4. Objetivo General
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y
problemas que involucren la solución de
ecuaciones de primer grado y de segundo
grado.
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Índice
5. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
5
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Recordarás a qué se llama ecuación
condicional o ecuación; variable o
incógnita; constante, y ecuación
idéntica o identidad.
Recordarás a qué se llama solución o raíz de
una ecuación, conjunto de soluciones de una
ecuación, ecuaciones equivalentes, ecuaciones
de primer grado y ecuaciones de segundo
grado.
Recordarás las propiedades de las igualdades para las
cuatro operaciones básicas y las utilizarás para resolver
una ecuación transformándola en una ecuación
equivalente.
6. Igualdades y ecuaciones
La balanza está en equilibrio.
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras
y números relacionados por operaciones aritméticas.
20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5
Representa una igualdad numérica
Una igualdad tiene dos miembros, el primero es la expresión que está
a la izquierda del signo igual, y el segundo, el que está a la derecha.
20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5
La igualdad x + 20 = 10 + 20 es una ecuación. La letra x se llama incógnita,
porque su valor es desconocido.
1er miembro 2º miembro
Una ecuación también se llama igualdad algebraica.
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas unidas por el signo igual, (=).
7. Ecuaciones Equivalentes
La solución de las siguientes ecuaciones es x = 6:
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Observa cómo pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:
a) 4x – 12 = x + 6
Sustituyendo:
b) 3x = 18
4 · 6 – 12 = 6 + 6 = 12
3 · 6 = 18
Ecuación dada: 3x + 4 – x = 7 + x
3x + 4 – x – 4 = 7 + x – 4 2x = 3 + x
Restamos 4 a cada miembro.
2x – x = 3 + x – x x = 3
Restamos x a cada miembro
c) x = 6 Es evidente.
Las tres ecuaciones
son equivalentes.
8. Regla De La Suma
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta el mismo
número o la misma expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente
a la dada.
Ejemplo: Para resolver la ecuación 5x – 7 = 28 + 4x
Regla de la suma y transposición de términos
Restamos 4x: 5x – 7 – 4x = 28 + 4x – 4x
Sumamos 7: 5x – 7 – 4x + 7 = 28 + 4x – 4x + 7
x = 35Operamos:
Aplicar la regla equivale a transponer términos, pasándolos de un miembro a
otro cambiándolos de signos.
En la práctica 5x – 7 = 28 + 4x
Se pasa 4x al primer miembro restando: 5x – 7 – 4x = 28
Se pasa 7 al segundo miembro sumando: 5x – 4x = 28 + 7
Se opera: x = 35
9. Regla del producto
Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un mismo
número, distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
Ejemplo: Para resolver la ecuación
Regla del producto y simplificación de términos
Multiplicamos por 2:
Dividimos por 5: x = 108
La regla del producto permite simplificar términos.
En la práctica
270
2
5
x
270·2
2
5
·2 x 5x = 540
270
2
5
x
Se multiplica por 2 a
ambos miembros
5x = 540
Se simplifica por 5
x = 108
10. Ejercicio resuelto 1
Resolver la ecuación: 4(x – 10) = –6(2 – x) – 5x
· Quitar paréntesis:
· Pasar la incógnita al 1er miembro
y los números al 2º:
· Reducir términos semejantes:
4x – 40 = –12 + 6x – 5x
4x – 6x + 5x = –12 + 40
3x = 28
· Despejar la incógnita:
x = 7
12. Fórmula general de la
ecuación de segundo grado
Las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 son:
Observa que hay dos soluciones una sumando la raíz y la otra, restándola.
Ejemplos:
Las soluciones de la ecuación x2 - 5 x + 4 = 0 son:
x1 = 1 y x2 = 4
La ecuación x2 + x + 1 = 0, no tiene solución.
a
acbb
x
2
42
13. Con la aplicación de las actividades se pretende lograr los
objetivos antes mencionados, esto de manera general
puede beneficiar a los alumnos al adquirir algunas
competencias matemáticas como la de resolver
problemas de manera autónoma, lo cual implica que los
alumnos sepan identificar, planear y resolver diferentes
tipos de problemas o situaciones, utilizando más de un
procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son los más
eficaces, con base al contexto al que se le presente.
CONCLUSIONES
14. Bibliografía
1. J. de Burgos, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 2000.
2. M. Anzola y otros, Problemas de álgebra. (Especialmente tomos 1, 3, 6, 7)
Madrid, 1981.
3. J. Rojo, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 2001.
4. F. Ayres Jr., Teoría y problemas de matrices. McGraw-Hill, 1991.
5. J. Rojo e I. Martín, Ejercicios y problemas de álgebra. McGraw-Hill, 1994.
6. S. I. Grossman, Álgebra lineal. McGraw-Hill, 1995.
