1. Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Departamento de Medición y Evaluación
Mérida Estado Mérida
Como Propuesta de Orientación Didáctica para la enseñanza y aprendizaje de los
Ángulos en Segundo Año de Educación Media General
Bachilleres:
López Méndez Silvia N.
C.I.V-23.493.505
Araque Ocanto Luis M.
C.I.V-20.198.404
Prof. Yazmary Rondón
Mérida, Noviembre de 2013

2. Introducción
El mundo está lleno de formas y figuras que tienen una serie de características
que facilitan nuestro desenvolvimiento cotidiano, geométricamente cada una de ellas
tiene un lenguaje diferente. Se ha comprobado a través de los años la dificultad que
presentan los estudiantes al aprenderlo, ya sea por su gran peso de razonamiento o
por la forma en que los docentes abordan este contenido, cabe destacar que se trata
de los ángulos, específicamente
su clasificación, contenido que
segundo año de educación Media
corresponde al
General. Para conocer el origen de dichas
dificultades se tomó la decisión de realizar una entrevista a el docente y un test
diagnóstico a los estudiantes cuyos resultados arrojaron fallas, tomando en cuenta
estas dificultades surge la necesidad de crear una propuesta de orientación didáctica,
según el modelo Van Hiele, mediante las fases de enseñanza y los niveles de
pensamiento, siguiendo una serie de elementos que constan de actividades grupales
y de motivación para que el docente pueda trabajar el contenido de ángulos de una
manera diferente, más dinámica e interesante para que los estudiantes puedan
entender las todo lo relacionado con estas figuras geométricas, y aprecien el papel de
las matemáticas y especialmente la geometría en la vida cotidiana.

3. Objetivos de la Propuesta
 Objetivo General: Despertar el interés por los ángulos en los estudiantes de
segundo año de Educación Media General,
a través de una propuesta de
orientación Didáctica.
 Objetivos Específicos:
-Diagnosticar los conocimientos previos a través de actividades lúdicas.
-Organizar el contenido por las fases de enseñanza según el modelo Van Hiele.
-Identificar ángulos y reconocer sus elementos sin utilizar métodos mecanicistas.
-Medir ángulos con el transportador y clasificarlos según su medida.
-Reconocer y dibujar ángulos que dependen de su posición respecto a las
rectas que los forman.
-Apreciar ángulos presentes en la vida cotidiana, mediante una maqueta.
-Implementar una serie de actividades dirigidas a aumentar el nivel de
pensamiento geométrico.
-Diseñar un recurso didáctico.

4. Desarrollo según las fases de modelo Van Hiele
 Información: Según el Currículo Nacional Bolivariano y el Currículo Básico
Nacional, los estudiantes hasta el primer año de Educación Básica, deben tener
conocimientos firmes y sustentados acerca de los ángulos, en lo que se refiere a
su definición, clasificación según su medida, bisectriz, entre otros.
Es por ello que se aprovechará esta oportunidad y en especial esta fase para
comprobar que realmente estos conocimientos existen en ellos, esto se realizará
mediante una actividad lúdica: El salón deberá dividirse en cinco grupos que
según el número de estudiantes matriculados será aproximadamente entre 5 y 6
integrantes en cada grupo, previo a la clase se prepararán afiches que contendrán
los distintos tipos de ángulos: agudo, obtuso, recto, llano y un ángulo bisecado; a
cada grupo le corresponderá un afiche que elegirá al azar, el mismo deberá ser
pegado en la pizarra y se le hará entrega de un transportador que les permitirá
medir el ángulo que le corresponde, tendrán un tiempo para decidir qué tipo de
ángulo es, una vez tengan la respuesta la escribirán al lado del afiche, así mismo
en otra parte de la pizarra designada para tal fin definirán con sus palabras que es
para ellos un ángulo, luego se comparan todas las definiciones y podrán sacarse
las conclusiones necesarias, en cuanto a la actividad de los afiches los demás
compañeros deberán expresar si están de acuerdo o en desacuerdo con la
respuesta dada y así poder darse obtener información con respecto a todo el
grupo.

