ESTUDIOS_GENERALES MATEMATICA.pdf

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ESTUDIOS GENERALES 1

OBJETIVO GENERAL
Al finalizar el curso el participante estará en las condiciones de comprender,
analizar, aplicar propiedades de cálculo, y resolver las situaciones problemáticas
que se les presente y poder iniciar su formación profesional, siendo creativo, con
autonomía de aprendizaje, crítico y desarrollando su pensamiento matemático,
manifestando interés, confianza y perseverancia en su desarrollo personal.

ÍNDICE
Unidades:
OBJETIVO GENERAL
1. OPERACIONES BÁSICAS Y ECUACIONES
2. NOCIONES Y OPERACIONES CON FRACCIONES
3. NÚMEROS DECIMALES
5. TRIGONOMETRÍA BÁSICA
6. RAZONES Y PROPORCIONES
7. MAGNITUDES PROPORCIONALES
8.REGLA DE TRES
9.PORCENTAJE
10.ÁNGULO - ÁNGULOS FORMADOS DE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA
SECANTE
11. POLÍGONOS: TRIÁNGULOS CUADRILÁTEROS
12.MEDIDAS DE LONGITUD - PERÍMETRO
13.MEDIDAS DE SUPERFICIE
14.VOLUMEN
está mal

OPERACIONES BÁSICAS Y
ECUACIONES
1
UNIDAD

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Un número natural es cualquiera de los
números: 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para
contar los elementos de un conjunto. Reciben
ese nombre porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar objetos de la
naturaleza.
1. Números Naturales
2. Operaciones en el conjunto de números naturales
Propiedades de la sustracción:
2.1 Adición:
2.2 Sustracción:
Ejemplo:
Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de
números naturales (a; b) su suma a + b.
a. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.
S + D = M
b. La suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL
MINUENDO.
M + S + D = 2M
Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares
de números naturales (a; b) su diferencia a - b.
7 + 8 + 13 = 28
235 - 140 = 95
DIFERENCIA (D)
SUSTRAENDO (S)
MINUENDO (M)

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ESTUDIOS GENERALES
6
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
18 x 15 = 270
an = a • a • a • .……… • a = P
Multiplicando Multiplicado Producto
“n" veces a
La diferencia de dos números es 305, si al sustraendo le restamos 20 ¿Cuál es la
nueva diferencia?
Resolución:
Sabemos que: a – b = 305
Al sustraendo le restamos 20: a – (b – 20)
Eliminamos paréntesis: a – b + 20
Pero: a – b = 305 entonces: 305 + 20
La nueva diferencia es: 325
2.3 Multiplicación:
2.3 Potenciación:
Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos pares
de números naturales (a; b) su producto a.b.
Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo
varias veces.
Elementos:
a: base
n: exponente
P: Potencia
Propiedades de la potenciación:
Nota: 00
= no está definido.
a. Potencia de exponente cero:
ao
= 1 siempre que a ≠ 0
b. Potencia de exponente uno:
a1
= a

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2.5 División:
Dados dos números naturales (a y b) donde b ≠ 0, se llama cociente de a y b, se
denota, al número natural c, si existe, tal que a = b.c.
Se denomina "división" a la operación que hace corresponder a ciertos pares de
números naturales (a; b) su cociente.
2.6 Radiacción:
28 7
04
28 = 7. (4) D = d.q
d
q
34 = 8. (4) + 2 D = d.q + r
Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que dados
dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número llamado raíz,
donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así se tiene:
D
0
Ejemplo:
Dividir 104 entre 11 Elementos:
Residuo (r)
Cociente (q)
104 11
99 9
5
Dividendo (D) Divisor (d)
Además: 104 = 11• 9 + 5
Algoritmo de la división
Clases de división:
a. Exacta (residuo = 0).
b. Inexacta (residuo ≠ 0).

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ESTUDIOS GENERALES
8
Ejemplo:
Solución:
2.7 Operaciones combinadas:
Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los signos
de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.)
Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en el
siguiente orden:
• Primero: La potenciación o radicación.
• Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que aparecen) "de izquierda
a derecha"
• Tercero: Adición o Sustracción.
Índice
Raíz
Radicando
Radical

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Problemas Resueltos
1. Efectuar:
2. Efectuar:
3. Un maestro y dos ayudantes hacen
una obra. El maestro recibe 6 veces
de lo que recibe el primer ayudante y
el segundo recibe 7343 nuevos soles
menos que el primero. Si el primer
ayudante recibe 3 veces 8341 nuevos
soles, se desea saber:
a) ¿Cuánto recibe el primer ayudante?
b) ¿Cuánto recibe el maestro?
c) ¿Cuánto recibe el segundo
ayudante?
d) La cantidad que pagó el dueño de
la obra.
Resolución:
a) El primer ayudante recibe:
3(8341)= S/. 25 023
b) El segundo ayudante recibe: 7343
Resolución:
Resolución:
nuevos soles menos que el primero:
25 023 – 7343 = S/.17 680
c) El maestro recibe 6 veces del
primer
ayudante:
6 ( 25 023) = S/. 150 138
d) El dueño pagó por la obra:
= 25 023 + 17 680 + 150 138
= S/. 192 841
+
2 0

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ESTUDIOS GENERALES
10
Problemas sobre cortes y estacas
1. Número de Partes
2. Número de Estacas
3. Número de Cortes
Ejemplo:
Solución:
Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de
5 m se podrán obtener?
Línea abierta
Línea abierta
Línea cerrada
Línea cerrada

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Problemas Resueltos
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si cada
árbol están separados 50 m?
N° árboles = 5
N° árboles = 4
50 m
50 m
50 m
50 m
2. Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro es 200
m y los árboles deben estar separados 50 m?
3. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios realizar
para obtener trozos de 50 m?
200
50 m 50 m
CORTES
50 m 50 m
1° 2° 3°
200
50 50 50 50

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ESTUDIOS GENERALES
12
N° cortes = Z
N° árboles = 3
5 m
5 m
5 m
5 m
cortes
4. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios
realizar, para obtener trozos de 5 m?
1°
4°
2°
3°
cortes
cortes
está mal resuelto

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Ecuaciones
Es una igualdad que se verifica solo para determinados valores de sus incógnitas.
En toda ecuación se distingue:
A rasgos generales, diremos que solucionar una ecuación significa despejar la
incógnita.
Se entiende por despejar una incógnita, al hecho de dejar a ésta totalmente aislada
y con signo positivo en cualquiera de los dos miembros de la ecuación.
Evidentemente, a cualquier incógnita de cualquier ecuación, no le va a ocurrir
que esté despejada de entrada. Pues bien, para despejar una incógnita va a
ser necesario efectuar determinadas maniobras con los dos miembros de la
ecuación, hasta despejarla, maniobras que consisten en transponer términos de
un miembro a otro.
• Cuando un término está SUMANDO en un miembro, pasa al otro miembro
RESTANDO.
• Cuando un término está RESTANDO en un miembro, pasa al otro miembro
SUMANDO.
• CuandountérminoestáMULTIPLICANDOenunmiembro,pasaalotromiembro
DIVIDIENDO a todo el miembro
• Cuando un término está DIVIDIENDO en un miembro, pasa al otro miembro
MULTIPLICANDO a todo el miembro
• Los términos pueden pasar del miembro de la izquierda al de la derecha o
viceversa.
• Resolver una ecuación significa, hallar los valores de "x" que la satisfacen.
• Los valores de "x" que satisfacen a una ecuación reciben el nombre de
soluciones o raíces.
1. Ecuación
2. Transposición de términos
Reglas Prácticas de la Transposición de Términos
3x + 5 = x + 9
Primer Segundo
Ejemplo: Trasposición de términos en una ecuación.

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ESTUDIOS GENERALES
14
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 = 6 + 2x
4x - 2x = 6 + 8
2x = 14
a. Pasamos el término 8 que esta restando al segundo
miembro sumando.
b. De la misma forma, pasamos el término 2x que está
sumando en el segundo miembro, al primer miembro
restando.
c. Operamos y en la ecuación obtenida 2x = 14,
pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo.
Este último paso se llama despejar la incógnita.
Ejemplo: También aplicamos para el despeje de variable en fórmulas. Si tenemos la
siguiente fórmula , y deseamos despejar la variable
a) la expresión que está en el segundo miembro
restando, pasa al primer miembro sumando
b) la variable V que está multiplicando, pasa
dividiendo a toda la expresión del primer
miembro.
De esta manera despejamos la variable “t”.
3. Planteo de Ecuaciones
Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje matemático,
por ello es que debe detenerse a reflexionar sobre algunos aspectos de este
lenguaje. El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un
lenguaje conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones.
Lenguaje común Lenguaje matemático
La suma de 2 números consecutivos más 3
El cuadrado de la suma de 2 números
El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20
El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20
Tres menos 2 veces un número X
Tres menos de 2 veces un número X
El producto de 5 números consecutivos
x + (x+1) + 3
(x+y)2
4 y + 2 0
4 ( x + 2 0 )
3 - 2 x
2 x - 3
(x)(x+1)(x+2)(x+3) (x+4)

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4. Ecuaciones de 1er Grado
Forma General ax + b = 0
Donde:
x: Incógnita
a y b: Coeficientes
a R, b R
Ejemplo:
Solución:
5. Sistema de Ecuaciones
Ejemplo:
Enmatemáticas,unsistemadeecuacionesesunconjuntodedosomásecuaciones
con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor
para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema
se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que se reemplaza en las
incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Entre los métodos más elementales de resolución tenemos.
a. Método de Sustitución: De una de las ecuaciones se despeja una de las
incógnitas en función de la otra y el resultado se sustituye en la otra ecuación
obteniéndose una ecuación con una incógnita.
Sea el sistema:
Sustituimos en (2):
de (1):
Escriba el texto aquí
Escriba el texto aquí

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ESTUDIOS GENERALES
16
Sustituyendo este valor en ( A )
C.S. = { 3 ; 4 }
b. Método de Igualación: De las dos ecuaciones del sistema. Se despeja el valor
de la misma incógnita en función de la otra y se igualan ambos resultados
obteniéndose una ecuación con una incógnita.
Despejando "x":
Donde: A=B
Reemplazando en ( A )
C.S. = { 3 ; 4 }
a. Método de Reducción: Consiste en buscar que la incógnita a eliminar tenga el
mismo coeficiente, para lo cual se multiplica cada incógnita por el coeficiente
que tenga la incógnita en la otra sumando o restando las ecuaciones obtenidas
según tengan los coeficientes de las incógnitas a eliminar signos contrarios o
iguales.
Ejemplo:
Sea el sistema:
(1) x 4
(2) x 5
A+B
C.S. = { 3 ; 4 }
... conjunto solución erróneo
de ejemplo.
C.S: (-139/7; 92/7) ... correcto

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La ecuación de 2do Grado o cuadrática posee dos “raíces” que cumplen con la
ecuación.
Ejemplo:
6. Ecuaciones de 2do Grado
Forma general: ax2
+ bx + c = 0
x2 + 5x + 6 = 0
a ≠ 0
Para x = -3
(-3)2
+ 5(-3) + 6 = 0
¡Si cumple!
Para x = -2
(-2)2
+ 5(-2) + 6 = 0
¡Si cumple!
Resolución de Ecuaciones de 2do Grado:
Caso I: Ecuaciones incompletas
a. Forma: ax2
+ c = 0
Para esta forma utilizaremos factorización por diferencia de cuadrados.
Ejemplo:
Ejemplo:
x2 – 16 = 0
(x2 – 42) = 0
(x – 4)(x + 4) = 0
x2
+ 3x = 0
x(x + 3) = 0
x = 0 Ѵ x + 3 = 0
x = 0 Ѵ x = -3
x – 4 = 0 Ѵ x + 4 = 0
x = 4 Ѵ x = -4
Entonces:
Entonces:
C.S. = { 3 ; 4 }
C.S. = { 0 ; -3 }
b. Forma: ax2 + bx = 0
Para esta forma utilizaremos factorización por factor común monomio.

