1. Capitulo I
ELASTICIDAD
Importancia del tema
La elasticidad es una de las propiedades mecánicas de la materia, que se debe
tener en cuenta en la ingeniería para el diseño y uso de maquinarias, edificios,
dispositivos electrónicos, etc.
También se toma en cuenta en la propagación de las ondas mecánicas.
Logros:
Al final del capitulo, los alumnos deben ser capaces de:
o Describir el comportamiento elástico y plástico de la materia sólida.
o Definir y clasificar a los esfuerzos y las deformaciones que les producen
a los cuerpos.
o Describir a los diferentes tipos de módulos de elasticidad que
caracterizan a la materia.
o Resolver los problemas de aplicación.
Elasticidad y Plasticidad
Cuando se le aplican fuerzas o cargas a un objeto, éste se deforma. Si se
eliminan las fuerzas y el objeto recupera su forma original, se dice que su
comportamiento es elástico; en cambio si la deformación persiste, el
comportamiento es plástico. Si las fuerzas aplicadas son demasiadas intensas,
el objeto puede sufrir fractura.
Todos los materiales como por ejemplo el acero, son elásticos en cierto grado.
Esfuerzo y deformación
El esfuerzo es una medida de la intensidad del agente que causa la
deformación del objeto. Si una fuerza F es aplicada a una superficie de área A,
el esfuerzo es = F/A.
Los esfuerzos se evalúan puntualmente.
Unidades del esfuerzo en el S.I. : = [N/m2] = [Pa]

2. El esfuerzo es de carácter tensorial (matriz de 3x3), pero en una dimensión es
un número o escalar.
Clases de esfuerzos: normal, tangencial o de corte, de torsión, etc.
Esfuerzo normal ( n)
Esta clase de esfuerzopuede ser de tensión o de compresión
La siguiente figura 1, muestra una barra sometida a fuerzas de tensión F y
–F, que le producen un esfuerzo normal de tensión n. La barra sufre una
deformación L en su longitud .
La fuerza aplicada debe estar distribuida en toda la sección transversal.
Cálculo del esfuerzo normal:
n = F/A
(1)
donde F es perpendicular al área A.
En el esfuerzo normal de tensión, la sección transversal disminuye su área,
pero esta variación es pequeña en algunos metales o concretos y se desprecia
en el calculo de n.
La deformación unitaria
es definida como
= L/L0 .
Esfuerzo tangencial o de corte ( t)
La siguiente figura 2 nos muestra un paralelepípedo sólido bajo la acción de
una fuerza tangencial F que actúa en su cara superior, mientras que en su cara
inferior actúa una fuerza -F, tangente a la superficie de área A, lo cual origina
el desplazamiento x y el ángulo .

3. El esfuerzo de corte tiene el valor:
t
= F/A(2)
y la deformación de corte o deformación de forma esta dado por x/h.
El ángulo , es pequeño para metales y concretos, por lo cual se tiene:
x/h = tg
sen
(3)
Módulos de Elasticidad
Los módulos de elasticidad relacionan proporcionalmente los esfuerzos con
las deformaciones. Estas cantidades dependen del material y se determinan
experimentalmente.
Módulo de Young (Y)
Mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud.
En los materiales el módulo de Young es la constante de proporcionalidad
entre el esfuerzo normal y la deformación. A esta relación lineal se le llama
ley Hooke:
(4)
n=Y
donde
n
= F/A ,
= L/L0 e Y es el modulo de Young del material
La siguiente figura muestra el grafico experimental de esfuerzo vs
deformación unitaria ( vs ) para un sólido elástico.

4. El módulo de Young es la pendiente del segmento OA.
Limite elástico
Es el menor valor del esfuerzo requerido para producir una deformación
plástica en un cuerpo. En la figura anterior es el esfuerzo correspondiente al
punto B
TABLA I. Módulos de elasticidad de algunos materiales
Material
Y(x 1010 N/m2)
S(x 1010 N/m2)
B(x 1010 N/m2)
Aluminio
Latón
Cobre
Acero
Vidrio
Agua
7,0
9,0
11,0
20,0
5,4
-
2,4
3,5
4,0
8,4
2,3
-
7,0
6,1
12,0
16,0
5,0
0,21
Resistencia máxima o esfuerzo de ruptura
Es el valor de esfuerzo requerido para producir la rotura del objeto.
Factor de seguridad n. Si el esfuerzo de fractura de un objeto es
veces por seguridad se recomienda aplicar un esfuerzo menor:
aplicado = C / n
donde n es un entero entre 3 y 10.
C,
algunas