5.  Orientación Dirigida: Sin duda alguna todo lo que se aprende es valioso para
nuestra formación en los distintos ámbitos de la vida; pero generalmente existen
temas con los que la comunidad estudiantil no se siente a gusto y preferirían no
aprenderlo jamás, es por ello que se hace necesario buscar herramientas distintas
al momento de pretender enseñar algo nuevo y de esta manera despertar el
interés de los estudiantes.
En esta oportunidad los alumnos deben estar preparados para conocer otros tipos
de ángulos que ya no dependerán únicamente de su medida, sino de su posición
respecto a las rectas que los forman: los
complementarios,
suplementarios,
alternos
ángulos opuestos por el vértice,
internos,
alternos
externos
y
correspondientes.
En esta parte se utilizará lógicamente las definiciones adaptadas a su nivel, pero
aunado a esto se pondrá en práctica la utilización de recursos cotidianos
simbolizados a través de una maqueta
de un tamaño que permita que todos
capten lo que se quiere expresar. Las definiciones que se utilizarán serán las
siguientes:
 Ángulo: Figura geométrica formada por dos rayos que tienen origen común,
llamado vértice. Las semirrectas se llaman lados del ángulo.
 Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°.
Ejemplo:
 Ángulos
Suplementarios:
180°Ejemplo:
Son
los
ángulos
cuyas
medidas
suman

6.  Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos tales que los lados de
cada uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro. Ejemplo:
 Ángulos Consecutivos: Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un
lado común que separe a los otros dos. Varios ángulos son consecutivos si el
primero es consecutivo del segundo, éste del tercero y así sucesivamente.
Ejemplo:
 Ángulos Congruentes: Se dice que dos ángulos son congruentes si y solo si
tienen las mismas medidas. Ejemplo:
<ABC=45° y <PQR=45°
Sean AB, CD y EF tres rectas tal que EF cortan las rectas AB y CD. La recta EF se
llama secante de las rectas AB y CD. Formando 8 ángulos. 4 en cada punto de
intersección.

7.  Ángulos Internos: son todos los ángulos que están entre las dos paralelas (son
internos a las paralelas). Ejemplo: <3, <4, <5, <6
 Ángulos Externos: Se les llama así a los ángulos que caen fuera del espacio
entre las dos rectas. Ejemplo: <1, <2, <7, <8.
 Ángulos Alternos: En dos rectas cortadas por una secante, se les llama así a
los ángulos están en distinto lado respecto a la secante. Ejemplo: <1 y <8, <2 y
<7, <3 y <6, <4 y <5
 Ángulos Alternos Internos: Son los ángulos que se encuentran a lados
distintos de la recta secante y están entre las rectas AB y CD ejemplo: <3 y <6,
<4 y <5
 Ángulos Alternos Externos: Son los que se encuentran a lados distintos de la
recta secante y están fuera de las rectas AB y CD ejemplo: <1 y <8, <2 y <7
 Ángulos Correspondientes: Se les llama así a dos ángulos que en dos rectas
cortadas por una secante, están del mismo lado de la secante pero uno es
interno y el otro externo a las dos rectas. Ejemplo: <1 y <5, <2 y <6, <3 y <7, <4
y <8.
Y de esta manera lograr que los estudiantes puedan definir y dibujar los ángulos
anteriormente descritos correctamente.

8.  Explicitación: En esta fase es importante promover la apropiación de la
terminología por parte del estudiante y comprobar que realmente comprendió lo
que se quería, pues en ocasiones se suele preguntar de una manera general y el
estudiante contesta afirmativamente tal vez por temor y en realidad no es cierto.
Por ello se debe buscar una manera de evidenciar que el estudiante es capaz de
expresar lo aprendido. Para desarrollar esta fase se tomará un grupo similar al de
la actividad inicial y los estudiantes deberán tomar de una bolsa un papel donde
se describe el nombre de un ángulo, cada grupo deberá dividirse en dos, es decir,
si cada grupo es de seis estudiantes nuevamente se dividirá y quedaran tres y
tres. A cada uno de estos subgrupos se le asignará una actividad de acuerdo al
ángulo que eligió, uno definirá al ángulo y el otro lo dibujará. Con esta actividad se
quiere profundizar el contenido, pues deberán explicar de forma clara lo que se le
pide, además de esto tendremos la oportunidad de analizar el punto de vista de
cada estudiante y fomentar el trabajo en equipo.

