Gestión de Carteras                     Gerard Albà                Xavier Noguerola            FME UPC – Mayo 2012
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Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Cesta óptima   Este tipo de constr...
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  1. 1. Gestión de Carteras Gerard Albà Xavier Noguerola FME UPC – Mayo 2012
  2. 2. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1. Carteras óptimas 1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en modelos de un período. 1.2 Carteras eficientes de Markowitz. 1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo. 1.4 Cestas reducidas. Tracking error 2
  3. 3. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Rentabilidad – Consideramos una acción S con precio inicial S0 y final ST en los instantes de tiempo 0 y T respectivamente – La rentabilidad relativa (simple o continua) de esta acción será: ST − S 0 ST r = r = ln S0 ó S0 – La rentabilidad, más generalmente, incluye las ganancias de capital y dividendos en el periodo [0,T]: d + ST − S 0 r = S0 3
  4. 4. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers• La distribución de las rentabilidades diarias observadas para una acción se asemeja a la distribución estadística Normal. 4
  5. 5. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Sin embargo, la distribución observada a menudo muestra una cierta asimetría o mayor frecuencia de valores extremos (fat tails) que los predichos por la Normal.• Los parámetros usados para medir las desviaciones de la distribución observada respecto de la normal son el coeficiente de asimetría (skew) y la curtosis. 5
  6. 6. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Curtosis: es una medida de la existencia de fat tails en la distribución de rentabilidades E (r − r ) 4 K= σ4 – Si K>3, se tienen fat tails (Leptokurtosis, mayor probabilidad de que los retornos estén alejados de la media). – K=3 para la distribución Normal. 6
  7. 7. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Coeficiente de asimetría (sesgo, Skew): es una medida de la asimetría de la distribución respecto al promedio E (r − r )3 skew = σ3 – Si el coeficiente es positivo (negativo), la asimetría implica más peso a valores mayores (menores) que la media. – Skew = 0 para distribuciones simétricas. 7
  8. 8. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período. 8
  9. 9. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Si suponemos como modelo para la distribución de rentabilidades que es aproximadamente una Normal: – La probabilidad que la rentabilidad esté en un intervalo de longitud 1 x desviación típica alrededor de la media es aproximadamente 0.68 – La probabilidad que la rentabilidad esté en un intervalo de longitud 2 x desviación típica alrededor de la media es aproximadamente 0.95 – La probabilidad que la rentabilidad esté en un intervalo de longitud 3 x desviación típica alrededor de la media es aproximadamente 0.997 9
  10. 10. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• El parámetro que mide cuanto varían las rentabilidades respecto a su valor medio es la desviación típica σ (o volatilidad)• Un valor pequeño de σ indica que la mayoría de casos se concentran cerca del valor medio. Un valor grande de σ indica que los datos están más dispersos.• La volatilidad es una medida de Riesgo 10
  11. 11. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período. • La volatilidad histórica σ n de la rentabilidad r de una variable de mercado S en el instante n se puede calcular a partir de una muestra de m observaciones anteriores y el estimador estadístico no sesgado: 1 m σn = ∑ (rn−i − r ) 2 2 m − 1 i =1 – ri es la rentabilidad compuesta continua de la variable S entre los instantes ti-1 y ti. Es decir, si Si es el valor de S en el instante ti S ri = ln i S i −1 – r es la rentabilidad media: 1 m r = ∑ rn −i m i =1 11