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ESTUDIOS GENERALES
18
Caso II: Ecuaciones completas
a. Formula General: La fórmula general permite resolver cualquier ecuación de
segundo grado.
Ejemplo:
De donde se obtiene dos soluciones: x1
; x2
8x2
–18x – 5 = 0
a = 8 ; b = -18 ; c = -5
Donde:
b. Factorización (Aspa simple): Para esta forma se factoriza por el método de
aspa simple.
Ejemplo:
Entonces:
C.S. = { 5 ; 1 }

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Problemas Resueltos
Eliminando 9x:
Resolución:
1. Resolver:
2. Hace 10 años la edad de A era el
doble de la de B. Actualmente sus
edades suman 56 años. ¿Cuál es la
edad de B?
Resolución:
Sujetos: A y B
Tiempo: Hace 10 años (pasado)
Actualmente (presente)
Condiciones:
La edad de A era el doble de la de B
Actualmente sus edades suman 56 años
Elevando estos datos al cuadro
A 2x 2x+10
x x+10
B
Hace 10 años Actualmente
A = 2B ... (I) A + B = 56 ... (II)
La condición (I) lo hemos utilizado para
poner en la columna de “hace 10 años”
la edad de B igual x y la de A igual a 2x
por ser doble.
Según la condición (II):
3. Resolver el sistema:
Resolución:
(I) Por 5
(II) Por 2
Resolución:
Reemplazamos este valor hallado de x
en la ecuación (I) o en la ecuación (II).
En (I)
El doble del cuadrado de lo que cuesta
una bisagra menos el triple de su costo
es igual a 5 soles. ¿Cuánto cuesta la
bisagra?
Resolución:
El conjunto solución del sistema es:
C.S. = {4;-3}
4. Resolver:
C.S. = {4,1}
5. Resolver:
está mal resuelto

NOCIÓN Y OPERACIONES
CON FRACCIONES
2
UNIDAD

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1. Nociones y Operacionnes con Fracciones
Es aquel número racional que no es entero. (División indicada de 2 enteros no nulos
a y b en la que a no es múltiplo de b).
"Se toma una parte de tres partes
iguales"
= Un tercio =
"Se toma una parte de tres partes
iguales"
= Un tercio =
Numerador (partes que se toma del todo)
Denominador (todo)
Ejemplo:
5
4
1
3
1
2
1
3
1
6
5
8
7
4
5
4
es fracción es fracción
no es fracción ya que 6 = 3
0
Nota: El todo se considera igual a la unidad.
2. Fracción de Fracción:
"El total se divide en tres partes iguales"
"A una de las partes se divide en 2 partes iguales" Cada una de las partes representa:
de de

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ESTUDIOS GENERALES
22
Ejemplo:
Calcular los de es:
Solución:
Para el cálculo de una fracción de fracción, simplemente efectuamos una
multiplicación.
Por lo tanto, concluimos que:
“Los tres quintos de un sexto es un décimo”
3
5
3
7
8
5
2
3
7
3
4
9
9
4
1
6
3
5
1
6
1
10
=
3. Clasificación:
; ; ...etc
; ; ...etc
29
8
29
8
5
8
5
8
29
8 3
8
= =
3 + 3

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3
4
2
7
7
41
7
4
3
11
11
5
13
4
5
9
4
5
19
; ; ; ...
; ; ; ;...
2
12
5
9
6
13
; ;
; ; ; ...
a. Por su denominador
• Decimal: Si su denominador es una potencia entera de 10.
Ejemplo:
Teorema del punto flotante (notación exponencial)
Ejemplo:
• Ordinaria o Común: Si su denominador no es una potencia entera de 10.
Ejemplo:
b. Por grupos de fracciones
• Homogéneas: Si todos tienen el mismo denominador.
Ejemplo:
• Heterogéneas: Si al menos dos de sus denominadores son diferentes.
Ejemplo:
c. Por los divisores de sus términos
• Reductible: Si sus términos tienen divisores comunes.
Ejemplos:
Nota: A partir de una fracción irreductible se pueden obtener todas las fracciones
equivalentes a ella.
si: b≠10k
; K Z+
si: b=10k
; K Z+
17
1000
3
10
59
; ; ; etc
10000
300
23
1000
=0,0023=2,3 x 10-
= 23 x 10-4
= 0,23x10-2
=etc.

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ESTUDIOS GENERALES
24
4. Simplificación de fracciones
5. Fracciones equivalentes
6. Homogenización de denominadores de fracciones
Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez,
IRREDUCTIBLE.
Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos
(numerador y denominador) se dividen entre su MCD.
Ejemplo: ¿Simplificar la fracción 24/180?
Solución:
1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores
comunes hasta lograr una fracción irreducible.
Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.
2º Forma: Dividir al numerador y denominador entre su MCD:
Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.
Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:
1. Reducir a su más simple expresión.
2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.
3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se
multiplica con cada numerador correspondiente.
Ejemplo:
2 4
= = = =...
5 10 30 20
12 8
24 2
24 ÷ 12
24 ÷ MCD (24;180)
= = =
180 15
180 ÷ 12
180 ÷ MCD (24;180)
24 2
=
12
90
45
6
15
180 12

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4
6
5
10
6
8
; ;
8 6
12
12
9
12
; ;
2 7
3
3
8 1
3 3
; ; ;
Solución:
Homogenizar los denominadores de las fracciones:
Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores:
M.C.M. (3, 2, 4) = 12.
Luego, se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de
cada uno se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo:
Esquemáticamente:
4
6
5
10
6
8
; ; ; 2
3
1
2
3
4
; ; ;
2
7
3
2
-
2 8
1 6
2
3 12 12 12
3 9
4
; ; ; ;
X
=
÷ MCM (3, 2, 4 ) = 12
7. Comparación de fracciones
• Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción positiva
y menor la fracción negativa.
Ejemplo:
• Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será mayor
el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor numerador.
Ejemplo:
Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:

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ESTUDIOS GENERALES
26
Solución:
Ordenando de menor a mayor se obtiene:
• Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será
mayor el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor
denominador.
Ejemplo:
Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
Solución:
Ordenando de menor a mayor se obtiene:
• Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se procederá
a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como en el caso
anterior.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
Solución: Primero se homogenizan denominadores (MCM).
MCM (3, 2, 9, 6)
= 18
• Ordenando de menor a mayor se obtiene:
2 7
3
3
8
1
3
3
; ; ;
7 7
9
2
7
7
13
3
; ; ;
7
7
9 2
7 7
13 3
; ; ;
5
15
15
3
=
x
÷
27
27
2
18
18
6
18
18
7
42
15
1
81
27
3
18
18
9
18
18
5
3
2 6
7 1
3 9
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;
Fracciones
Equivalentes
Fracciones
Homogéneas
que son las fracciones equivalentes a

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1
3
2 9
5 7
6 3
; ; ;
respectivamente.
• Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá
realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones: y
Solución:
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones: y
Solución:
7
5
7
5
7
5
56 45
25 32
5
4
5
4
5
4
9
8
9
8
9
8
8
5
8
5
8
5
entonces
entonces

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ESTUDIOS GENERALES
28
Problemas Resueltos
1. De las siguientes fracciones
Cuál es la menor?
Resolución:
Se homogeniza la fracciones
Entonces el menor es 32 que corresponde
a la fracción:
2. ¿Qué fracción de 16 es 2?
Resolución:
Por definición una fracción representa:
Luego
“La parte” es 2
“El todo” es 16
Por tanto 2 es de 16
3. Calcular el número cuyos es 34.
3 15
16
4
2
5
2
3
6
3
1
7
1
7
1x
7x
; ; ;
40; 36; 45; 32
"La parte" Numerador
Denominador
"El todo"
=
2 1
16 8
=
=
1
8
2
3
3
3
2
3
34 x
2
3
2
3
48
34
X
X
2
34 x 3
X = = 51
4. Al simplificar una fracción
obtuvimos.
Sabiendo que la suma de los
términos de la fracción es 40,
calcular la diferencia de los mismos:
Resolución:
La fracción simplificada es:
Antes de simplificarse era:
Desarrollando el problema de
acuerdo a los datos del problema:
Numerador + Denominador = 40
1x + 7x = 40
8x = 40
x = 5
Ahora restamos denominador –
numerador
7 x – 1 x = 6x = 6 ( 5 ) = 30
La diferencia de sus términos es 30.
está mal
deses

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Operaciones con Fracciones
1. Adición y sustracción de fracciones
a. Adición y sustracción de fracciones homogénea.
Observar el siguiente gráfico:
• Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los
numeradores y se escribe el mismo denominador:
Ejemplo:
• Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria.
Ejemplo:
3
1
6
6
4
2
2
2
7
7
3
5
3
3
5
7
5
6
13
13
13
13
13 13
13
6
1
8
1
9
1
7
8
1 + 7 - 2 - 5
[3+8-4]
6
13
13
13
3
13
13
+ =
=
=
=
=
=
=
- + + -
3 + 8 - - 4
- + + -
La parte sombreada es:

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
30
a. Adición y sustracción de fracciones heterogéneas
Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca
transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo
denominador y se procede de la forma anteriormente vista.
Considerando los siguientes casos:
i. Denominadores múltiplos de otros
ii. Método del mínimo común múltiplo (mcm)
Se seguirá el siguiente procedimiento:
Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como
DENOMINADOR del resultado.
Segundo: Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por
cada numerador; luego efectuar la suma de estos resultados.
iii. Regla de producto cruzado
Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños.
Ejemplo
Ejemplo:
Ejemplo:
3 3 3 4 6 3 + 4 - 6 1
+ + - + -
- = = = =
1 1 x 4 3 x 2
3
8 8 8 8 8 8 8
2 2 x 4 4 x 2
4
Multiplicar por un factor a ambos términos de la fracción, tal que
los denominadores sean iguales.
96 + 90 + 56
3
x
8 240 240 24
2
=
÷
7 130 13
5 30
+ - = = =
MC M(5;8;30)
= 240
deses
deses
está mal resuelto

· MATEMÁTICA ·
2. Operaciones combinadas de adición y sustracción de fracciones
3. Multiplicación y potenciación de fracciones
Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se
encuentran al interior de los signos de agrupación.
Ejemplo:
Resolver la siguiente operación:
También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.
3 3 13
17 17 119
2 2
7 7
-
34 21
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí.
Ejemplos:
Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los términos de
la fracción, al exponente indicado.
5 x 2
2 10
7 63
9 x 2
5
3 3
9
5 5
+ = =
de 20 = x 20 = 3 x 4 =12

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
32
4. División de fracciones
5. Radicación de fracciones:
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción divisor
invertida.
Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de
fracción:
Fracción inversa
Producto de
medios
Producto de
extremos
Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de
la fracción.

