Teoria de carteras

Teoría de PortfolioTeoría de Portfolio
Chile
Escuela de Ingeniería Comercial
K&E Design ® 2000

Chile
Cartera y CarteraCartera y Cartera
EficienteEficiente
CarteraCartera, es la combinación de activos o títulos
financieros.
Cartera EficienteCartera Eficiente, es el conjunto de inversiones
eficientes que proporcionan el retorno
esperado mas alto posible para cualquier
nivel de riesgo o el nivel de riesgo más bajo
posible para cualquier retorno
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Selección de Títulos BajoSelección de Títulos Bajo
Condiciones de RiesgoCondiciones de Riesgo
Se seleccionan las alternativas de inversión en base a:
Retorno Esperado, y
Varianza o Desviación Estándar.
Y se eligen aquellos títulos que no se dominan entre sí.Y se eligen aquellos títulos que no se dominan entre sí.
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Retorno EsperadoRetorno Esperado
y Riesgoy Riesgo
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n
E(Ri) = Σ Pij * Rij
j=1
Retorno Esperado =Retorno Esperado =
2 n _
σy = Σ Pij * (Rij – Ri)2
j=1
Varianza =Varianza =

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Rendimiento y Rendimiento EsperadoRendimiento y Rendimiento Esperado
de una Cartera de Dos Activosde una Cartera de Dos Activos
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Rp = ϖ Rs + (1-
ϖ)Rc
E(Rp) = ϖ Ε(Rs) + (1− ϖ)E(Rc)
Donde:Donde: ϖϖ = Porcentaje a invertir en ACTIVO S= Porcentaje a invertir en ACTIVO S
(1 –(1 – ϖϖ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

Chile
Varianza de Una Cartera de Dos ActivosVarianza de Una Cartera de Dos Activos
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Donde:Donde: ϖϖ = Porcentaje a invertir en ACTIVO S= Porcentaje a invertir en ACTIVO S
(1 –(1 – ϖϖ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C
n
ΣPij [Ri – E(R) ]2
i=1
VAR(R) =VAR(R) =
2
ϖ VAR(Rs) + 2ϖ (1 – ϖ) COV(Rs,Rc) + (1-ϖ)2
VAR(Rc)VAR(RVAR(Rpp) =) =

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Varianza del Portfolio,Varianza del Portfolio, σσpp22
Es el valor esperado de las desviaciones al cuadrado de los retornos del
portfolio respecto a los del retorno medio.
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σp2
= E (Rp – Rp)2
_ _
σp2
= E [X1*R1j + X2*R2j – X1Ri + X2*R2]2
Distintos Retornos del
Valor 1
_
Rp_ _
σp2
= E [X1(R1j – Ri) + X2 (R2j – R2)]2
_ _
σp2
= X1
2
σ1
2
+ 2X1X2 E [(Rij – Ri) (R2j – R2)] +X2
2
σ2
2
_ _
E [(Rij – Ri) (R2j – R2)] Es la CovarianzaCovarianza y se designa: σσ1212
σp2
= X1
2
σ1
2
+ X2
2
σ2
2
+ 2X1X2 σ12

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Perfecta Correclación Positiva:Perfecta Correclación Positiva:
ρρ== ++11
Luego:
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σp2
= [X2
2
σc
2
+ (1 –Xc)2
σs
2
+2Xc (1 – Xc) * 1 * σc * σs]1/2
Esto es (XEsto es (Xccσσcc + (1 – X+ (1 – Xcc)) σσss))22
σp= Xc σc + (1 – Xc) σs
_ _ _
Rp = XcRc + (1 – Xc) Rs
yy
O sea, cuando ρρ = +1= +1 El Riesgo y RetornoEl Riesgo y Retorno son una Combinación Lineal.Combinación Lineal.
En este caso de Perfecta Correlación el R yR y σσ,, de un Portfolio de 2
activos es Promedio Ponderado del Retorno y RiesgoPromedio Ponderado del Retorno y Riesgo de los activos
individuales, o sea, no se Diversifica el Riesgono se Diversifica el Riesgo