9.  Orientación libre: Cada actividad que se proponga con el objetivo de incentivar a
un grupo de alumnos a nutrirse de cosas maravillosas, es un gran logro, pero
definitivamente es necesario hacer prácticas de lo aprendido y así comprobar y al
mismo tiempo sustentar lo aprendido.
Es por ello que se preparará una práctica individual que consta de las siguientes
partes:
1) Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes
según los ángulos estudiados:
a) ¿Cómo son los ángulos 1 y 2?
b) ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?
c) ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?
d) ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?
e) ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?
f) ¿Cómo son los ángulos 4 y 6?
g) ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3?
h) ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?
i) ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?
j) ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?

10. 2) Hallar el complemento de los siguientes ángulos
a) 18°
c) 45°
b) 15°
d) 75°
3) Hallar el suplemento de los siguientes ángulos
a) 78°
c) 105°
b)
d) 75°
92°
4) Con la ayuda de tu juego geométrico traza las siguientes figuras:
-
Ángulos Alterno interno
-
Ángulos Alterno externo
-
Ángulos Suplementarios
-
Ángulos Consecutivos
-
Ángulos Complementarios
-
Ángulos Opuestos por el vértice
Luego de la revisión nos podremos dar cuenta lo que el
resolver, luego de haber asistido a nuestras clases previas.
estudiante es capaz de

11.  Integración: Luego de haber alcanzado las prácticas previstas para desarrollar
las cuatro primeras fases del modelo Van Hiele, haremos la recopilación de todo
el contenido dado a través de un juego común adaptado al tema de nuestro
interés: ángulos.
Dicho juego lleva por nombre CRUCIÁNGULOS, y se trata precisamente de un
crucigrama donde deberán utilizar principalmente las definiciones;

12. Horizontal:
-Es la figura formada por dos rayos con un mismo origen llamado vértice. (1)
-Son dos ángulos tales que los lados de cada uno de ellos, son las prolongaciones de
los lados del otro. (3)
-Son los ángulos cuyas medidas suman 180°. (4)
-Es el ángulo que mide 90°. (5)
-Una recta secante corta a dos rectas paralelas, y los ángulos son los que están entre
las paralelas y a distintos lado de la secante. (9)
-Se les llama así a dos ángulos que, en dos rectas cortadas por una secante, están del
mismo lado de la secante pero uno es interno y el otro externo a las dos rectas. (11)
Vertical:
-Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. (2)
-Es aquel ángulo en el cual un lado es la prolongación del otro y mide 180 grados. (6)
-Es el ángulo cuya medida es menor a 90°. (7)
-Es el ángulo mayor a 90°. (8)
-Una recta secante corta a dos rectas paralelas y los ángulos están en la parte exterior
de las paralelas y a distintos lados de la secante (10)
-En un plano dos rectas distintas que no tienen ningún punto en común se
llaman
(12)
-En un plano dos rectas distintas que tienen un único punto en común se llaman (13)
Esta actividad tiene tanto los ángulos según su medida, y los que dependen de su
posición respecto a las rectas que los forman, reuniendo así el contenido casi
completo.

13. Cronograma de clases
Para la aplicación de la propuesta didáctica dispondremos de tres clases para
completar las fases del modelo Van Hiele, es decir en cada clase desarrollaremos una
o dos fases y quedara distribuida de la siguiente forma:
1) Clase : información y orientación dirigida
2) Clase: orientación dirigida, explicitación y orientación libre
3) Clase : integración
Al desarrollar la instrucción de acuerdo a esta secuencia, se puede promover al alumno
al nivel siguiente del que se encuentra. Esta propuesta plantea que los alumnos
alcancen el nivel 2.

15. Re s ol uc i ón del c ruc i á ngul o
Este crucigrama será de un tamaño de 1.50 x 1.50 aproximadamente, es decir un
tamaño grande que permita realizarlo fácilmente.

