ıtica es χ2 < χ1−α/2; y para la alternativa unilateral σ2 > σ2
0, la regi´on
cr´ıtica es χ2 > χα/2.

15. PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA PRUEBAS DE HIP ´OTESIS PARA UNA MUESTRA
EJEMPLO: PRUEBA SOBRE LA VARIANZA POBLACIONAL
Se deben supervisar las aflotoxinas ocasionadas por moho en cosechas de
cacahuate en Virginia. Una muestra de 64 lotes de cacahuate revela niveles de
24.17 ppm, en promedio, con una varianza de 4.25 ppm. Pruebe la hip´otesis
de que σ2 = 4,2 ppm contra la alternativa de que σ2 = 4,2 ppm. Utilice un
valor P en sus conclusiones.
Soluci´on:
1 Planteamiento de hip´otesis:
H0 : σ2 = 4,2
H1 : σ2 = 4,2
2 Nivel de significancia: α = 0,05 (Seleccionado arbitrariamente)
3 Establecer regi´on cr´ıtica: χ2
(63,0,975) = 42,9644 y χ2
(63,0,025) = 86,8153
4 Estad´ıstico de prueba: χ2 = (63)(4,25)
4,2 χ2 = 63,75
5 Decisi´on: No existe evidencia suficiente para afirmar σ2 no es igual a 4.2
a un nivel de significancia del 5 %.