Funciones de varias variables

República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Carrera: Ingeniería en Mantenimiento Mecánico.
Cátedra: Matemáticas III.
Barcelona-Edo. Anzoátegui.
Facilitador: Bachiller:
Pedro Beltrán. Neslymar Martínez C.I:28546182.
Barcelona, Noviembre del 2020.

INTRODUCCION
La asignatura de Ampliación de Matemáticas para el grado de ingeniería, estudia entre otros apartados, la integración múltiple
(integrales dobles e integrales triples), Geometría Diferencial (estudio de curvas y superficies) y las integrales de linea y de
superficie. Para una correcta comprensión de estos temas es necesario poseer un conocimiento, si no profundo, sí escogido, de la
teoría de funciones de varias variables.
Para trabajar con los dominios de este tipo de funciones necesitaremos una pequeña iniciación a la topología del espacio
euclídeo que nos permita conocer los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, interior de un conjunto, ..., que tanto
aparecen en toda la bibliografía que nosotros, los alumnos, encontraremos en la asignatura. A lo largo del tema será muy
frecuente los casos en que sea necesario derivar funciones de varias variables y, más precisamente, derivar la composición de
funciones de este tipo.
En esta sección estudiaremos funciones reales de varias variables reales. Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas
cantidades físicas dependen de dos o más variables. El volumen de una caja, V, depende del largo, x, del ancho, y, y de z la
altura de la caja. Los costos de una empresa que fabrica dos tipos de artículos dependen de 1 q la cantidad de artículos de tipo I y
2 q la cantidad de artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su
presión.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
SISTEMAS DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas se define como el conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de
cualquier punto de un espacio euclídeo… Pero ahora, ¿qué entendemos por espacio euclídeo?, bueno, se entiende por espacio
euclídeo a la dimensión finita de un espacio vectorial normado por los números reales de dicha dimensión, que a su vez, la norma
está asociada al producto escalar ordinario, es un sistema vectorial donde se satisfacen los axiomas de Euclides.
A su vez, los sistemas de coordenadas, se clasifican de la siguiente forma:
SISTEMAS DE
COORDENADAS
Coordenadas
Cartesianas
Coordenadas
Cilíndricas
Coordenadas
Esféricas

COORDENADAS CARTESIANAS
Se definen como aquel sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a
tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen.
El primero que expresó la posición de un punto en el plano o en el espacio fue Descartes, por lo que se suele referir a ellas como
coordenadas cartesianas.

UTILIDAD DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS
Dentro de este plano cartesiano que nos quedó conformado podemos ubicar y asignarle una ubicación dentro del espacio a
cualquier punto que pueda ubicarse en dicho plano. Para denominar a un punto, se lo hace mediante la designación de un par, o
un trío de ordenado, con lo cual, podemos representar cualquier punto en el plano, con su posterior graficación.
Veamos un ejemplo de representación de un punto en el plano de coordenadas cartesianas:
UTILIDAD DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS EN LA INGENIERIA
La principal utilidad del plano cartesiano en la ingeniera, corresponde a la representación de datos, lo cual nos permitirá su
análisis, lo cual es fundamental para seguir, controlar y analizar variables en un estudio o proceso productivo. El graficar a su
vez nos permite representar funciones.

COORDENADAS CILINDRICAS
Se define como la forma de identificar un punto en el espacio tridimensional colocado en la superficie lateral de un cilindro cuya
base está en el plano OXY y tiene por centro el origen de coordenadas y un radio determinado. Así todo punto queda determinado
mediante tres magnitudes: el radio r, un ángulos en radianes a y la altura z. Los dos primeros elementos son similares a cómo se
define un punto en coordenadas polares y la altura le aporta el componente de espacialidad.
La primera coordenada es la distancia (r) existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo (ϕ) que forman el eje y la
recta que pasa por ambos puntos, y la tercera es la coordenada (z) que determina la altura del cilindro.