16. Resumen Modelo Van Hiele
Es una teoría de enseñanza y aprendizaje de la geometría, diseñado por el matrimonio
holandés van Hiele. La teoría se mueve dentro de la didáctica de la matemática y
específicamente en la didáctica de la Geometría
La idea básica del modelo es que el aprendizaje de la geometría se construye pasando
por niveles secuenciales, en relación a esto, los Van Hiele proponen cinco fases de
aprendizaje: información, orientación guiada o dirigida, explicitación, orientación libre e
integración. Ellos afirman que al desarrollar la instrucción de acuerdo a esta secuencia,
se puede promover al alumno al nivel siguiente del que se encuentra.
Niveles:
Visualización o Reconocimiento
En este nivel los objetos se perciben en su totalidad como un todo, no diferenciando
sus características y propiedades, las descripciones son visuales y tendientes a
asemejarlas con elementos familiares.
Análisis
Se perciben y describen propiedades de los objetos geométricos (ya no solo
visualmente). Pero no puede relacionar las propiedades unas con otras.
Ordenación y Clasificación
Describen los objetos y figuras de manera formal, entienden los significados de las
definiciones, reconocen cómo algunas propiedades derivan de otras, establecen
relaciones entre propiedades y sus consecuencias. Los estudiantes son capaces de
seguir demostraciones, aunque no las entienden como un todo, ya que, con su
razonamiento lógico solo son capaces de seguir pasos individuales.

17. Deducción Formal
En este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza
axiomática, se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos.
Rigor
Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce la
existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar. Se
aceptará una demostración contraria a la intuición y al sentido común si el argumento
es válido.
Fases:
Información
Se trata de una fase de toma de contacto: el profesor debe informar a los estudiantes
sobre el campo de estudio en el que van a trabajar, qué tipo de problemas se van a
plantear, qué materiales van a utilizar, etc. Así mismo, los alumnos aprenderán a
manejar el material y adquirirán una serie de conocimientos básicos imprescindibles
para poder empezar el trabajo matemático propiamente dicho. Esta fase sirve para
dirigir la atención de los estudiantes y permitirles que sepan qué tipo de trabajo van a
hacer, y para que el profesor descubra qué nivel de razonamiento tienen sus alumnos
en el nuevo tema y qué saben del mismo.
Orientación guiada o dirigida
En esta fase los estudiantes empiezan a explorar el campo de estudio por medio de
investigaciones basadas en el material que les ha sido proporcionado. El objetivo
principal de esta fase es conseguir que los estudiantes descubran y comprendan
cuáles son los conceptos, propiedades y figuras principales en el área de la geometría
que están estudiando. Las actividades que se les propongan deben estar
convenientemente dirigidas hacia los conceptos, propiedades, etc. que deben estudiar.
El trabajo que vayan a hacer estará seleccionado de tal forma que los conceptos y
estructuras característicos se les presenten de forma progresiva.

18. Explicitación
Entre las finalidades principales de esta fase es hacer que los estudiantes intercambien
sus experiencias, que comenten las regularidades que han observado, que expliquen
cómo han resuelto las actividades, todo ello dentro de un contexto de diálogo en el
grupo.
Orientación libre
En este momento los alumnos deberán aplicar los conocimientos y lenguaje que
acaban de adquirir a otras investigaciones diferentes de las anteriores.
Integración
En esta fase los estudiantes deben adquirir una visión general de los contenidos y
métodos que tienen a su disposición, relacionando los nuevos conocimientos con otros
campos que hayan estudiado anteriormente; se trata de condensar en un todo el
dominio que ha explorado su pensamiento.

