PROGRAMACIÓN LINEAL.

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PROGRAMACIÓN LINEAL.

  1. 1. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa PROGRAMACIÓN LINEAL. Es una parte de la investigación operativa que la podremos aplicar cuando el problema que tratamos se puede traducir a expresiones matemáticas de tipo lineal y que las limitaciones o restricciones que tenga el sistema productivo se pueda también traducir en expresiones matemáticas de tipo lineal. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Un problema de programación lineal tendrá la siguiente forma: Función Objetivo: Es una expresión matemática lineal que representa el objetivo del problema. Es la expresión que tendremos que maximizar o minimizar. Función Objetivo: (Max. ó Min.) Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn Ecuaciones o Inecuaciones de Restricción: Expresiones matemáticas, ecuaciones o inecuaciones de tipo lineal que representan las limitaciones del problema. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn >= b2 a31x1 + a32x2 + … + a3nxn ≤ b3 ……………………………… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones: x1; x2; xn >= 0 Las variables no tomaran valores negativos. Conceptos propios de la programación Lineal: Solución Posible : Es cualquier conjunto de valores de la variable que satisface el sistema de ecuaciones de la restricción. Solución Posible Básica: Es aquella solución posible en la que ninguna variable toma valores negativos. Solución Básica Posible Degenerada: Solución básica posible en la que al menos una variable toma el valor cero. Solución Óptima: Es aquella solución básica posible que optimiza a la función objetivo. ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL 1. FUNCION OBJETIVO Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximiza o se minimiza 2. VARIABLES DE DECISION. Son las incógnitas del problema, La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en l0s niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular. 3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES. Diferentes requisitos que deben cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, ect. UNACH 2.013
  2. 2. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa 4. CONDICION TECNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos MODELO GENERAL DE PL OPTIMIZAR Z = SUJETO A: n  j j c x 1 a x  b i  1,2,......, m ij j i x j n j  0 1,2,......., GRÁFICA DE DESIGUALDADES Y CONTORNOS j n  j 1 Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos 1. Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique l recta 2. Escoja un punto de ensayo 3. Evalúe el primer miembro de la expresión 4. Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad. 5. Existen varios métodos de solución entre los cuales tenemos el gráfico, el simplex, el algebraico, el dual, etc. EJEMPLO POR EL MÉTODO GRÁFICO: Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo d irecto y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. OBJETIVO : Maximizar el ingreso total. VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1). Cantidad de liquidaciones (X2). UNACH 2.013
  3. 3. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones. Maximizar Sujeto a: La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima. UNACH 2.013
  4. 4. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa CONTADOR DE COSTOS Las funciones del contador de costos siempre estarán dadas de acuerdo a las operaciones de la empresa y las necesidades que tenga la administración de la misma con relación al control de sus operaciones. Primer plano 1. Diseñar sistemas de control de costo 2. Planificar la organización de las estructuras para implementación de costo 3. Mantener actualizado el registro de los bienes de uso. 4. Controlar y contabilizar los movimientos de los almacenes. 5. Dirigir la toma de inventarios. 6. Proceder a la liquidación de los jornales. 7. Registrar la Producción. 8. Determinar los costos de producción. 9. Orientar la política de precios. 10. Controlar los resultados de la actividad fabril y comercial. 11. Confeccionar estadísticas. 12. Preparar presupuestos. Segundo plano (una vez organizada la empresa con nueva estructura de costos) 1. Estructurar y mantener actualizado el plan de cuentas de la contabilidad de costos. 2. Orientar los movimientos de ingresos y egresos de las fichas de existencias de materia prima, artículos generales y productos terminados. 3. Controlar mensualmente el relevamiento del inventario de las existencias en proceso de fabricación. 4. Establecer las variaciones entre los costos reales y los costos standard de las secciones fabriles e investigarlas, cooperando con la supervisión para subsanar las anormalidades causantes de las respectivas diferencias. 5. Efectuar reuniones con los jefes de fábrica para analizar y discutir resultados. 6. Promover trabajos generales de organización y estudio de sistemas que afecten a las áreas fabril, de servicio y comercial, hacerlos publicar y vigilar su aplicación. 7. Asesorar a la dirección, gerencias, y jefes de planta en cuestiones de costos relacionadas con ampliación o cierre de sectores de fábrica, artículos nuevos, modificación de horarios de trabajo, UNACH 2.013
