Teoria moderna de carteras

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Fernando Ruiz García, CAIA
Teoría Moderna de Carteras

2
Conceptos básicos.
Teoría moderna de carteras.
Modelo de mercado.
Capital Asset Pricing Model.
Evidencia Empírica.
Índice

Conceptos básicos

44
Desde la aparición de los primeros trabajos de Markowitz en los años cincuenta, la teoría de carteras se ha
basado en el supuesto de que a los inversores sólo les preocupa el rendimiento esperado (media) y la
incertidumbre asociada a este rendimiento (varianza), a la hora de discriminar entre distintas inversiones
Bajo este modelo, la incertidumbre se modela de una forma ”bastante restringida” al asociar el riesgo de una
inversión con la variabilidad de rendimiento de la misma respecto a su valor medio o esperado.
Implícitamente, se está asumiendo cierta normalidad o por lo menos cierta simetría en la distribución de
rendimientos.
En el contexto de la teoría moderna de carteras, también existe un modelo de valoración fundamental que
establece cuál debería ser el precio de un activo en función de su nivel de riesgo.
Este modelo de valoración se basa en el equilibrio del mercado, lo que está estrechamente ligado con la conducta
racional de los inversores que buscan la diversificación, que no es más que la minimización del riesgo.
Aunque no alcanzaron la popularidad de Markowitz, existen en la literatura financiera otros modelos menos
restrictivos y que en la actualidad han cobrado bastante relevancia, gracias a la aparición de activos
financieros cuyas distribuciones de rentabilidad cada vez se parecen menos a una normal.
Consideraciones iniciales
Conceptos básicos

55
Rentabilidad de un activo financiero
1
P
DP
P
PDP
R
1ti,
ti,ti,
1ti,
1ti,ti,ti,
ti, 






La rentabilidad simple de cualquier activo i en un periodo t (Ri,t) se define como:
Ri,t = Rentabilidad simple del valor i en el periodo t (desde t-1)
Di,t = Dividendos, derechos y demás rentas percibidas entre (t-1) y t.
Pi,t = Precio del activo i en t —precio final—
Pi, t-1 = Precio del activo i en (t-1) —precio inicial—
 La rentabilidad esperada de un activo financiero se puede definir de la siguiente manera:
Donde S es el número total de posibles escenarios de la naturaleza, s es la probabilidad de ocurrencia del estado s, y Ris es
el rendimiento del activo i en el estado s.
  

S
1s
si,si RπRE
Conceptos básicos

66
Supongamos que compramos una acción de la que esperamos obtener los siguientes rendimientos en conjunto
(incluyendo tanto los dividendos como los cambios de precios) bajo 3 posibles escenarios:
Si, en promedio, un tercio de los años anteriores han sido normales, otro tercio se caracterizó por un rápido crecimiento,
y el último tercio por una recesión, entonces sería razonable tomar la frecuencias relativas del pasado y considerarlas
las mejores predicciones (probabilidades) de realización de las condiciones en el futuro negocio.
El rendimiento esperado del título será:
Rendimiento Esperado = 1/3 (0,30) + 1/3 (0,10) + 1/3 (-0,10) = 0,10
Sin embargo, los rendimientos anuales serán bastantes variables, pasando desde un 30% de ganancias hasta un 10% de pérdidas.
Condiciones Económicas Probabilidad de Ocurrencia Rendimiento
Condiciones Normales 1 de cada 3 10%
Rápido Crecimiento 1 de cada 3 30%
Recesión 1 de cada 3 -10%
Conceptos básicos

77
La rentabilidad de un título se conoce de forma cierta a posteriori (ex post): en el instante t conocemos la
rentabilidad obtenida en el intervalo (t-1, t).
Sin embargo, a priori (ex ante), la rentabilidad de un título es un variable desconocida, una variable aleatoria
cuyo valor futuro es incierto y que depende de las expectativas del inversor.
Para representar la distribución de rendimientos de un activo financiero es habitual escoger la
distribución normal. Esto tiene sus ventajas, pues sólo necesitamos conocer la rentabilidad esperada y su nivel
de riesgo asociado para conocer cómo se distribuyen los rendimientos de un activo financiero.
También es muy común estimar el rendimiento esperado de un activo o cartera utilizando una serie de
datos pasada para calcular el rendimiento medio que se ha producido durante el período disponible y
emplearlo como estimación del rendimiento medio o esperado para el futuro.
Aunque la media muestral, que es un estimador insesgado de la rentabilidad esperada, como todo
estimador posee un error de estimación, que al realizar la anualización aumenta.
Es sumamente difícil estimar la rentabilidad esperada de cualquier activo financiero. Por este motivo,
suelen emplearse series temporales muy largas y grandes dosis de sentido común.
  

T
t
ti
T
R
1
,
iRE
Conceptos básicos

88
Riesgo de un activo financiero
La medida de riesgo por antonomasia en la teoría de carteras es la varianza, que mide la dispersión de los
rendimientos alrededor de la media y nos da una idea de la variabilidad que experimentan los precios de los activos.
Utilizando los datos del ejemplo anterior, la varianza sería:
Varianza = 1/3 (0,30 – 0,10)² + 1/3 (0,10 – 0,10) ² + 1/3 (-0,10 – 0,10) ² = 0,0267
Debido a que la varianza no se expresa en las mismas unidades que la variable rendimiento, se suele emplear la
desviación típica que no es más que la raíz cuadrada de la varianza. En este ejemplo es 0,1634 o un 16,34%.
Como en el caso de la rentabilidad esperada, también es posible emplear observaciones pasadas para estimar la
varianza.
La desviación típica es conocida en este contexto como volatilidad.
     2
ii
S
1s
s
2
ii
2
i RERπREREσ  
  