19. Fotografías de la aplicación

21. Conclusión
Luego de la aplicación de la propuesta de orientación didáctica “Cruciángulos” con 30
estudiantes de segundo año de educación media general, del Liceo Experimental Fray
Juan Ramos De Lora, se pudieron observar aspectos relevantes, posteriormente
descritos:
El día 28-10-2013 se llevó a cabo la fase de información, lo que significaba un repaso
sobre ángulos según su medida, con los empleados los alumnos se sintieron motivados
y deseaban pasar al pizarrón, pero lamentablemente los resultados no fueron los
esperados,
se observó que el 80% de los estudiantes no dominaban el tema o
simplemente no se acordaban, lo que nos obligó a estudiar de nuevo el tema; dichas
dificultadas nos condujeron a deducir que el nivel de razonamiento geométrico que los
estudiantes podrían alcanzar iba ser muy bajo ya que no dominaban conceptos que
deberían tener claros.
Luego comenzamos con la fase de orientación dirigida la cual agrado mucho a los
estudiantes ya que se dieron ejemplos de ángulos que se encuentran en la vida
cotidiana con la ayuda de la maqueta, en dicha actividad se tomó la participación de los
estudiantes y se evaluó a través de positivos y negativo, con lo cual obtuvimos los
siguientes resultados un 45% tuvo muy buena participación y el restante ninguna. Se
logró dar más del 95% del nuevo tema.
El día 30-10-2013
se culminaron los detalles que faltaban del nuevo
tema.
Seguidamente se inició la fase de explicitación la cual arrojo los siguientes resultados el
45% de los estudiantes dibujaban a la perfección los ángulos pero presentaban
dificultades al momento de definirlos, el resto dominaba muy poco lo que se le estaba
evaluando, estos resultados nos llevaron a una situación muy preocupante ya que ese
mismo día se iba a iniciar la fase de orientación libre en ella se pretendía realizar una
prueba muy sencilla,
con lo cual se tomó la decisión con el apoyo del profesor
encargado de no realizar dicha práctica ese día ya que lógicamente los resultados no

22. iban hacer ser muy buenos, por lo tanto tomamos ese tiempo para la realización de
ejercicios en el pizarrón por parte de algunos estudiantes.
El día 04-11-2013 se les entrego a cada uno de los estudiantes la práctica individual
escrita, se fijaron 45 minutos para su realización, la misma tendría una evaluación en
una escala del 00 al 20, la practica arrojo los siguientes resultados: de 00 a 05 puntos
21 %, 06 a 09 puntos 31 %, de 10 a 13 puntos 36 % de 14 a 20 puntos 12 %. Es decir
52 % reprobó la prueba y el 48 % restante aprobó.
Seguidamente se inició la fase de orientación libre con la aplicación del recurso
didáctico “cruciángulos”, al aplicar el juego nos dimos cuenta que más del 60%
dominaban el tema, un 30% dominaban algunos conceptos y en un 10% de ellos se
observaron muchas fallas.
En cuanto a la realización de esta propuesta didáctica, el modelo van hiele jugo un
papel muy importante ya que la estructuración de la misma está basada en las fases de
dicho modelo, su aplicación pretendía que los estudiantes alcanzaran el nivel 2 el cual
señala que pueden ser capaces de describir objetos de manera formal y compararlos
con otros.
En términos generales la aplicación de nuestra propuesta fue exitosa, pues tenemos la
convicción de que gran parte de los estudiantes son capaces de reconocer y dibujar los
ángulos enseñados sin problema, tal vez se hubiesen logrado mejores resultados, pero
por diversos factores, como el tiempo, las inasistencias, entre otras, no lo permitieron.
Esperamos nuestra propuesta se aplique en distintas instituciones de la ciudad, pues
seguros estamos de que es una muy buena herramienta.

23. Recomendaciones
 Desarrollar el contenido en más de tres clases, porque el tiempo se hace muy
corto y se hace obligatorio hacer las cosas muy rápido.
 Hacer un repaso general de la orientación dirigida especialmente para aquellos
alumnos que no asistieron a la clase, pues ellos no demuestran preocupación
por ponerse al día.
 En cuanto al recurso didáctico pedir que pasen grupos pequeños para resolver
el crucigrama, un máximo de cuatro integrantes, esto para que no se aglomeren
en el lugar donde se encuentre el recurso didáctico y lograr que todos participen.

24. Referencias Bibliográficas
 Baldor, J.A. (2003).Geometría Plana y Del Espacio. México: Ultra,S.A
 Vílchez Nieves. Propuesta didáctica Enseñanza de la Geometría Modelo de Van
Hiele.http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/sesiones/modelo_van-hiele.ppt.
 Enrique,
M.A.
(2012).Colección
Bicentenario.
República
Venezuela: Ministerio del Poder Popular Para la Educación.
Bolivariana
De