La siguiente presentación desarrolla contenidos de ecuaciones lineales y sus métodos de aplicación.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
SEDE BARINAS
ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO
Nombre (s) y Apellido (s): Santa Duran
C.I. 11.927.304
Carrera: Ingeniería Industrial

2. En el presente trabajo se desarrollaran conceptos y practicas de gran utilidad
para el conocimiento, en este caso se denotara las ecuaciones lineales el cual
se definen como ecuaciones de primer grado representadas en un sistema
cartesiano, conocido también como ecuaciones con dos incógnitas.
De tal manera que se podrá conocer los métodos aplicados por Gauss y
Jordan, muy útiles para la comprensión de este objetivo.
INTRODUCCION

3. CONTENIDO
• Método de eliminación de Gauss
• Solución numérica del método de eliminación de
Gauss.
• Método de Gauss -Jordán.
• Solución numérica de sistemas de ecuaciones
lineales utilizando el método de Gauss-Jordán.
• Método de la descomposición LU
• Solución numérica del sistemas de ecuaciones
lineales utilizando el método de la descomposición
LU.
• Aplicación de la técnica de pivoteo parcial para mejorar los métodos numérico
estudiados.
• Método iterativo de Jacobi.
• Solución numérica del sistemas de ecuaciones lineales por el método iterativo de Jacobi.

4. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
El método de Gauss es una generalización del método de
reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en
los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste
en la aplicación sucesiva del método de reducción,
utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para
transformar la matriz ampliada con los términos
independientes en una matriz triangular, de modo que cada
fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la
inmediatamente anterior.
Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado,
tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la
penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres
incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas.

5. SOLUCIÓN NUMÉRICA
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS.
Solución
Ejercicio
La matriz ampliada del sistema es
La raya vertical separa la matriz de coeficientes de la matriz columna de términos
independientes.
Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en forma escalonada
reducida:
Multiplicamos la primera fila por 1/5 y la segunda por 1/3:

6. Sumamos a la segunda fila la primera:
Multiplicamos la segunda fila por 5/7:
Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por -2/5:
Esta última matriz equivalente ya tiene forma escalonada reducida y nos permite ver rápidamente los
rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.
Calculamos los rangos de la matriz coeficientes y de la matriz ampliada

7. Como los rangos son iguales y máximos, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema
es compatible determinado. La matriz obtenida representa el sistema
GEORG F. FRÖBENIUS
Es la solución del sistema.

8. MÉTODO DE GAUSS -JORDÁN.
Dado un sistema AX=bAX=b, el método de eliminación de Gauss-Jordan consiste en hallar
la forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema, A∗=(A|b)A∗=(A|b).
La diferencia entre los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan es que el primero finaliza al obtener
un sistema equivalente en forma escalonada, mientras que el segundo finaliza al obtener un sistema
equivalente en forma escalonada reducida.
Nota: las definiciones de forma escalonada y forma escalonada reducida de una matriz podéis
encontrarlas en matrices equivalentes.
Dado un sistema AX=bAX=b, el método de eliminación de Gauss
consiste en hallar la forma escalonada de la matriz ampliada del
sistema, A∗=(A|b)A∗=(A|b). Al terminar, tendremos la matriz
(triangular superior) ampliada de un sistema de ecuaciones
equivalente (con la o las mismas soluciones) mucho más sencillo de
resolver. Aplicaremos el teorema de Rocuhé-Frobenius para
determinar el tipo de sistema. Finalmente, resolveremos el sistema (si
es compatible).
JORDÁN

9. SOLUCIÓN NUMÉRICA
MÉTODO DE GAUSS -JORDÁN.
Ejercicio
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss Jordan, debemos en primer
lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación
matricial, por ejemplo:
Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas,
multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarán
en todos los elementos de la fila. En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes.
Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la
solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se corresponderán de la forma
siguiente:

10. • d1 = x
• d2 = y
• d3 = z
Ahora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este método con un
ejemplo concreto. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial:

11. Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para así
convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:
Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de
matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea ½.
Veamos como nos queda:

12. MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN LU
La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de
eliminación gaussiana aplicado a la matriz y que es conveniente en términos del
número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa
de una matriz o cuando se resolver a una serie de sistemas de ecuaciones con una
misma matriz de coeficientes. En la lectura, primeramente consideraremos la
factorización LU sin intercambio basada en matrices elementales y que es conocida
como de Doolittle y posteriormente veremos el algoritmo que da la factorización PA
= LU.

13. SOLUCIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO EL
MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN LU.
PASOS PARA RESOLVER UN SIST EMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE
DESCOMPOSICIÓN LU
Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
1. Resolver Ly = b (para encontrar y).
2. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".
3. Realizar Ux = y (para encontrar x).
4. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda los
valores correspondientes a las incógnitas de la
5. ecuación.

14. PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:
NOT A: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3
iteraciones; y así sucesivamente.
SOLUCION
ITERACIÓN 1
factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25
factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25
Encontrando [U]
fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)
fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)
a11 = a11
a12 = a12
a13 = a13
a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0
a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5
a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25
a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0
a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5
a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

15. Encontrando a L
APLICACIÓN DE LA TÉCNICA DE PIVOTEO PARCIAL PARA MEJORAR
LOS MÉTODOS NUMÉRICO ESTUDIADOS.
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada

16. MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI.
El método Jacobi es el método iterativo para resolver
sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica solo a
sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas
como ecuaciones.
2. Se toma una aproximación para las soluciones y a esta se le designa por xo
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación
XI+1 = C + BX
1. Primero se determina la ecuación de recurrencia.
Para ello se ordenan las ecuaciones y las
incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita
i. En notación matricial se escribirse como:
𝑋 = 𝐶 + 𝐵𝑋
donde x es el vector de incógnitas.

17. Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Jacobi para resolver
el sistema:
EJEMPLO
5 x + 2 y = 1
x − 4 y = 0
Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente.
x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 y
y = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y
Escrito en la notación vectorial quedaría:
Aplicamos la primera iteración partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00:
x1 = 0.20 + 0.00 (1.00) − 0.40 (2.00) = −0.60
y1 = 0.00 + 0.25 (1.00) + 0.00 (2.00) = 0.25
SOLUCION
SOLUCIÓN NUMÉRICA DEL SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
POR EL MÉTODO ITERATIVO DE JACOBI.

18. Aplicamos la segunda iteración partiendo de x1 = −0.60 y y1 = 0.25:
x2 = 0.20 + 0.00 (−0.60) − 0.40 (0.25) = 0.10
y2 = 0.00 + 0.25 (−0.60) + 0.00 (0.25) = −0.15
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x2 = 0.10 y y1 = −0.15:
x3 = 0.20 + 0.00 (0.10) − 0.40 (−0.15) = 0.26
y3 = 0.00 + 0.25 (0.10) + 0.00 (−0.15) = 0.025
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x3 = 0.26 y y3 = 0.025:
x4 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.025) = 0.190
y4 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.025) = 0.065
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x4 = 0.190 y y4 = 0.065:
x5 = 0.20 + 0.00 (0.19) − 0.40 (0.065) = 0.174
y5 = 0.00 + 0.25 (0.19) + 0.00 (0.065) = 0.0475
Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x5 = 0.174 y y5 = 0.0475:
x6 = 0.20 + 0.00 (0.174) − 0.40 (0.0475) = 0.181
y6 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.0475) = 0.0435
Si uno dispone de una hoja de calculo como EXCEL es fácil realizar los cálculos
anteriores:

19. Donde Di = Max (|xi − xi+1|, |yi − yi+1|)
Este Di es utilizado como criterio de paro en las iteraciones: Cuando Di es menos que cierto valor
dado (digamos 0.001) uno ya no realiza la siguiente iteración. Si se grafica las aproximaciones
obtenidas en el plano x − y se obtendrá algo como:

20. CONCLUSION
Las ecuaciones lineales también conocidas como sistema lineal de ecuaciones se presenta
como un conjunto de ecuaciones donde cada una de ellas es de primer grado.
Su complejidad consiste en un conjunto de ecuaciones que tienen mas de una incógnita,
pero no necesariamente aparecen en todas las ecuaciones. En este capitulo se pudo
desarrollar este contenido de acuerdo a sus métodos aplicados y la manera de resolver cada
uno.

21. BIBLIOGRAFIA
08 de julio 2019. Ecuaciones lineales. Venezuela. Mate fácil.
https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.html
09 de julio 2019. Ecuaciones lineales. Venezuela. La guía.
https://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-gauss-jordan
09 de julio 2019. Ecuaciones lineales. Venezuela.
cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-26.pdf

22. ANEXOS
VIDEOS. ENLACES
https://www.youtube.com/watch?v=91xUg1L7O7s
https://www.youtube.com/watch?v=kH1t2ewNURw
https://www.youtube.com/watch?v=Q6BdR45uo7I