5. TABLA 2. Resistencias Máximas (Fractura)
Material
Aluminio
Laton
Acero
De tensión
(x 108Pa)
2,0
2,5
5,0
De compresión
(x 108Pa)
2,0
2,5
5,0
De corte
(x 108Pa)
2,0
2,0
2,5
Módulo de rigidez o de corte (S)
Mide la resistencia del sólido a la deformación de corte o de cizalladura.
La relación entre el esfuerzo de corte y la deformación que produce es:
t
=S
donde
(5)
t
= F/A ,
= x/h y S es el modulo de rigidez.
Módulo volumétrico o de Compresibilidad
El volumen de un cuerpo sólido, liquido o gaseoso puede variar cuando se le
incrementa la presión estática que actúa en toda su superficie. Por ejemplo, en
la siguiente figura 4(a) se muestra un paralelepípedo sólido de volumen V0,
bajo la presión atmosférica. En la figura 4(b) el mismo cuerpo esta dentro de
un cilindro con un liquido al cual se le aplica la presión p = F/Ae , por acción
de la fuerza F que actúa en el émbolo móvil de área Ae .
Este incremento de presión p, se transmite a todos los puntos de la superficie
del cuerpo, de tal modo que produce un esfuerzo volumétrico, lo cual le
disminuye su volumen ( V < 0).
La relación entre el esfuerzo p y la deformación V es:
p
B
V
V0
(6)
siendo B el modulo volumétrico del material.

6. Figura 4.
a) Un cuerpo de volumen Voesta
la presión de la atmósfera po.
b) El mismo cuerpo se encuentra
dentro de un cilindro con un
Liquido, sometido a un
incremento
de
presión
Δp F/A
Ejemplos
1. Un tronco uniforme de 100 kg de masa,
4m de longitud y de 12 cm de radio,
cuelga de un alambre de acero y se
mantiene en equilibrio estático, a punto
de resbalar hacia la derecha.
Si = 60º, determine:
a) La tensión del cable y la fuerza
fricción.
b) La sección transversal del alambre
para que no sobrepase el límite de linealidad
(3,6 x 108Pa).
c) El estiramiento L. L0 = 5m
Solución.
a) Por ( i ) A 0 , se calcula la tensión T:
4 (T sen 10º ) = 2(W cos 20º) , W = 100(10) N
T = 2705,74 N
Aplicando
Fix
0 , se calcula la fricción
f:
f = T sen 60º = 2343,23 N
b) Como
T
A
3,6 x 108 Pa ,
bajo

7. entonces A = T/ = 7,516 x10-6 m2 = 7,516 mm2
c)
L
L0
Y
3,6 x 10 8 x (5)
20 x 10 10
9 x 10 -3 m 9 mm
2. Una barra AB de peso despreciable, esta
suspendida mediante dos alambres como
indica la figura. El alambre de la izquierda es
de acero (A1 = 0,5 cm2, L1 = 1,5 m,
Y1 = 2,0 x 1011N/m2), el alambre de la
derecha es de aluminio (A2 = 1,0 cm2,
L2 = 2,5 m, Y2 = 0,7 x 1011 N/m2). Si se
coloca una carga W = 12000N en la
posición mostrada, donde
x1 = 0,25 m y x2 = 0,5 m, halle:
a) Las tensiones en cada alambre.
b) Los alargamientos L en cada alambre.
Solución
a) Para deformaciones pequeñas, los
ángulos son de 90º . Se aplican las
condiciones de equilibrio para
calcular las tensiones:
Fiy
(
i
0 : T1 + T2 = W = 12000
) A 0 : (x1 + x2) T2 = x1W
Resolviendo ambas ecuaciones se hallan: T2 = 4000N y T1= 8000 N.
b) Para calcular los estiramientos, se conocen:
A1 = 0,5 cm2, L1 = 1,5 m , Y1 = 2,0 x 1011N/m2, A2 = 1,0 cm2,
L2 = 2,5 m y el modulo Y2 = 0,7 x 1011 N/m2.
Se aplica σ
Y
ΔL
L
0