Teoría y Aplicaciones de las Cónicas de Apolonio The Conic Sections; Theory and Applications

1. Actividad 2.2
Las cónicas
G. Edgar Mata Ortiz

2. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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Las cónicas son un conjunto de curvas que pueden ser obtenidas
cuando un plano corta a un cono circular recto de dos ramas,
como se muestra en la figura de la izquierda.
Las secciones cónicas son: La circunferencia, la elipse, la
hipérbola y la parábola. Su importancia radica en el uso que se
les da para la resolución de problemas prácticos.
A continuación, se estudiarán sus aplicaciones y propiedades
más importantes.
Contenido
Introducción .............................................................................................................................................................2
Propiedades las cónicas........................................................................................................................................2
Aplicaciones de las cónicas.......................................................................................................................................3
Problemas de razonamiento. ...............................................................................................................................3
Bibliografía............................................................................................................................................................6
Es importante dejar claro que, al inventarse las cónicas, no se disponía de la
relación que estas curvas tienen con sus ecuaciones; esto sólo fue posible
muchos siglos después de su descubrimiento a través de la invención del plano
cartesiano y la geometría analítica por R. Descartes.

3. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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Introducción
La figura que aparece en la portada de este
documento representa la forma en la que se
obtienen las figuras que reciben el nombre de
cónicas.
Elabora un cono con cualquier material
adecuado y realiza los cortes necesarios para
obtener las cónicas. Elabora un reporte del
proceso y resultado incluyendo fotografías y/o
vídeos de esta actividad.
Propiedades las cónicas.
Las propiedades geométricas de las cónicas las vuelven muy útiles en la
resolución de problemas prácticos. Realiza una consulta y elabora una síntesis
que contenga la información de las cuatro cónicas: circunferencia, elipse,
parábola e hipérbola:
1. Definición geométrica de cada una de las cónicas y la representación
gráfica de estas definiciones (Lugar geométrico).
2. Ecuación en forma canónica cuando la curva está en el origen, es decir,
no se encuentra desplazada en ninguno de los ejes de coordenadas: Con
eje de simetría vertical y horizontal, dos ejemplos de cada una de las
cónicas con sus gráficas.
3. Ecuación en forma canónica cuando la curva está fuera del origen, es
decir, cuando la curva se encuentra desplazada tanto en el eje equis
como en el eje ye: Con eje de simetría vertical y horizontal, dos ejemplos
de cada una de las cónicas con sus gráficas.
4. Ecuación en forma general de cada una de las cónicas y realización del
proceso algebraico para expresarla en forma canónica; dos ejemplos de
cada una con sus gráficas.
5. Propiedades geométricas en cada ejemplo según corresponda: Vértices,
excentricidad, directriz, lado recto, distancia focal, asíntotas y focos.
6. Valores y significados de las distancias generalmente identificadas como
a, b, c.
7. Identificación de las distancias a, b, c, en las gráficas de todos los
ejemplos que se incluyen en el trabajo.
8. Citar la bibliografía cuidando que se haya verificado la información en, al
menos, tres libros. Indicar las páginas de los libros donde se encuentra la
información.
La Geometría
Las Cónicas
Estas figuras reciben dicho
nombre debido a que
pueden obtenerse al
intersecar un doble cono,
con un plano.
Dependiendo de la
inclinación del plano con
respecto al cono, se puede
obtener una
circunferencia, una elipse,
una parábola o una
hipérbola.
Eran conocidas por los
geómetras griegos desde
alrededor de 400 años a. C.
según se desprende de los
trabajos de Menecmo y el
propio Euclides, sin
embargo, estos
documentos se han
perdido y sólo se conocen
por referencias.
El documento más
importante de que se
dispone sobre el estudio de
estas figuras geométricas
es “Las Cónicas” escrito por
Apolonio de Perga
(actualmente Turquía)
alrededor del 200 d. C.
Las cónicas en el plano
cartesiano

4. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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Aplicaciones de las cónicas.
Al igual que las demás herramientas matemáticas, el estudio de las cónicas tiene un importante valor teórico,
sin embargo, es necesario que estos conocimientos teóricos se apliquen la resolución de problemas que se
presentan en la realidad, ya sea en la vida cotidiana o profesional. Resuelve los siguientes problemas aplicando
los conceptos acerca de las cónicas que se estudiaron para realizar el trabajo de síntesis que se elaboró
anteriormente.
Problemas de razonamiento.
1. Es necesario realizar una perforación para colocar
la polea que transmitirá el movimiento mediante
una banda como se muestra en la figura. Para
simplificar los cálculos se han expresado las
dimensiones en coordenadas rectangulares.
Utiliza los puntos:
𝑨(𝟗𝟓 + 𝑵𝑳
𝟓⁄ , 𝟏𝟑𝟗 + 𝑵𝑳
𝟏𝟎⁄ ),
𝑩(𝟒𝟎 + 𝑵𝑳
𝟓⁄ , 𝟔𝟓 + 𝑵𝑳
𝟓⁄ ) y
𝑪(𝟏𝟒𝟎 + 𝑵𝑳
𝟒⁄ , 𝟒𝟖 + 𝑵𝑳
𝟏𝟎⁄ )
Para determinar la ecuación de la circunferencia
que nos indicará las coordenadas del centro,
donde se realizará la perforación, y el radio de la
polea que se deberá utilizar.
2. Un puente colgante es sostenido por dos
torres de 45 +
𝑁𝐿
10
metros que se encuentran a
una distancia de 60 +
𝑁𝐿
8
metros entre sí. Es
necesario determinar las alturas de los 6
soportes intermedios (señalados con color
azul) que se encuentran a distancias iguales
entre sí sabiendo que el soporte central mide
1 +
𝑁𝐿
8
metros de altura. Utiliza como
referencia los ejes del plano cartesiano que se
muestran en la figura.

5. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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3. Las órbitas de los planetas tienen la forma de una elipse
con el planeta en uno de los focos. En el caso de Plutón,
el sol se encuentra aproximadamente a 1467.74
millones de kilómetros del centro de la elipse. En el
punto más cercano, Plutón se encuentra a 4445.78
millones de kilómetros del sol. La distancia mínima de
dicho planeta, hasta el centro de la elipse es
aproximadamente de 5728.48 millones de kilómetros. Encuentra la ecuación de la elipse que
modela la órbita de Plutón y señala todas sus características geométricas.
4. La parte visible de una “antena” parabólica es, en
realidad, un reflector que concentra la señal en el foco
del paraboloide para maximizar la señal; en dicho foco
se coloca la antena y, a veces, el amplificador de señal.
Si una de estas antenas mide 1.75 +
𝑁𝐿
20
m de diámetro
y tiene una profundidad de 75 +
𝑁𝐸
2
cm, ¿A qué
distancia del vértice del paraboloide debe colocarse la
antena receptora para que se reciba la máxima
intensidad de ondas de radio?
5. El Statuary Hall in the Capitol Building in Washington, D.C.
está construido de modo que se forma una cámara de los
susurros. Mide 46 ft de ancho por 96 ft de longitud.
Determina la ecuación de la elipse que forma
considerando que se trata de una elipse con centro en el
origen y eje mayor sobre el eje equis. Determina las
coordenadas de los focos en los que se percibe el efecto
de esta cámara de susurros.

6. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano
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6. Determina la ecuación de la circunferencia circunscrita al
triángulo formado por las rectas:
𝑦 =
𝑁𝐸
12
𝑥 +
𝑁𝐿
5
𝑦 = −
𝑁𝐸
15
𝑥 −
𝑁𝐿
4
𝑦 = 10𝑥 − 𝑁𝐿
7. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen, foco sobre el
eje equis y que pasa por el punto 𝑷(𝑵𝑬, 𝑵𝑳/𝟐)
8. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta
𝒙 − 𝒚 =
𝑵𝑳
𝟒
+ 𝟑 en el punto 𝒙 = 𝟒 y su centro está en el eje equis.
9. Expresa la ecuación de la elipse en forma canónica, encuentra las
coordenadas del centro, de los focos, de los extremos de los dos
lados rectos, de los extremos del eje mayor y eje menor. Localiza en
la gráfica cada uno de estos datos.
𝟏𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟐𝟓𝒚 𝟐
− 𝑵𝑳𝒙 + 𝑵𝑬𝒚 + 𝟔𝟎𝟎 = 𝟎
10. Encuentra los puntos de intersección de las
dos curvas siguientes:
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟐
− 𝑵𝑳𝒙 − 𝟓𝑵𝑬
𝒚 = −𝟐𝒙 𝟐
− 𝑵𝑬𝒙 + 𝟓𝑵𝑳

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Bibliografía.