Unidad 2

Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares GeometricosUnidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 11
UNIDAD II: Sistemas de Coordenadas y Lugares
Geométricos
“Es en busca de lo imposible que se reconoce lo posible”
Mijail Bakunin

Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos 2
UNIDAD 2:
SISTEMAS DE
COORDENADAS Y
LUGARES
GEOMETRICOS
PROPOSITOS: Proporcionar una
visión global del método de la
geometría Analítica como el medio
para resolver problemas de corte
Euclidiano reduciéndolos a
problemas algebraicos, así como
proporcionar los elementos que
servirán en unidades posteriores
para emplear el método en
situaciones mas complejas.
APRENDIZAJE Y TEMATICA
Al finalizar la Unidad , el alumno:
•Reconocerá que un aspecto
relevante en el método de la
geometría analítica, consiste en
definir y ubicar un sistema de
referencia en un plano.

•Encontrar las coordenadas de un punto
en el plano utilizando los sistemas de
•Localizara puntos en un plano cuando se
proporcionen sus coordenadas
rectangulares y coordenadas polares.
•Representara adecuadamente en
cualquier cuadrante del plano cartesiano ,
un conjunto cualquiera de puntos.
•Identificara las condiciones para
representar un segmento rectilíneo en el
plano cartesiano: las coordenadas de sus
puntos extremos o bien, las coordenadas
de uno de ellos, la longitud del segmento
y su ángulo de inclinación

•Entenderá los pasos de la deducción,
de la formula de distancia entre dos
puntos en el plano cartesiano.
•Calculara la longitud de un segmento
dadas las coordenadas de sus puntos
extremos.
•Dadas las coordenadas de sus puntos
extremos de un segmento, calcula su
ángulo de inclinación a través de su
pendiente.
•Resolverá analíticamente problemas
que impliquen determinar un segmento
a partir de algunas de las propiedades
que lo definen.
•Explicara el significado de un punto
que divide a un segmento en una razón
dada.

•Dadas las coordenadas de los extremos de
un segmento y las de un punto interior a el,
calculara la razón en que este ultimo divide
al segmento.
•Encontrara las coordenadas del punto que
divide a un segmento en una razón dada.
En particular, las coordenadas del punto
medio.
•Dadas las coordenadas del punto medio y
de uno de los extremos de un segmento
rectilíneo encontrara las coordenadas del
otro extremo.
•Reconocerá a una ecuación con dos
variables como la expresión general que
satisfacen las coordenadas de los puntos
de un curva en el plano.
•Resolverá problemas geométricos de
intersección entre rectas, circunferencias o
entre estas y los ejes coordenados.

•Reducirá algunas situaciones a otras mas
simples que ya sabe resolver, lo que
reforzara una estrategia de resolución de
problemas.
•Incrementara su capacidad de generalizar,
tanto al obtener formulas generales a partir
de analizar casos concretos como al
interpretar un concepto en dos
representaciones distintas.
•Identificara algunos de los procesos
inversos que se presentan en esta unidad;
lo que reforzara su capacidad de inversión
de pensamiento.

CONTENIDO TEMATICO
Estudio analítico de un punto en el plano.
a) Representación numérica de un punto en el plano:
b) En el sistema de coordenadas polares
c) En el sistema de coordenadas rectangulares
Estudio analítico de un segmento rectilíneo en el plano
cartesiano.
a) Localización de un segmento rectilíneo en el plano.
condiciones necesaria y suficientes.
b) Longitud del segmento. distancia entre dos puntos
c) Angulo de inclinación del segmento. Concepto de pendiente.
d) Razón en que un segmento es dividido por uno de sus
puntos
e) Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón
dada.

Estudio analítico de algunos lugares geométricos en el plano
cartesiano.
a) lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas,
circunferencias y parábolas.
b) Su representación algebraica
c) Intersecciones entre ellos o con los ejes cartesianos.

UNIDAD 2:SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES
GEOMETRICOS
PROPOSITOS: Proporcionar una visión global del método de la
geometría Analítica como el medio para resolver problemas de
corte Euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos, así como
proporcionar los elementos que servirán en unidades posteriores
para emplear el método en situaciones mas complejas.
ESTUDIO ANALITICO DE UN PUNTO EN EL PLANO.
Aprendizajes:
•reconocerá que un aspecto relevante es un método de la
geometría analítica, consiste en definir y ubicar un sistema de
•Encontrara las coordenadas en un punto en el plano utilizando los
sistemas de referencia cartesiano y polar.
•Localizara puntos en el plano cuando se proporcionen sus
coordenadas rectangulares y coordenadas polares.

• Representara adecuadamente en cualquier cuadrante del plano
cartesiano, un conjunto cualesquiera de puntos.
Temática
Estudio analítico de un punto en el plano.
a) Introducción
b) Representación numérica de un punto en el plano:
c) En el sistemas de coordenadas polares
d) En el sistema de coordenadas rectangulares.

