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1. Estudios Matemáticos Argentera
Las Matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista
despejada, sino un viaje a un terreno salvaje y extraño, en el cual
los exploradores se pierden a menudo.W.S. Anglin (1992).
Módulo: 3
Diofanto de Alejandría (325-409 a.c): Matemático
descolló en la teoría de los números, la teoría de
ecuaciones de primer grado, la resolución de las
ecuaciones de segundo grado y especialmente en la
resolución de ecuaciones indeterminadas, conocidas
como ecuaciones diofánticas.
El Gúgol
Un gúgol es un uno seguido de cien ceros, o lo que es lo
mismo, en notación científica, uno por diez a la cien
10  . Es el número finito más grande que existe. Fue
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inventado por Milton Sirotta (9 años). Un gúgol es
mayor que el número de átomos en el Universo
conocido. El nombre del buscador Google se puso en
honor a este número el cual pertenece a una
matemática llamada Algebra Abstracta. El gúgolplex es
un uno seguido de gúgol ceros 10 10 .
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2. Ecuaciones Lineales
Historia e importancia
Las ecuaciones lineales son muy importantes dentro de las ciencias y nuestra vida, pues a través de
ellas podemos resolver un sin números de problemas de nuestro diario vivir.
Según Fanny Pérez mediante ellas se pueden representar numerosos problemas de diferentes
áreas del conocimiento.En la Ingeniería electrónica, una de las aplicaciones más simples de las
ecuaciones lineales es la estimación de producción de cierto producto.
En telecomunicaciones, muchas funciones complicadas, se reducen a aproximaciones lineales que
son más fáciles de manejar que complejas funciones de X grados, o bien, de ecuaciones diferenciales
(Transformada de Laplace).
En Ingeniería Petrolera las utilizan en Simulación Numérica de Yacimientos, se tiene que convertir
ecuaciones finitas y no lineales en ecuaciones lineales para así poder lanzarlas del simulador.
La Ingeniería realiza sus cálculos a partir de modelos científicos. Los modelos científicos se realizan
sobre modelos matemáticos (de lo contrario no se podría calcular), a partir de la observación de los
fenómenos naturales (física, química, biología, etc.).
En la agricultura podemos ver que las siembra se hacen en filas y/o columnas los cuales son rectas
procedentes de ecuaciones lineales.
El planteamiento de ecuaciones en matemáticas nos ayuda para expresar simbólicamente nuestros
pensamientos.
El griego Diofanto de Alejandría (siglo III a.C.) fue el primero en proponer una notación simbólica, y
no sólo lógica, para explicar sus proposiciones matemáticas, por esta razón las primeras ecuaciones
algebraicas se llamaronDiofánticas.
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3. Conceptos.
Igualdad: Es la expresión aritmética o algebraica que tienen el mismo valor.
Expresión algebraica: Es una combinación de números y letras ligados por los signos de las
operaciones del cálculo. 4m  7a  11  4a
Ecuación: Es la igualdad en la que existen una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas
y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las variables. 4 x  7  11
Clases de ecuaciones:
Las ecuaciones algebraicas se clasifican según distintos criterios:
 Según el número de incógnitas: Ecuaciones de una incógnita, de dos, de tres hasta n
incógnitas. Ejemplo: 3x+5=6; 9x-y= 10 ; 10m+3n+4=8
 Según el término de mayor grado: de primer grado (lineales), segundo grado (cuadráticas),
tercer grado (cúbicas), así sucesivamente hasta grado n.
 Ejemplo: x  3  8; x2  2x  1  0, x3  8x2  6x  40  0
 Ecuación numérica: Es aquella donde la única letra que hay es la incógnita y después todo es
número. Ejemplo 3x - 12 = 2x + 5
 Según la forma de presentación de las variables:
 Enteras: cuando no existes ninguna incógnita en el denominador.
 Fraccionarias: con incógnitas en algún denominador.
 Racionales: si las incógnitas no aparecen dentro de raíces cuadradas, cúbicas, etc.
 Irracionales: si las incógnitas se presentan dentro de alguna de estas raíces.
Resolver una ecuación:
Resolver una ecuación es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que
satisfacen la ecuación.
Resolución de ecuaciones lineales enteras.
1) Ejemplo1:Resolver la ecuación 2x-3=6+x
2x-x=6+3 por lo que x = 9
2) Ejemplo2: 2(2x-3)=6+x
4x-6=6+x
4x-x=6+6 operando tenemos 3x=12
X= 12/3 eso implica que x=4
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4. Ecuaciones fraccionarias
Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado:
1º Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en paréntesis para
evitar errores con los signos negativos. El signo menos que aparece antes de una fracción
afecta a todo el numerador.
2º Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3º Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado.
4º Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el m.c.m.
5º Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas.
6º Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que obtuvimos.
7º A continuación veremos diferentes casos donde tendremos que aplicar estos pasos.
Ecuaciones con denominadores numéricos
Para resolver estas ecuaciones, se eliminan los denominadores multiplicando sus dos
miembros por el mcm (mínimo común múltiplo) de estos y luego realizar las operaciones indicadas.
Ejemplo: Realiza las siguientes ecuaciones:
x 1 x  3
Ejemplo 1.Resolver   1
6 2 x 1 x  5 x  5
Ejemplo 2.  
m.c.m  6, 2   6 4 36 9
x –1 – 3  x  3  6  x  1  3x  9  6 9  x  1   x  5   4(x  5)
x  3x  6  1  9  2x  14  x=-7 9x  9  x  5  4x  20
9x  x  4x  20  9  5  4x  24  x=6
x 1
Ejemplo 3.Resolver 5   x
6 3
 x 5 1
6   6   6   6 x
 6  1  3
x  30  2  6 x  x  6 x  2  30
28
7 x  28  x    x  4
7
Ecuaciones con la incógnita en el denominador:
Para resolver este tipo de ecuaciones debemos eliminar los denominadores, ya sea multiplicando en
cruz o con m.c.m.
Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores numéricos.
Ejemplo 1
5 4 2 3
 Ejemplo 2. 
6x 1 2x  3 4x 1 4x 1
5  2 x  3  4  6 x  1  10 x  15  24 x  4
8 x  2  12 x  3
10 x  24 x  4  15
4 x  3  2
11
14 x  11  x  
4 x 5 5
14
 