  5. 5. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa instalación de nueva maquinaria, cambios de métodos o especificaciones, niveles óptimos de producción, etc. 8. Coordinar mensualmente el programa de las fechas de entregas de todos los trabajos administrativos que afecten a su departamento, para que el resultado de la operación se conozca antes del sexto día hábil del mes siguiente al que se registra. 9. Determinar precios orientativos de venta de los artículos producidos y mantener informada a la gerencia comercial sobre cualquier variación actual o futura de costos, que pueda repercutir en sus planes. 10. Asesorar a la misma gerencia en materia de política de precios; alternativas de mezcla, volumen y condiciones de venta, etc. 11. Calcular el monto invertido en cada línea de producto para poder relacionar las ganancias con el capital que las produce. 12. Vigilar la continua rotación de las existencias ejerciendo controles sobre los artículos sin movimiento y exigiendo a los responsables definición sobre su futuro destino. 13. Controlar y administrar el sistema de control presupuestario. 14. Fomentar, dentro y fuera del sector a su cargo, un espíritu afín con la atmósfera de costos, sea promoviendo reuniones con los jefes de fábrica, inspirando entre el personal una capacitación más eficiente y, en general, tratando de aprovechar todos los contactos con la supervisión para inculcarles ideas de beneficio común. 15. Lograr su vinculación a asociaciones que profundicen el estudio de las técnicas del costo de producción, analizar libros y publicaciones, asistir a conferencias y ponerse al corriente de las mejores prácticas modernas con miras a su posible aplicación en la empresa. UNACH 2.013
  6. 6. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL METODO GRAFICO Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Solución Es un problema de programación lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B inversión rendimiento Tipo A x 0,1x Tipo B y 0,08y 210000 0,1x+0,08y Condiciones que deben cumplirse (restricciones): R1 UNACH 2.013
  7. 7. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4 x y x y x y x y 0 210000 130000 0 0 60000 0 0 210000 0 130000 65000 La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E UNACH 2.013
  8. 8. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La función objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima. Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D) 2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de UNACH 2.013
  9. 9. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Solución En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos: Tipo Nº Bizcocho Relleno Beneficio T. Vienesa x 1.x 0,250x 250x T. Real y 1.y 0,500y 400y 150 50 Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema): Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible: Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200 x Y 0 100 200 0 Para x + y =150 x Y 0 150 150 0 La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125 Al eje Ox y =125 UNACH 2.013
  10. 10. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La región factible la hemos coloreado de amarillo: Encontremos los vértices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados) Se observa que la restricción y es redundante (es decir “sobra”) Resolviendo el sistema: , por reducción obtenemos y=50, x=100 Otro vértice es el punto C(100, 50) Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema: X+y=150 X=125 Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25) UNACH 2.013
  11. 11. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100), Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200 x Y 0 0 200 -125 Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 ) Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vértices La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos f(125,0)=31.250 UNACH 2.013
  12. 12. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa f(125,25)=31.250+10.000=41.250 f(100,50)=25.000+20.000=45.000 f(0,100)=40.000 El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales. 3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela. Solución Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo. Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x , y Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: 40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y UNACH 2.013
  13. 13. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Dibujamos las rectas auxiliares, r1 r2 r3 r4 x y x y x y x y 8 0 0 10 0 9 0 8 0 9 10 0 Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo. Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla. Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4 por reducción restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4 Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima . UNACH 2.013
  14. 14. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico). 4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja ca lidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. Solución Organizamos los datos en una tabla: días Alta calidad Calidad media Baja calidad Coste diario Mina A x 1x 3x 5x 2000x Mina B y 2y 2y 2y 2000y 80 160 200 La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y Las restricciones son: La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que determina el sistema de restricciones: UNACH 2.013
  15. 15. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén dentro de la región factible). r1 r2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo) r2 r3 que nos da el punto (20, 50) r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible. En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico) Lo comprobamos aplicando el método analítico: C(0, 100)=2000.100=200000 C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000 C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimo UNACH 2.013
  16. 16. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa C(80, 0)= 2000.80 =160000 5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar e lectricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este? Sea x = nº electricistas y = nº mecánicos La función objetivo f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones La región factible sería para estas restricciones: UNACH 2.013