· MATEMÁTICA ·
Ejemplos:

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
34
Problemas Resueltos
-1
7
1
3
6 - 5
1 x 6
1
1
2 + 1
10 x 3
5
3
1
-3
4
1
1
1
4
21
3
2
6
6 6
6
12
2
5
10 10
3
7
5
1
2
3
4
2
6
4
3
15
+ + +
x x x
+ - -
-
+
-3
-1 7
39
47
11
3
13
1
13
4
6 2
12
12
12
4
54
4
2
3
= + + +
=
=
=
=
=
=
=
8 - 2 - 9 - 42
48 - 6 - 4 - 3
12
12
1. Sumar:
Resolución:
MCM(3; 6; 4; 2) = 12
2. Efectuar:
Resolución:
MCM(2; 3; 4) = 12
3. Efectuar:
Resolución:
Eliminamos los paréntesis:
Suprimimos los opuestos:
Anulamos los opuestos:
7
-1
4
4
1
3
21
12
5
-1
3
1
1
3
6
15
=
=
=
=
4. Efectuar:
Resolución:
Simplificando
5. Efectuar:
Resolución:
Efectuando el numerador y
denominador:
Operamos empleando el MCM:

· MATEMÁTICA ·
3
3
9
9
16
16
4
4
7
7
7
15
15 + 24 + 18 + 7
32
32
8
8
32
x = 1 + + +
x = + + +
x =
x =
x =
109
13''
3
32
12
1 1
4
3
2
1
3
2
; ; ;
Se tiene al inicio
Se pierde 1/2 queda 1/2
1. Calcular “X” en la pieza
Resolución:
2. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces
consecutivas de lo
que le iba quedando, ¿Con cuánto se
queda?
Resolución:
Se quedó con S/. 30

· MATEMÁTICA ·
Números Decimales
Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se obtiene al dividir el
numerador por el denominador.
Ejemplos:
La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a derecha a
partir del coma decimal:
• 1° Orden decimal décimos.
• 2° Orden decimal centésimos.
• 3° Orden decimal milésimos.
...etc.
Se lee la parte entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la
parte decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.
3
4
7
0,375
0,444...=0,4
0,233...=0,23
Resulta de dividir 3 entre 8.
8
9
30
=
=
=
1. Tablero posicional de cifras de un número decimal
2. Lectura y Escritura de Números Decimales
PARTE ENTERA PARTE DECIMAL
Centenas
de
Millar
Decenas
de
Milla
Unidades
de
Millar
Centenas
Decenas
Unidades
décimos
centésimos
milésimos
o
diezmilésimos
cienmilésimos
Millonésimo
7 1 , 0 7 3 9

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
38
Ejemplos:
• 12,7 doce enteros y siete décimos.
• 3,125 tres enteros y ciento veinticinco milésimos.
• 0,1416 cero entero y mil cuatrocientos dieciséis diez milésimos.
Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte
decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde.
Ejemplos:
• Quince enteros y veintiséis centésimos : 15,26
• 12 milésimos : 0,012
• 50 millonésimo : 0,000 050
1° Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS A
SU DERECHA.
Ejemplo:
• 4,8 = 4,800 000 0
• 12,240 000 00 = 312,24
• 7,500 0 = 7,50
2° Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o más
lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida
de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal.
Ejemplo:
3° Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o más
lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la unidad seguida
de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.
Ejemplo:
3. Propiedades de los Números Decimales
2 lugares
Potencia de 10 con exponente negativo
4 lugares
Potencia de 10 con exponente
positivo

· MATEMÁTICA ·
NÚMERO
DECIMAL
NÚMERO
DECIMAL
RACIONAL
NÚMERO
DECIMAL
IRRACIONAL
NÚMERO DECIMAL
EXACTO
NÚMERO DECIMAL
INEXACTO
PERIÓDICO
PURO
PERIÓDICO
MIXTO
(Se pueden escribir
como Fracción; tienen
Generatriz)
Números decimales inexactos que no tienen período;
resultan de las raíces inexactas.
Ejemplo:
(Tienen Período)
PERÍODO (2 cifras)
Parte No Periódica
Parte Periódica
a. Número decimal exacto.
Es aquel número que tiene una cantidad limitada de cifras decimales.
Ejemplos:
0,25; 75; 1,2
b. Número decimal inexacto.
Es aquel número que tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales.
• Decimal Periódico Puro:
Es aquel en cuya parte decimal aparece una o un grupo de cifras llamado período
que se repite indefinidamente a partir de la coma decimal.
Ejemplo:
0,27272...... = 0,27
• Decimal periódico mixto:
Es aquel cuyo período empieza luego de una cifra o grupo de cifras después del
coma decimal. A esta cifra o grupo de cifras se denomina parte no periódica.
Ejemplo:
0,7312512512........ = 0,73125

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ESTUDIOS GENERALES
40
5. Generatriz de un número decimal
Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La
fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.
a. Generatriz de un decimal exacto
Lafraccióngeneratrizdeundecimalexactoesunafracciónquetienepornumerador
al número, escrito sin coma decimal, y por denominador un uno seguido de tantos
ceros como cifras decimales tiene.
Ejemplos:
b. Generatriz de un decimal periódico puro
Hallar la fracción generatriz de:
0,454545...
Resolución:
En el numerador de la fracción, escribimos el período es decir 45.
En el denominador de la fracción, escribimos TANTOS NUEVES COMO CIFRAS
TENGA EL PERÍODO. En este caso el período 45 tiene dos cifras entonces en el
denominador escribimos: 99
Luego la fracción será:
Observación: Si un número decimal periódico puro tiene parte entera distinta de
cero
Ejemplo: 2,4545...
c. Generatriz de un número decimal periódico mixto
Hallar la fracción generatriz de:
0,188888………..
Resolución:
En el denominador de la fracción generatriz, escribimos la PARTE NO PERIÓDICA
seguida de la PARTE PERIÓDICA menos la PARTE NO PERIÓDICA: 18 - 1
En el denominador, escribimos tantos NUEVES como cifras tenga el PERÍODO
seguido de tantos CEROS como cifras tenga la PARTE NO PERIÓDICA, es decir:
90
Entonces la fracción generatriz será:

· MATEMÁTICA ·
Observación: Si un número decimal periódico mixto tiene parte entera distinta de
cero
Ejemplo: 4,2414141...
6. Adición y sustracción de números decimales
Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma decimal
esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de números
enteros.
En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical que
las demás.
Ejemplos:
• Efectuar: 0,3 + 12,78 + 3,2057
Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:
0,3000 +
12,7800
3,2057
16,2857
• Efectuar: 78,13 - 9,087
Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:
78,130
9,087
69,043
Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices:
Ejemplo:
Efectuar:
Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus
fracciones generatrices:
La coma conserva el
lugar de los demás
La coma conserva el
lugar de los demás
Se efectúa como si fueran enteros:
Se efectúa como si fueran enteros:

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ESTUDIOS GENERALES
42
7. Multiplicación de números decimales
Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la
derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr
la coma decimal para la izquierda.
Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó
aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el
valor:
Ejemplo: 47,235 por 100
Solucion:
Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102
.
Basta correr la coma decimal dos órdenes hacia la derecha.
Entonces: 47,235 x 100 = 4723,5 El valor relativo de 7 pasó ser 700
Ejemplo:
Multiplicar 3,6 x 3
Solucion: 3,6 x
3
10,8
Por definición de potenciación, se sabe que:
(0.2)3 = (0.2) (0.2) (0.2) = 0.008
Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una
forma práctica, por ejemplo:
(0,03)4
= 0.00000081
Ejemplo:
Dividir 47,235 entre 1000
Solucion:
Para dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres
órdenes hacia la izquierda.
Así:
Corre 2 espacios a la derecha
8. Potenciación de Números Decimales
9. División de numeros decimales
2 cifras decimales
8 cifras decimales
Hallar la potencia de la cifra
significativa: 34
= 81
X =

· MATEMÁTICA ·
“Corre 3 espacios a la izquierda”
13
3
2 caramelos para cada niño
sobrando 3 caramelos
5
13,235 ÷ 1000 = 0,013235 El valor relativo de 13 enteros pasa a ser
0,013 (trece milésimos).
Ejemplo:
Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo
será:
10. Radicación de números decimales
Tomando por ejemplo, la división 39,276 ÷ 0,5. Observar que el divisor se convierte
en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo y al divisor
(recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número decimal, se
corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:
El verdadero residuo es 0,01÷10 = 0,001.
Definición de una radicación:
Ejemplo:
Hallar la raíz cúbica de 0,000064:
3 9 2 , 7 6
4 2
2 7
2 5
0 , 0 1
7 8 , 5 5
0,01 es el Residuo falso (quedó
multiplicado por 10)
Conciente
5
n : índice radical
a : radicando
b : raíz
6 cifras decimales y es divisible
por el índice radical que es 3
6 cifras
decimales
2 cifras decimales

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ESTUDIOS GENERALES
44
Problemas Resueltos
1. ¿Cuántos milésimos hay en 54
centésimos?
Resolución
¿Cuántos milésimos hay en 54
centésimos?
Despejando “x”:
x = 540 milésimos
2. Efectuar:
Resolución
3. ¿Cuál es el decimal que resulta al
efectuar la siguiente operación?
(0,18333…)(0,1515...):(0,111...)
Resolución
Hallamos la generatriz de cada decimal:
• 0,18333....
•
Reemplazanado
x
x
x
x
1000
80
54
100
=
= 0,32 - 0,1325
= 80.(0,1875)
= 15
183 - 18 165 11
=
900 900 60
0,183= = =
4. Reducir:
Resolución:
Efectuando:
5. Una rueda de 0,12 m de longitud
¿Cuántas vueltas dará al recorrer
1,80 m?
Resolución:
Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia)
Dist. recorrida = # vueltas x Lc.
1,80 m = # vueltas.(0,12 m)
15 = # de vueltas
6. ¿En cuántos ochentavos es mayor
0,32 que 0,1325?
Resolución:
7. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el
ciento; se echan a perder 20 y los
restantes los vendo a S/. 0,84 la
docena. ¿Cuánto se gana?
Resolución:
Quedan por vender 180 alfileres que es
igual a:
180/12 = 15 docenas
Se vendió:
15 Docenas x 0,84 = S/. 12,60
Se Invirtió:
S/. 10 por los dos cientos.

· MATEMÁTICA ·
Ganancia:
S/.12,60 - S/. 10,00 = S/. 2,60
1. En el dibujo, hallar a - b + c
Resolución
3R = 19,50
R = 6,50
a = 21,75 - 2R
a = 21,75 - 13
a = 8,75
b = 2R
b = 13
c = 2R + 3,25
c = 13 + 3,25
c = 16,25
a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25
a - b + c = 12 mm
2. Un frasco con aceite vale S/. 4,75
y el aceite vale S/. 3,75 más que el
frasco; entonces el precio del frasco
es
Resolución:
Frasco : F
Perfume : P
F + P = 4,75
P - F = 3,75
2F = 1
F = 0,50
Restando

POTENCIACIÓN Y
RADICACIÓN
4
UNIDAD

· MATEMÁTICA ·
Potenciación y Radicación
1. Potencia
Potencia es el resultado obtenido al multiplicar un número, llamado BASE, cierta
cantidad de veces; esta cantidad es el EXPONENTE.
Ejemplos:
5 veces
exponente
Potencia
2. Signos de la potenciación
El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.
( par ) + = ( + ) ( par ) – = ( + )
( impar ) + = ( + ) ( impar ) – = ( – )
PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLO
Exponente cero
Producto de potencias
de igual base
Cociente de potencias
de igual base
Exponente negativo
Potencia de un producto
Potencia de un cociente
a0
= 1; (a ≠ 0)
an
x am
= an+m
Ejemplos:
• (+2)4 = +16 • (+2)5 = +32
• (-2)4 = +16 • (-3)2 = +9
• (-2)5 = -32 • (-3)3 = -27
3. Propiedades de la potenciación.