T
1t
2
iti,2
i
RER
σ
T
Conceptos básicos

99
Riesgo de un activo financiero
Las limitaciones de la varianza/desviación típica como medida de riesgo son bien sabidas:
La propia definición de riesgo puede ser distinta según el inversor.
Desviaciones respecto a rentabilidad media, no respecto a un objetivo.
El mismo peso para desviaciones positivas (ganancias) que negativas (pérdidas)
No es adecuado cuando los activos tienen rentabilidades asimétricas: opciones, gestión alternativa
Varía en función del tiempo
Conviene destacar que la desviación típica es una medida adecuada para medir el riesgo siempre y
cuando la probabilidad de la rentabilidad de la cartera forme una función de densidad simétrica.
Aunque la distribución de rendimientos históricos de los valores individuales no haya sido por
regla general simétrica, para intervalos pequeños de tiempo (rendimientos diarios/mensuales), sí que
se pueden considerar simétricos y parecidos a una distribución normal aunque con “un poco de curtosis”
en el caso de valores de renta variable y plazos cortos.
Por tanto, otras medidas de riesgo además de la media y la desviación típica se hacen necesarias cuando
la distribución de rentabilidades se aleja de una distribución simétrica o normal.
Los “principales problemas” que presentan las distribuciones de rendimientos suelen ser la asimetría y la
curtosis.
Conceptos básicos

1010
Asimetría y curtosis
La asimetría caracteriza el grado de simetría de una distribución con respecto a su media. La asimetría positiva indica
una distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos. La asimetría negativa indica una distribución que
se extiende hacia valores más negativos.
La correlación negativa entre los cambios en los precios y la volatilidad de los rendimientos es una manera de
comprender que las distribuciones de los rendimientos suelen presentar distribuciones asimétricas por la izquierda. Es
decir, caídas en los mercados van acompañadas por incrementos en la volatilidad.
La asimetría o tercer momento normalizado se define como:
La curtosis representa la elevación o achatamiento de una distribución, comparada con la distribución normal. Una curtosis
positiva indica una distribución relativamente elevada, mientras que una curtosis negativa indica una distribución relativamente
plana. Las distribuciones con colas gruesas donde se encuentra más masa de probabilidad adicional en los extremos presentan
exceso de curtosis. La curtosis o cuarto momento normalizado se define como:
La distribución normal, como el resto de las distribuciones simétricas, tiene asimetría igual a cero y curtosis igual a 3. En
ocasiones, se emplea una curtosis menos 3 como medida del exceso de curtosis.
  
3
T
1t
3
t
σ1)-(T
RR
Asimetria




E
  
4
T
1t
4
t
σ1)-(T
RER
Curtosis




Conceptos básicos

1111
 En la siguiente tabla, el amplio índice de renta variable europea, DJ Stoxx 600, presenta una ligera asimetría
negativa. En cambio, el índice representativo de las estrategias de hedge funds, HF Research Index Global, presenta
una asimetría mucho más negativa. La asimetría indica que la distribución tiene a dar más probabilidad a los valores
por debajo de la media.
 Por su parte, la curtosis de los rendimientos del Stoxx 600 alcanza un cercano al que tiene una distribución simétrica
como la normal (3), por el contrario, el índice representativo de las estrategias de gestión alternativa arroja un valor
muy alejado del nivel del que tendría una distribución normal.
 Una asimetría muy negativa implicaría que la cola izquierda de la distribución es muy gruesa, lo que se
traduciría en un alto valor de la curtosis.
 Normalmente, la existencia de una asimetría muy negativa sugiere la existencia de una correlación negativa entre la
volatilidad y los rendimientos, es decir, que las caídas en los mercados bursátiles vienen acompañadas por aumentos
en la volatilidad de los activos, como podemos observar en el ejemplo de la página siguiente.
 La asimetría se acentúa cuanto menor es la frecuencia de los rendimientos, es decir, la asimetría de distribuciones de
rendimientos diarios será menor que la asimetría de rendimientos mensuales.
Conceptos básicos
Asimetría y curtosis: RV Vs. Inversión Alternativa
DJ STOXX 600
HF Research
Index Global
Media 0,27% 0,10%
Volatilidad 1,59% 0,64%
Asimetría -0,57 -1,34
Curtosis 4,17 7,69
*Rendimientos semanales desde 31/03/03 hasta 05/10/07

1212
Conceptos básicos
Frecuencia de rendimientos y funciones de densidad
Diario Semanal Mensual
Media 0,02% 0,11% 0,49%
Volatilidad 1,14% 2,24% 4,66%
Kurtosis 5,98 4,50 3,55
Asimetria -0,09 -0,33 -0,64
S&P 500

1313
Conceptos básicos
Funciones de densidad por clases de activo

1414
El término “prima de riesgo de mercado” se utiliza para definir tres conceptos distintos:
1. La rentabilidad incremental que un inversor exige a un activo con riesgo por encima del activo libre
de riesgo:
 Ésta es la acepción más útil porque es la que nos sirve para calcular la rentabilidad exigida a las
acciones.
 A este concepto es al que nos referiremos como prima de riesgo del mercado o required market
risk premium.
2. La diferencia entre la rentabilidad histórica de un activo con riesgo y la rentabilidad histórica del
activo libre de riesgo:
 Éste es un dato histórico informativo que puede resultar más o menos interesante.
 Nos referiremos a él como “rentabilidad diferencial” o historical market risk premium.
3. El valor esperado de la diferencia entre la rentabilidad futura de un activo con riesgo y la
rentabilidad futura del activo libre de riesgo.
 Nos referiremos a esta expectativa como “expectativa de la rentabilidad diferencial” o expected
market risk premium.
 Es bastante difícil de estimar.
Prima de riesgo
Conceptos básicos

1515
Prima de riesgo
The worldwide equity premium: a smaller puzzle (Dimson, Marsh & Staunton, 2006)
Conceptos básicos

1616
Prima de riesgo
The worldwide equity premium: a smaller puzzle (Dimson, Marsh & Staunton, 2006)
Conceptos básicos

1717
Una de las hipótesis en que se fundamentan la mayoría de los modelos financieros es la de expectativas
homogéneas, es decir, que todos los inversores tienen las mismas expectativas de rentabilidad y riesgo para todos los
activos.
En este caso, todos los inversores tendrían carteras compuestas por deuda sin riesgo y una cartera de acciones con la
misma composición porcentual que el mercado (la bolsa). Ya veremos más adelante la demostración formal.
Pero es obvio que los inversores no tienen las mismas expectativas, que no todos los inversores tienen carteras de
acciones de composición idéntica y que no todos los inversores tienen una cartera compuesta por todas las acciones del
mercado.
Podemos saber cuál es la prima de riesgo del mercado de un inversor (required market risk premium)
preguntándosela. Sin embargo, es imposible determinar la prima de riesgo “del mercado” porque tal número no existe.
Prima de riesgo
Conceptos básicos