  17. 17. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20). Por tanto: 20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000 6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas. Solución Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P. nº Ganancia Turista x 30x Primera y 40y Total 5000 30x +40y La función objetivo es: f(x, y)=30x +40y Las restricciones: La región factible: UNACH 2.013
  18. 18. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente) El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250) Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices en f y viendo q el máximo valor se obtiene en B) UNACH 2.013
  19. 19. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa EJEMPLO 1: Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. OBJETIVO : Maximizar el ingreso total. VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1). Cantidad de liquidaciones (X2). RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones. Maximizar Sujeto a: UNACH 2.013
  20. 20. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima. EJEMPLO 2. UNACH 2.013
  21. 21. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico. Los estudios de mercado han mostrado que: 1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial. 2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio. La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad. OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad. VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1). Anuncios para las familias de ingreso medio (X2). RESTRICCIONES : Porcentaje de presentación. Minimizar Sujeto a: UNACH 2.013
  22. 22. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa SOLUCION OPTIMA: EJEMPLO 3. UNACH 2.013
  23. 23. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %? Minimizar Sujeto a: SOLUCION OPTIMA: NOTA: Una desigualdad define un medio plano y una igualdad define una línea. UNACH 2.013
  24. 24. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Holgura Es todo recurso no utilizado, o capacidad no utilizada producto de una restricción de tipo ≤ Excedente Es todo exceso o supera a un producto de una restricción de tipo ≥ Cuando una de las variables de holgura o excedente tiene un valor mayor a cero (0.0) indica que la restricción a la cual está asociada es una restricción inactiva. Y cuando ese valor de la variable de holgura o excedente es cero (0.0), es porque la restricción a la cual están asociadas es una restricción activa. Dicho en otra forma, Una restricción será Activa, si al sustituir los valores de las variables de la solución óptima en dicha restricción, el valor resultante en su miembro izquierdo es igual al valor del miembro derecho (RHS). Un caso especial es el de la restricción de igualdad, donde este tipo de restricción siempre es activa. Si una restricción no es activa, se dice que es inactiva. Esto es cuando al sustituir los valores de las variables de la solución óptima en la restricción en cuestión, el valor resultante del lado izquierdo (de la restricción) no coincide con el valor del lado derecho de la restricción. UNACH 2.013
  25. 25. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa EL PROBLEMA DUAL En un modelo de programación lineal cada problema lineal t iene otro problema denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al Problema lineal original, llamado problema primal (PP) . Las relaciones las podemos enumerar como siguen: a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal. b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones o RHS del programa primal d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal. e) La matriz de coeficientes técnicos del problema duales la traspuesta de la matriz técnica del problema primal. f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del problema Primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. ( Ver tabla de TUCKER) g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un problema de Minimización h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original. Tabla de TUCKER MAXIMIZACION RESTRICCIONES ≤ ≥ = VARIABLES ≥ ≤ > < MINIMIZACIÓN VARIABLES ≥ ≥ > < RESTRICCIONES ≥ ≤ = Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal en forma canónica y ‘normalizada’, es decir, cuando llevan asociadas desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de minimización, y desigualdades menores o igual para los problemas de maximización. CONCLUSIÓN 1.- Si una restricción del primal es no saturada, entonces la variable de dual asociada debe ser nula. 2.- Si una variable de primal es positiva, entonces la correspondiente restricción del dual es una restricción saturada, es decir, se verifica como una igualdad. UNACH 2.013
  26. 26. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa EL MÉTODO SIMPLEX El Método Simplex es un procedimiento de cálculo algebráico, iterativo, para resolver Modelos Lineales de cualquier tamaño. El algoritmo Simplex requiere que el Modelo Lineal, para ser solucionado, cumpla las condiciones de Forma Estándar y Sistema Canónico. La Forma Estándar incluye: a) una Función Objetivo a optimizar b) lado derecho de las restricciones con valor positivo c) variables de decisión no negativas d) las restricciones deben ser expresadas como igualdades. Para transformar las restricciones en igualdades se deben incorporar las llamadas variables de holgura. Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Función Objetivo. Se suman en restricciones del Tipo ≤ y se restan en restricciones del Tipo ≥ En términos matemáticos, expresan la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de las restricciones. Al igual que las variables de decisión deben ser mayores o iguales a cero. En términos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relación a un máximo disponible (Parte ociosa de los recursos). Cuando la restricción es de una condición o requerimiento, representan la cantidad de esa condición o requerimiento que se obtiene por encima de un mínimo o que se deja de tener con relación a un máximo. El Sistema Canónico en un Modelo Lineal significa que debe existir una variable básica en cada restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que satisface todas las restricciones. Una variable básica tiene coeficiente 1 positivo en una restricción y no existe en las demás. Las variables de decisión (estructurales) del modelo y las variables de holgura pueden ser variables básicas. Cuando ninguna de ellas cumple con la condición de ser básica, se incorpora una variable como artificio matemático, para cumplir con el sistema canónico y a esa variable se le llama variable artificial. Una variable artificial debe tener incorporado un coeficiente muy alto en la Función Objetivo, con signo negativo en maximización y con signo positivo en minimización. Con esto se logra que el procedimiento Simplex las elimine de la solución en las primeras iteraciones. Estas variables deben valer cero en la solución óptima del modelo. Una Tabla Simplex es un resumen detallado de toda la información del modelo para trabajar más fácilmente con él. La siguiente tabla expresa cómo deben ser recogidos los datos para resolver el problema de programación líneal por el Método Simplex. Modelo de Tabla Simplex Itereración V.B. Ec. # Coeficientes L.D. Razón PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE POR EL MÉTODO SIMPLEX. FASE I: Preparar el modelo inicial para construir la tabla: 1) Transformar los términos independientes en positivos (multiplicando por -1). 2) Si en alguna restricción, hay un solo proceso que está contenida en ella sola, lo convertiremos en unitario (dividiendo por su coeficiente) y si no lo hago meteré una variable de holgura. 3) En las inecuaciones en las que encontramos ≤ introducimos una variable de holgura sumando. 4) En las inecuaciones en las que encontramos ≥ introducimos una variable de holgura restando y además una variable artificial sumando para que en dicha restricción haya un proceso unitario positivo. 5) En las igualdades se introduce una variable artificial sumando si en la misma no existe una variable unitaria positiva. 6) En toda restricción debe haber una variable unitaria positiva. UNACH 2.013
  27. 27. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa 7) Las variables de holgura, a la hora de introducirlas en la función objetivo lo haremos siempre con coeficiente cero, y las variables artificiales se introducen con el coeficiente –m si estamos maximizando 0 m si estamos minimizando. 8) Igualar a cero la función objetivo FASE II: Construir la tabla y resolver el algoritmo. Paso 1: Construir la tabla del método Simplex y rellenamos la tabla con los coeficientes. Comprobamos que las variables básicas tienen un coeficiente de 1 en la intersección de su renglón y columna correspondiente y cero en los demás renglones incluido la función objetivo. Si no es así (como en el caso de la existencia de variables artificiales, eliminamos el coeficiente m del renglón 0 utilizando como pivote la ecuación que incorpora la variable artificial) Paso 2: La S.B.F. es óptima, si y sólo si todos los coeficientes del renglón (0) son no negativos. De lo contrario se debe iterar. En Paso 3: Si comprobamos que hay coeficientes negativos en el renglón (0), marcamos el mayor en valor absoluto y esta será la variable no básica que entra a la base. Para determinar la variable básica que sale de la base, marcamos la columna debajo del coeficiente de la variable que entra y se le da el nombre columna pivote. Aplicamos la prueba del cociente mínimo para determinar cuál es la variable básica que sale. a) Elegimos los coeficientes de la columna pivote positivos b) Se divide cada coeficiente del lado derecho entre los coeficientes de la columna pivote c) Se identifica el renglón con la menor razón La variable básica para este renglón es la que sale y se le da el nombre de renglón pivote. La intersección entre la columna pivote y el renglón pivote lo denominamos número pivote. El patrón de coeficientes en la columna de la variable que entra en la base, debe quedar como actualmente está el patrón de coeficientes de la variable que sale. Paso 4: Calculamos los nuevos coeficientes de la matriz: a) Coeficientes del renglón de la variable que entra: Dividimos el renglón pivote entre el número pivote y el resultado serán los coeficientes del nuevo renglón de la variable que entra. b) Coeficientes de los demás renglones : Dividimos el nuevo renglón de la variable que entra por menos el coeficiente del de la variable que entra en el renglón que estamos calculando y al resultado, le sumamos el renglón que teníamos inicialmente Paso 5: Construimos la tabla con los resultados. Paso 6: En la nueva matriz, comprobamos los coeficientes del renglón cero, si todavía existen coeficientes negativos, se sigue iterando, de lo contrario hemos terminado y hallamos la solución óptima. UNACH 2.013
  28. 28. Investigación Operativa I Marlon Villa Villa Ejercicio Minimizacion Minimizar Z = 4X1 + 12X2 + 18X3 SA: X1 + 3X3 > 3 2X2 + 2X3 > 5 CNN: X1, X2, X3 > 0 PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MINIMIZACION, multiplique toda la expresión por (-1) para cambiar el signo "MAYOR QUE" a "MENOR QUE". Maximizar Z = -4X1 - 12X2 - 18X3 SA: -X1 - 3X3 < -3 -2X2 - 2X3 < -5 SE PROCEDE A RESOLVERLO DE LA SIGUIENTE FORMA 1. HACER CERO LA FUNCION "Z" 2. SELECCIONAR LA FILA "SOL" MAS NEGATIVA 3. DIVIDIR LA FILA"Z" ENTRE LA FILA MAS NEGATIVA PARA DETERMINAR LA COLUMNA MAS NEGATIVA UNACH 2.013

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