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
48
Potencia de una potencia
Exponente de exponente
Potencia de la unidad 1n
= 1 18
= 1

Problemas Resueltos
1. Calcular :
Resolución:
2. Calcular:
Resolución:
3. Calcular:
Resolución:
4. Resolver:
Resolución:
5. Simplificar:
Resolución:
6. Efectuar:
Resolución:

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
50
4. Radicación
La RADICACIÓN es una operación inversa de la potenciación
Ejemplo:
Porque:
5. Signos de la radicación
El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.
Ejemplo:
Radical
Radicando
Índice Raíz
6. Propiedades de la radicación.
PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLO
Raíz de un Producto
Raíz de un Cociente
Raíz de una Potencia
Raíz de una raíz nm
n m
a
a=
tambien llamado:
Potencia de una raiz enésima

· MATEMÁTICA ·
7. Radicales homogéneos y radicales semejantes.
Radicales Homogéneos. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical.
Ejemplos:
“Todos son raíces cuadradas”
“Todos son raíces cuadradas de siete”
Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical
y la misma cantidad subradical.
Ejemplo:
8. Simplificación de radicales.
Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe
tener factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz.
Ejemplo:
Simplificar
9. Operaciones con radicales
a. Adición y sustracción de radicales
Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes.
Ejemplos:
b. Multiplicación de radicales
Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los
radicandos.
Ejemplos:

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
52
c. División de radicales.
Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos.
Ejemplos:

Problemas Resueltos
1. Efectuar:
Resolución:
Simplificar los radicales:
Luego efectuamos:
2. Efectuar:
Resolucion:
;
mcm (4 - 76 - 12) = 12

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
54
10. Racionalización de radicales
Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener
fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este
proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el
proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
Regla Practica: Se multiplica el numerador y denominador por una misma expresión
a la cual se le denomina factor racionalizante (F.R.).
CASO I: Cuando el denominador es de la forma.
; (n>m)
Ejemplo:
Racionalizar:
CASO II: Cuando el denominador es un binomio que puede tener la forma:
Ejemplo:
Racionalizar:

Problemas Resueltos
1. Racionalizar:
Resolucion:
2. Racionalizar:
Resolucion:
3. Racionalizar
Resolucion:
4. Racionalizar el numerador de
Primero Convertimos:
Su F.R. de

TRIGONOMETRÍA BÁSICA
5
UNIDAD

· MATEMÁTICA ·
5.1 Sistema de Medidas Angulares
Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida alguna
fracción del ángulo de una vuelta.
Principales sistemas de medidas angulares:
• Sistema Sexagesimal (inglés): Sº
• Sistema Centesimal (francés): Cg
• Sistema Radial o Circular: R rad
5.1.1. Sistema Sexagesimal (S)
La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava.
Parte del ángulo de una vuelta.
El ángulo de una vuelta mide 360º
Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1’) y
el Segundo Sexagesimal (1’’), donde:
1º equivale a 60’
1’ equivale a 60’’
1º equivale a (60x60)’’ ó 3600’’
5.1.2. Sistema Centesimal ( C )
La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte
del ángulo de una vuelta.
El ángulo de una vuelta mide 400g
Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m
) y el
Segundo Centesimal (1s
), donde:
1g equivale a 100m
1m equivale a 100s
1g equivale a (100x100)s ó 10000s
5. Trigonometría Básica

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
58
5.1.3. Sistema Radial O Circular ( R )
La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida
de un ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la
longitud del arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.
“Si L = R entonces la medida del <Ѳ, es igual a
un radián o simplemente Ѳ = 1 rad.”
El ángulo de una vuelta mide 2π rad.
5.1.4. Relación Entre Los Sistemas De Medidas De Ángulos.
Sea Ѳ un angulo donde:
S representa la medida de Ѳ en grados Sexagesimales.
C representa la medida de Ѳ en grados Centesimales.
R representa la medida de Ѳ en Radianes.
Donde la fórmula de Conversión es:
Observaciones:
• S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos).
• Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se
emplea sólo: ; simplificando se obtiene:

· MATEMÁTICA ·
Donde:
• Otras equivalencias importantes:
9° = 10g 27’ = 50m
81’’=250°
180° = π rad 200g = π rad

1. Convertir 45° a grados centesimales.
Resolución:
Como S = 45°, remplazar en la siguiente fórmula:
Problemas Resueltos
2. Convertir 125g a radianes.
Resolución:
Como C = 125g
, remplazar en la siguiente fórmula:
3. Convertir radianes a grados sexagesimales.
Resolución:
Como R = rad, remplazar en la siguiente fórmula:
Otra Forma:
Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está conformado
por una fracción equivalente a la unidad.
Eneldenominadordetalfracciónseescribelaunidad aeliminaryenelnumerador
la unidad que se busca.
Por ejemplo para convertir rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente
manera:
Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION) sabiendo
que: 180° = π rad.

· MATEMÁTICA ·
4. Convertir 0,621° a segundos centesimales.
Resolución:
Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN.
No olvidar que:
9°=10g 1g=100m 1m=100s
5. Convertir 7500s a minutos sexagesimales
Resolución:
Recordar que:
81” = 250s
1´ = 60

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
62
5.2. Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos
Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo respecto a un ángulo agudo.
En el triángulo rectángulo que se muestra, los catetos son los lados a y b; la
hipotenusa es c, además:
Cateto opuesto de α es “a”
Cateto adyacente de α es “b”
Cateto opuesto de β es “b”
Cateto adyacente de β es “a”
Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “ α ” serian:
Triángulos Rectángulos Notables
30º
60º
2k
k
k 3
37º
53º
5k
3k
4k
45º
k 2
k
k
45º 16º
74º
25k
7k
24k
8º
82º
10k
k 2
2
7 k
15º
75º
4k
( 2
6+ )k
( 2
6 )k

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10 k
k
3k
37º
2
k
2k
5 k
53º
2
75°
4k
15°
k
Trigonométricas en Triángulos Rectángulos Notables
F.T. 8º 15º 16 37/2º 53/2º 30º 37º 45º 53º 60º
Sen
Cos
Tng
Ctg
Sec
Csc
2
7
10
2
6
4
+ 24
25
3
10
2
5
3
2
4
5
1
2

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
64
5.3. Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los
semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL.
Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º; 360º. Las razones
trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente
tabla:
sen cos tg cotg sec cosec
0º ó 360º
90º
180º
270º
0
1
0
-1
1
0
-1
0
0
ND
0
ND
1
ND
-1
ND
ND
1
ND
-1

Problemas Resueltos
1. Calcular el valor numérico de la siguiente expresión:
Resolución:
2. Calcular el valor numérico de la siguiente expresión:
Resolución:

5.4. Resolución de Triángulos Rectángulos
1. Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a
partir de dos datos, uno de los cuales debe ser lado.
Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos:
I. Los datos conocidos son: dos lados.
II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.
Problemas Resueltos
Resolvereltriánguloquesemuestracontinuación:
Resolución:
Como datos se tienen la medida de dos lados,
“este problema corresponde al caso I.”
Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el
Teorema de Pitágoras.
El ángulo α se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione
lados conocidos.
Cos α= ; pero el Cos 53°= ; Entonces: α=53°
“β” es el complemento de “α”, por lo tanto:
β= 90° - 53°
β= 37°
2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Resolución:
Como datos se tienen la medida de un ángulo agudo y un lado, “este problema
corresponde al caso II.”
Hallando β, que es el complemento de 16°
β = 90° - 16°
β = 74°
Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16°, que relacione el
dato con la incógnita.
Razón
Trigonométrica de α
Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene
trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16°.
5.5. Resolución De Triángulos Oblicuos – Ley De Senos.
“En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos”.

Problemas Resueltos
1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Resolución:
Resolver el triángulo consiste en hallar la medida de sus lados y sus ángulos
internos. Se tiene que hallar las medidas de “L”, “β” y “Ѳ”.
Primero hallar el valor de “Ѳ” aplicando la ley de senos:
; entonces: Ѳ = 30°
Ahora hallar el valor de “β”:
Si: 37º + 30º + β = 180º entonces β = 113º
Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”:
Si:
Pero: Sen 113° = Sen 67° ( Reducción I cuadrante)
; Sen 67° = 0,92
Entonces: L = 128,87 m

5.6. Resolución de Triángulos Oblicuos – Ley de Cosenos.
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es
igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos
el doble producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido
entre ellos”.
Problemas Resueltos
1. Hallar la medida del lado “x”
Resolución:

RAZONES Y PROPORCIONES
6
UNIDAD

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6.1. Razón
Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante
las operaciones de sustracción o división.
6.2. Tipos de Razones
• Razón Aritmética
Es la comparación de dos cantidades que se obtiene mediante la sustracción, y
consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra.

a menos b
el exceso de a sobre b
a excede a b
Ejemplo: Las velocidades de dos autos son Va
=30 m/s y Vb
= 24 m/s.
Va
– Vb
= 30 m/s – 24 m/s = 6 m/s

La velocidad del auto “a” excede en 6 m/s a la velocidad del auto “b”.
El exceso de Va sobre Vb es 6 m/s.
La velocidad de Va excede a Vb en 6 m/s.
• Razón Geométrica
Es la comparación de dos cantidades mediante el cociente.
Razón de a sobre b
a es a b
a entre b
Ejemplo: Las edades de dos personas son 48 años y 36 años respectivamente.
antecedentes a 48 años 4 valor de la razón
Consecuente b 36 años 3
a - b = r
Razón aritmética
Antecedente Consecuente
Valor de la
razón
a
= k
b
= =
Razones y Proporciones

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ESTUDIOS GENERALES
72
1. La diferencia de dos números es 280 y están en la relación de 7 a 3. Hallar el
mayor número.
Resolución:
Como la relación de los dos números es de 7 a 3, entonces lo representamos de
la siguiente manera:
Por lo tanto: a = 7k y b = 3k
Se sabe que la diferencia de los dos números es 280, entonces:
a - b = 280
Reemplazamos los valores de a y b en función de “k”
7k - 3k = 280
4k= 280
k= 280
4
k = 70
Hallamos los valores de a y b, reemplazando el valor de k = 70:
a =7k = 7 (70) = 490
b = 3 (70) = 210
Nos piden el valor del número mayor, por lo tanto la respuesta es: 490
2. Las edades de dos personas son: 20 años y 12 años, ¿En qué relación están sus
edades?
Resolución:
Simplificamos
Entonces la relación de sus edades está en la relación de 5/3
Problemas Resueltos
a
a
a
7
20
5
=
=
=
b
b
b
3
12
3