1818
La rentabilidad esperada de una cartera, E[Rc], se obtiene como suma de las rentabilidades esperadas individuales de
cada título que la componen, E[Rj], ponderadas por el peso de cada activo, wj.
Donde la ponderación de cada activo es el cociente entre el valor de la inversión en dicho activo y el valor total de la
cartera. La suma de las ponderaciones ha de ser igual a 1.
Para conocer la varianza de la cartera necesitamos conocer las varianzas de cada título y las covarianzas entre
ellos, que se obtiene como:
Como en el caso de la rentabilidad esperada y la volatilidad, también es posible emplear observaciones pasadas para
estimar la covarianza:
Si la covarianza es positiva (negativa), rendimientos mejores de los esperados en un valor se corresponden con
rendimientos superiores (inferiores) a lo esperado en el otro.
Rentabilidad y riesgo esperados de una cartera
   

N
1j
jjC RERE w
        jjiijiji, RERRERER,Rcovσ 
Conceptos básicos
sInversioneTotalValor
jActivoInversiónValor
ωj 
       



T
t 1
jtj,iti,
jiji,
T
RERRER
R,Rcovσ


n
1
j 1ω
j

1919
Una medida asociada a la covarianza es el coeficiente de correlación. Trata de normalizar la covarianza de
forma que acotemos sus valores entre –1 y 1.
Para ello dividimos la covarianza entre el producto de las desviaciones estándar de dos activos, obteniendo el
coeficiente de correlación.
De tal forma que el coeficiente de correlación entre el activo i y el activo j, i,j se obtiene como:
 
ji
jijiji

 ji,
,,ji,ji
σ
σR,Rcov 
Conceptos básicos

2020
Conceptos básicos
Interpretación del coeficiente de correlación

2121
La varianza de una cartera dependerá de la varianza de los títulos que la componen (riesgo individual de cada uno de
ellos), de sus covarianzas (riesgo conjunto, tomando pares de títulos) y el peso de cada título en la cartera
De forma matricial, la varianza se puede expresar:
  

  

N
1i
N
ji
1ji,
N
1i
N
1j
ji,jiji,ji
2
i
2
i
2
p σσσσ wwwww
 



























N
2
1
2
NN,1
2
22,1
N1,1,2
2
1
N21
2
p
...
σ......σ
............
......σσ
σ...σσ
...σ
w
w
w
www
Conceptos básicos

2222
Concentrar en una única clase de activos puede no ser óptimo desde el punto de vista rentabilidad – riesgo. Puesto
que existe la incertidumbre, y el riesgo nos preocupa, diversificar tiene sentido. Esto es, una combinación de activos
puede ser más óptima para el inversor que una única apuesta.
Supongamos que los datos de rentabilidad y riesgo de los 2 activos anteriores son que aparecen en la siguiente tabla:
Cambiando el grado de asociación del comportamiento de los 2 activos anteriores, lo que conocemos como coeficiente
de correlación obtendremos distintas combinaciones de rentabilidad y riesgo.
Antes de comenzar con el ejemplo, simplificaremos un poco las expresiones de la rentabilidad esperada y volatilidad de
la cartera.
Diversificación
Activos
Rendimiento
Esperado Volatilidad
1 16% 10%
2 10% 4%
Conceptos básicos

2323
En general, el rendimiento esperado de una cartera compuesta únicamente por 2 activos viene expresado:
Mientras que la varianza de una cartera formada por 2 activos es:
Y la desviación típica o volatilidad es:
2,121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
p 2σ wwww 
Diversificación
           21112211C RE1RERERERE  wwww
      2
1
2,121
2
11
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2,121
2
2
2
2
2
1
2
1p 1212σ wwwwwwww 
Conceptos básicos

2424
Diversificación
En el caso de correlación perfecta y positiva (1,2=+1) entre
los rendimientos de los activos anteriores, la varianza de la cartera
es:
Por lo que la volatilidad o desviación típica es simplemente la
combinación lineal:
Usando los datos del ejemplo, la rentabilidad y la volatilidad son:
Si no admitiésemos las ventas en corto, la volatilidad sería la
media ponderada de las volatilidades de los activos que
componen la cartera.
   
      2
211121
2
11
2
2
2
1
2
1
2
1
2,121
2
11
2
2
2
1
2
1
2
1
2
p
1121
121σ
wwwwww
wwww


 
    %101%16
%41%10σ
21
21c
ww
ww


cRE
  2211c σ1σσ ww 
w1 w2
Rend.
Esperado
Vol.
150,00% -50,00% 19,00% 13,00%
100,00% 0,00% 16,00% 10,00%
75,00% 25,00% 14,50% 8,50%
25,00% 75,00% 11,50% 5,50%
0,00% 100,00% 10,00% 4,00%
-50,00% 150,00% 7,00% 1,00%
Conceptos básicos

2525
Diversificación
En el caso de correlación perfecta y negativa (1,2=-1) entre
los rendimientos de los activos anteriores, la varianza de la cartera
es:
Ahora todas las combinaciones se encuentran en un par de
rectas.
   
   
     2
2111
2
p
2
2111
2
p
21
2
11
2
2
2
1
2
1
2
1
2,121
2
11
2
2
2
1
2
1
2
1
2
p
1σ1σ
121
121σ
wwww
wwww
wwww



ó
   
    %101%16
%41%10σ%41%10σ
21
21c21c
ww
wwww


cRE
ó
    2211c2211c σ1σσσ1σσ wwww  ó
w1 w2
Rend.
Esperado
Vol.
150,00% -50,00% 19,00% 17,00%
100,00% 0,00% 16,00% 10,00%
75,00% 25,00% 14,50% 6,50%
25,00% 75,00% 11,50% 0,50%
0,00% 100,00% 10,00% 4,00%
-50,00% 150,00% 7,00% 11,00%
Conceptos básicos

2626
Diversificación
En el caso de correlación nula entre los rendimientos de los
activos anteriores, la varianza de la cartera es:
Ahora todas las combinaciones se encuentran en una
hipérborla.
   