INTRODUCCION.
En la historia del devenir humano, el siglo XVII marca un
momento culminante en la evolución de la ciencia pues
una de sus ramas mas importantes como lo es la
matemática, empieza a escindirse de la filosofía ortodoxa
adquiriendo una carta de identidad propia y además muy
promisoria en cuanto a los servios que empezaría a
ingeniería y la arquitectura por citar sola algunas.
Correspondió al inminente pensador Rene Descartes el
merito, entre otros tantos de haber contribuido al notable
desarrollo de las matemáticas a través del establecimiento
de las bases para alcanzar la desiciba confluencia entre
dos ramas vitales de la matemática:
El algebra y la geometría, disciplina que con el tiempo se
llamaría geometría Analítica.

En el año de 1637, Descartes publico un libro memorable, llamado el
francés “la geometrie”, en el que se fundamentan varios resultados
relevantes como el método de coordenadas para estudiar
propiedades subjetivas y objetivas de las curvas continuas ubicadas
en un plano a través de relaciones analíticas.
Tales reflexiones llevarían a la postre al importante concepto de
“métrica”, entorno al cual giran y se fundamentan los principales
resultados del análisis matemático, del Análisis tensorial, de la
Teoría de la medida y asta de la misma Teoría de la relatividad de
Einstein. Así por ejemplo, se ha demostrado que todos los cuerpos
celestes que habitan el Universo, deforman al espacio en curvaturas
a medida que se van desplazando en sus respectivas trayectorias, a
tales espacios se les llama “Riemannianos” .

¿recuerdas? Que en un sistema de coordenadas cartesianas se
puede localizar un punto con un pareja de valores (x,y) para el
sistema de coordenadas rectangulares, cuyos valores son las
distancias dirigidas, partiendo del origen de los ejes x e y
respectivamente.
Y que el origen es el punto donde se intersecan los dos ejes
coordenados, como se muestra en las figuras.

O como en la figura 2.3 y 2.4, que si revisas bien las graficas
puedes darte cuenta cual es la pareja de valores que
representa a cada uno de los puntos A,B,C,D,E,F,G Y H:
Escribe los valores de las coordenadas de cada uno de los
puntos, en tu cuaderno en borrador.

Debes saber también que otra forma de representar puntos
en el plano es empleando coordenadas polares, en este
sistemas se necesitan conocer dos parámetros: Angulo y una
distancia (r). entonces es el Angulo que se forma entre al
recta que une los puntos P O y una recta fija llamada eje
polar como se observa en la fig.2.5.
θ

Si queremos localizar un punto (r) en el sistema de coordenadas
polares, lo que necesitamos conocer es r y lo que podemos
hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una
línea con un ángulo de inclinación y por ultimo, encontrar el
punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este
punto es el que queremos localizar.
A continuación localizamos varios puntos en el plano polar , con
el ángulo medido en radianes:

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas
circunfencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo
único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. para
medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o
negativo.
Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento
de las manecillas de el reloj y si es negativo, a favor del movimiento
de las manecillas del reloj, como se aprecia en la figura 2.7.

Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de
cómo se midan a partir del eje polar, comos e aprecia en la
figura 2.8:

También podemos tener distancias “negativas”:ya que
hallamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en
esa dirección tendrá un radio positivo y los puntos que estén
sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario
tendrán un radio negativo, es decir la proyección respecto al
polo. Por ejemplo figura 2.9:

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el
sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y
no solo puntos en el plano.
En este tipo de funciones la variable independiente es ángulo y
la dependiente es r , así que las funciones son de tipo r =r
“ángulo” .
el método para graficar este tipo de funciones es el siguiente:
Primero graficamos la función r=r (ángulo) en coordenadas
rectangulares luego, a partir de esa grafica trazamos la
correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r
con respecto (ángulo).
Recordemos que el ángulo es la variable independiente y va de
cero a dos pi generalmente. Por ejemplo la función r=ángulo
tiene como grafica en rectangulares, la figura.

La grafica de la función r=ángulo en coordenadas
polares se muestra en la siguiente figura.

En la figura 2.11 tenemos la grafica de la misma función
(figura 2.10) pero en coordenadas polares, se ve claro esta
dependencia del radio con el ángulo. A esta grafica se le
llama Espiral de Arquímedes.
Mostraremos la localización de algunos puntos en
coordenadas polares.
Problema 2.1
Localizaremos el punto A (2,30º), asiendo otro trazo posible e
indicaremos sus coordenadas

Problema2.2
Localizaremos el punto P (-3,30º), haciendo dos trazos posibles, es
decir representar el mismo punto en otra manera, he indicaremos
las coordenadas.

Problema 2.3
Localiza el punto U(5,75º), busca otro trazo posible para
el mismo punto he indica sus coordenadas.