  12. 12. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Supongamos que tenemos una cartera con N activos, sean: – Si el precio actual del activo i – ri la rentabilidad del activo Si en el periodo T. ri es una variable aleatoria, que supondremos con distribución de rentabilidades Normal de media µ i ⋅ T y desviación típica .σ i ⋅ T Las variables µ i y σ i corresponden a la media y volatilidad de la rentabilidad ri , que escalamos para el tiempo T. – ρ ij es la correlación entre las rentabilidades de los activos i y j. – wi es la cantidad (peso) del activo i en la cartera 12
  13. 13. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Cálculo correlaciones ρ ij a partir de rentabilidades observadas (correlación histórica): rti i = 1,..., N t = 1,..., mEstimadores estadísticos: ∑ (r )( ) m 1 Cov( ri , r j ) = i − rti rt j − rt j m −1 t t =1 Cov(ri , r j ) ρ ij = σ i ⋅σ j 13
  14. 14. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• El valor de la cartera es Π N Π = ∑ wi ⋅ S i i =1• Al final del periodo T, el valor de la cartera es: N Π + δΠ = ∑ wi ⋅ S i ⋅ (1 + ri ) i =1 14
  15. 15. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Considerando los pesos normalizados (suma=1): wi ⋅ S i Wi = N ∑w ⋅S i =1 i i• El cambio relativo (en porcentaje) de la cartera es: δΠ N = ∑ Wi ⋅ ri Π i =1 15
  16. 16. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• El valor de la rentabilidad esperada de la cartera es: 1  δΠ  N µ Π = E   = ∑ Wi ⋅ µ i T  Π  i =1• Y la desviación típica (volatilidad) de la suma de v.a: 1  δΠ  N N σΠ = T ⋅ var   = Π ∑ ∑W i =1 i =1 i ⋅ W j ⋅ ρ ij σ iσ j 16
  17. 17. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Si aceptamos la hipótesis de normalidad de los retornos: – Riesgo/Rentabilidad de un activo están caracterizados por Volatilidad y Rentabilidad Esperada. – Una Cartera de activos también tiene v.a. rentabilidad con distribución Normal (modelo). 17
  18. 18. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Diversificación. Efecto de reducción de riesgo que se produce al combinar adecuadamente los valores de una cartera.• Tradicionalmente, diversificar consistía en poseer valores en cada uno de los sectores existentes.• Markowitz cambia este concepto en busca de reducir el riesgo sin sacrificar rentabilidad, escogiendo en su cartera valores con covarianza (correlación) pequeña entre ellos. Un inversor puede reducir el riesgo eligiendo acciones cuyas oscilaciones no sean paralelas. La rentabilidad esperada y la volatilidad de cada valor no cambian con la diversificación, lo que varía es el riesgo de todos como unidad. 18
  19. 19. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• El riesgo de una cartera se divide en (veremos formalización en el apartado correspondiente al modelo Sharpe/CAPM): – Riesgo sistemático: inherente al mercado (no diversificable) – Riesgo no sistemático o específico: propio del título (diversificable) σ = βσ + σ 2 2 m 2 e 19
  20. 20. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Construyendo una cartera adecuadamente diversificada, el riesgo no sistemático (diversificable) es pequeño en comparación con el riesgo sistemático. Con lo que el riesgo total de la cartera está compuesto, básicamente, por el riesgo no diversificable.• Una manera de reducir el riesgo diversificable es aumentando el número de títulos 20