  2
2
2
1
2
1
2
1
2
p
2,121
2
11
2
2
2
1
2
1
2
1
2
p
1σ
121σ
ww
wwww


     
    %101%16
%41%10σ
21
22
2
22
1c
ww
ww


cRE
  2
1
2
2
2
2
2
1
2
1c σ1σσ ww 
w1 w2
Rend.
Esperado
Vol.
150,00% -50,00% 19,00% 15,13%
100,00% 0,00% 16,00% 10,00%
75,00% 25,00% 14,50% 7,57%
25,00% 75,00% 11,50% 3,91%
0,00% 100,00% 10,00% 4,00%
-50,00% 150,00% 7,00% 7,81%
Conceptos básicos

2727
Diversificación
En términos de rentabilidad-riesgo, existen tres tipos de
beneficios derivados de la diversificación de activos
 Aumentar la rentabilidad obtenida disminuyendo el
riesgo
 Aumentar la rentabilidad asumiendo un mismo nivel
de riesgo
 Aumentar la rentabilidad más de lo que aumenta el
nivel de riesgo o lograr reducir el riesgo más de lo que
disminuye la rentabilidad
La diversificación reduce el riesgo.
La reducción del riesgo es mayor cuanto menor es la
correlación entre los activos:
correlación = -1 reducción máxima
correlación = 0 reducción media
correlación = 1 no hay reducción
 La volatilidad de una cartera siempre es menor o igual que la media ponderada de los riesgos de los
activos que la componen
Conceptos básicos

2828
Diversificación
Como hemos visto, la forma del conjunto de oportunidades de inversión depende del nivel de correlación entre los
activos, en concreto, la curvatura de la hipérbola es tanto mayor cuanto menor sea el coeficiente de correlación.
Este resultado es lógico, cuanto menor sea el coeficiente de correlación, la diversificación es mayor, lo que significa
que para un mismo nivel de rentabilidad, la cartera posee una menor volatilidad.
Así pues, este enfoque descansa en la combinación de activos (acciones de diferentes sectores, mercados
geográficos, bonos, etc.) con una correlación imperfecta o negativa que permita reducir el riesgo total de la
cartera sin sacrificar la rentabilidad o, al menos, en menor medida que la reducción del riesgo
En la práctica, obtener correlaciones negativas o incluso cercanas a cero es bastante difícil. Sin embargo,
posiciones en derivados sí que pueden conseguir el efecto deseado de diversificación.
Conceptos básicos

Teoría moderna de carteras

3030
Frontera eficiente
 Aunque antes ya existían trabajos y tratados sobre inversiones, no fue hasta 1952 cuando se estableció un
marco cuantitativo para la modelización de las decisiones sobre inversión tras la publicación de dos
trabajos que dieron nacimiento a la Teoría Moderna de Carteras.
 Markowitz es considerado el padre de la Teoría Moderna de Carteras debido a que fue “el primero” en
modelar de forma matemática la relación de intercambio entre rentabilidad y riesgo en la elección de
inversiones en activos con riesgo.
 En concreto, Markowitz estableció que dentro del universo de posibilidades de inversión, el objetivo del inversor
es sencillamente generar ganancias por diversificación, las cuales se concretan en:
1. Obtener la cartera de mayor rentabilidad para un nivel máximo de riesgo deseado.
2. Obtener la cartera de menor riesgo para un nivel de rentabilidad deseado.
 Markowitz supone que los rendimientos de los activos siguen una distribución normal multivariante. Esto
supone que la distribución del rendimiento de un activo puede describirse por su rendimiento esperado y por
su varianza.
 Las carteras que satisfacen la segunda condición se denominan carteras de menor varianza, de manera que
cualquier cartera de menor varianza es el resultado de un problema de optimización .
 También es conocida como cartera eficiente en términos de rentabilidad-riesgo ya que no existe otra: (1) con
mayor rentabilidad y menor riesgo esperados, (2) con la misma rentabilidad esperada pero con menos riesgo
(3) con el mismo riesgo pero mayor rentabilidad esperada.

3131
El problema de selección de carteras puede ser planteado entonces como un problema de programación cuadrática,
con restricciones en forma de igualdad:
Sujeto a las restricciones,
Para un determinado nivel de rentabilidad exigida, E[Re], se trata de minimizar el riesgo total de la cartera, c
2.
Este problema es fácilmente resoluble por el método de los multiplicadores de Lagrange.
 1...Nj;ω
σmin
j
2
C

   






N
j
j
e
N
j
jj RERE
1
1
1w
w
Frontera eficiente

3232
Para resolver el problema de optimización, planteamos el siguiente lagrangiano:
Donde 1 y 2 son los multiplicadores de Lagrange, que resulta conveniente definirlos así (multiplicados por 2).
Derivando la expresión anterior respecto a los pesos j e igualando a cero obtenemos:
Donde:
Frontera eficiente
    











  
N
j
j
N
j
jjec RERE
1
2
1
1
2
122 ww
  022 21
2




w

j
j
c
RE
 

















 N
h
jhh
N
jh
h
hjhjj
N
jh
h
hjhjj
j
c
11
2
1
2
2
2222 wwwww
w


3333
Por tanto, las condiciones de primer orden del problema de optimización pueden escribirse como:
Las N ecuaciones anteriores junto con las restricciones determinan los valores de los multiplicadores de Lagrange (1
y 2) y las ponderaciones óptimas que recibe cualquier activo en la cartera de menor varianza, que tiene un rendimiento
esperado justo igual a E(Re).
De manera que el problema de optimización se simplifica y consiste en resolver un sistema lineal de N+2 ecuaciones
con N+2 incógnitas.
Frontera eficiente
    NjRERE j
N
h
jhhj
N
h
jhh ,...,1;00222 21
1
21
1
  
ww
  NjRE j
N
h
jhh ,...,1;021
1

w
   






N
j
j
e
N
j
jj RERE
1
1
1w
w

3434
Llamaremos frontera eficiente al conjunto de carteras eficientes disponible en el conjunto
factible, es decir, aquellas carteras entre las que el inversor deberá elegir una de ellas como su
cartera óptima, en función de sus objetivos de rentabilidad y restricciones de riesgo.
La frontera eficiente se obtiene resolviendo de forma iterativa para cada nivel de rentabilidad
esperada, el problema de optimizacion anterior.
Frontera Eficiente