Problemas:
1) Localiza el punto B (4,210º), haciendo otro trazo posible
del mismo punto e indica sus coordenadas.
2) Localiza el punto A( -4,300º), y busca otro trazo posible
indicando sus coordenadas.
3) Localiza el punto M(3, )y has otro trazo posible
indicando las coordenadas del punto M.
4) Localiza el punto A (4, ) y has otro trazo posible,
indicando las coordenadas del punto A.
5) Localiza el punto J(-4, )e indica las coordenadas del
mismo J, haciendo otro trazo posible.
π
6
1
π
6
5
π
6
4
−

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
En los cursos anteriores recordemos que en el sistema de
coordenadas rectangulares divide al plano de coordenadas
en cuatro cuadrantes, a través de dos rectas
perpendiculares entre si, que se cortan en el punto “o”
llamado origen de los ejes.
A los ejes los conocemos como:
Eje horizontal, eje de las “x”; O eje de las abscisas
Eje vertical, eje de las “y”; O eje de las ordenadas
La distancia de un punto al eje de las y’s se llama abscisa
del punto mientras que la distancia del mismo punto al eje
de las x’s se llama ordenada, y las dos juntas se llaman
coordenadas del punto y se simbolizan P (x,y) .

Para hacer la representación de puntos en este tipo de coordenadas
hay que adoptar una escala adecuada en ambos ejes y estas
pueden ser entre si iguales o diferentes.

RELACIONENTRE LAS COORDENADAS POLARES Y LAS
COORDENDAS RECTANGULARES.
Si consideramos que el punto P (r, ) y tomamos el eje polar
OX y el polo O como el eje X, y el origen de los ejes
respectivamente, de un sistema de coordenadas
rectangulares, P ( x,y) es el mismo punto P, y en esas
condiciones, tenemos la figura 2.16 que sigue:
θ

Consideremos la figura 2.16; por lo que sabes en trigonometría:
entonces
Al despejar x llegamos a:
entonces
También podemos escribir:
entonces
Al despejar y; llegamos a:
Además
Cos ;
r
x
=θ
;cosθrx =
;
r
y
sen =θ
θrseny =
;tan
x
y
=θ x
y
ang tan=θ

Por otro lado, utilizando el teorema de Pitágoras en la
misma figura 2.16, tenemos:
(calculando la raíz cuadrada a los dos miembros de la
expresión)
Por lo que:
(simplificando la expresión)
222
yxr +=
22
2 yx
r +=
22
yxr +=

Problema 2.4
Transformaremos el punto J(3,4) de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares. Dado J(3,4), a: J(r,
Tan del Angulo= 4/3
Por que la tangente de un ángulo, es la ordenada del punto sobre
la ábsisa del mismo punto.
Tan =1.3333
Tan=1.3333=53.1294=53º07’46”
5
525169
43 22
22
=
===+=
+=
+=
r
rr
r
yxr

Por lo tanto el punto J propuesto tiene de coordenadas
polares: J (5,53º07’46”) si consideramos solamente los
grados J(5, 53º).
Ahora realizaremos el proceso inverso, es decir, pasar de
coordenadas `polares a coordenadas cartesianas.
Nuestros datos serian: r= 5 ángulo= 53º
Nuestras incógnitas serán el valor de las coordenadas x,y
Haremos uso de las formulas antes mencionadas:

Si sustituyes los datos en estas formulas encontraras el valor de
las coordenadas de este punto en tu cuaderno de notas realiza
esa sustitución así como las operaciones y obtendrás que las
coordenadas del punto J son: x=3 , y=4; es decir J (3,4), como
se muestra en la figura 2.17

Localizaremos este punto en los dos sistemas de coordenadas

RESUELVE POR EQUIPOS LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.
Localiza en coordenadas polares y en coordenadas
cartesianas los siguientes puntos:
1) A(4,30º)
2) B(3,45º)
3) C(2,60º)
4) D(3,5)
5) E(5,7)
6) F(-2,4)
7) G(3,120º)
8) H(4,210º)

9) Dado A (0,5), transforma coordenadas polares.
10)Dado S(5,104º), transforma a coordenadas rectangulares.
11)Dadas A(3,45º)transforma a coordenadas rectangulares.

ESTUDIO ANALITICO DE UN SEGENTO RECTILINIO EN EL
PLANO CARTESIANO.
Aprendizajes: el alumno
*identificara las condiciones para representar un segmento
rectilíneo en el plano cartesiano. Las coordenadas de sus
puntos extremos, o bien las coordenadas de uno de
ellos, la longitud del segmento y su ángulo de
inclinación.
Temática:
a) Localización de un segmento rectilíneo en el plano.
Condiciones necesarias y suficientes.
b) Longitud del segmento. Distancia entre dos puntos
c) Angulo de inclinación del segmento. Concepto de
pendiente.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Si en una recta numerica queremos encontrar las distancias entre
dos puntos Ay B se toma el valor absoluto de las diferencias de
sus coordenadas, es decir:

En el plano. Supongamos ahora que tenemos dos puntos A y B
en el plano y que escogeremos un par de ejes cartesianos ,
respecto a los cuales podremos identificar sus coordenadas de
estos dos puntos A ( x,y) B(x,y)
Representemos estos puntos en un sistema coordenado, ver
Fig.2.19, tracemos AK paralela al eje de las x,y perpendicular al
mismo eje; el AKB es un triangulo de tal manera que AB es la
hipotenusa, por el Teorema de Pitágoras tenemos:

Aplicando el teorema de Pitágoras
Sustituyamos estos valores en la ecuación (1) y
despejamos
Sabemos por la geometría elemental que la distancia mas
corta de un punto a otro, es el segmento de recata que
los une.
Así obtendremos la formula para encontrar la distancia
entre dos puntos .
1
2
12
222
yyBK
xxAK
BKAKAB
=
−=
+=
2
22
2
12
2
122
2
2
)()(
))(())1((
yyxxAB
yyxxAB
−+−=
−+−=
2
22
2
12 )()( yyxxAB −+−=

PROBLEMA 2.5
En mar abierto el origen se sitúa en un faro que se encuentra en
una bahía considerado un plano cartesiano. Un barco se encuentra
en el punto A cuyas coordenadas son A(-4,5) y el otro en el punto B
coordenadas B(3,1).
¿Qué distancia ay entre ellos considerando como unidad de medida
el km.?ver fig.2.20

SOLUCION
Aplicando el teorema de Pitágoras.
Datos: A (-4,5) Y B(3,1)
Incógnita: d AB
Calculemos las longitudes de los catetos de este triangulo.
Podemos conocer C(-4,1)
Observemos estos resultados en la fig.2.20

Como tenemos un triangulo rectángulo podemos aplicar el
teorema de Pitágoras para conocer a que distancia se
encuentran estos dos barcos
Recordemos el teorema “ En un triangulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa es igual ala suma de los cuadrados
de los catetos”; luego entonces, sustituyendo.
Los dos barcos se encuentran a una distancia que es
aproximada de 8.1 kilómetros.

Problema 2.7
Encontrar la distancia entre el Punto A(1,5) y
B(-2,1)
Escribe en tu cuaderno cuáles son tus datos
y cuáles son las incógnitas en la solución de este problema:
Solución.
Sustituimos las coordenadas de los puntos A
y B en la formula

Fig. 2.22
Sol. La distancia del segmento AB es 5 unidades de
medida.
Problema 2.8
Mostrar que los puntos A(2,-2), B(-8,4) y C(5,3) son tos
vértices de un triángulo Rectángulo.

Recuerda que si es un triángulo rectángulo se
debe cumplir el teorema de Pitágoras.
BC2
=AB* +AC2
Fig.2.23
Solución: Calculemos las distancias de cada uno de los
lados del triángulo, utilizando la formula:
¿(2-2) £(-8,4)
dAB = A
/(-8-2)2
+(4-(-2))2
= ^/Í36
A(2,-2) C(5,3)
dAC = V(5-2)2
+(3-(-2))2
=
£(-8,4) C(5,3)
dBC = A
/(5-(-8))2
+(3-4)2
= -JTO
170 = 136 + 34 = 170
Escribe una conclusión en tu cuaderno de notas respecto
a esta igualdad y la solución del problema:
70

roblema 2.9
rueba que el triángulo con vértices A(2,5), B(4,-1) y C(6,5) es un triángulo isósce
olución:
ecuerda que propiedad se debe cumplir para que un triangulo sea Isósceles:
Fig.2.24
Simboliza en tu cuaderno que igualdad que se debe cumplir en la figura ante

Calculemos las distancias respectivas:
Escribe en tu cuaderno una conclusión considerando estos resultados:
Problema 2.10
Mostrar que los siguientes puntos son colíndales A (12,1), B(-3,-2), C(2,-1).
Fig.2.25
Escriben tu cuaderno que
propiedad deben cumplir los tres
puntos para que sean
colíndales:__________________ ____

Calculemos las distancias. AB = -J(x2 -x,)J +(y1 -yj2
Por Geometría elemental se debe cumplir la siguiente propiedad.
dAB=dAC+dBC
• Si sustituimos éstos valores en ésta igualdad.
Escribe una conclusión que muestre que resolvimos
correctamente el problema. ¡Fíjate en os valores de las
distancias que se calcularon!

PENDIENTE DE UNA RECTA.
•haciendo uso del teorema de Tales,
podemos llegar a una conclusión
física de un problema práctico: Si
tenemos un auto que sube una rampa
recta, y dados dos puntos a
cualquiera sobre la rampa R y S, la
razón entre lo subido y lo avanzado,
si el auto se desplaza de R a S,
siempre será la misma.