  21. 21. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.• Efecto del aumento del número de títulos sobre el riesgo de la cartera. Consideremos una cartera formada por N activos equiponderados (Wi = 1/N), N- La varianza media de sus activos será: ∑σ i 2 VarM = i =1 N ∑σ ij- Covarianza media: CovM = i< j (N − N ) 2 2 N ∑σ i 2 ∑σ i< j ij VarM ( N − 1) Por otro lado, la varianza de la cartera será: σ = +2 = + 2 i =1- Π 2 2 CovM N N N N- El riesgo de una cartera compuesta por “muchos activos” tiende a la covarianza media de éstos (ley de la covarianza media). Por otro lado, la covarianza media depende del número de activos N, de manera que su valor decrece cuando N crece σ Π N →∞ → CovM 2   21
  22. 22. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• ¿Qué cartera elegirías? 25% Re ndibilidad 20% E 15% A B 10% C D 5% 0% 0% 10% 20% 30% 40% Riesgo• Cartera eficiente, frontera eficiente. 22
  23. 23. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Comportamiento racional del inversor: desea rentabilidad y rechaza el riesgo• Leit Motiv: máxima rentabilidad posible con el mínimo riesgo.• Cartera óptima (eficiente): aquella que proporciona máxima rentabilidad para un nivel determinado de riesgo o mínimo riesgo para un nivel determinado de rentabilidad (Análisis de Media-Varianza) 23
  24. 24. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Una vez determinada la frontera eficiente, ¿cómo elegimos la cartera óptima para cada caso? La aversión al riesgo del inversor nos fijará el punto de la frontera eficiente que debemos elegir. 24
  25. 25. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Formulación del problema de hallar la Frontera Eficiente (conjunto de carteras óptimas), programación cuadrática: N – Maximizar: µ Π = ∑ Wi ⋅ µ i i =1 con las restricciones: N N σΠ = ∑ 2 ∑ W ⋅W i j ⋅ ρ ijσ iσ j = σ * i =1 j =1 N ∑W i =1 i =1 Wi ≥ 0 25
  26. 26. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Formulación del problema de hallar la Frontera Eficiente (conjunto de carteras óptimas), programación cuadrática: N N – O Minimizar : σΠ = ∑ 2 ∑ W ⋅W i j ⋅ ρ ijσ iσ j i =1 j =1 con las restricciones: N µ Π = ∑ Wi ⋅ µ i = µ * i =1 N ∑W i =1 i =1 Wi ≥ 0 26
  27. 27. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• La restricción Wi ≥ 0 significa que la posición en cada uno de los activos es larga (los activos están comprados). N• La restricción ∑W i =1 i = 1 significa que agotamos el presupuesto.• µ* y σ* son parámetros que hacemos variar dentro de un rango lógico de valores para obtener los puntos de la frontera eficiente. 27
  28. 28. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz Rentabilidades esperadas Volatilidades y Optimización de Frontera eficiente Correlaciones carteras Media-Varianza estimadas Restricciones sobre la Cartera composición de seleccionada la cartera 28
  29. 29. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers• El análisis de Markowitz también se puede formular mediante Lagrangianos (Ver: Handbook of Portfolio Construction, J B. Guerard).• Si consideramos el ratio de Sharpe de la cartera:• La cartera óptima se puede obtener resolviendo el sistema de ecuaciones: 29
  30. 30. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Ejemplo Volatilidades diarias anualizadas TEF 15.75% BBVA 15.82% ACX 20.08% Matriz de correlaciones: TEF BBVA ACX TEF 1 0.75 0.52 BBVA 0.75 1 0.45 ACX 0.52 0.45 1 30
  31. 31. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Carteras media-varianza para el ejemplo BBVA-ACX BBVA ACX rent volat 100% 0,00% 7,72% 15,82% 90% 10,00% 7,90% 15,26% 80% 20,00% 8,08% 14,92% 70% 30% 8,26% 14,82% 60% 40% 8,43% 14,97% 50% 50% 8,61% 15,35% 40% 60% 8,79% 15,96% 30% 70% 8,96% 16,76% 20% 80% 9,14% 17,73% 10% 90% 9,32% 18,84% 0% 100% 9,50% 20,08% 31
  32. 32. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Universo de carteras de inversión para el ejemplo BBVA-ACX Markowitz BBVA-ACX 10,00% 9,50% 9,00% 8,50% 8,00% 7,50% 7,00% 14,00% 15,00% 16,00% 17,00% 18,00% 19,00% 20,00% 21,00% 32
  33. 33. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Frontera eficiente de Markowitz BBVA-ACX Frontera eficiente BBVA-ACX 10,00% 9,50% 9,00% 8,50% 8,00% 7,50% 7,00% 14,00% 15,00% 16,00% 17,00% 18,00% 19,00% 20,00% 21,00% 33