UTILIDAD DE LAS COORDENADAS CILINDRICAS
Este sistema de coordenadas es de gran utilidad en los cálculos matemáticos porque permiten modelar de una manera más
cómoda situaciones, modelos y fenómenos de diversas áreas.
Veamos un ejemplo de representación de un punto en el plano de coordenadas cilíndricas:
UTILIDAD DE LAS COORDENADAS CILINDRICAS EN LA INGENIERIA
El traslado desde y hasta las coordenadas cilíndricas permite la modelación de diversos problemas , permitiendo resultados
ventajosos en el cálculo, la modelación o la comprensión de un determinado problema.

COORDENADAS ESFERICAS
Un sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclídeos tridimensionales. este sistema de coordenadas esféricas está
formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen.
La primera coordenada (r) es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para
alcanzar la posición del punto. Se definen tres vectores unitarios perpendiculares entre sí que forman una base ortonormal.

UTILIDAD DE LAS COORDENADAS ESFERICAS
El uso más evidente de las coordenadas esféricas lo constituye la geografía. Para identificar un punto de la superficie terrestre
indicamos su latitud y su longitud. el radio de la Tierra (suponiendo ésta una esfera, lo que es solo una aproximación)
Veamos un ejemplo de representación de un punto en el plano de coordenadas cilíndricas:
UTILIDAD DE LAS COORDENADAS ESFERICAS EN LA INGENIERIA
Aparte de la evidente relación con el sistema de coordenadas geográficas, aplicables a otros planetas y cuerpos espaciales con
forma esférica y el sistema de localización polar de los cuerpos estelares en la bóveda celeste, el sistema de ubicación GPS; desde
el punto de vista de la geometría analítica y la precisión realista de los fenómenos que suceden en la superficie terrestre, donde la
línea recta es apenas un ideal geométrico, gana gran importancia para las ciencias de la naturaleza y las propiedades espaciales de
la trigonometría, especialmente la trigonometría esférica, donde por solo citar un ejemplo los triángulos formados por líneas
geodésicas no necesariamente la suma de sus ángulos interiores es 180°.

TRASNFORMACION ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS
 Coordenadas Cartesianas a Coordenadas Cilíndricas:
Consideramos:
Donde:
1. 𝑟 = 𝑋2 + 𝑌2
2. 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑌
𝑋
3. Z=Z

EJERCICIOS DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS CARTESIANAS A CILINDRICAS
1. P(3,4,7)→P(r,θ,Z):
𝑟 = 𝑋2 + 𝑌2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑌
𝑋
Z=Z
𝑟 = 32 + 42 = 5
4
3
= 53.13°
Z=7

1. P(1,√3,2)→P(r,θ,Z):
𝑟 = 𝑋2 + 𝑌2
𝑌
𝑋
Z=Z
𝑟 = 12 + (√3)2= 2
√3
1
=
𝜋
3
Z=2

1. P(-2,-2,3)→P(r,θ,Z):
𝑟 = 𝑋2 + 𝑌2
𝑌
𝑋
Z=Z
𝑟 = −22 + −22= 8
−2
−2
= 225°
Z=3

TRANSFORMACION ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS
 Coordenadas Cilíndricas a Coordenadas Cartesianas:
Consideramos:
Donde:
1. X= 𝑟 cos 𝜃
2. 𝑌 = 𝑟 cos 𝜃
3. Z=Z

EJERCICIOS DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS CILINDRICAS A CARTESIANAS
1. P(6,30°,4)→P(X,Y,Z):
X= 𝑟 cos 30°
Y= 𝑟 𝑠𝑒𝑛 30°
Z=Z
𝑋 = 6 ∗ cos 30° = 3 3
𝑌 = 6 ∗ 𝑠𝑒𝑛 30° = 3
Z= 4

1. P(2,
3𝜋
4
,5)→P(X,Y,Z):
X= 𝑟 cos 30°
Z=Z
𝑋 = 2 ∗
3𝜋
4
= − 2
𝑌 = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
4
= 2
Z= 5