3535
Cómo calcular la frontera eficiente en Matlab
En Matlab, existe una toolbox que implementa todas las funciones necesarias para la optimización de carteras. En
particular, la más útil es portopt, que devuelve la frontera eficiente para una matriz de varianzas covarianzas,
rendimientos esperados y una serie de restricciones
Matlab permite resolver el problema de optimización incorporando restricciones de mínimo (lb) y máximo (ub) para
cada activo:
Sujeto a las restricciones,
La toolbox emplea la rutina quadprog que permite la resolución de problemas de programación cuadrática.
 1...Nj;ω
σmin
j
2
C

   
iji
N
j
j
e
N
j
jj
ublb
RERE







w
w
w
1
1
1

3636
La función más útil de la toolbox es:
[PortRisk, PortReturn, PortWts] = portopt(ExpReturn, ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,ConSet)
Donde:
ExpReturn: es la rentabilidad esperada de los activos.
ExpCovariance: es la matriz de varianzas y covarianzas.
NumPorts: número de carteras para pintar la frontera eficiente.
PortReturn (opcional): es la rentabilidad exigida a las carteras.
ConsSet (opcional): matriz que contiene las restricciones, para ello hay que utilizar portcons.
Ejemplo:
ExpReturn = [0.1 0.2 0.15];
ExpCovariance = [ 0.005 -0.010 0.004;
-0.010 0.040 -0.002;
0.004 -0.002 0.023];
NumPorts = 25;
[PortRisk, PortReturn, PortWts] =portopt(ExpReturn,ExpCovariance, NumPorts);

3737
Ejercicio
El fichero Ejemplo_ibex35.xls contiene las cotizaciones de las 35 compañías que componen el índice IBEX 35. Se
pide hallar:
1) La rentabilidad esperada de cada compañía.
2) Volatilidad.
3) Correlaciones.
4) Frontera eficiente.
Es importante analizar la sensibilidad de los resultados a la estimación de rentabilidad.

3838
Elección del inversor
 El trabajo original del Markowitz no se quedaba sólo en la elección de la frontera eficiente, sino que modelizaba el
comportamiento del inversor.
 Para ello, se emplean las denominadas curvas de indiferencia, esto es, aquellos conjuntos de pares de
valores de rentabilidad y riesgo que proporcionan el mismo nivel de utilidad para el inversor.
 Uno de los factores a tener en cuenta cuando un inversor se posiciona en la frontera eficiente es su grado de
aversión al riesgo.
 En la teoría moderna de carteras, es habitual elegir funciones de utilidad cuadráticas, donde lo único que le
importará al inversor será la rentabilidad esperada y la volatilidad (varianza) de su cartera:
 Donde A recoge el nivel de aversión al riesgo, y E[R] y  son la rentabilidad y volatilidad esperadas. En la
literatura financiera, existe múltiples funciones de utilidad, esta es una de las más sencillas.
 La curva de indiferencia es tan sólo aquel conjunto de valores de E[R] y  que reportan el mismo nivel de
utilidad al inversor (curva isocuanta).
 Los inversores con funciones de utilidad cuadráticas pueden abordar la selección de su cartera en un proceso
de dos fases:
1. Determinarán la frontera eficiente de carteras
2. Y dado su nivel de aversión al riesgo, seleccionarán aquella cartera de la frontera que maximice su función de utilidad.
  2
AREU 

3939
Elección del inversor
 Una curva de indiferencia es aquel conjunto de valores
que reporta el mismo nivel de utilidad.
 Las curvas de indiferencia que reportan mayor utilidad al
inversor son aquellas más desplazadas hacia arriba y
hacia la izquierda.
 El coeficiente de aversión al riesgo es la pendiente de las
curvas de indiferencia. A mayor pendiente mayor, nivel
de aversión al riesgo.
 A mayor nivel de aversión, es necesaria una mayor
rentabilidad para reportar el mismo nivel de utilidad.

4040
Frontera eficiente y elección del inversor
 Al cruzar las preferencias del inversor (curvas
de utilidad) con la frontera eficiente de carteras
obtenemos la cartera óptima óptima para el
inversor.
 La cartera óptima es aquella que es tangente a
la curva de utilidad de mayor satisfacción (la
más desplazada hacia arriba y a la izquierda).
 En la práctica financiera, nadie utiliza curvas de
indiferencia para modelizar el comportamiento
del inversor, debido a la dificultad de estimar el
coeficiente de aversión al riesgo.

4141
Frontera eficiente y elección del inversor
Ejercicio
Para un inversor con una función de utilidad cuadrática y un nivel de aversión al riesgo igual a 2. El universo de
inversión está formado por 3 activos con las siguientes características:
Rentabilidad esperada:
Matriz de varianzas y covarianzas:
Se pide:
1) Hallar la frontera eficiente compuesta por 25 carteras.
2) Hallar la cartera que maximiza la función utilidad del inversor de entre las 25 carteras anteriores.
3) Comparar la solución anterior con la obtenida analíticamente, para ello, plantea el correspondiente
lagrangiano y maximiza la utilidad del inversor sujeto a la restricción de presupuesto (todas las
ponderaciones suman 1).











0,02300,0020-0,0040
0,0020-0,04000,0100-
0,00400,0100-0,0050
   15%20%10%RE

4242
El teorema de la separación en dos fondos fue un desarrollo a las proposiciones originales de Markowitz, realizado
por el también Nóbel de Economía James Tobin, con el que demostró que todas las carteras eficientes en el sentido
media varianza pueden construirse como el promedio ponderado de dos carteras cualesquiera eficientes.
Supongamos a partir de ahora, que el universo de inversión cuenta con una clase de activo más, el activo libre de
riesgo, por tanto, los inversores van a poder prestar (invertir) y tomar prestado (apalancarse) al tipo de intéres
de este activo libre de riesgo.
La incorporación del activo libre de riesgo al universo de inversión modifica la forma del conjunto de carteras
eficientes.
 la cartera óptima será una combinación entre la cartera M de activos con riesgo y un porcentaje invertido
en el activo sin riesgo,
 la función de utilidad del inversor sólo recoge ese tipo de decisión y no la de la composición de la Cartera M de
activos con riesgo.
Ahora, la cartera de mínima varianza será aquella que invierta 100% en el activo sin riesgo, y por tanto, dicha cartera
formará parte de la frontera eficiente.
Sólo necesitamos encontrar una cartera de activos con riesgo para que aplicando el teorema de la separación
en dos fondos podamos encontrar toda la frontera eficiente. ¿Cuál es esta cartera de activos con riesgo?
Teorema de separación en dos fondos