  34. 34. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Resultados obtenidos para el ejemplo TEF-BBVA-ACX Markowitz TEF-BBVA-ACX 10.00% 9.50% 9.00% 8.50% 8.00% 7.50% 7.00% 6.50% 6.00% 5.50% 5.00% 4.50% 4.00% 14.00% 15.00% 16.00% 17.00% 18.00% 19.00% 20.00% 21.00% 34
  35. 35. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Comparación de resultados: añadir una acción más nos puede permitir reducir el riesgo pero no aumentar la rentabilidad ya que la cartera de 2 activos tiene la acción de máxima rentabilidad (ACX). TEF-BBVA-ACX BBVA-ACX 10.00% 9.50% 9.00% 8.50% 8.00% 7.50% 7.00% 6.50% 6.00% 5.50% 5.00% 4.50% 4.00% 14.00% 15.00% 16.00% 17.00% 18.00% 19.00% 20.00% 21.00% 35
  36. 36. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Modelo de Markowitz para carteras de 2 activos: µ Π = W1µ1 + W2 µ 2 σ 2 = W12σ 12 + W22σ 2 + 2W1W2 ρ12σ 1σ 2 Π 2 Donde, como agotamos el presupuesto, W2 = 1 − W1• Estudiemos el efecto de la correlación sobre la frontera eficiente: – Caso 1: Títulos independientes ρ12 = 0 – Caso 2: Títulos perfectamente correlacionados ρ12 = 1 – Caso 3: Títulos correlacionados de forma inversa ρ = −1 12 36
  37. 37. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Caso 1: ρ12 = 0 σ 2 = W12σ 12 + (1 − W1 ) 2 σ 2 Π 2 Buscamos el mínimo de esta función de variable w1 para obtener la cartera de mínima varianza y obtenemos que los pesos para la cartera de mínima varianza son: σ22 σ 12 W1 = 2 W2 = 2 σ1 + σ 2 2 σ1 + σ 2 2 Y para éstos, la rentabilidad esperada de la cartera es: µ1σ 2 + µ 2σ 12 2 µΠ = σ 12 + σ 2 2 37
  38. 38. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Caso 1: ρ12 = 0 Tenemos ya el primer punto de la frontera eficiente, el resto vendrá determinado por la parábola de ecuación:  σ 12 + σ 2  2  µ 2σ 12 + µ1σ 2  µ 2 σ 12 + µ12σ 2 2 2 2 σ Π = µΠ  2 2  (µ − µ ) 2  − 2µΠ  ( µ − µ ) 2  + ( µ − µ ) 2     1 2   1 2  1 2 38
  39. 39. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Gráficamente, tomando las rentabilidades y volatilidades de BBVA-ACX: 10,00% 9,50% 9,00% 8,50% 8,00% Correlación Cero Correlación real 7,50% 12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00% 39
  40. 40. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Caso 2: ρ12 = 1 σ 2 = W12σ 12 + (1 − W1 ) 2 σ 2 + 2W1W2σ 1σ 2 = (W1σ 1 + W2σ 2 ) 2 Π 2 Tenemos por lo tanto: σ Π = W1σ 1 + (1 − W1 )σ 2 Y esta vez la ecuación de la frontera eficiente será la recta:  σ 2 − σ 1   µ 2σ 1 − µ1σ 2  σ Π = µΠ   µ −µ + µ −µ      2 1   2 1  40
  41. 41. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Gráficamente, tomando las rentabilidades y volatilidades de BBVA-ACX: 10,00% 9,50% 9,00% 8,50% 8,00% Correlación Cero Correlación real Correlación 1 7,50% 12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00% 41
  42. 42. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Caso 3: ρ12 = −1 σ 2 = W12σ 12 + (1 − W1 ) 2 σ 2 − 2W1W2σ 1σ 2 = (W1σ 1 − W2σ 2 ) 2 Π 2 Tenemos por lo tanto: σ Π = W1σ 1 − (1 − W1 ) ⋅ σ 2 Y esta vez la ecuación de la frontera eficiente serán 2 rectas:   σ 1 + σ 2   µ1σ 2 + µ 2σ 1   σ Π = ± µ Π    µ − µ − µ − µ       1 2   1 2  42
  43. 43. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Caso 3: ρ12 = −1 En este caso obtenemos una cartera de riesgo nulo cuando: σ2 W1σ 1 = (1 − W1 )σ 2 ⇒ W1 = σ1 + σ 2 que tiene una rentabilidad esperada de: µ1σ 2 + µ 2σ 1 µΠ = σ1 + σ 2 Notemos que, por tanto, podemos tener una cartera de riesgo nulo si partimos de dos activos perfectamente “descorrelacionados”. 43
  44. 44. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Gráficamente, tomando las rentabilidades y volatilidades de BBVA-ACX: 10,00% 9,50% Correlación Cero 9,00% Correlación real Correlación 1 8,50% Correlación -1 8,00% 7,50% 0,00% 3,00% 6,00% 9,00% 12,00% 15,00% 18,00% 21,00% 44