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6.3. Proporción Geométrica
Es el resultado de comparar dos razones.
COCIENTE : a c
b d
También se expresa como: “a” es a “b” como “c” es a “d”
a : b :: c : d
Donde: a y d se llaman EXTREMOS.
b y c se llaman MEDIOS
6.4 Clases de Proporciones
a. Proporción Geométrica Discreta
• Los cuatro términos son diferentes: a ≠ b ≠ c ≠ d
• El 4º término (d) de la proporción se llama:
Cuarta Proporcional
Términos 1° 3°
a c
b d
2° 4°
PROPIEDAD BÁSICA: Producto de extremos = Producto de medios
b. Proporción Geométrica
• Los términos medios de la proporción son iguales.
• El 3º término (c) de la proporción se llama:
Tercera Proporcional
1° 2°
a b
b c
2° 3°
• MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMÉTRICA
= Proporción Geométrica
Términos
medios
extremos
antecedentes
consecuentes
antecedentes
consecuentes = = k

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ESTUDIOS GENERALES
74
6.5. Propiedades de las Proporciones
a
a1
a2
a3
a4
….. a(n – 1)
an
a1
+ a2
+ a3
+ a4
+ ….. + a(n – 1)
+ an
a1
x a2
x a3
x a4
x ….. x a(n – 1)
x an
a + b
a + b
a + c
a
a2
+ b2
a x c
c2
+ d2
(a + b)2
k2
k2
c2
- d2
(b + d)2
a2
- b2
b x d
a - b
a + b
a ± b
d k - 1
k ± 1
a - b
c + d
c + d
c - d
c
b - d
c ± d
k + 1
k
k + 1; k - 1
a
c c
ˆ
= k
= k
= k
= k
= k;
=
=
=
= = = = = =
= k
=
=
=
= k
=
=
=
=
=
=
b
b1
b2
b3
b4
….. b(n – 1)
bn
b1
+ b2
+ b3
+ b4
+ ….. + b(n – 1)
x bn
b1
x b2
x b3
x b4
x ….. x b(n – 1)
x bn
b b
d
b
d d
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°

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6.6. Escalas Gráficas
La ESCALA es la razón entre la longitud representada en un plano y la longitud
en tamaño real.
La ESCALA es una fracción con numerador unitario. El denominador indica las
veces que se repite el numerador para obtener la medida o dimensión real.
ESCALA=
100
Tamaño real = 4,50 m Tamaño en el plano = 0,09 m
Longitud en el plano
Longitud del tamaño real
REPRESENTACIÓN
1 : 100 “indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real”
1 / 100 “indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real”
1 “indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real”

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ESTUDIOS GENERALES
76
Problemas de Aplicación
1. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si el
dibujo se hace a una escala de 1 : 750?
1 x 45 m
= = = 0,06 m = 6 cm
Rpta. 6 cm
750 750
45

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A
A + B = 72 m
6K A= 6K
Sumando ambas ecuaciones: A= 45 m
A= 18
K = 3
A + B
400 - x
1 cm x
x = 40 l
2
=
=
B= 5K
Precio = 45 m x S/. 8 / m Precio = S/. 360
B= 15
6K + 5K
6K + 5K
720 cm 4320 cm
x=6 cm
3
=
B
A - B = 18 m
K
Problemas Resueltos
1. La razón de dos números es 6/5, y la suma de dichos números es igual a 33.
¿Cuáles son estos números?
Resolución:
Sean A y B los números
2. Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes, cuya
diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por metro es
de S/. 8.
Resolución
Sean A y B las dos partes de la tela
3. Setienendosbarrilesquecontienen 400litros y 500litrosdevinorespectivamente.
¿Cuántos litros de vino se debe de pasar del primer al segundo barril, para que las
cantidades de vino en cada barril estén en la relación de 2 a 3?
Resolución
4. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,20 m de largo, si
el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ?
Resolución
ESCALA= Longitud en el plano
Longitud del tamaño real

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ESTUDIOS GENERALES
78
5. Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se desea
dibujarlo a una escala de 1 : 20, ¿Cuál será su altura?
Resolución
H= altura real del objeto ; X= tamaño del objeto en el dibujo
=
=
=
1
C
C
G
G - X
40 cm
13K
9
7K
2
A + B + C
30 + C
2 + 8 + 7
17
Dividiendo ambas proporciones:
C = 13K ˆ G= 7K
C=13 x 990 = 12 870
G = 7 x 990 = 6 930
X = S/. 4 070
x = 60 cm
30 H
6. Sí: A B C
C
C
(A + B) = 30 dato
C = 21
= =
=
=
= k
B 8 7
7
7
Propiedad:
7. Un empelado ahorra S/. 5 940 por día; si lo que cobra y lo que gasta diariamente
está en la relación de 13 a 7. Determinar en cuántos soles debe disminuir sus
gastos diarios para que la relación entre lo que cobra y lo que gasta sea de 9 a 2.
Resolución
Sea: C = cobra ; G = gasta ; A = ahorra
C = G + A
C – G = S/. 5 940 …………. (1)
Reemplazando en (1):
13K - 7K = 5 940
4K = 5940
K = 990
Sea X soles la cantidad en que debe de disminuir sus gastos diarios

MAGNITUDES PROPORCIONALES
7
UNIDAD

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ESTUDIOS GENERALES
80
7.1. Magnitud
Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede
ser medido.
7.2. Cantidad
Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor
numérico y unidad.
Magnitud
Tiempo
Longitud
Temperatura
Masa
Cantidad
60 h
15 m
35º C
40 kg
Gasolina
(Galones)
1
2
5
10
15
30
Precio
(S/.)
8,00
16,00
40,00
80,00
120,00
240,00
7.3. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES.
7.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ó )
Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina
se coloque en el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta
observar en el cuadro de abajo, suponiendo que el precio de la gasolina
por galón sea de S/. 8.
Al colocar 1 galón de gasolina, se pagará S/. …………pero, si se colan 15
galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que
es igual a S/. …………..
Así,siseaumentalamagnitud“gasolina”,laotramagnitud“precio”(soles)
aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían
en el mismo sentido. Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES:
Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los
valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o
disminuyen en la misma proporción.
7 Magnitudes Proporcionales

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Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:
Número de libros y costo total.
Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor
cantidad de libros el costo total será mayor, pero; si compra menor
cantidad de libros el costo total será menor.
N° libros
Costo Total
1
4
4
16
24
96
3
12
Además, se verifica que la razón entre el número de libros y el costo total
es CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25).
Entonces se puede escribir:
Por tanto:
Interpretación geométrica:
Conclusiones:
I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen
de coordenadas.
II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas)
el cociente de cada par de valores correspondiente resulta una
constante.

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ESTUDIOS GENERALES
82
7.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P Ó )
Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando
al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores
correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la
misma proporción.
Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo
empleado en recorrer una misma distancia:
Velocidad
90 km/h
60 km/h
45 km/h
36 km/h
Tiempo
2 horas
3 horas
4 horas
5 horas
Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado,
luego la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente
proporcionales.
Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y
tiempo) es siempre el mismo.
90 x 2 = 180; 60 x 3 = 180; 45 x 4 = 180; 36 x 5 =180
Se puede finalmente concluir que:
Interpretación Geométrica
Conclusiones:
Si: “A” I.P. “B” (valor de A)x(valor de B) = Constante
Importante:
I. La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola
equilátera.
II. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores
correspondientes, resulta una constante.
Si: “A” IP “B” A x B = k

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PROPIEDADES:
I. Si:
A D.P. B B D.P. A D.P. C
II. Si:
A I.P. B A D.P. 1 O A D.P.B A I.P. 1
III. Si: A D.P.B (c es constante)
A D.P.C ( B es constante)
B B
=K
A
AxBxC = K
BXC
IV. Si: A I.P. B ( C es constante)
A I.P. C ( B es constante)
(N° de obreros)
(N° de obreros)
(N° de obreros)
(N° de obreros)
(N° de obreros)
(velocidad)
(N° de clientes)
D.P.
I.P.
I.P.
D.P.
I.P.
I.P.
I.P.
(obra)
(eficiencia)
(N° de días)
(dificultad)
(horas diarias)
(tiempo)
(N° de vueltas)
Aplicaciones comunes
N° x eficiencia x N° días x h/d
= constante
obra x dificultad

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ESTUDIOS GENERALES
84
Problemas Resueltos
1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el
valor que toma B, cuando A = 34.
Resolución:
Se debe plantear:
x = 2
2. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)
Resolución:
Se debe plantear:
a = 6 ; b = 40 ; a + b = 46
3. .La magnitud A es I.P. a , además cuando A es igual a 6 entonces B es igual
a 16. Halle B cuando A es igual a 4.
Resolución:
Se debe plantear:

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4. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente
proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a 65
Km cuesta S/. 180 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material, si su
área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima?
Resolución:
(precio) (distancia)
(18 0000).(65) (x).(120)
= k
=
( k= constante)
x = 195 000
área
área 2s
5. Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12
días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?.
Resolución:
Sea R rapidez: RA = 3 RB
(Días) . (Rapidez) = cte
Reemplazando valores:
( RA + RB ) x 12 = RA x X
( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X
4 RB x 12 = 3 RB x X
Simplificando: X = 16

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ESTUDIOS GENERALES
86
7.4. Reparto Proporcional.
Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números
llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente
proporcional.
7.4.1. Tipos de Reparto
a. Reparto Simple Directo: Cuando las partes a obtener son
proporcionales a los índices.
Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a
2, 3 y 5.
Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales
deben sumar 400, entonces:
2 k + 3 k + 5 k = 400
K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 K = 40
Suma de índices
Constante de reparto
Ahora, damos lo que le toca a cada uno:
2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200
Método Práctico:
PARTES D.P.
A 2k
400 B 3k + k = 400 = 40
C 5k 10
10k
Luego:
A = 2 (40) = 80 ; B = 3 (40) = 120 ; C = 5 (40) = 200
Observación:
Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo
número positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas
partes.
Ejemplo:
Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números:
5 3 3
; ;
6 8 4

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Resolución:
Es conveniente que los números proporcionales sean enteros,
entonces buscamos números que estén en la misma relación que
las fracciones; para ello es necesario considerar el MCM de los
denominadores, para multiplicar a los índices.
MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24
PARTES D.P
5
1
3
1
470
390
3
1
A:
A: 6
470
390
B:
B: 9
k=
k=
=10
=30
C:
C: 12
x 24 = 20k
x 36 = 20k
x 24 = 9k
x 36 = 9k
x 24 = 9k
x 36 = 9k
6
6
8
9
47
13
8
12
B
Luego las partes serán: A = 20 (10); B = 9 (10); C= 18 (10)
b. Reparto Inverso
Recordando que:
( “A” IP “B” ) ( “A” DP “1”)
• Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente
proporcionalaciertosíndices,essuficienterepartirdirectamente
proporcional a las inversas de los índices:
Ejemplo:
Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales
a los números de 6 ; 9 y 12.
Resolución:
Partes I.P. D.P.
Inversamente
Proporcional
Directamente
Proporcional

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ESTUDIOS GENERALES
88
Las partes serán:
A = 6 (30) = 180; B = 4 (30) = 120; C = 3 ( 30) = 90
c. Reparto Compuesto
Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales
a varios grupos de índices.
Recordar:
Si: “A” D.P. “B” y también con “C”, entonce “A” D.P. (“B”x “C”).
Ejemplo:
Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y
8 e I.P. a los números 4, 6 y 9.
Resolución:
MCM ( 4, 6, 9 ) = 36
Partes D.P. I.P. D.P
A : 3 4 1 3 x 1 = 3 x 36 = 27k
B : 5 6 1 5 x 1 = 5 x 36 = 30k
C: 8 9 1 8 x 1 = 8 x 36 = 32k
Las partes son:
A = 27 (25 ) = 675; B= 30 ( 25 ) = 750 y C = 32 ( 25 ) = 800
2 225
4
6
9
4
6
9
4
6
9
2225
89
= 25
k=
REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO
Primero: Se convierte la relación I.P. a D.P.
Segundo: Los grupos de los índices D.P. se multiplican.
Tercero: Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.