= tan0
Donde la constante que denotaremos como m, está
expresada de la siguiente manera:
D subida
Es decir, la constante m es igual a la tangente del
ángulo e (ángulo de inclinación de la rampa), como
se observa en la figura. De manera análoga, y
observando que la rampa de nuestro dibujo es una
línea recta, definimos la pendiente m, de una recta
L, como la tangente de su ángulo de inclinación,
exceptuando el caso donde la recta sea
perpendicular al eje x..Una linea perpendicular al
eje x, no tiene pendiente, debido a que la Tangente
de 90° se encuentra indefinida. Por los puntos
extremos que determinan un segmento pasa una
línea recta. Sean los
puntos P, (x,, y}) y P^ (x2, y1) Los extremos de un
segmento en el plano cartesiano
- = cte
D avanzada

Si hacemos el análisis del triángulo rectángulo que se
forma por trigonometría podemos
decir que Cateto'. opuesto -......,..
tan = —————-—— = ——— =m y^-y^
Cateto: Adyacente x2
-x}

Pendiente de la recta L que pasa por
estos dos puntos, a éste cociente lo
denotamos con la letra m (número
que nos relaciona con el ángulo de
inclinación de ésta recta L y el eje x).
Conociendo la pendiente podemos
conocer éste ángulo.
Si m = tan&;0 = tan" m

Problema 2.11
Problema 2.11
Dados los puntos tracemos el segmento que los une,
así como la recta que pasa por estos dos puntos y
encontremos su pendiente y su ángulo de inclinación.

Problemas.
cada uno de los problemas construye una gráfica y resuélvelos
1.Encuentra la distancia entre los puntos A(7,1) y B(2,3)
2. Prueba que el triángulo con vértices A(2,5), B(4,-1) y C(6,5)
es isósceles.
Sol. dAB=dBC= A/40, AC= el triángulo es isósceles.
3. Prueba que los siguientes puntos son colineales.
A(-3,-2),B(5,2),C(9,4) Sol. Como dAC=dAB+dBC son
colineales.
6^5 = 4-/5 + 2-J5 son colineales.
4. Prueba que el triángulo, cuyos vértices son M(-1,1), N(1,3)
y S(-JT,2 + j3) es equilátero. Sol. dMN=dMS=dNS=2-72
5. Prueba que el triángulo formado por los puntos A(1,2),
B(3,4) y C(-1,4) es un triángulo
rectángulo.

6. Hallar la pendiente y ángulo de inclinación de la recta que pasa por
los puntos: A(-1,5) y
B(7,-3).
Sol. m=-1,a = l35° . •
7. Probar que el triángulo determinado por los puntos A(-4,3),B(-1,-1) y
C(3,2) es isósceles, construye una gráfica.
Sol dAB=dBC=5; dAC=7.1
8. Encuentra las pendientes de los lados del triángulo cuyes vértices son:
A(-4,-4), B(2,7) y C(-7,10).
9. Encuentra las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices
son: A (2,6), B(8,3) y C(-2,-1). Sol. 0.7857,-5,1/6.
10. Hallar la pendiente de una recta perpendicular a la recta
determinada por los puntos A (-5,-4) y B (3,-2). Sol. m=-4

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO
Aprendizajes. El Alumno:
plicará qué significa que un punto divida un segmento rectilíneo en una razón d
• Dadas las coordenadas de los extremos
de un segmento y las de un punto interior
a él, calculará la razón en que este último
divide al segmento.
Temática:
a) Razón en que un segmento es dividido
por uno de sus puntos.
b) Coordenadas del punto que divide al
segmento en una razón dada. "
Problema 2.12
Un corredor se ejercita sobre una avenida
recta, a través de la cual circula un Auto a
mayor velocidad, después de un minuto, el
Auto ha recorrido 1000 metros, y el corredor
tan solo 50 metros, ¿Cuál es la razón entre la
longitud recorrida por el Auto y la longitud
"recorrida por el corredor?.

tanto, podemos afirmar que la distancia recorrida por el Auto, es 20
veces, la distancia
transcurrida por el corredor, y por cada metro recorrido por el
corredor, el Auto recorre veinte
litros.

visión de un segmento rectilíneo
Suponiendo que tenemos en un estadio, una pista de 500
metros en linea recta; anotaremos como M y S al punto
Inicial y Final de la pista respectivamente, y P al punto :
se localiza el corredor. Supongamos que el corredor ha
recorrido 200 metros de la asta y se localiza en el punto
P. ¿En que razón divide P a la pista?
500 m
M
Fig. 2.30

Para encontrar la razón en que P divide a la
pista, se divide la distancia recorrida desde el
inicio de la pista (Punto M) hasta el punto P,
entre la distancia que falta por correr hasta
llegar al final de la pista (Punto S), De tal
forma, tenemos que la razón es:
MP 200
___ = ___
PS 300
Suponiendo, que el corredor ahora se
encuentra a 250 m. del punto inicial de la
pista

ra, supongamos que el corredor se encuentra a 400 m. del punto inicial de la pis
Por tanto, podemos concluir lo siguiente:
• Si el corredor se encuentra en el inicio de la Pista. El punto P
divide a la pista en una razón r de O
• Si el corredor, ya ha recorrido un tramo de Pista, dividimos la
pista exactamente a la mitad(250 m), y el atleta se encuentra en
la mitad inicial de la pista, la razón en la que P divide a la pista,
será mayor que cero, pero menor que 1 como se observa en ri.
• Cuando el corredor se encuentra a la mitad de la pista, P
divide a la pista en razón de 1, como se observa en rz.
• Si el corredor, se encuentra, en la mitad final de la pista,
conforme este se acerque a la meta, la razón en que P divide a
la pista será mayor que 1 hasta el infinito.
Si tomarnos un punto T, sobre un segmento dirigido en el plano
cartesiano PQ, estando definido PQ como:

