Sesión de aprendizaje de las razones trigonométricas de ángulos complementarios

1. U- 5 SESIÓN DE APRENDIZAJE 8
I.E.:CARLOS W. SUTTON Docente: Sobeida García Zegarra
Grado: Quinto Duración: 2 horas pedagógicas
I. TÍTULO DE LA SESIÓN
Determinando alturas considerando ángulos complementarios
II.APRENDIZAJESESPERADOS
COMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES
ACTÚA Y PIENSA
MATEMÁTICAMENTE EN
SITUACIONES DE FORMA,
MOVIMIENTO Y
LOCALIZACIÓN DE
CUERPOS
Matematiza situaciones  Examina propuestas de modelos
referidosarazonestrigonométricas
de ángulos complementarios al
plantear y resolver problemas.
Elabora y usa estrategias
Selecciona la estrategia más
conveniente para resolver
problemas que involucran razones
trigonométricas de ángulos
complementarios.
III. SECUENCIA DIDÁCTICA
Inicio:(20 minutos)
 El docente da la bienvenida a los estudiantes y pregunta: ¿Qué actividades
realizamos la clase anterior? ¿Qué aprendizajes logramos?
 Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas. El docente consolida la
información y presenta la siguiente información:
https://es.slideshare.net/adiebos/razones-trigonomtricas-de-ngulos-complementarios-79199784

2.  os estudiantes en equipo dialogan sobre la pregunta planteada.
 El docente presentael propósito de la sesión de aprendizaje y lo plasman en la pizarra.
- Utilizar las razones trigonométricas de ángulos complementarios para resolver
problemas.
- El docente plantea las siguientes pautas de trabajo que serán consensuadas con los
estudiantes:
Desarrollo:50 minutos
 Los estudiantes leen el problema planteado e interpretan cada uno de los elementos
presentes en la situación y lo representan gráficamente.
 El docente plantea las siguientes interrogantes para ayudarlos a realizar una adecuada
representación gráfica:
1. Si el observadorve la parte más altade laconstrucción,tendráque levantarla mirada.
Un personal de guardianía del Complejo Arqueológico de
Pachacamac, ubicado en una caseta a 4,5 metros de altura, observa
con sus binoculares la parte más alta de una de las construcciones
del Santuario de Pachacamac. Luego, baja la mirada y observa la
parte más baja de dicha construcción. El ángulo de elevación y el
ángulode depresiónsoncomplementarios, además, se sabe que la
distancia de la caseta a la construcción y la altura de dicha
construcción está en relación de 2 a 5. La altura desde los pies a los
ojos del observador mide 1,5 metros.
¿Cuál es la altura de la construcción observada? ¿Cuánto mide el
ángulo de elevación? ¿Cuánto mide el ángulo de depresión?
o Se respetan las opiniones diversas de cada uno de los
integrantes.
o Se respetan los tiempos estipulados para cada actividad
garantizando un trabajo efectivo en el proceso de
aprendizaje.
o Se elige democráticamente unrepresentante de equipo para
la presentación del trabajo.

3. ¿Se habrá formado algún ángulo con respecto a la horizontal? ¿Cómo se denomina
dicho ángulo? ¿Cómo se representaría gráficamente?
2. Si luego baja la mirada y observa la parte más baja de la construcción, ¿se habrá
formado algún ángulo con respecto a la horizontal? ¿Cómo se denomina dicho
ángulo? ¿Cómo se representaría gráficamente?
3. ¿Qué significa que dos ángulos sean complementarios?
(Se espera que los estudiantes respondan que dos ángulos son complementarios
cuandosuman 90°). Recuerdanque enuntriángulorectángulolasuma de sus ángulos
agudos son complementarios.
4. ¿Qué entendemos cuando se dice que la distancia (D) de la caseta a la construcción y
la altura (H) de dicha construcción está en relación de 2 a 5?
Con la ayuda del docente los estudiantes entienden que:
𝑫
𝑯
=
𝟐𝑿
𝟓𝑿
http://www.ceibal.edu.uy/userfiles/P0001/ObjetoAprendizaje/HTML/Aplicando%20la%20trigonometria_Silva
na%20Realini2.elp/angulo_elevacion_depresion.jpg
Se espera que los estudiantes lleguen a la siguiente gráfica:

4.  Los estudiantes eligen una ruta de trabajo (desde aplicar el Teorema de Pitágoras para
hallar lados, aplicar ángulos alternos, ángulos complementarios, aplicar la razón
trigonométrica de la tangente, etc.).
 El docente promueve el razonamiento e induce a la utilización de las razones
trigonométricas de ángulos complementarios. Luego, realiza el siguiente análisis:
1. En el triángulo ACD, ¿cómo expresaríamos la tagα?
Se espera que los estudiantes respondan: tanα = 6/d
2. En el mismo triángulo, ¿cómo expresaríamos la ctg β?
Se espera que los estudiantes respondan: ctg β=6/d
3. ¿Siempre se cumplirá dicha igualdad? ¿Existen alguna condición?
Se espera que los estudiantes respondan: Se cumplirá dicha igualdad si y solo si los
ángulos son complementarios.
4. El docente presenta el círculo trigonométrico y explica a qué se denomina RT
complementarios.
α
β
α
4,5
1,5
2X
5X-6
α
6
2X
B
D
C A