4 4 4
3

5. Ecuaciones con coeficientes literales:
Este tipo de ecuaciones tienen letras junto a la incógnita, desde cursos anteriores sabemos que las
primeras letras del alfabeto generalmente se usan como constantes y las ultimas se usan como
variables.
Para resolverla debemos preceder como lo hemos hecho en los casos anteriores,Dejando indicadas
las operaciones.
Ejemplo 1: ax  8  bx  5
ax  bx  8  5
x ( a  b)  3
3
x
( a  b)
Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación.
Como podemos darnos cuentas hay muchos tipos de ecuaciones por lo que en este caso nos toca
con signos de agrupación. Debemos eliminar los signos desde adentro hacia fuera para así llevar una
secuencia de signos y no equivocarnos.
Ejemplo 1: Resolver 3x-(2x-1) = 7x-(3-5x) + (-x+24)
Suprimiendo los signos de agrupación:
3x  2x  1  7x  3  5x  x  24
3x  2x  7x  5x  x  3  24  1
10x  20  x  2
Ejemplo2 : Resolver 5x  {2x   x  6 }  18  {  7x  6   (3x  24)}
5x  {2x  x  6}  18  {7x  6  3x  24}
5x  2x  x  6  18  7x  6  3x  24
5x  2x  x  7x  3x  18  6  24  6
8x  6  x= 3
4
4

6. Resolución de problemas con ecuaciones lineales.
Muchos problemas que requieren procedimientos aritméticos complejos pueden ser resueltos con
éxito, recurriendo a la utilización del lenguaje de las ecuaciones algebraicas.
Ejemplo 1. La suma de las edades de Ana y Bienvenido es 80 años, y Bienvenido tiene 4 años
menos que Ana. Hallar ambas edades.
Sea x el valor de Ana
Como Bienvenido tiene 4 años menos que Ana
x-4= edad de Bienvenido.
La suma de ambas edades es 80 años: luego se tiene la ecuación x+x-4=80.
Resolviendo:
x+x=80+4 sumando 2x=84, por lo que x=84/2=42
Por lo tanto x= 42 eso significa que
Ana= 42 años y B= 38
Ejemplo 1. Hallar tres números enteros consecutivos cuya La suma de tres números enteros
consecutivos es 96.
Sea x el primer número, x+1 el segundo y x+3 el tercero, por lo tanto,
 x    x  1   x  2   96
3x  3  96  x  31
1ro: 31, 2do: 32, 3ro: 33
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7. Actividades
Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones lineales.
a) 5 x  3  7
b) 2k  4  6k  20
c) 6m  3(5m  1)  3m  8(2m  6)
4  1 2  8 10  14
d)  
3 2 12
3 2
e) 
5  3 7  36
f ) ay  b(1  d )  5 y  c(5  e)
g ) La edades de Rosanna y Johanna suman 90 años, pero la edad
de Rosanna es el triplo disminuido en 10 de la de Johanna.
Me puedo caer, me puedo herir, puedo quebrarme,
pero con eso no desaparecerá mi fuerza de voluntad
de seguir hacia delante.
Madre Teresa de Calcuta
Revisado el 24 de abril 2012.
Prof. Wilton Oltmanns
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8. Bibliografía
Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo
Domingo Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.
Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México: editora
Pearson Educación.
Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice
América, S.A.
Santillana I. serie umbral, (educación media).
(2001), 1ra edición, Rep.Dom: Editora Santillana
Demana; Waits; Foley; Kennedy y Blitzer. Matemáticas universitarias
introductorias con nivelador mathlab. (2009), 1ra edición, México: Editora
Pearson Educación.
448 pág.
Peña Geraldino, Rafael. Matemática Básica Superior, (2005), 4ta edición,
Republica Dominicana. Editorial Antillanas.
Ecuaciones lineales, foro sobre su importancia.
http://usfbasicoing3.activoforo.com/algebra-lineal-f3/franny-perez-foro-de-
ecuaciones-lineales-t18.htm#4120.
Imagen de un campo de siembra http://www.campodiario.com.ar/jmnoticias.
imagen y biografía de
Diofantohttp://ematematicos.rimed.cu/module/biblioteca/galeria/ampliar_gal.
El Gúgol en http://es.wikipedia.org/wiki/Gugol.
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