  45. 45. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Gráficamente, tomando las rentabilidades y volatilidades de BBVA-ACX: 10,00% 9,50% Corr: 0 9,00% Corr: real Corr: 1 Corr: -1 8,50% Corr: - real 8,00% 7,50% 0,00% 3,00% 6,00% 9,00% 12,00% 15,00% 18,00% 21,00% 45
  46. 46. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.2 Carteras eficientes de Markowitz• Triángulo de diversificación de Markowitz: – Espacio delimitado por las fronteras eficientes correspondientes a las correlaciones extremas ( ± 1) – Los vértices de este triángulo son las carteras de máxima y mínima rentabilidad y la de riesgo nulo:  µ1σ 2 + µ 2σ 1  (σ 1 , µ1 ), (σ 2 , µ 2 ) y  0,    σ1 + σ 2   – En el gráfico del triángulo de Markowitz observamos que a medida que desciende la correlación, desciende el riesgo de la cartera. 46
  47. 47. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• El modelo de Tobin es una variante del modelo de Markowitz que introduce en el análisis un activo con volatilidad nula (activo libre de riesgo del mercado monetario).• Este modelo presenta este activo como una tasa de interés a la que podemos invertir o endeudarnos sin riesgo. Esto es, si denominamos W0 al peso del activo libre de riesgo, W0 <0 significará endeudamiento. 47
  48. 48. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• Formulación del modelo de Tobin para N activos: N −1 N −1 Minimizar σΠ = ∑ ∑W ⋅ W j ⋅ ρ ij σ i σ 2 i j i=0 j=0 con las restricciones N −1 ∑ Wi ⋅ µ i = µ * i =0 N −1 ∑W i =0 i =1 Wi ≥ 0, ∀i = 1K N - 1 48
  49. 49. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• Modelo de Tobin para 2 activos Consideramos el activo libre de riesgo y un activo con riesgo. Sean (0, µ 0 ) y (σ 1 , µ1 ) sus parámetros. Notemos que la covarianza entre estos activos es 0 (al ser 0 la volatilidad del activo libre de riesgo) y, por tanto, la función objetivo es: σ Π = W12σ 12 2 49
  50. 50. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• De esta forma, la frontera eficiente que obtenemos con un activo libre de riesgo y otro con riesgo degenera en la recta que une los puntos que los representan en el espacio de rentabilidad/varianza. Y tiene por ecuación:  µΠ − µ0  σΠ =   µ − µ σ 1   1 0  o, de manera equivalente: µΠ = µ0 + (µ1 − µ0 ) σ Π σ1 50
  51. 51. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• Tobin para 2 activos W0=0 12% 10% 8% Rent. 6% 4% 2% W0>0 W0<0 0% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% Riesgo 51
  52. 52. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers 1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• En general, la frontera eficiente de Tobin para N activos será, del conjunto de rectas que unen el activo libre de riesgo a la frontera eficiente de Markowitz para los N-1 activos restantes, aquella cartera que es tangente a la frontera eficiente de Markowitz. 16% 14% Rentabilidad 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Riesgo 52
  53. 53. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• Ecuación de la frontera eficiente de Tobin para N activos – Extrapolando el resultado obtenido para 2 activos obtenemos que, si denominamos µT a la rentabilidad esperada de la cartera de Markowitz en el punto de tangencia y σ T a su volatilidad, la ecuación de la frontera eficiente de Tobin es la recta del plano de Riesgo/Rentabilidad que pasa por estos 2 puntos: µΠ = µ0 + (µT − µ0 ) σ Π σT 53
  54. 54. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• Esta recta tangente se denomina Línea de Mercado de Capitales (Capital Market Line).• El punto de tangencia corresponde a una cartera que no contiene el activo sin riesgo. Se denomina cartera de mercado.• Todas las carteras óptimas se pueden escribir como combinaciones de estas dos carteras: la libre de riesgo y la de mercado. Una vez conocida la composición de la cartera de mercado, la composición de la cartera óptima será: W0 , (1−W0 )WiT ∀i =1KN −1 donde Wi T es la composición de la cartera de mercado. 54