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Problemas Resueltos
1. Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8
Resolución:
Partes I.P D.P.
32
470
A: 6
A: 3
32
32
B: 9
B: 5
k=
k=
=2
=10
C: 12
C: 4
3k
x 60 = 20k
x 60 = 12k
x 60 =
15k
5k
8k
1
1
1
16k
3
5
4 47k
16
47
Luego los valores que satisfacen al problema son: A = 3(2) = 6, B = 5(2) = 10 y
C = 8(2) = 16.
2. UnafirmainstituyeunpremiodeS/.470paraserdistribuidoentresustrabajadores
en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del semestre éste debe
distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4 faltas, respectivamente.
¿Cuánto recibe cada uno?
Resolución:
Partes I.P D.P. ; MCM ( 3, 5 4 ) = 60
+
Las partes serán:
A = 20(10 ) = 200 ; B = 12 (10) = 120 ; C = 15 ( 10) = 150
3. Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc. ¿Cuántos
Kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 Kg. de esa mezcla?
Resolución:
40
: 5
40 : 3 k= = 4
: 2
5k
3k
2k
10
+
DP Las partes son:
A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre
B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estaño
C = 2 ( 4 ) = 8 Kg zinc

· MATEMÁTICA ·
Concepto
Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en
calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes y
esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta.
8.1. Regla de Tres Simple
Es cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen
tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra
magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos:
Regla de Tres Directa
Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente
proporcionales (D.P).
En General:
Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la
incógnita “X”.
Se plantea así:
MAGNITUD A MAGNITUD B
Supuesto: a C ..........................( )
Pregunta: b X
Como son magnitudes directamente proporcionales se está indicando por (D)
y aplicando la definición se tiene:
Despejando la incógnita “X”
Reglas Prácticas
REGLA 1°. Una vez planteado se multiplica en “aspa”; es decir, de se efectúa:
REGLA 2°. Del planteado ( ) la incógnita “X” es igual al valor que está sobre
él, multiplicado por la fracción
Se coloca de manera
diferente como se
indica en el planteo ( )
x=c.

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ESTUDIOS GENERALES
92
Ejemplo 1:
Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las
primeras?
Resolución
Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el
costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor
y a menor cantidad de limas el costo será menor y se plantea:
Cantidad Limas Costo (s/.)
Supuesto: 3 144
Pregunta: 7 X
(D)
soles
Aplicando la 2da regla práctica, se tiene:
Observación:
Para aplicar esta regla práctica es necesario que la incógnita se ubique en
la segunda fila además se está indicando con (D) porque son directamente
proporcionales.
Ejemplo 2:
Esmeralda al comprar 5 revistas gastó “x” soles pero si hubiera comprado 12
revistas el gasto sería S/, 28 más. Hallar el valor de X.
Resolución
Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto
respectivo, el cual se plantea del modo siguiente:
Nº Revista Costo (s/.)
Supuesto: 5 x
Pregunta: 12 x + 28
(D)
En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual se
multiplica en “aspa”:
5 (X + 28) = 12X
5X + 140 = 12X
140 = 7X
X = 20

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Regla de Tres Inversa
Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P)
En general:
Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y
a incógnita “X” se plantean:
MAGNITUD A MAGNITUD B
Supuesto: a c …………… ( β )
Pregunta: b X
(I)
Por definición de magnitudes inversamente proporcionales
Reglas Prácticas:
• Regla Nº 1. Una vez planteado se multiplica en “Línea” y éstas deben ser
iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior.
• Regla Nº 2. Del planteo (β) la incógnita “X” es igual al valor que se encuentra
sobre ella multiplicado por la fracción; es decir, se copia igual como está en
el planteo.
Se copia Igual como está
en el planteo ( β )
Ejemplo 3:
¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, que un albañil lo hace en 8
horas?
Resolución
Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son número de
albañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a
mayor número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de
albañiles mayor tiempo, por lo cual se plantea:
N° albañiles Tiempo (horas)
Supuesto: 1 8
Pregunta: 2 t
( I )
Para hallar el valor de “t” se aplica la REGLA Nº 2:

· MATEMÁTICA ·
ESTUDIOS GENERALES
94
Ejemplo 4:
Un móvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto
pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X.
Resolución
Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor
velocidad demora más tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P.
VELOCIDAD TIEMPO
Supuesto: 90 X
Pregunta: 120 X - 2
(I)
En este caso conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello se multiplica en” Línea”:
90(x) = 120 (x – 2)
3x = 4x – 8
NOTA:
• En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla Nº 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3).
• En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es
conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o
multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4).
• Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden
dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera.
8.2. Regla De Tres Compuesta
Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes.
Método de Solución
Existen varios métodos de solución, pero en este caso vamos a utilizar las
reglas prácticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se
van a seguir los siguientes pasos:
1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema
2º. Se disponen los datos de manera que el valor perteneciente a una misma
magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las
mismas unidades.
3º. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila
(pregunta) los demás incluido la incógnita.
4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás,
indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es
inversamente proporcional con (I).
5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre
ella por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P.
se coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual.

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Ejemplo 5
Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han
hecho 21m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m3 de la
misma obra de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento
durante 12 días de 8 h/d.
Resolución
Rendimiento
Rendimiento total
N° obreros
tiempo
N° días
obra
H / D Obra Dificultad
Supuesto 60% 8 12 8 14 5
Pregunta X% 6 16 9 21 3
(I) (I) (I) (D) (D)
Igual Igual Igual Diferente Diferente
X%
Nota:
• Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el
rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola
magnitud que sería el rendimiento total.
• Si en un problema se tiene el número de días y las horas diarias ambas se
multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo.
• Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican
y se reemplazan por la magnitud obra.
60 % • 8 12. 8 <> 2 14..5 <> 10
x % • 6 16..9 <> 3 21..3 <> 9
(I) (D)

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9.1. Porcentaje
En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una
fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado
utilizando el signo porcentaje %.
20 Por Ciento
20
20
60
2,4x
1
3
1
2
12
3
2
4
3
14
< >
< >
x 100% = 60%
x 100% = 280%
24
1
1
12
1
3
3
1
1
20 x 20%
100
100
100
5
5
100
1000
17
5
5
5
5
10
100
100
17
5000
450
125
100
100
1
= =
=
=
=
=
x
x
% =
=
=
=
x
% =
200
9.2. Transformación de Porcentaje a Número
Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convertir en fracción
con denominador 100; por ejemplo:
a. 20% =
b. 60%=
c. 2,4%=
d. 0,002%=
e. 12%=
9.3. Transformación de Número a Porcentaje
Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho
número por 100 %.
Ejemplos:
a. 1 < > 1 x 100% = 100 %
b. 3 < > 3 x 100% =300 %
c. 0,25 < > 0,25 x 100% = 25 %
d.
e.
Porcentaje

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ESTUDIOS GENERALES
98
9.4. Adición y Sustracción de Porcentajes de una misma cantidad
Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad.
Ejemplos I:
a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A
b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B
c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B - 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B
Ejemplos II:
a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad
b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad
c) “C” menos su 40% = 60% “C”
9.5. Problemas de Aplicación
Problemas I:
a. Hallar el 30% de 6000.
Solución:
Recordar que “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a
la operación de la multiplicación.
30
4
4 20 5
100
10
10 100 100
x6000
x5000
30% de 6000 =
0,4% de 5000 =
= x x x 6 x 104
= 180
= 200
b. Hallar el 0,4% de 50000
Solución:
0,4% de 50000
c. Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x104
Solución:
3% del 20% del 5% de 6 x104

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Problemas II:
a. ¿20% de qué número es 70?
Solución:
20% de que número es 70
b. ¿4 es el 0,25% de qué número?
Solución:
0,25%.N = 4
c. Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el
dinero que tengo?
Solución:
Lo que tengo: T, entonces si tuviera 30% más; tendría 130% de T.
2
25
130%.T= 260
x%.80= 4
x T = 260
x 80 = 4
x L = 6
T= 200
Rpta: 5%
x= 5
L= 10
1
130
x
60
x N = 70
x N = 4
x
N = 350
N = 1600
100
100 100
100
100
100
d. Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos;
costaría 6 soles. ¿Cuál es el precio real del libro?
Solución:
El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real.
60%.L = 6
Problemas III
a. ¿Qué porcentaje de 80 es 4?
Solución:
En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”,
significa igual.
b. De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto
por ciento de los operarios no son mujeres?
Solución:
El personal que no son mujeres serán: 460 – 115 = 345 personas
¿Qué porcentaje de 460 es 345?
c) En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada?

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ESTUDIOS GENERALES
100
x%.(460)= 345 x 460 = 4 = 345 Rpta: 75%
x= 75
x
100
Solución:
Si preguntan qué porcentaje representa la parte
sombreada, es equivalente a que pregunten qué
fracción está sombreada; ya que toda fracción se
puede escribir como porcentaje.
Por lo tanto, se hallará la fracción sombreada y luego
se convertirá en porcentaje.
A cada cuadrito se le asignará una “k”, total se tienen
k
Recordar:
“La diagonal de un paralelogramo
divide a este en dos triángulos de igual
superficie.”
Además en “todo paralelogramo al unir cualquier
punto de uno de los lados con los extremos del lado
opuesto se formará un triangulo, cuya superficie es
la mitad del paralelogramo.”
S
área total: 2S
El rectángulo contiene
32k por lo tanto la
parte no sombreada
del lado inferior
derecho será 16k,
El rectángulo contiene
18k por lo tanto la
parte no sombreada
del lado superior 9k,
Trabajando en forma
similar las otras
partes, observamos
que la parte no
sombreada es 36k
Resumiendo:
Total = 64k ; No sombreado = 36k; Sombreado = 64k – 36k = 24k
Fracción sombreada =
sombreado 24k 3
= =
total 64k 8

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Porcentaje sombreado =
3
x100% = 37,5%
8
Variaciones Porcentuales
Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor
original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento.
Problemas:
a. ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base se
incremento en un 20% y su altura en un 50%?
Solución:
Método I:
Área Inicial = B.h < > 100%
La Base aumenta el 20% y su altura
aumenta en un 50%
Área Final = 120%B.150%h
Área Final = 1,8.B.h
h
150%
100%
x
x = 100%
B.h
B.h
1,8 Bh
B
120%
1,8Bh
= 180%
Bh
Aplicando regla de tres simple:
El aumento de área en porcentaje fue de: 180%
Método II:
Con este método no es necesario saber las formulas de áreas de los diferentes
figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas formulas se anularían.