4343
Un inversor puede invertir en cualquier combinación entre el
activo libre de riesgo, con rentabilidad rf, y la cartera de mínima
varianza de activos con riesgo, CMV.
De esta manera, el conjunto de pares de rentabilidades y
riesgos de las carteras en las que podría invertir como resultado
de esta combinación, es el que se recoge en la línea que une rf
y CMV.
Imaginemos que un inversor desea invertir en la cartera A que
se encuentra en esta recta. Sin embargo, esta cartera no es
eficiente pues existen otras que para el mismo nivel de
volatilidad ofrecen mayor nivel de rentabilidad.
Podría mejorar la rentabilidad invirtiendo en la cartera B, lo
que aumentaría la pendiente de la recta, pero podría mejorar
aún más si lo hace en la cartera M, que precisamente se
encuentra en la frontera eficiente.
Conviene resaltar que no existe otra recta con mayor
pendiente que la rf-M, dado el conjunto de activos con riesgo y
el activo libre de riesgo. Esta recta es la nueva frontera
eficiente.

4444
La existencia del activo libre de riesgo modifica la forma de la
frontera eficiente, ahora ya no tiene forma cóncava, se ha convertido
en una línea recta.
La cartera de activos con riesgo es única y es la misma para todos
los inversores, por ello, es conocida como la cartera de mercado.
Corresponde al punto tangente de la Línea del Mercado de
Capitales con la frontera eficiente.
Para que la cartera M sea la cartera de mercado, es necesario
suponer que los mercados son competitivos, los inversores
racionales y las expectativas homogéneas. Como veremos, esto
dará lugar a un modelo de valoración por ausencia de oportunidades
de arbitraje conocido como Capital Asset Pricing Model (CAPM).
Ahora el inversor sólo tiene que decidir qué cantidad destina al
activo libre de riesgo y qué cantidad a la cartera de activos con
riesgo, en función de sus preferencias. Hay que buscar un punto
tangente con la curva de utilidad más satisfactoria de todas las
del inversor; de forma análoga al procedimiento empleado en el
enfoque media-varianza para activos con riesgo.
Deseamos conocer la composición de la cartera óptima de activos
con riesgo, ¿Cómo podemos llegar a conocerla? ¿Qué ha cambiado
realmente?

4545
Sea E[RM] la rentabilidad esperada de una cartera compuesta únicamente por activos con riesgo (p.e. acciones).
Sea rf la rentabilidad del activo libre de riesgo, al que se puede tanto invertir como tomar prestado.
Sea w el porcentaje de su riqueza que el inversor destina a la cartera de activos con riesgo.
Entonces la rentabilidad esperada, E[Rp], de una cartera formada por una combinación del activo libre de riesgo
(préstamo o inversión) y una cartera de activos con riesgo, es:
Por su parte, la volatilidad de la cartera, (sabemos que el activo libre de riesgo no tiene volatilidad) es:
La volatilidad de la cartera P sólo depende del porcentaje de la riqueza del inversor destinada a la cartera de activos
con riesgo, M, y de la volatilidad de esta. Despejamos el peso destinado a la cartera de activos con riesgo como:
fMp rω)(ω]E[R]E[R  1
Mp w 
M
p
σ
σ
ω 

4646
De esta manera llegamos a un resultado bastante familiar y que más tarde Sharpe llamará CAPM.
Para conocer la cartera óptima de activos con riesgo, basta con maximizar la pendiente de la recta anterior, que tiene
una expresión que nos debería resultar familiar. Esta pendiente es conocida como el ratio de Sharpe, y es una de las
medidas de performance por excelencia.
Sujeto a la restricción:
Donde Xi es la ponderación que recibe cada uno de los activos con riesgo que componen la cartera M.
E[Rp ]  E[ RM ]
 p
 M
æ
è
ç
ö
ø
÷ 1
 p
 M
æ
è
ç
ö
ø
÷ rf  E[ Rp ] rf  E[RM ]  rf 
 p
 M
q 
E[RM ]rf
M
Xi  1
i1
N


4747
Dejando la expresión de la pendiente de la nueva frontera eficiente en función de:
 Xi = ponderación del activo i.
E[Ri] = rentabilidad esperada del activo i.
 I
2 = varianza del activo i.
 IJ = covarianza entre el activo i y el activo j.
Resulta conveniente escribir la restricción de presupuesto de la siguiente manera:
Así podemos reescribir:
Entonces el problema de hallar la cartera óptima de activos con riesgo se reduce a un simple problema de maximización,
que consiste en derivar la expresión anterior respecto a las N ponderaciones y resolver el siguiente conjunto de ecuaciones
simultaneas:
0
...
0
0
2
1









NX
X
X
q
q
q
  
2
1
1 1 1
22
1













 

 



N
i
N
i
N
ji
j
ijjii
N
i
fii
σXXσX
rREX
θ
i
f
N
i
iff rXrr ÷
ø
ö
ç
è
æ
 1
1
      fi
N
i
if
N
i
ii
N
i
ifi
N
i
ifM rREXrXREXrREXrRE    1111
][

4848
La derivada parcial respecto de Xi la podemos expresar de la siguiente manera:
Donde  es una constante “casi igual ratio de Sharpe de la cartera óptima” (emplea la varianza en lugar de la
desviación típica).
Definimos una nueva variable Zi como:
  0][...0 332211 


fiNiNiii
i
rREXXXX
X

q
ii XZ 
2
M
fM
σ
r]E[R
λ



4949
Entonces la expresión anterior se transforma en:
Y nos permite transformar en el sistema de ecuaciones anteriores en algo con un aspecto más amigable y fácil de
resolver:
  0][...0 332211 


fiNiNiii
i
rREZZZZ
X

q
   z
NNNN
N
N
N
rRE
fN
f
f
f
NNNNNNfN
NNf
NNf
NNf
Z
Z
Z
Z
rRE
rRE
rRE
rRE
ZZZZrRE
ZZZZrRE
ZZZZrRE
ZZZZrRE
f






































