  55. 55. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• Las carteras a la izquierda de la Cartera de Mercado son carteras en las que invertimos parte del capital disponible en el activo sin riesgo y otra parte en la Cartera de Mercado y las carteras a la derecha de la Cartera de Mercado son aquellas en las que tomamos prestado dinero a la tasa del activo sin riesgo para invertir más capital en la Cartera de Mercado. (µ T − µ 0 )• La pendiente de la CML σ T mide el rendimiento extra que exige el mercado por unidad de riesgo. 55
  56. 56. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• Teorema de separación de Tobin Todos los inversores que decidan invertir sólo en activos de riesgo invertirán en la Cartera de Mercado. Ahora bien, el inversor puede tomar la decisión de invertir en un activo libre de riesgo o una decisión de financiamiento. 56
  57. 57. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.• En realidad, no existe una tasa igual para el endeudamiento y para la inversión sino que la tasa µ 0 a la que podemos I invertir es menor a la de endeudamiento µ 0 E En este caso, la frontera eficiente de Tobin se convierte en: W0E = 0 Rentabilidad W0I = 0 Riesgo 57
  58. 58. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Gestión pasiva: “seguir” al mercado.• El mercado está representado por los diferentes índices (Ibex-35, Eurostoxx50, S&P 500…)• Replicar a los índices puede ser un método de cobertura o arbitraje respecto a los futuros de los índices. 58
  59. 59. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Fondos cotizados (ETF, Exchange Traded Funds): – Se trata de híbridos entre fondos de inversión y acciones. – Son carteras que, al igual que muchos fondos, suelen replicar a un índice pero que se negocian en bolsa como las acciones. – Ventajas: • frente a las acciones: diversificación (comprando un ETF se puede invertir en todo un mercado). • Frente a los fondos de inversión: mayor liquidez y menores comisiones. 59
  60. 60. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• ¿Cómo replicar a un índice? – Comprando los mismos activos que componen el índice de manera que tengan en nuestra cartera el mismo peso que tienen en el índice. – Con cestas reducidas: intentan conseguir “el mismo comportamiento” del índice pero con menos valores. 60
  61. 61. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Factores que determinan una cesta reducida: – Número de acciones con el que se desea replicar al índice. – Las acciones que la forman (criterio de capitalización, por sectores,…). – El peso de estas acciones en la cesta. 61
  62. 62. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• El número de acciones lo fijará el gestor, las acciones que formen parte de la cesta y su peso es lo que hemos de hallar.• Observemos que una vez determinado el peso de las acciones en la cesta, el número de títulos que compraremos de cada una de ellas será: Wi × valor índice Si 62
  63. 63. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Cesta Reescalada. Ordenar los valores del índice de mayor a menor peso y quedarnos con los N primeros, siendo N el número de activos que deseamos tener en la cesta reducida. Una vez elegidos los valores, determinaremos el peso de manera que las proporciones entre los distintos valores elegidos sean las mismas que las existentes entre dichos valores en el índice. 63
  64. 64. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Cesta Reescalada Sean xi , i = 1K m los pesos de las m acciones que componen el índice de manera que xi ≥ xi +1 Según el procedimiento anterior, elegiríamos las N primeras acciones y calcularíamos sus pesos según la siguiente expresión: xi Wi = N ∀i = 1K N ∑x j =1 j 64