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ESTUDIOS GENERALES
102
A INICIAL
= 100%
A INICIAL
= 100%
A INICIAL
= 100%
A INICIAL
= 100%
A FINAL
= 120%.150% =
A FINAL
= 110%.60% =
A FINAL
= 130%.130% =
A FINAL
= 160%.50% =
+20%
+10%
+30%
+60%
+50%
-40%
-30%
-50%
x150%= 180%
x 60% = 66%
x 130% = 169%
x 50% = 80%
120
110
130
160
100
100
100
100
El aumento de Área = 180% - 100% = 80%
El Área disminuye en: 100% - 66% = 34%
El Área aumenta en: 169% - 100% = 69%
El Área disminuye en: 100% - 80% = 20%
b. ¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha disminuido
en un 40%. ¿En que porcentaje ha variado su área?
Solución:
c. ¿En que porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en un 30%?
Solución:
Área del círculo es πr2
= πr x r , la dimensión de longitud “radio” se multiplica dos
veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante π, se
cancela.
d. ¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la mitad.
¿Cuánto % varía su área?
Solución:
3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye en
un 50%

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VINICIAL
= 100%
VFINAL
= 80%.80%.80% =
+60% -50%
x 80% = 51,2%
x
80 80
100 100
El Volumen disminuye: 100% - 51,2% = 48,8%
e. El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En que porcentaje varia su volumen?
Solución:
Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que realizar
3 variaciones porcentuales “Flechas”, por que la magnitud física de volumen es
L3
.

ÁNGULO - ÁNGULOS FORMADOS
POR DOS RECTAS PARALELAS Y
UNA RECTA SECANTE
10
UNIDAD

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10. Ángulo y Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante
10.1. Definición: Recta, Rayo, Semirrecta
Recta
Conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección.
Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA.
A
B
s
t
u
E F G
H
D
C
r
Postulados:
La línea recta posee dos sentidos.
La línea recta se extiende
indefinidamente en ambos sentidos.
Dos puntos determinan una recta
Por un punto pasan infinitas rectas.
Así, la recta puede ser representada de dos maneras:
• Con una letra minúscula: r, s,t,….
• Con dos letras mayúsculas: AB , CD , ….
• Recta …………..o CD recta t, o……….. recta ……… o ………..
Rayo
Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los
sentidos.
La figura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de
la figura.
Notación: OA
Semirrecta
Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no
considera el origen.
Gráficamente:
Notación : OA

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ESTUDIOS GENERALES
106
10.2. Ángulo
• Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen común.
• Parte común a dos semiplanos.
• Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo.
• Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo
origen.
Elementos del ángulo: vértice “O”; lados OA y OB; abertura
lado
lado
ángulo convexo
abertura
ángulo cóncavo
180º < a < 360º
10.2.1. Unidades de Conversión
S: sistema sexagesimal
C: sistema centesimal
R: sistema radial
= =
s c R
360° 400g
2 p
En el sistema sexagesimal: 1º = 60´ ; 1´ = 60”
90º ≡ π/2
360º ≡ 2π
270º ≡ 3π/2
π ≡ 180°

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10.2.2. Instrumentos de Medición de Ángulos
a. Transportador
b. Goniómetro
c. Falsa escuadra d. Falsa escuadra digital

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ESTUDIOS GENERALES
108
10.2.3. Clasificación de los Ángulos
I. De acuerdo a su medidas
a. Ángulo agudo
0º < m ∠a < 90º
b. Ángulo recto
m∠a = 90º
c. Ángulo Obtuso
90º < m∠a< 180º
d. Ángulo llano o lineal
m ∠a < 180º
e. Ángulo convexo
0° ∠ q < 180º

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f. Ángulo no convexo ( o cóncavo)
180° ∠ q < 360º
II.
De acuerdo a la posición de sus lados
a. Ángulo Adyacentes
Son dos ángulos que tienen un lado común
III. De acuerdo a la suma de sus medidas
a. Ángulos Complementarios
b. Ángulos Consecutivos
Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del
otro.
c. Ángulos Opuestos por el Vértice
Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las
prolongaciones de los lados del otro: m ∠a= m∠b

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ESTUDIOS GENERALES
110
b. Ángulos Suplementarios
c. Ángulos Replementarios

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10.2.4. Operaciones Con Ángulos
Adición
Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las
unidades de igual denominación (de modo que se correspondan en columnas
vertical), ya se vio esto anteriormente.
Observar la operación siguiente.
Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie; esto es, segundo
con segundo, minuto con minuto y grado con grado.
En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario
usar las relaciones existentes entre ellas.
Se tendrá entonces una nueva forma la suma (resultado), que pasará a ser:
53° 21’.
Pues bien, para que esto ocurra se debe dividir 81’
por 60’, que dará como cociente el número de grados
y el residuo -si hubiera- será el número de minutos:
Observar además estos otros ejemplos:
35° 16’ + 17’ 42” +
45° 45’ 20’ 41”
80° 61’ 37’ 83”
81° 1’ 38’ 23”

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ESTUDIOS GENERALES
112
Sustracción
En la resta se procederá de la misma manera que en la suma haciendo
corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y
cuando sea necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre
ellas. Observar:
¿Cuándo es posible hacer una resta?
Sólo es posible efectuar la resta cuando el minuendo
es mayor o igual que el sustraendo.
49° 20’ -
20º 14’
29º 6’
49° 20’ -
20º 14’
29º 6’
74° 5’ -
18º 16’
?
El ángulo 73° 65’
es igual 18° 5’
Veamos otro ejemplo:
De 5’ no se puede restar 16’
Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera:
Se pide prestado 1° a los 74°. El minuendo pasará
entonces a ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado
que de los 74° fue retirado 1° quedando entonces
73°, este 1° fue transformado.
En minutos(1° = 60’= y después, sumado a los 5’
existentes
60’ + 5’ = 65’
Así fue posible la resta.
Multiplicación
Para multiplicar un ángulo por un número natural se debe multiplicar por ese
número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, se
transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
x3
180º 26’ 35’’
54º 78’ 105’’
Pero 105” = 1’ 45”, luego 54º 79’ 45”
Pero 79’ = 1º 19’, luego 55º 19’ 45”
División
Para dividir un ángulo por un número natural dividir los grados entre ese
número. Transformar el resto de la división en minutos, multiplicándolo por
60, y se suma a los que se tenían. Dividir los minutos. Transformar el resto de
la división en segundos, multiplicándolo por 60, y sumar a los segundos que
se tenían. Dividir segundos

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66º 45’ 36’’ 4
2º = 120’ 16ª 41’ 24’’
165
1’ = 60’
96’’
0’’
Ángulos Congruentes (≅)
Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida.
m∠ABC ≅ m ∠ PQR
Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en
dos ángulos de igual medida o congruentes.
A B R
P
Q
C
30º
OM : Bisectriz
10.3. Teoremas Relativo a los Angulos
1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman
un Angulo de 45º
2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º
3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.

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ESTUDIOS GENERALES
114
Problemas Resueltos
1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de
120º.
Resolución:
La ecuación será:
2. Calcular el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la
mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángu-
lo.
Resolución:
Del enunciado se tiene:
...( I )
Dónde : * q Medida del ángulo en mención
* x Valor de la Razón Aritmética
En ( I) :
x = 180º - q 60º + q x= 120º
3. Del gráfico mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del
ángulo ARE. Calcular el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices del
ángulo MRA y ERN.
Resolución:
Dato: m DRO = 3m ARE
Por tanto:
q + b + x = x
q + b = 2xS

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Según el gráfico:
2q + 2b + x = 90º
2 (q + b ) + x = 90º ... Reemplazamos s: q + b = 2x
2 (2x) + x = 90º
4x + x = 90º
5x = 90º
x = 18º
4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular la
medida del ángulo menor.
Resolución:
Sea “x” el ángulo menor:
x = 67,5º = 67º 30’
=
x 3
180° 5
5. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la
medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.
Resolución:
Sea m AOX = θ
m ∠ AOB + m ∠ AOC = 90º
(θ + α ) + (θ – α ) = 90
θ = 45º
6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: m AOC = 80º y m
BOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices de los
ángulos AOB y COD.
Resolución:
Se pide: α + β + θ = ?
Como:
2 α + β = 80º
2 θ + β = 60º

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ESTUDIOS GENERALES
116
Al sumar y simplificar:
α + β + θ = 70º
7. En la figura, calcular el ángulo AOB.
Resolución:
Sea m∠AOB = X
Del gráfico, por ángulo de una vuelta:
m∠DOB + m∠BOD = 360º
( 210º - X ) + 190º = 360º
X = 40º
8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que m∠AOB=20º,
m ∠ BOD = m∠DOE y m∠COE = m∠BOC + m∠BOD = 90º. Calcule m∠AOC.
Resolución:
Piden m∠AOC = ?
Sean m∠BOC = α
m∠BOD = θ
Del enunciado
α + θ = 90º ....... ( 1 )
Se Observa
2 θ = 90º + α .........( 2 )
Sumando ( 1) y ( 2)
2 θ + θ = 180º
Θ = 60º y α = 30º
m∠AOC = 50º
9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA
está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.

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Resolución:
Tomando los ángulos en forma conveniente, siendo la razón aritmética α.
( X - 2 α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º
α = 72º

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118
10.4.1. Ángulos formados por dos Paralelas y una Secante
Dos rectas paralelas al ser cortadas por una tercera recta (llamada recta
secante) determinan ángulos especiales por la posición de uno respecto al
otro.
Si:
L1
//L2
Los cuatro ángulos determinados en la recta L1 se relacionan con los cuatro
ángulos determinados en la recta L2 formando parejas que reciben nombres
específicos.
Es importante identificar tales parejas y conocer sus propiedades.
Los ángulos formados son:
a. Ángulos Alternos Internos:
A uno y otro lado de la secante y entre las paralelas. Son pares de ángulos
de igual medida.
Estos son: ∠3 y ∠5; ∠4 y ∠6
b. Ángulos Alternos Externos:
A uno y otro lado de la secante y fuera de las paralelas. Tienen igual medida.
Estos son: ∠1 y ∠7; ∠2 y ∠8
c. Ángulos Correspondientes:
A un solo lado de la secante, uno fuera y otro entre las paralelas. Tienen
igual medida.
Estos son: ∠1 y ∠5; ∠2 y ∠6; ∠3 y ∠7; ∠4 y ∠8.
d. Ángulos Conjugados Internos:
A un solo lado de la secante y entre las paralelas. Son suplementarios.
Estos son: ∠3 y ∠6; ∠4 y ∠5.
e. Ángulos Conjugados Externos:
A un solo lado de la secante y fuera de las paralelas. Son suplementarios.
Estos son: ∠1 y ∠8; ∠2 y ∠7.
10.4. Ángulo

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10.4.2. Propiedades Auxiliares
Ángulos de Lados Paralelos:
Si dos ángulos tienen sus lados paralelos: o son iguales, ó son suplementarios.
Se ve que son como dos paralelas entre dos secantes.
a
b
a
b
a = b a + b = 180º
Ángulos de los Lados Perpendiculares:
Si dos ángulos tienen sus lados perpendiculares: o son iguales o son
suplementarios.
Otras Propiedades

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ESTUDIOS GENERALES
120
Problemas Resueltos
1. En la figura calcula “x”, si L1 // L2:
↔ ↔
Resolución:
Por propiedad:
80° - 4x° + 180 – 5x° = 90°
360° - 9x° = 90
270° = 9x°
30 = x
2. Calcula “x”, si L1 // L2:
↔
↔ ↔
↔
Resolución:
Aplicando “serrucho”:
20° + x° + 30° = 60° + 50°
50° + x° = 110°
x = 60
3. Del gráfico L1
// L2
, además 5a = 4b. Calcula “b - a”