...
...
...
...
...
...
][
...
][
][
][
...][
...
...][
...][
...][
3
2
1
13121
1312111
2232221
1312111
][
3
2
1
332211
33332321313
23232221212
13132121111









5050
La solución del anterior sistema de ecuaciones es:
Las Zs son proporcionales a la cantidad óptima a invertir en cada activo, para conocer las ponderaciones óptimas
primero debemos resolver el sistema de ecuaciones con las Zs, lo cual resulta sencillo pues son N incógnitas y N
ecuaciones.
Un vez conocidas las Zs, si queremos obtener las Xi, basta saber que:
Por tanto, la cartera óptima es simplemente el producto de la inversa de la matriz de covarianzas y el vector que
contiene los excesos de rentabilidad de los activos frente al tipo libre de riesgo.
  frREz  1

 N
i
i
i
i
Z
Z
X
1

5151
Veamos un ejemplo sencillo, formar una cartera con Cintra, Telefónica, Banco Sabadell y dinero, con los datos
recogidos en la tabla siguiente (ver fichero: Markowitz3activos.xls)
El sistema a resolver es:
Recordando que primero tenemos que hallar las Zs.
321
321
321
020,0006,0003,0%13
006,0023,0002,0%15
003,0002,0044,0%8
ZZZ
ZZZ
ZZZ




zrRE
Z
Z
Z
f
































3
2
1
][
020,0006,0003,0
006,0023,0002,0
003,0002,0044,0
%13
%15
%8
  
E[R] - rf Volatilidad
Cintra 8% 21% 1 0,07 0,09
Telefónica 15% 15% 0,07 1 0,28
Banco Sabadell 13% 13% 0,09 0,28 1
Matriz de Correlaciones

5252
En nuestro caso particular las Zs y las Xs son:
Hasta ahora sólo hemos hallado un punto de la
frontera eficiente, la famosa cartera M o cartera de
Mercado, para conocer toda la frontera eficiente sólo
necesitamos ir variando el tipo libre de riesgo (rf) y
resolviendo el problema de optimización.
Es decir, hay que maximizar el ratio de Sharpe
haciendo variar el tipo de interés para obtener toda la
frontera eficiente.
1 1
2 2
3 3
1 2 3
1,2
1,2 10,86%
11,40
5,3
5,3 46,25%
11,40
4,9
4,9 42,90%
11,40
11,40
Z X
Z X
Z X
Z Z Z
   
   
   
  

5353
Ejercicio
Para un inversor con una función de utilidad cuadrática y un nivel de aversión al riesgo igual a 2. El universo de
inversión está formado por el activo libre de riesgo y 3 activos con las siguientes características:
Rentabilidad esperada:
Matriz de varianzas y covarianzas:
Se pide:
1) Hallar la frontera eficiente haciendo variar el tipo libre de riesgo.
2) Hallar la cartera que maximiza la función utilidad del inversor de entre las carteras anteriores.











0,02300,0020-0,0040
0,0020-0,04000,0100-
0,00400,0100-0,0050
   15%20%10%RE

5454
Todo lo que acabamos de ver es un optimización estática, esto es, para un solo período. La realidad es mucho más
compleja e implica la toma de decisiones de forma continua.
Un aspecto crucial es la estimación de los inputs necesarios para la optimización. La estimación de la matriz de
varianzas y covarianzas no presenta grandes dificultades y los resultados no son extremadamente sensibles a
cambios en estos parámetros.
Como se ha puesto de manifiesto con los ejemplos vistos hasta ahora, el resultado es muy sensible frente a cambios
en las rentabilidades esperadas, lo que unido a la dificultad para estimarlas, hace que las optimizaciones de carteras
no sean muy usadas en la práctica financiera.
Una posible solución al problema de la falta de estabilidad del resultado frente a cambios en la rentabilidad
esperada, es la fijación de rangos de gestión. Es decir, la frontera eficiente no es una simple línea que determina
una única cartera óptima para una determinado nivel de rentabilidad y riesgo. Por tanto:
Cambios en los parámetros, pueden conducir a carteras dentro de ese mismo intervalo de confianza o fuera
de ese intervalo.
Cuando estas nuevas carteras derivadas de nuevos parámetros lleven a soluciones dentro del mismo
intervalo de confianza, la cartera inicialmente encontrada no debe ser modificada.
Solo debe serlo cuando la nueva solución quede fuera del intervalo de confianza hallado previamente
Otra posible solución es la que ofrecen Black Litterman (1992) que proponen una estimación de rentabilidades
esperadas “más robusta” y que tiene en cuenta las opiniones del inversor.
Conclusiones

Modelo de mercado

5656
El modelo de mercado es el más sencillo de todos los modelos factoriales y el primero propuesto por William
Sharpe (1964).
Los modelos factoriales han sido empleados como la forma más natural para descomponer el riesgo en diversas
fuentes. El modelo de mercado emplea un único factor de riesgo y éste suele ser un índice de mercado.
Sostiene que el comportamiento de cualquier activo financiero se puede explicar por medio de la siguiente expresión:
Donde:
 y i: son los componentes del rendimiento del activo i que son independientes del rendimiento del
mercado,i no suele ser significativo y i es un componente aleatorio.
Rm: Es el rendimiento del factor M, que normalmente es un índice de mercado (p.e. IBEX35, S&P500...)
βi: Es una constante que mide el cambio esperado en la rentabilidad del activo i (Ri) dado un cambio en el
rendimiento del mercado (Rm).
El modelo de mercado asume los siguientes supuestos:
Descripción del modelo. Supuestos.
titMititi RR ,,,,  
      22
0,0
Ii
EyEE jii 
 