La razón en que el punto T divide al
segmento PQ, se define como:
PT Aplicándose las
mismas conclusiones del caso anterior a
este mismo caso, tenemos un teorema:
Teorema:
Sea un segmento dirigido PQ en el plano
cartesiano, definido por los puntos
P(Xi, Yi) y Q(Xz, Yz), si deseamos encontrar
el punto T(X',Y') que divide al segmento PQ
en la razón r, las coordenadas X' e Y' del
punto T, están definidas por:

tante, el punto T tiene por coordenadas T (X', Y'): =vmto medio de un segme
general, consideremos dos puntos P(xl,yl) y Q(x2,y2)- Deseamos encontrar las
s para determinar las coordenadas del punto T (x', y') que divide al Segmento PQ
Exactamente por la mitad.

Recordando la Teoría vista en el punto Anterior,
tenemos que:
• Sea un punto J, situado exactamente a la mitad del
segmento PQ, la razón en que T Divide a PQ es
exactamente de r = 1.
Por tanto, es posible aplicar la fórmula que divide a un
segmento en el plano cartesiano por una razón dada,
teniendo como dato r=1.
conr=1

Siendo la expresión anterior, la fórmula general para
calcular el punto medio de un segmento en el plano
cartesiano.
Determinación de la razón cuando un segmento
dado se divide en n partes iguales
Si un segmento se divide en n partes iguales, la razón
para determinar las coordenadas de cada punto que
divide a dicho segmento, se calcula como se indica a
continuación: Si el segmento AB se divide en tres
partes iguales, es decir, si se triseca, la razón para
cada

punto es:
Para el punto /> se tiene: r-
P¡£ 2 — » segmentos
AP~ 2 Para el punto P2
se tiene: /- = =lr = - = 2 (ver
Figura 2.33)

Figura 2.34
5 a segmento AB se divide en cinco partes iguales, la razón para cada punto es:
~AP 1 Para el punto P, se tiene: r = =¿- = -
1 PtB 4
~AP~ 2 Para el punto P, se tiene: r = =4 = -
2
ara el punto P, se tiene: r = =? = -
3 P3B 2
~AP~ 4
Para el punto P4 se tiene: r = =á- = - = 4 (ver Figura 2.35)
PB 1

Figura 2.35
Problema 2.13
Encontrar las coordenadas del punto P(x,y) que divide a un segmento determina
por las coordenadas /4(8,2)y £(-5,7) en la razón r - -.
4
Solución
Al sustituir los datos dados en las fórmulas se tiene que:
v *r „ *
17
l + r 3 7 7
4 4 2
l + r 3 7 •* +
4
4

Problema 2.14
Hallar las coordenadas del punto M que divide en la razón 2/3 al
segmento que une a los puntos A(-6, 2) con B(4,7).
Construyamos una gráfica para localizar los datos

Solución:
Para observar una gráfica, véase la Fig. 2.38
..........._r
Apliquemos la formula: T (X', Y>

T(X
'lY
'):|
1 + 2/3 ' 1 + 2/3 J Las coordenadas de T (X', Y')=
(-2,4), corrobora la solución en la gráfica.
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que une
los puntos A(1, 3) y B(2,5)
2) Si el extremo de un segmento es el punto P(5,3) y el punto
medio de dicho segmento es K(6,1) ¿ cual es el otro extremo
del segmento?

3) Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento
con extremos A(0,1/2) y B(2,5) en la razón r=3/4
4) ¿ En que razón divide el punto de coordenadas P(-1, -7) al
segmento AB que une los puntos A(-3, -15) y 8(2,5)
Solr=2/3
5) El centro de un hexágono regular se encuentra en el onrigen; si
uno de los vértices es el punto A(5,0), ¿cuáles son las coordenadas
de los vértices restantes?
ESTUDIO ANALÍTICO DE ALGUNOS LUGARES GEOMÉTRICOS
EN EL PLANO CARTESIANO
Aprendizajes. El Alumno: ,, "
• Reconocerá a una ecuación con dos variables, como la expresión general qu

satisfacen las coordenadas de los puntos de una "curva" en el plano.
• Reducirá algunas situaciones a otras más simples que ya sabe
resolver, lo que reforzará estas estrategias de resolución de problemas.
• Identificará algunos de los procesos inversos que se presentan en
esta unidad; >o que reforzará su capacidad de inversión de
pensamiento.
Temática:
• Estudio analítico de algunos lugares geométricos en el plano
cartesiano.
a) Lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas
circunferencias y parábolas.
b) Su representación algebraica. Xl-—I
c) Intersecciones entre ellos o con los ejes cartesianos.
X 2^