5.  El docente coloca otros ejemplos concretos para demostrar que:
5. El triángulo ABC y el triángulo ACD son semejantes (tienen los mismos ángulos).
Entonces, determinemos:
En el triángulo ABC: tag 𝜷 = 𝟓𝑿 − 𝟔/𝟐𝑿 ……………..(1)
En el triángulo ACD: Ctg α=2X / 6 …………………………(2)
6. Por ser ángulos complementarios, ¿qué igualdad se cumple?
Se espera que los estudiantes analicen y lleguen a la siguiente expresión:
(1) = (2)
𝟓𝒙−𝟔
𝟐𝒙
=
𝟐𝒙
𝟔
30x – 36 = 4x2
2x2
– 15x +18 = 0
Resolviendo:
Obtenemos 2 valores:
X= 6 x= 1,5
7. ¿Ambas respuestassonválidas?El docente solicita a los estudiantes que argumenten su
respuesta.
- Los estudiantes corroboran que ambas respuestas cumplen con la condición de la
igualdad.
- La altura de la construcción: 30m o 7,5m.
8. El docente pregunta: ¿Cómo podemos determinar los ángulos?
Para hallar los ángulos:
tag 𝛃 =
𝟏𝟐
𝟔
= 𝟐
arco tan 2 = 𝛃
𝑆𝑒𝑛 ∝= 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑡𝑎𝑔 ∝= 𝑐𝑡𝑔𝛽
𝑠𝑒𝑐 ∝= 𝑐𝑠𝑒𝑐𝛽
Si solo si α y 𝛽 suman 90°

6. 𝛃 = 𝟔𝟑, 𝟒° ( ángulo de elevación)
Como α y 𝛃 𝐬𝐨𝐧 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬:
α = 26,6° (ángulo de depresión)
 Los estudiantesevalúanlasdiferentesestrategiaspresentadasporlosdiferentesequiposy
el usode razonestrigonométricascomplementarias.Identificanlasventajasy desventajas
de cada uno de los casos.
 El docente monitorea el trabajo y va despejando las dudas de los estudiantes.
 Un integrante de cada equipo comparte y sustenta su respuesta.
Cierre:(20 minutos)
El docente presenta la siguiente situación:
Se tiene las siguientes RT:
Tag 30° Csc 37° Cos 45°
Sec 53° Sen 45° Cos 60°
Sen 30° Ctg 60° Cos 30°
 Luego, plantea las siguientes preguntas:
¿Qué razones trigonométricas son equivalentes?
¿Cómo son los ángulos de las razones trigonométricas equivalentes?
¿Qué expresión es equivalente a tag 32°? Justifique su respuesta.
 Un integrante del grupo da a conocer los resultados y fundamenta su respuesta.
 El docente sistematiza los aportes de cada equipo y llega a las siguientes conclusiones:
- Si alfa y beta son ángulos complementarios de un triángulo
rectángulo, el cateto opuesto para un ángulo es el adyacente
para su complementario y recíprocamente.
- Permite establecer equivalencias y determinar el valor de un
ángulo desconocido.
- Las RT de ángulos agudos y complementarios da una variedad
de posibilidades para resolver problemas diversos.
Si los estudiantes presentan dificultades en la aplicación de
ánguloscomplementarios se sugiere realizaralgunosejemplos
sencillos presentados en el anexo 1 para reforzar su
aprendizaje.

7.  El docente promueve lareflexiónenlosestudiantesatravésde lassiguientespreguntas:
¿Qué aprendimosel díade hoy?¿Cómo loaprendimos?¿Paraqué nosesútil lo
aprendido?
Observación:Estasesiónesunaadaptaciónde la estrategia “Planteamientode talleres
matemáticos”– Rutasdel Aprendizaje2015, cicloVII, página74.
IV. TAREA A TRABAJAREN CASA
 El docente solicitaalosestudiantesque planteen dos problemas donde se aplique RT de
ángulos agudos y complementarios y que justifiquen sus propuestas.
V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR
- Ministerio de Educación, MINEDU. Texto de consulta Matemática 5 (2016) Lima: Editorial
Santillana S.A.
- Calculadora científica, tablas de valores de las razones trigonométricas para ángulos que no
son notables.
- Reglas, escuadras, compás, fichas, pizarra, tizas, etc.
VI. EVALUACIÓN
- Evaluación formativa: Se utiliza la ficha de trabajo grupal para verificar el logro de los indicadores
previstos en el aprendizaje esperado.

8. Anexo 1
Propósito:Identificarlasrazonestrigonométricasde ángulos complementariosysu
aplicaciónenejemplossencillos.
Nombre del grupo: Fecha:
…/…/………
Integrantes de
grupo:
- Se tiene untriángulorectángulocuyoscatetosson80 y 60 respectivamente.Completala
siguiente tabla:
RT del ángulo α RT del ángulo β
Senα = Senβ
Cos α = Cos β
Tan α = Tan β
Ctg α = Ctg β
Sec α = Sec β
Csc α = Csc β
A continuación, te presentamos algunas situaciones
donde se aplica ángulos complementarios:
α
β
60
80

9. - Observalosresultadosobtenidosyrespondealassiguientespreguntas:
1. ¿Qué tienenen comúnlosvaloresobtenidosde lacolumnade la derechacon la columna
de la izquierda?Explica.
-
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2. ¿Cómoson losángulos α y β?
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3. ¿Qué sucede si losvaloresde loscatetosvarían? ¿Se mantendrálamismarelaciónentre
ambas columnas?Argumentaturespuesta.
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4. Una personaobservalacima de un montañacon un ángulode elevación α.Si el senode
su complementoes 3/5, ¿cuántomide latan de α?
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