1. P(2,
𝜋
3
,-8)→P(X,Y,Z):
X= 𝑟 cos 30°
Z=Z
𝑋 = 2 ∗
𝜋
3
= 1
𝑌 = 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
= 3
Z= -8

 Coordenadas Cartesianas a Coordenadas Esféricas:
Consideramos:
Donde:
1. ρ = 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2
2. 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑌
𝑋
3. 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝑍
𝑋2+𝑌2+𝑍2

 Coordenadas Esféricas a Coordenadas Cartesianas:
Consideramos:
Donde:
1. X = ρ senϕ 𝑐𝑜𝑠𝜃
2. Y= ρ senϕ 𝑠𝑒𝑛 𝜃
3. Z= ρ senϕ

SIMETRIA
. Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone.
Existen dos tipos de simetrías:
 Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).
 Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).
Estudiar si la función es simétrica se llama estudio de la simetría o, al tratarse de funciones pares o impares, estudio de la paridad.
Las funciones que no son simétricas son asimétricas.
FUNCION PAR
Una función par es una función simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Es decir, si plegásemos la gráfica por el eje de
ordenadas encima de la otra parte, la gráfica se solaparía.

SIMETRIA
FUNCION IMPAR
Una función impar es una función simétrica respecto al origen O. Si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas (OY) y después
de nuevo por el eje de abscisas (OX), la gráfica se solaparía.
MÉTODO DE ESTUDIO DE LA SIMETRÍA
Para estudiar la simetría debemos de estudiar cual es la imagen de –x.
1. Si f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas OY.
2. Si por el contrario f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen O.
3. En el caso de que no se cumplan ninguna de las dos anteriores hipótesis, la función es asimétrica.

DEFINICION
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del
segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable
independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a
x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla.
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La
diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con
funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z
depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin
embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se
indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z en función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe encontrar en función de
la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactuan estas variables.

CONCLUSION
El modelo matemático adecuado para expresar una variable en función de otras variables es la función de varias variables. Igual
que ocurría con las funciones de una variable, algunas de las herramientas asociadas a este modelo nos permiten abordar y
expresar muchos aspectos interesantes de la relación existente.

BIBLIOGRAFIA
• (Martínez,N).(2010).”SISTEMAS DE COORDENADAS”. Recuperado de
http://ri.uaemex.mx/bitstream/handle/20.500.11799/63801/secme;jsessionid=AEAB158E117F2AC05FD9A52DEAC483FA?se
quence=1 el 20 de Noviembre del 2020.
• (Buccé, C). (2000). “UTILIDAD DEL PLANO CARTESIANO”. Recuperado de https://www.importancia.org/plano-
cartesiano.php el 20 de Noviembre del 2020.
• (Fuentes, R). (2005). “COORDENADAS CILINDRICAS). Recuperado de
https://www.ecured.cu/Coordenadas_cil%C3%ADndricas el 20 de noviembre del 2020.
• (Tovar, H). (2018). “FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES”. Recuperado de
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• (Suáres, A). (2014). “COORDENADAS ESFERICAS”. Recuperado de
https://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/curvas_superf/teoria/cilin_esfericas.html el 20 de Noviembre del 2020.
• (Hidalgo, R). (2008). “SIMETRIA DE LAS FUNCIONES”. Recuperado de
(ttps://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-simetricas-asimetricas/ el 20 de Noviembre del 2020.
• (Rosa, M). (2011). “FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES”. Recuperado de
http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/ampliacion/Tema%201.pdf el 20 de Noviembre del 2020.

ANEXOS
• “INTRODUCCION A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES”.
https://www.youtube.com/watch?v=XDRTplgDNkc
• “COORDENAS CARTESIANAS A COORDENADAS CILINDRICAS”.
https://www.youtube.com/watch?v=vOCrjJktY0k
• “COORDENADAS CILINDRICAS A COORDENADAS CARTESIANAS”.
https://www.youtube.com/watch?v=yCpTZXuT0-s

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