El documento presenta fórmulas y propiedades de productos notables que involucran binomios, trinomios y polinomios. Incluye identidades como (a + b)2, (a - b)2, (a + b)3 y (a - b)3, así como sumas y diferencias de cuadrados y cubos. También explica la factorización del trinomio cuadrado y presenta ejemplos resueltos.

1. ¡BIENVENIDOS!
PRODUCTOS
NOTABLES

2. PRODUCTOS NOTABLES
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
1er Término
al cuadrado
El doble producto
del 1er T
. por el
2do T
.
2do Término
al cuadrado (3𝑥 + 5)2
a) = (3𝑥)2 + 2 3𝑥 (5) + (5)2
= 9𝑥2 + 30𝑥 + 25
BINOMIO AL CUADRADO
1er Término: 𝑎
2do Término: 𝑏
Mismo signo
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Mismo signo
2do Término:
1er Término: 3𝑥
5
2do
Término
1er Término El doble producto del
al cuadrado 1er T. por el 2do T. al cuadrado
Mismo signo
b) (3𝑥 − 2𝑦)2 = (3𝑥)2 − 2 3𝑥 (2𝑦) + (2𝑦)2
= 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2

3. DIFERENCIADE CUADRADOS
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
Suma y
Diferencia
1er Término: 𝑎
2do Término: 𝑏
1er Término 2do Término
al cuadrado al cuadrado
menos
c) 4𝑥 + 1 4𝑥 − 1
= 16𝑥2 − 1
Suma y
Diferencia
= (4𝑥)2 − (1)2
1er Término
al cuadrado
2do Término
al cuadrado
1er Término:
2do Término:
4𝑥
1
menos
PRODUCTOS NOTABLES

4. 1er T
.
al cubo
2do T
.
al cubo
BINOMIOAL CUBO
(𝑎 + 𝑏)3= 𝑎3 + 𝑏3
(𝑎 − 𝑏)3= 𝑎3 − 𝑏3
Prod. Suma
+ 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
1er Término: 𝑎
2do Término: 𝑏
Prod. Dif.
− 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)
1er T
.
al cubo
= 8𝑥3 + 1 + 6𝑥(2𝑥 + 1)
= 8𝑥3 + 1 + 12𝑥2 + 6𝑥
= 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 + 1
Prod Suma
d) (2𝑥 + 1)3 = (2𝑥)3+ 13 + 3(2𝑥)(1)(2𝑥 + 1)
1er Término: 2𝑥
2do Término: 1 2do T
.
al cubo
PRODUCTOS NOTABLES

5. SUMADE CUBOS
𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3
Mismo signo
Signos
Opuestos
𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 − 𝑏3
Signos
Opuestos
2𝑎 + 3 4𝑎2 − 6𝑎 + 9
e)
= 2𝑎 3 + 33
= 8𝑥3 + 27
2 −
= (2𝑎 + 3)( 2𝑎 2𝑎 3 + 32)
Suma de Cubos
Signos Opuestos
1er T al cuadrado,
Producto del 1er T y el
2do T
, 2do T
. al cuadrado
1er T
. al
cuadrado
2do T
. al
cuadrado
Producto
Del 1er
y 2do T.
1er T
. al
cuadrado
2do T
. al
cuadrado
Producto
Del 1er
y 2do T.
1er Término: 𝑎
2do Término: 𝑏
DIFERENCIADE CUBOS
Mismo signo
1er Término:2𝑎
2do Término: 3
PRODUCTOS NOTABLES

6. TRINOMIOAL CUADRADO
El doble producto de
las combinaciones de
dos en dos
Suma de los
cuadrados de los tres
Términos
2 + 2
= 𝑥2 + 4𝑦2 + 9𝑧2 − 4𝑥𝑦 − 6𝑥𝑧 + 12𝑦𝑧
1er Término: 𝑎
2do Término: 𝑏
3er Término: 𝑐
1er Término: 𝑥
2do Término:−2𝑦
3er Término: −3𝑧
Ejemplo:
(𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧)2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2+2𝑎𝑏 +2𝑎𝑐 +2𝑏𝑐
Suma de los
cuadrados de los tres
términos
El doble producto de
las combinaciones de
dos en dos
= 𝑥2 + −2𝑦 −3𝑧 + 2 𝑥 −2𝑦 + 2 𝑥 −3𝑧 + 2 −2𝑦 −3𝑧
PRODUCTOS NOTABLES

7. IDENTIDADESDE LEGENDRE
(𝑎 + 𝑏)2+(𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎2 + 𝑏2)
2
(𝑎 + 𝑏)2− 𝑎 − 𝑏 = 4𝑎𝑏
𝑆𝑖:
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = −2𝑎𝑏 − 2𝑏𝑐 − 2𝑎𝑐
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐
IDENTIDADESCONDICIONALES
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 entonces
PRODUCTOS NOTABLES

8. Ejemplos

9. 1. Si a + b = 6 y ab = 4, calcula:
a) a2 + b2
Solución:
a + b = 6
a + b 2 = 62
a2 + 2ab + b2 = 36
a2 + b2 + 2(4) = 36
a2 + b2 = 28