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Perfecta Correclación Negativa:Perfecta Correclación Negativa:
ρρ== --11
Luego:
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σp= [Xc
2
σc
2
+ (1 –Xc)2
σs
2
-2Xc (1 – Xc)σc σs]1/2
σp= Xc σc - (1 – Xc) σs
_ _ _
σp = -Xcσc + (1 – Xc) σs
óó
El valor de σp será siempre menorserá siempre menor que cuando ρ = +1. Es
mas, cuando ρ = -1 , se puede encontrar una combinación
con Cero Riesgocon Cero Riesgo

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No Correclación entre Activos:No Correclación entre Activos:
ρρ= 0= 0
El Retorno no varía, pero:
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σp= [Xc
2
σc
2
+ (1 – Xc)2
σs
2
]1/2
Xc = σs
2
− σcσs ρcs
_______________________
σc
2
+ σs
2
– 2σcσsρcs
En esta situación hay un punto donde el riesgo es menor.
Esto puede obtenerse de:
σp= [Xc
2
σc
2
+ (1 – Xc)2
σs
2
+ 2Xc (1-Xc) σcσsρcs]1/2
Sacar la primera derivada e igualar a cero, (dσp/dXc=0)
Igualando a cero:

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Proporciones Óptimas a Invertir aProporciones Óptimas a Invertir a
Invertir en una Cartera de 2 ActivosInvertir en una Cartera de 2 Activos
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ϖs = desv.C (desv.C – coef.correl.(c,s) * desv.S)
varianza S + varianza C – 2Cov c,s
Donde:Donde: ϖϖ = Porcentaje a invertir en= Porcentaje a invertir en ACTIVO SACTIVO S
(1 –(1 – ϖϖss) = Porcentaje a invertir en) = Porcentaje a invertir en ACTIVO CACTIVO C

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CovarianzaCovarianza
Es una medida de cómo los retornos de los activos o
títulos se mueven juntos.
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NN _ __ _
Cálculo:Cálculo: σs,c = Σ (Rsj – Rs)(Rcj – Rc)*Pj
J=1
Donde:Donde: Rs = Retorno título SRs = Retorno título S
Rc = retorno título CRc = retorno título C
Pj = Probabilidad de ocurrencia de los distintos retornos.Pj = Probabilidad de ocurrencia de los distintos retornos.

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Varianza de unaVarianza de una
Cartera de N ActivosCartera de N Activos
En una cartera de N activos se tienen:
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N 2 N-1 NN 2 N-1 N
VAR( R ) =VAR( R ) = Σ ϖj VARj + 2 Σ Σ ϖj ϖi COV(ij)
J=1 j=1 I=1
j=/=i
Donde:Donde: ϖϖy = Proporción de la inversión asignada al valor jy = Proporción de la inversión asignada al valor j
ϖϖi = Proporción de la inversión asignada al valor ii = Proporción de la inversión asignada al valor i
N = Número de valores de la cartera.N = Número de valores de la cartera.
N varianzasN varianzas
N (N – 1) CovarianzasN (N – 1) Covarianzas

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Si en una cartera de N títulos se invierte en cada
título [1/N], la varianza de cartera.
Queda expresada de la siguiente forma:Queda expresada de la siguiente forma:
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N N NN N N
σσ22
(c)(c) == Σ [1/Ν]2
∗ σ2
j + Σ Σ [1/Ν][1/Ν] σ(ij)
J=1 j=1 I=1
j=/=i

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__ ____ __
σσ22
(c)(c) ==
[1/Ν] σ2
j +[(Ν−1)/Ν] σ(ij)
Al efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer término deAl efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer término de
la expresión anterior, y por [(N-1)/N] en el segundo término, sela expresión anterior, y por [(N-1)/N] en el segundo término, se
llaga a lo siguiente:llaga a lo siguiente:

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De la anterior fórmula se desprende que:
1. La contribución de la varianza de los activos individuales
respecto a la varianza y la cartera tiende a cero en la medida
que N sea grande.
2. Sin embargo, la contribución de las covarianzas se aproxima
al promedio de las covarianzas cuando N aumenta. Esto
implica que una parte del riesgo de la cartera
(Riesgo de MercadoRiesgo de Mercado), no se puede eliminar a través de la
diversificación.