¿QUÉ ES UN LUGAR GEOMÉTRICO?
_a geometría analítica se propone utilizar el álgebra para obtener
resultados geométricos. Es se puede hacer porque, como hemos visto,
se pueden identificar objetos geométricos como el punto, la recta, los
semiplanos, etc. , con conjunto de puntos que hacen alguna relación
algebraica. A los conjunto de puntos los llamaremos lugares
geométricos y si la relación algebraica está dada por una ecuación, a
esta le llamaremos exacción del lugar geométrico. cualquier punto
cuyas coordenadas satisfagan la ecuación del lugar geométrico, ! a la
gráfica de la ecuación.
templos de lugares geométricos: «* '
El lugar geométrico de los puntos (x, y) que
satisfacen la ecuación y=mx + b es una recta
que pasa por el punto (O, b) y tiene pendiente
m.

El conjunto de los puntos (x, y} que satisfacen la ecuación x=b, es
una línea recta paralela al eje y (b es un número fijo).
A la ecuación Ax + By + C = O se le asocia a una línea recta. Si en
esta ecuación se tiene que B#0, entonces se puede transformar en la
ecuación
v--á.g-— , y el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen esta
ecuación, ( B) B
( A C
coincide con la gráfica de la función f(x)= -_ te--
En el caso en que B=0, obtenemos la ecuación x = — que
corresponde a
la recta paralela al eje y. La circunferencia con centro en el
origen (0,0) y radio r. Como
Sabemos, se trata del conjunto de puntos (x, y) cuya
distancia al origen es r. Usando la fórmula de la distancia
obtenemos que los puntos satisfacen la ecuación: x2 +y1 =
r2. Esto es, la circunferencia de centro (O, 0) y radio r
Problema

El lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje y, del punto :
(2, 0), son: ver(Fig..2.39) .„.,:.

La distancia del punto P al eje y es igual a x(distancia
proyectada en el eje x), lo puedes corroborar con la
formula de la distancia, y la distancia de P al punto
(2,0), que le llamaremos F(2,0), aplicando la fórmula
obtenemos:
dPF=^/(jc-2)2 +y2 .Entonces tenemos que los
puntos del lugar
geométrico satisfacen la ecuación:
x= -/(x-2)2 +y2 elevando al cuadrado x2 = (x-2)2 +y2 ;
simplificando
términos semejantes, obtenemos el lugar geométrico
buscado:
y2 - 4x + 4 = O (Una parábola)

Resumiendo:
.a gráfica de una ecuación es el conjunto de los puntos cuyas
coordenadas (x, y) satisfacen tal ecuación. La ecuación de un
lugar geométrico es la relación algebraica entre x e y que
satisfacen las coordenadas (x,y) de los puntos del lugar
geométrico y que solamente ellos la satisfacen.
Problema 2.15
Encontrar la ecuación de la recta L paralela al eje x situada a 4
unidades por arriba de este eje.
analicemos el problema: Como la recta L es paralela al eje V y
se encuentra por arriba
extemos asegurar que interseca el lado positivo del eje "y", en 4
unidades de medida a
sartir del origen ver gráfica. .

Realicemos una relación de valores que puede
tomar la variable independiente "X" y la variable
dependiente "Y", con la finalidad de analizar por que
la ecuación debe ser Y=4, podemos tener una
tabulación de la gráfica correspondiente.
X Y
-4 4
-3 4
-2 4
-1 4
0 4
1 4
2 4
3 4
4 4
TablaZI

Conclusión: Podemos observar que la recta
interseca solamente a uno de los ejes que es el
eje y por ser paralela al eje x
i
Las siguientes gráficas nos dan la idea de un lugar geométrico.

La figura nos ayuda a visualizar las simetrías. La
curva es simétrica al eje x, si al sustituir en la
ecuación por "-y" la ecuación no se altera.
Observemos que sucede en la ecuación
que estamos analizando:
x2 + y2 = 9,x2 +(-y)2 =9 No se altera, esto
quiere decir que la curva es simétrica respecto
al eje x (significa que para cualquier punto de la
curva que este por arriba del eje x existe otro
punto de la curva por debajo del eje x, los
mismo sucede para el eje y si sustituimos en la
ecuación (1) a la variable V por "-x" la ecuación
no se altera esto quiere decir que la curva es
simétrica respecto al eje y.

Milita gráficamente el lugar geométrico de y=3x.
una tabulación podemos encontrar puntos de ésta
gráfica, y finalmente, al • os puntos, el lugar
geométrico buscado.
valores a la variable independiente x, y
sustituimos estos valores en nuestra para obtener
las correspondientes ordenadas. Para ver ese
desarrollo, consulta 22.