10. 1. Si a + b = 6 y ab = 4, calcula:
b) a3 + b3
Solución:
a + b = 6
a + b 3 = 63
a3 + b3 + 3ab(a + b) = 216
a3 + b3 + 3(4)(6) = 216
a3 + b3 + 72 = 216
a3 + b3 = 144

11. 1. Si a + b = 6 y ab = 4, calcula:
c) a4 + b4
Solución:
a2 + b2 = 28
a2 + b2 2 = 282
a4 + 2a2b2 + b4 = 784
a4 + b4 + 2 4 2 = 784
a4 + b4 + 32 = 784
a4 + b4 = 752

12. Solución:
𝑥
2. Si 𝑥 + = 4 , halla 𝑥3 +
𝑥3
𝑥3 +
1
+ 3 𝑥
1
𝑥 𝑥
1
𝑥 + = 64
1 1
𝑥3
𝑥 +
1
𝑥
3
= 43
𝑥3
𝑥3 +
1
+ 3 4 = 64
𝑥3
𝑥3 +
1
+ 12 = 64
𝑥3
𝑥3 +
1
= 52
𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)

13. Solución:
3. Simplifica:
E = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥3 + 1)
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3
E = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥3 + 1)
2
E = 𝑥 − 1 (𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥3 + 1)
E = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥3 + 1)
E = (𝑥3 − 1) (𝑥3 + 1)
E = 𝑥6 − 1

14. Solución:
4. Simplifica:
𝑥 + 3 𝑥 − 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9 𝑥2 + 3𝑥 + 9
𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3
𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3
𝑥 + 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9 (𝑥 − 3) 𝑥2 + 3𝑥 + 9
𝑥3 + 33 (𝑥3 − 33)
𝑥6 − 36 = 𝑥6 − 729

15. Solución:
5. Si + =
4
1 1
a b a + b
, halla
5a + 7b
3a + b
1 1 𝑥 + 𝑦
+ =
𝑥 𝑦 𝑥𝑦
4
1 1
+ =
a b a + b
a + b
=
ab a + b
4
a + b 2 = 4ab
a2 + 2ab + b2 = 4ab
a2 − 2ab + b2 = 0
a − b 2 = 0 a = b
Reemplazamos:
=
5a + 7b 5a + 7a
3a + b 3a + a
=
12a
4a
= 3

16. Solución:
2 +
6. Si 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 2 = 0 ,
halla
𝑥𝑦 + 4𝑥2 + 5𝑧2
3𝑦2 + 2𝑥𝑧
𝑥 = 𝑦 = 𝑧
Reemplazamos:
𝑥 − 𝑦 2 + 𝑦 − 𝑧 2 = 0
0 0
𝑥𝑦 + 4𝑥2 + 5𝑧2
3𝑦2 + 2𝑥𝑧
=
𝑥(𝑥) + 4𝑥2 + 5𝑥2
3𝑥2 + 2𝑥(𝑥)
=
10𝑥2
5𝑥2
= 2

17. 7. Reduce:
M = 𝑥2 − 9 𝑥2 + 3𝑥 + 9 𝑥2 − 3𝑥 + 9 − 𝑥3 − 27 2 + 1 458
Solución:
M = 𝑥2 − 9 𝑥2 + 3𝑥 + 9 𝑥2 − 3𝑥 + 9 − 𝑥3 − 27 2 + 1 458
M = (𝑥 − 3) 𝑥2 + 3𝑥 + 9 (𝑥 + 3) 𝑥2 − 3𝑥 + 9 − 𝑥3 − 27 2 + 1 458
M = (𝑥3 − 33)(𝑥3 + 33) − 𝑥3 − 33 2 + 1 458
M = (𝑥6 − 36) − 𝑥3 − 33 2 + 1 458
M = (𝑥6 − 36) − (𝑥6 − 2 33 𝑥3 + 36) + 1 458
M = −729 + 54𝑥3 − 729 + 1 458 = 54𝑥3
𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3
𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3

18. 8. Se conoce lo siguiente:
a + b + c = 10
a2 + b2 + c2 = 40
Halla el valor de R.
2 +
R = a + b 2 + a + c b + c
Solución:
2
a + b + c 2 = 10 2
a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 100
40 + 2(ab + ac + bc) = 100
2(ab + ac + bc) = 60
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧)

19. 8. Se conoce lo siguiente:
a + b + c = 10
a2 + b2 + c2 = 40
Halla el valor de R.
2 +
R = a + b 2 + a + c b + c
Solución:
2
2 +
R = a + b 2 + a + c b + c 2
+ (b2 + 2bc + c2)
2 ab + ac + bc = 60
R = a2 + 2ab + b2 + a2 + 2ac + b2
R = 2 a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
R = 2 40 + 60 = 140

20. PROBLEMA DE
REFUERZO 01

21. PROBLEMA DE
REFUERZO 02

22. PROBLEMA DE
REFUERZO 03

23. PROBLEMA DE
REFUERZO 04

24. PROBLEMA DE
REFUERZO 05

25. PROBLEMA DE
REFUERZO 06

26. PROBLEMA DE
REFUERZO 07

27. PROBLEMA DE
REFUERZO 08

28. PROBLEMA DE
REFUERZO 09

29. PROBLEMA DE
REFUERZO 10

30. PROBLEMA DE
REFUERZO 11

31. PROBLEMA DE
REFUERZO 12