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Cjto. de Oportunidades de Cartera yCjto. de Oportunidades de Cartera y
Cjto. Eficiente con Muchos Activos RiesgososCjto. Eficiente con Muchos Activos Riesgosos
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ConjuntoConjunto
EficienteEficiente
CC
AA
O(RO(Rpp))
E(RE(Rpp))

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Cartera ÓptimaCartera Óptima
Aquella que es tangentetangente a la
frontera eficiente con la más
alta curva de iso – utilidad del
inversionista
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Retorno Vapores
-5,00
0,00
11,25
15,00
20,00
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Retorno Papeles-Cartones
0,00
5,00
8,75
10,00
15,00
Probabilidad
10%
20%
40%
20%
10%
EjemploEjemplo

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Cálculo de los RetornosCálculo de los Retornos
Esperados de cada TítuloEsperados de cada Título
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E(Rv) = 9,0
E(Rv) = -5*0,10 + 11,25*0,40 + 15*0,20 + 20*0,10
E(Rp-c) = 8,0
E(Rp-c) = 5*0,20 + 8,75*0,40 + 10*0,20 + 15*0,10

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Cálculo del RiesgoCálculo del Riesgo
de Cada Títulode Cada Título
σv = 7,5581
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σ(p-c) = 3,7583
¿Los títulos de Vapores y Papeles – CartonesVapores y Papeles – Cartones
son inversiones eficientesinversiones eficientes para formar una cartera?.
Si puesto que: E(RE(Rvv) > E(R) > E(Rp-cp-c))
σσ(R(Rvv) >) > σσ(R(Rp-cp-c))
El Coeficiente de CorrelaciónCoeficiente de Correlación entre los títulos Vapores y Papeles-CartonesVapores y Papeles-Cartones,
es de –0,5

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Vapores
10 millones
8 millones
5 millones
3 millones
1 millón
0 millón
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Papeles-Cartones
0 millón
2 millones
5 millones
7 millones
9 millones
10 millones
EjercicioEjercicio
Calcular el Retorno y el Riesgo de una Cartera, si se invierte:

Chile
Retorno Cartera
a. Rc= 100%*9 + 0%*8
b. Rc= 9
c. Rc= 8,8
d. Rc= 8,5
e. Rc= 8,3
f. Rc= 8,1
g. Rc= 8,0
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EjercicioEjercicio
Riesgo Cartera
a. σc= 7,5581
b. σc= 5,7079
c. σc= 3,2728
d. σc= 2,4693
e. σc= 3,0751
f. σc= 3,7583

