Pregunta de Algebra del examen UNI 2016 II

3. • Si: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 y 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
= 4
Hallar el valor de:
𝑀 =
1
𝑎 + 𝑏𝑐
+
1
𝑏 + 𝑎𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎𝑏
Pregunta de algebra:

4. Solución:
1.De la condición a+b+c=1:
Se multiplica ambos lados por “a”
a*(a+b+c)=a
Se suma a ambos lados “bc”
a*(a+b+c)+bc=a+bc
Desarrollando:
𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑐

5. Reagrupando terminos:
𝑎2
+ 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑐
Factorizando:
𝑎(𝑎 + 𝑐) + 𝑏(𝑎 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏𝑐
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒄) = 𝒂 + 𝒃𝒄 ……………… (1)

6. • Se repite los mismos pasos anteriores:
2. De la condición a+b+c=1:
Se multiplica ambos lados por “b”
b*(a+b+c)=b
Se suma a ambos lados “ac”
b*(a+b+c)+ac=b+ac
Desarrollando:
𝑎𝑏 + 𝑏2
+ 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 = 𝑏 + 𝑎𝑐

7. Reagrupando términos:
𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑏 + 𝑎𝑐
Factorizando:
𝑏(𝑏 + 𝑐) + 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑏 + 𝑎𝑐
(𝒂 + 𝒃)(𝒃 + 𝒄) = 𝒃 + 𝒂𝒄 ……………… (2)

8. 3. De la condición a+b+c=1:
Se multiplica ambos lados por “c”
c*(a+b+c)=c
Se suma a ambos lados “ab”
c*(a+b+c)+ab=c+ab
Desarrollando:
𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐2
+ 𝑎𝑏 = 𝑐 + 𝑎𝑏

9. Reagrupando términos:
𝑐2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 = 𝑐 + 𝑎𝑏
Factorizando:
𝑐(𝑏 + 𝑐) + 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑏 + 𝑎𝑐
(𝒂 + 𝒄)(𝒃 + 𝒄) = 𝒃 + 𝒂𝒄 ……………… (3)

10. En la segunda condición:
𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
= 4
Productos Notables:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑
= 𝒂 𝟑
+ 𝒃 𝟑
+ 𝒄 𝟑
+ 𝟑 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒄 𝒃 + 𝒄
Reemplazando valores:
𝟏 = 𝟒 + 𝟑 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒄 𝒃 + 𝒄
𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒄 𝒃 + 𝒄 = −𝟏 ……………… (4)

11. 𝑀 =
1
𝑎 + 𝑏𝑐
+
1
𝑏 + 𝑎𝑐
+
1
𝑐 + 𝑎𝑏
En la ecuación pedida:
Se reemplaza los denominadores con los valores hallados:
𝑀 =
1
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒄)
+
1
(𝒂 + 𝒃)(𝒃 + 𝒄)
+
1
(𝒂 + 𝒄)(𝒃 + 𝒄)
Sumando las fracciones:
𝑀 =
𝑏 + 𝑐 + 𝑎 + 𝑐 + 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑐

12. 𝑀 =
2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑐
Sumando terminos en el numerador y factorizando:
De la primera condición y el valor hallado (4)
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 y 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑐 = −1
𝑀 =
2 1
−1 𝑴 = −𝟐
Reemplazando en la ecuación:
Solución

13. http://academia-sion.wixsite.com/academia-sion