X Y=3X P(x,y)
-4 Y=3(-4)=-12 K-12)
-3 Y=3t3)=-9 Í-3.-9)
-2 Y=3(-2)=-6 Í-2.-6)
-1 Y=3(-1)=-3 í-1,-3)
0 Y=3(0)=0 (0,0)
1 Y=3(1)=3 (1,3)
2 Y=3(2)=6 (2,6)
3 Y=3(3)=9 (3,9)
4 Y=3(4)=12 (4,12)
Grafiquemos su lugar geométrico (Rg.
2.45), a partir de los valores obten/dos en
la tabla 2.2, obteniendo la uniónde puntos.

Conclusión: el lugar
geométrico de
estos puntos que
encontramos se
localiza en la recta
cuya ecuación es:
_Escribe por
Escribe cuanto vale su pendiente:__ que no se interseca con
ninguno de los ejes:
. Su ángulo de inclinación:.
Problema 2.17Encuentra la ecuación del lugar geométrico de
los puntos de la circunferencia que tiene su
centro en el origen y su radio mide 2 unidades de medida.

Solución: Sí analizamos la gráfica, podemos plantear fácilmente la
ecuación x2 +_y2 =22; x2 + y2 =4, ya que observamos en la
gráfica que el centro está en el origen y su radio mide 2.
Corrobora que esta ecuación es correcta aplicando la formula de
distancia entre dos puntos, primero calcula la distancia entre el
centro de la circunferencia C(0,0) y un punto que pertenezca a la
circunferencia P(x, y), es decir dPC, anota los cálculos y el valor
dPC, en tu cuaderno:
Calcula la distancia del radio con la formula de distancia entre dos
puntos, realiza los
cálculos: . ;.^:._. :, •:,
igualando estas dos distancias, debes llegara la ecuación: x2 +y2
= 4
En el concepto de lugar geométrico están implícitos dos
problemas fundamentales de la geometría analítica.

- Dada una ecuación, interpretar ésta geométricamente, es decir,
construir la gráfica correspondiente.
1 - Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los
puntos de la misma, «terminar su ecuación.
Es importante señalar que para poder representar gráficamente el lugar
geométrico que si responde a toda ecuación dada, es conveniente
conocer algunas propiedades del lugar geométrico correspondiente,
como: Intersecciones con los ejes, simetrías, campo de (Dominio y
Rango), etc.

Problema 2.19
Construye la gráfica de la siguiente curva y2 = 8x y analiza la
simetría con los ejes. Solución:
-nalicemos la ecuación: Podemos utilizar el discriminante
para saber que cónica es, Recuerda:
3'--4AC = Q, Parábola v.r" -4AC{0, Elipse o circunferencia
: r:
f:-4/4C>0, Hipérbola ^acordemos la ecuación general de
las cónicasAx2 + Bxy + Cy2 +Dx+Ey+F = 0

aoendo la relación con la ecuación que queremos analizar,
debemos igualar con cero;
í.:-y2 = 0, podemos decir que B=0, A=0 y C=-1;
sustituyendo en el discriminante
:'- -44C = (o)2-(4)(0)(-l)=0; Es una parábola con vértice
en el origen, si
aesoejamos y2 podemos observar el vértice, su eje coincide
con el eje "X", abre a la
derecha.
centremos el valor de P para saber las coordenadas de su
foco, aproximadamente ya
joaemos construir si gráfica. Si queremos la gráfica más
exacta podemos tabular, realiza
tabulación en tu cuaderno.
beremos la ecuación: y2 = Sx , entonces 4P=8 .
•......
=2 entonces su foco tiene por coordenadas F(2,0). Ver figura
2.48

Analicemos sus simetrías.
1) Recordemos, si la ecuación de una curva no se
altera cuando la variable y es
sustituida por -y, se dice que la curva es simétrica
respecto del al eje "X". Observemos la gráfica
anterior.
1) Substituyamos en la ecuación y'1 = 8x "x por -x";
y1 = 8(-x) = -8x. Si se altera la ecuación, esto quiere
decir que la curva no es simétrica respecto del eje
"y" (Observa la gráfica).
2) Sustituyamos "y por -y" en la ecuación y2 = 8x; (-
y)2 = 8x; y2 = 8x. Como no
se altera la ecuación, podemos afirmar que la gráfica
es simétrica respecto del eje
X, lo puedes observar en la figura.

Hagamos un breve resumen de los conceptos ilustrados en
los problemas.
Las intersecciones de la curva con ios ejes son las
distancias negativas o positivas desde
el origen hasta los puntos en los que la curva corta a los
ejes coordenados.
Decimos que dos puntos son simétricos con respecto a
una recta, si ésta es la mediatriz del segmento que los
une. Como consecuencia:
1. Si una ecuación no se altera al sustituir "x" por "-x" la
curva es simétrica con respecto al eje y.
2. Si una ecuación no se altera al sustituir Y por "-y" 'a
curva es simétrica con respecto al ejex.
3. Si una ecuación no se altera al sustituir "x" por "-x" e y
por "-y" la curva o lugar geométrico, es simétrico con
respecto al origen.

Unidad 2

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