Chile
EjercicioEjercicio
¿ Cuáles son las proporciones óptimas a invertir en cada
título para que el Riesgo de la cartera sea mínimo?
En Vapores se debe invertir 28,43% y enEn Vapores se debe invertir 28,43% y en
Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto.Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto.
Luego:Luego:
E (Rc) = 8,2843E (Rc) = 8,2843
σσ (c) = 2,4637(c) = 2,4637
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Modelo de Fijación de PreciosModelo de Fijación de Precios
de Activos de Capitalde Activos de Capital
(C.A.P.M.)(C.A.P.M.)
Chile
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Chile
C.A.P.M.C.A.P.M.
1.1. Supuestos:Supuestos:
Mercado perfecto o eficiente.
2.2. Presencia del Activo de Cero Riesgo.Presencia del Activo de Cero Riesgo.
Combinar cualquier cartera de la frontera eficiente
formada con activos riesgosos, con un activo sin riesgo.
Retorno de activos sin riesgo (RF) con cartera de activos
riesgosos (RM)* son independientes. Luego covarianza
entre ellos es igual a cero.
* RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la economía.* RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la economía.
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C.A.P.M.C.A.P.M.
a. Retorno Cartera = E(Rp)= (1-x)RF + x E(RM).
b. Riesgo Cartera = σ2
Rp = [x2
σ2
] E(RM).
Despejando x de bb, se tiene:
X= σ (Rp)
S (RM)
Reemplazando la x calculada en el punto anterior, en
E(Rp), se tiene la “Línea de Mercado de Capitales”.“Línea de Mercado de Capitales”.
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EcuaciónEcuación
Línea de Mercado de Capitales L.M.C.Línea de Mercado de Capitales L.M.C.
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E(RM) - RF
E(Rp) = RF + ----------------- σ(Rp)
σ (RM)
Donde: E(RDonde: E(Rpp) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la
CML, es decir, combinaciones de RF y de RM.CML, es decir, combinaciones de RF y de RM.
RRFF = Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de crédito.= Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de crédito.
E(RE(RMM) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M.) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M.
σσ (R(RMM) = Desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de) = Desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de
mercado.mercado.
σσ (R(Rpp) = Desviación estándar de las carteras a lo largo de la CML.) = Desviación estándar de las carteras a lo largo de la CML.

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L.M.C. Y Frontera EficienteL.M.C. Y Frontera Eficiente
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E(RE(Rpp))
o(Ro(Rpp))OOMM
RRFF
E(RE(RMM))
L.M.C.
JJ
MM
FRONTERA
EFICIENTE
Pendiente= E(RM) – RF =
OM
Precio dePrecio de
EquilibrioEquilibrio
del Riesgodel Riesgo

Chile
Retorno Esperado deRetorno Esperado de
un Título Individualun Título Individual
El C.A.P.M. Indica que el retorno esperado de
cualquier activo individual se obtiene en el punto
donde se iguala la pendiente de la Frontera Eficientese iguala la pendiente de la Frontera Eficiente
con la pendiente de la L.M.C.con la pendiente de la L.M.C.
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Pendiente L.M.C.Pendiente L.M.C. == d E(Rd E(Rpp)) == E(RE(RMM) – R) – RFF
dd σσ(R(Rpp) =) = σσ (R(RMM))

Chile
Pendiente dePendiente de
la Frontera Eficientela Frontera Eficiente
La pendiente de la Frontera Eficiente se determina de la
siguiente manera:
a.a. Se forma una nueva cartera compuesta por dos activos:Se forma una nueva cartera compuesta por dos activos:
Ri = retorno de activo i.
RM= Cartera de mercado.
b. E(Rb. E(Rpp) = x * E(R) = x * E(Rii) + (1-x) E(R) + (1-x) E(RMM).).
σ2
(Rp) = x2
* σ2
(Ri) + (1-x)2
* σ2
(RM) + 2x(1-x) cov (Ri,RM)
x = Porcentaje a Invertir en Ri.
(1-x) = Porcentaje a Invertir en RM.
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c.c. Luego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta dada porLuego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta dada por
la derivada implícita.la derivada implícita.
dE(Rp)dE(Rp)
dE(Rp) = dx = [E(Ri) – E (RM)] * σ(RM)
dσ(Rp) = dσ (Rp) cov (Ri,RM) – σ2
(RM)
dx
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Al igualar ambas pendientes:Al igualar ambas pendientes:
[E(R[E(Rii) – E(R) – E(RMM)])] σσ(R(RMM)) == E(RE(RMM) –R) –RFF
Cov (RCov (Rii,R,RMM) –) – σσ2(R2(RMM)) σσ(R(RMM))
Y despejando E(RY despejando E(Rii), se obtiene:), se obtiene:
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E(RE(Rii) = R) = RFF ++ E(RE(RMM) – R) – RFF * cov (R* cov (Rii, R, RMM))
σσ22
(R(RMM))
La anterior ecuación, indica que existe unaLa anterior ecuación, indica que existe una relación linealrelación lineal entreentre retornoretorno
esperado de un activo individualesperado de un activo individual y suy su covarianza con el mercado.covarianza con el mercado.