  65. 65. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Ejemplo IBEX-35 con 10 valores % en IBEX % en cesta TEF SM 18.75% 24.94% SAN SM 16.33% 21.72% BBVA SM 11.81% 15.71% REP SM 6.91% 9.19% IBE SM 5.21% 6.93% ELE SM 5.11% 6.80% POP SM 3.35% 4.46% ALT SM 2.68% 3.57% ABE SM 2.56% 3.40% ITX SM 2.47% 3.29% 75.17% 100.00% 65
  66. 66. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• El método de la “cesta reescalada” no se fija en el comportamiento del índice de referencia (benchmark) sino que sólo confía en que replicando las relaciones de los valores principales del índice repliquemos también su comportamiento. 66
  67. 67. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Cesta óptima Este tipo de construcción se basará en intentar replicar los valores de rentabilidad y riesgo del índice. Introducimos un nuevo concepto: Tracking Error. 67
  68. 68. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Tracking Error (TE) El TE es una medida de la diferencia existente entre las rentabilidades de la cesta reducida y las del índice que replica. Su cálculo expresado en forma matricial sería: ( xcr − xind )T Cov( xcr − xind ) donde Cov es la matriz de covarianzas de los valores del índice, xind es el vector que contiene los pesos de los valores del índice y xcr es el vector que contiene los pesos de los valores que forman parte de la cesta reducida (máximo N elementos distintos de 0). 68
  69. 69. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Cesta óptima Nuestro problema vuelve a ser pues la resolución de un problema de optimización, debemos minimizar el TE. En este caso, podemos resolver el problema de dos formas distintas: - introduciendo variables binarias - mediante un proceso iterativo 69
  70. 70. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error. Si planteamos nuestro problema de optimización como: Minimizar TE m con las restricciones xcr ≥ 0 y ∑ xcr = 1 i i =1 El programa de optimización nos dará como resultado los pesos de los activos en el índice puesto que no estamos indicando que deseamos un número menor de activos. 70
  71. 71. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Cesta óptima-Variables binarias Para introducir en el modelo de optimización el número de valores que queremos que tenga la cesta reducida debemos introducir variables binarias bi , i = 1K m tales que: bi = 1 ⇔ xcr > 0 i bi = 0 en otro caso m ∑b i =1 i =N 71
  72. 72. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error. • Ejemplo IBEX-35 con 10 valores % cesta % cesta rsc. núm títulos ópt. núm títulos TEF SM 24.94% 171 TEF SM 20.81% 143 SAN SM 21.72% 216 SAN SM 17.75% 177 BBVA SM 15.71% 117 POP SM 13.67% 26 REP SM 9.19% 42 ELE SM 13.14% 71 IBE SM 6.93% 31 ABE SM 12.38% 65 ELE SM 6.80% 37 BBVA SM 9.58% 72 POP SM 4.46% 8 AMS SM 5.19% 66 ALT SM 3.57% 10 UNF SM 3.65% 14 ABE SM 3.40% 18 IDR SM 3.15% 21 ITX SM 3.29% 13 MAP SM 0.68% 5 100.00% 100.00% 72
  73. 73. Tècniques quantitatives per als Mercats Financers1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.• Cesta óptima-proceso iterativo El proceso iterativo consiste en, realizar el primer proceso de optimización eliminando el valor con menor peso en el índice. Del vector de pesos obtenido como solución al minimizar el TE, eliminar aquellos con peso nulo y nuevamente el de menor peso de los restantes. Así sucesivamente hasta que tengamos el número de valores deseado.• En cualquiera de los problemas de optimización propuestos podemos añadir las restricciones que deseemos en función de normativas a cumplir, decisiones del inversor, deseos de rentabilidad, etc 73

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