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Resolución:
Por propiedad:
(180° - b) + (90° - a) = 90°
→ a + b = 180°
Por dato: a = b = k
4 5
Reemplazando:
9k = 180° → k = 20°
Nos piden:
b - a = 5k – 4k= k
b - a = 20°
4. Calcula “x”, si: L1
// L2
↔ ↔
Resolución:
Por ángulos conjugados internos:
2a + 2q = 180°
a + q = 90°
Por propiedad:
x = a + q
x = 90°
5. En la figura, si: L1
// L2
, halla (x – y)
↔ ↔

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122
↔
↔
↔
↔
Resolución:
Se pide “x – y”
Por propiedad:
180° - x + y = 90°
90° = x – y
6. Si: L1
// L2
Calcule la relación de m y n
Resolución:
Si:
a + b + n = 180º
→ m = 2n
→ m = 2
7. Calcular el valor de “α”.
Si: L1
// L2
Resolución:
n

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Por propiedad: 2 + 9 + 4 + 12 = 3 + 12 + 3 - 5 + a
6 + 21 = 6 + 7 + a
a = 14
8. Las rectas L1
// L2
. calcular “q”
↔
↔
↔
↔
Resolución:
Son ángulos correspondientes:
b + 100° = 130°
b = 30°
ángulos conjugados externos:
b + 100° + b + q = 180°
160 + q = 180°
q = 20°
9. Si: L1
// L2
. Hallar el valor de “x”.
Solución:
2q y 2q son ángulos conjugados internos, luego dichos ángulos son
suplementarios, es decir su suma vale 180°, entonces:
a + q = 90°
El ángulo x está formado por la suma de los ángulos a y q , porque son ángulos
alternos internos, por lo tanto:

a + q = x = 90°

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ESTUDIOS GENERALES
124
10. En la figura,L1
// L2
, hallar el valor de “a”.
↔ ↔
Solución:
Si se trazan paralelas por los vértices de los ángulos y se aplican ángulos alternos
internos y ángulos opuestos por el vértice, se obtiene:
Es decir 2 a + a = 60°
Finalmente a = 20°

POLÍGONOS: TRIÁNGULOS,
CUADRILÁTEROS
11
UNIDAD

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ESTUDIOS GENERALES
126
11. Polígono
11.1. Definición
Es la figura geométrica que se obtiene al intersectar por sus extremos tres o más
segmentos de recta no colineales pero sí coplanares, de modo que al interior de este
polígono quede cerrada una porción de plano, llamada REGIÓN POLIGONAL.
11.2. Elementos de un Polígono
• Lados. AB, BC, CD, DE, EF y FA.
• Vértices. Puntos A, B, C, D, E y F.
• Diagonales. Segmento que une dos vértices no consecutivos.
Ejemplo: BF.
• Angulo Interior. a
• Angulo Exterior. Φ
• Angulo Central. Ѳ
• Apotema. OM, segmento que une el centro del polígono regular con
el punto medio del lado del polígono y son perpendiculares.
• Perímetro. AB + BC + CD + DE + EF + FA
11.3. Clasificación de los Polígonos
11.3.1 De acuerdo al número de lados.
Triángulo 3 lados
Cuadrilátero 4 lados
Pentágono 5 lados
Exágono 6 lados
Heptágono 7 lados
Octágono 8 lados
Nonágono 9 lados
Decágono 10 lados
Endecágono 11 lados
Dodecágono 12 lados
Pentadecágono 15 lados
Icoságono 20 lados

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11.3.2. De acuerdo a las medidas a sus elementos
• Polígono Convexo. Todos sus ángulos internos miden menos de
180°.
• Polígono Concavo. Por lo menos uno de sus ángulos internos
mide más de 180°.
• Polígono Equilátero. Todos sus lados tienen igual medida.
• Polígono Equiángulo. Todos sus ángulos internos tienen igual
medida.
• Polígono Regular. Sus lados y sus ángulos internos tiene igual
medida.
• Polígono Irregular. Es aquel polígono que no es regular.
Observaciones:
En todo polígono, el número de lados (n) es igual al número de vértices
(nv
), e igual al número de ángulos interiores (ni
), número de ángulos
exteriores (ne
), número de ángulos centrales (nc
).
n = nv
= ni
= ne
= nc
• Todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito en una
circunferencia.

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ESTUDIOS GENERALES
128
• En todo polígono regular
inscrito, la apotema y la sagita o
también llamada flecha, forman
el radio de la circunferencia que
circunscribe al polígono.
OP: Apotema; PQ: Sagita
o flecha; OQ: Radio de la
circunferencia.
11.4. Propiedades de los Polígonos
Sea un polígono de “n” lados.
• Total de Diagonales:
Número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice:
n – 3. La cual divide al polígono en n – 2 Triángulos .
• Suma de medidas de los ángulos internos (Si
):
Si = 180°. (n-2)
• Suma de medidas de los ángulos externos (Se
):
Se
= 360°
• Angulo Interior ( ∠i ): Polígono Equiángulo
n(n+3)
180°. (n-2)
360°
360°
D=
∠i=
q =
e =
2
n
n
n
Nota:
q = e
Se
= S = 360°
• Angulo Central (q). Polígono regular
• Angulo Exterior (e). Polígono Equiángulo
Para un polígono estrellado:
Un polígono estrellado se origina al prolongar los lados de un polígono
convexo. Ejemplo pentágono estrellado ABCDE. (es el menor polígono
estrellado que se puede formar), sus lados son AC, CE, ....

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• La suma de las medidas de los ángulos internos (puntas):
Sp
= 180°.(n-4)
• La suma de las medidas de los ángulos exteriores es 720º
• Si la estrella es regular, La medida de uno de los ángulos internos es:
p = 180°. (n-4)
n
Hexágono Regular
Al trazar las diagonales AD, BE y CF, se forman 6 triángulos EQUILÁTEROS.
Los lados del Hexágono tienen igual medida del RADIO de la
CIRCUNFERENCIA que circunscribe al EXÁGONO.
11.5. Triángulo
Polígono de tres lados:
Perímetro = a + b + c
Semiperímetro = a + b + c
2
11.5.1. Clasificación de los triángulos
I. De acuerdo a la relación entre sus lados, pueden ser:
• Triángulo Equilátero.
• Triángulo Isósceles.
• Triángulo Escaleno.

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ESTUDIOS GENERALES
130
a. Triángulo Equilátero. Sus tres lados son de igual medida.
b. Triángulo Isósceles. Dos de sus lados son de igual medida.
II. Triángulo Escaleno. Sus tres lados son de diferente medida.
II. De acuerdo a la medida de sus ángulos, pueden ser:
• Triángulo Rectángulo.
• Triángulo Acutángulo.
• Triángulo Obtusángulo.
a. Triángulo Rectángulo. Tiene un ángulo interno que mide 90º

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Relación entre los lados del triángulo rectángulo y la circunferencia
inscrita:
b. Triángulo Acutángulo.
Todos sus ángulos internos miden menos de 90º.
c. Triángulo Obtusángulo. Tiene un ángulo interno mayor de 90 º.
11.5.2. Líneas y puntos notables en el triángulo
I. Altura: Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae
perpendicular sobre su lado opuesto.
El Punto de Intersección de Las Alturas se llama ORTOCENTRO.
(ver los gráficos, el pto. “O” es el Ortocentro).

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132
2. Bisectriz. Es un rayo que partiendo de un vértice, divide al ángulo
correspondiente a dicho vértice en dos ángulos congruentes.
El Incentro es el punto de
interseccióndelasbisectrices
interiores del triángulo.
El incentro es el centro
de la circunferencia que
se encuentra inscrita en el
Triángulo.
El Excentro es el punto de intersección de una bisectriz interior y
2 bisectrices exteriores.
Elexcentroeselcentrodelacircunferenciatangenteexteriormente
con el triángulo (Ver Gráfico).
3. Mediana. Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae
sobre el lado opuesto dividiéndolo en dos partes iguales.
El BARICENTRO es el pto. de intersección de las medianas.
El BARICENTRO divide a la mediana en dos segmentos
proporcionales como 2 es a 1.

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4. Mediatriz. Es la recta perpendicular a uno de los lados que pasa
por su punto medio.
El CIRCUNCENTRO es el centro de la circunferencia que
circunscribe al triángulo.
Ceviana. Segmento que une el vértice del triángulo con cualquier
punto del lado opuesto.
11.5.3. Teoremas elementales sobre triángulos.
1º. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
2º. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las
medidas de los ángulos internos no adyacentes.
3º. La suma de los ángulos exteriores del triángulo suman 360°.

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ESTUDIOS GENERALES
134
4º. A ángulo mayor se le pone lado mayor y ángulo menor se le
pone lado menor.
Si: a > b > q
Entonces:
a > b > c
b + c > a > b - c
5º. Naturaleza de existencia de un triángulo:
Para que un triángulo exista debe cumplir como mínimo la
siguiente condición.
“Cualquier lado del triángulo debe ser mayor que la
diferencia de los otros dos lados, pero menor que
la suma de dichos lados”
6º. Angulos formados por dos bisectrices.
q q
q
x = 90° + x = 90° -
x =
MN// AB MN = AB
2
2 2
2
a. 2 bisectrices interiores: b. 2 bisectrices Exteriores:
c. Una bisectriz Interior y una bisectriz Exterior:
7º. Teorema de los puntos medios.
Si: M y N son puntos medios,
Entonces:

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8º. Mediana Relativa a la HIPOTENUSA.
La mediana BM mide la mitad de la hipotenusa.
9º. Teorema de la bisectriz Interior
10º. Teorema de la bisectriz exterior.
c
a + b
x2
=m.n - a.c
m
m
=
=
a
c
n
n
11º. Teorema del Incentro.
12º. Teorema del Mediana.

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ESTUDIOS GENERALES
136
13º. Relaciones de Áreas en un Triángulo.
14º. Triángulos Rectángulos Notables:

· MATEMÁTICA ·
11.5.4. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
11.6. Cuadrilátero
Polígono de cuatro lados, donde sus ángulos internos suman 360º.
16.6.1. Clasificación de los cuadriláteros.
1. Trapezoide. Sus lados no son paralelos
2. Trapecio. Posee únicamente un par de lados opuestos paralelos.
3. Paralelogramo. Los lados opuestos son paralelos.
11.6.2. Trapezoide
Caso Particular:
Trapezoide simétrico o bisósceles
• Sus diagonales son perpendiculares
• BD es mediatriz de AC.
11.6.1. Trapecio
AD : Base Mayor
BC : Base menor
BH : Altura
BC // AD
MN : Mediana

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ESTUDIOS GENERALES
138
Clases de Trapecios:
PROPIEDADES:
a. MN : Mediana
MN : Es paralelo a las Bases.
(B+b)
(B - b)
MN=
PQ=
2
2
b. Sobre la MEDIANA, se ubica los puntos medios de las DIAGONALES (P
y Q).
11.6.4. Paralelogramo
Propiedades:
• Lados opuestos son paralelos y de igual medida.
• Sus ángulos internos opuestos son de igual medida
• Sus DIAGONALES, se bisecan.

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Clases de Paralelogramo:
h
B
E
a
a
φ
φ
ROMBOIDE
E
h
B
RECTÁNGULO
B : base
h: altura
45° 45°
E L
L
CUADRADO
E
D
d
ROMBO
D : Diagonal Mayor
d : Diagonal menor

MEDIDAS DE LONGITUD -
PERÍMETRO
12
UNIDAD

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