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EcuaciónEcuación
Línea de Mercado de Valores L.M.V.Línea de Mercado de Valores L.M.V.
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E(Ri) = RF +[ E(RM) – RF] βi
Donde: E(Ri) = Rendimiento esperado o ex ante sobre l a i-ésima acción.
RF = Tasa de rendimiento sobre un activo libre de riesgo.
(RM) = Rendimiento esperado o ex ante sobre la cartera de mercado.
βi = Medida de riesgo sistemático de la i-ésima acción, tal que:
ββii == cov (Rcov (Rii,R,RMM))
σσ22
(R(RMM))

Chile
E(RE(Rii))
PorcentajePorcentaje
ββii00
Recta del Mercado de ValoresRecta del Mercado de Valores
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ββMM=1.0=1.0
RRFF=5=5
E(RE(RMM)=)=1111
L.M.V.L.M.V.
1.51.50.50.5
Pendiente= E(RM) – RF) = 11-5 = 6%
βMM – 0 1-0

Chile
Comparación entreComparación entre
la L.M.C. y la L.M.V.la L.M.C. y la L.M.V.
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E(Rp)
o(Rp)OM
RF
E(RM)
L.M.C.
MM
E(Rj)
βj
βA
RF
E(RA)
L.M.V.
MM
E(RM)
βM=1
a. Recta del Mercado de Capitales b. Recta del Mercado de Valores

Chile
Riesgo Sistemático o BetaRiesgo Sistemático o Beta
Beta de un activo i,Beta de un activo i, es la medida de volatilidad de los
retornos de este, en relación con los retornos de la
cartera.
Por lo tanto:
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E(RE(Rii) = R) = RFF ++ ββii [ E(R[ E(RMM) – R) – RFF]]
DondeDonde βii == cov (Rcov (Rii ,R,RMM))
σ2
(RMM)

Chile
Riesgo sistemático o BetaRiesgo sistemático o Beta
Luego el Retorno EsperadoRetorno Esperado de cualquier
activo, es igual a la tasa de Cero Riesgo Res igual a la tasa de Cero Riesgo RFF,,
más un premio por el riesgoun premio por el riesgo, que esta dado
por el diferencial entre retorno esperado de
la cartera menos la tasa de cero riesgo,
multiplicado por el Riesgo Sistemático o
Beta
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Aplicación EmpíricaAplicación Empírica
del C.A.P.M.del C.A.P.M.
(Rit – RFt) = αi βi (RMt – RFt) + eit
Donde:
Rit = Retorno de la acción i, en el período t.
RFt = tasa libre de riesgo, en el período t.
αi = Intersección de la Línea CaracterísticaLínea Característica con el eje
vertical.
βi = pendiente de la Línea Característica.Línea Característica.
eit = Error aleatorio, independiente del comportamiento
del mercado.
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Línea CaracterísticaLínea Característica
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β= 0,89β= 0,89
Exceso rendimiento Mercado
Exceso rendimiento Empresa A
α = 0

Chile
Modelo de PreciosModelo de Precios
de Activos de Capitalde Activos de Capital
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ββ
α
Retorno en Exceso del Mercado
Retorno en Exceso de la Acción
Riesgo No
Sistemático
α debería ser = 0
Entonces Rj – RF = α + (RM – RF) β

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Ajuste deAjuste de ββ por Levaragepor Levarage
Modelo de HamadaModelo de Hamada
Dados:
RF = Tasa libre de riesgo.
RM = Retorno promedio del mercado.
Βu = En ausencia de Leverage.
D/P= Deuda / patrimonio.
T = Tasa de Impuestos.
R = Tasa Pura + Riesgo Negocio * Riesgo Financiero
= RF + (RM – RF) * βu * [ 1 + (D/P) * (1 – T)]
O sea:
β = βu * [ 1 + (D/P) * (1 – T)]
Y :
βu = β / [ 1+ (D/P) * (1 – T)]
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