Modelo de mercado

5757
La beta del activo i es igual a la covarianza entre sus rendimientos y el rendimiento del índice de mercado dividida
por la varianza de los rendimientos del índice de mercado.
El modelo de mercado asume que los rendimientos del mercado capturan los riesgos sistemáticos asociados a las
variables de estado macroeconómicas (shocks relacionados con la inflación, cambios en la estructura temporal de
tipos de interés, variación en la producción industrial...).
El riesgo sistemático es aquel que afecta al mercado en su conjunto, a todos los activos financieros negociados, y
se corresponde y tiene su origen en el comportamiento de variables económicas, financieras, políticas, etc. que
afectan a todos los emisores de valores y a la valoración de los activos. Por su carácter general también se le suele
denominar riesgo de mercado
La beta es una medida del riesgo sistemático, nos informa de si un valor es más o menos arriesgado que el
conjunto del mercado, a través de la mayor o menor variabilidad de sus rentabilidades
Así conocer la respuesta de la rentabilidad de un activo frente a su índice de referencia es conocer su mayor
o menor exposición a los riesgos sistemáticos.
Descripción del modelo. Supuestos
 
2
,cov
M
Mi
i
RR

 
Modelo de mercado

5858
Asumiendo los supuestos del modelo de mercado, el riesgo de un activo se puede descomponer como:
El riesgo específico es el riesgo que afecta a un título en particular y que depende de las características intrínsecas de
la compañía. Este riesgo se puede reducir e incluso eliminar a través de la diversificación.
La covarianza entre el activo i y el activo j según este modelo es:
2
, Mjiji  
Descomposición de riesgo. Diversificación.
Modelo de mercado

5959
La beta de una cartera es simplemente la media ponderada de las betas de los títulos que la componen:
La neutralización del riesgo específico se produce paulatinamente según se introducen más activos en la
cartera, ya que los efectos específicos de cada activo se van compensando unos con otros.
Donde:
La reducción del riesgo total según aumenta la diversificación de la cartera se traduce directamente en una
reducción de la volatilidad de la misma, hasta un nivel que recoge exclusivamente el riesgo sistemático, que no se
puede eliminar, pero sí modular a través de la beta.


N
i
iip X
1

 
Especifico
Riesgo
2
osistemátic
Riesgo
2
M
2
P
lRiesgoTota
2
P ε
σσβσ 

2
1
22
εε
σσ i
N
i
iX

Modelo de mercado

6060
0σ
lim
σ
lim 2
1
22
εε





i
N
i
iX
NN
 Veamos mediante un ejemplo cómo la diversificación
consigue reducir el riesgo total eliminando el riesgo
específico.
 Supongamos que invertimos la misma cantidad en N
activos: invertimos por tanto 1/N en cada activo.
 Por simplificar, supongamos que la beta de todos
ellos es igual a 1. Entonces la volatilidad de la cartera
es igual a:
 A medida que aumenta el número de activos en
cartera, el riesgo total de la cartera disminuye hasta
ser igual al riesgo de mercado o sistemático.
  2
1
2
2
M
2
P ε
σ1σσ i
N
i
N

Modelo de mercado

6161
El modelo de mercado funciona es válido tanto para analizar un activo individual como para analizar una cartera, como
por ejemplo, la de un un fondo de inversión.
En función de su beta, los activos pueden ser clasificados como:
Títulos agresivos (>1): Los rendimientos del activo tienden a fluctuar más que los movimientos del mercado
Títulos neutros (=1): Los rendimientos tienden a fluctuar igual que los del mercado.
Títulos defensivos (<1): Los rendimientos tienden a fluctuar menos que los del mercado.
Conviene tener en cuenta que la beta refleja la exposición de un activo al riesgo sistemático, y este tiene su origen en
el comportamiento de variables económicas, financieras, políticas, etc. que afectan a todos los emisores de valores y a la
valoración de los activos.
Aplicaciones del modelo de mercado.
Modelo de mercado

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

6363
En 1964, W. Sharpe y J. Lintner desarrollaron el modelo de valoración de activos conocido como CAPM (Capital Asset
Pricing Model) por el cual recibirían años más tarde, en 1990, el Premio Nobel de Economía.
El CAPM es un modelo de equilibrio que establece la rentabilidad esperada de un activo en función de su riesgo
sistemático. Es una relación lineal.
El CAPM indica cómo la rentabilidad esperada de todo activo con riesgo está formado por el rendimiento del
activo libre de riesgo más una prima que compensa a ese inversor por el riesgo asumido en el título, pero sólo
por el riesgo sistemático, el único que remunera el mercado.
El único riesgo remunerado es el sistemático o de mercado, pues el riesgo específico se puede eliminar mediante la
diversificación.
Entonces según este modelo no invertiríamos en fondos que no estén diversificados (es decir, que mantengan riesgo
específico) ¿O no?
En la realidad, existen muchos fondos que no diversifican su riesgo específico, y no por ello, dejamos de invertir en
ellos. Invertimos cuando al menos nos ofrecen la rentabilidad que predice el CAPM, es decir, cuando generan un exceso
de rentabilidad que compensa al menos su riesgo específico.
 Aunque no todos los gestores son capaces de conseguir rentabilidades que compensen su riesgo específico, tendremos
que seleccionar a los mejores.
Introducción
Capital Asset Pricing Model

6464
El CAPM o Capital Asset Pricing Model se basa en
los siguientes supuestos:
Es un modelo estático, es decir, de un solo
período.
Existe un activo libre de riesgo.
Todos los inversores escogen sus carteras
según su rentabilidad y riesgos esperados.
Expectativas homogéneas.
Los mercados son competitivos.
No existen costes de transacción
No existen oportunidades de arbitraje.
Si todo esto se cumple, la cartera de mercado o
cartera M es la cartera óptima en la que todo inversor
racional invertirá. ¿Por qué?
Dado un universo de inversión y bajo una
determinadas expectativas de rentabilidad, la existencia
del activo libre de riesgo y el teorema de separación en
dos fondos garantizan que la cartera óptima de activos
con riesgo para un inversor es única.
Supuestos y derivación del modelo

6565
El supuesto de expectativas homogéneas implica que todos los inversores cuentan con la misma información. Esta
información se encontrará descontada en el precio de los activos, por tanto, las expectativas de rentabilidad sobre los
activos será la misma para todos los inversores.
Como ya hemos visto, la cartera de activos con riesgo óptima para un inversor racional es aquella que maximiza la
pendiente de la recta SML. Además, todas las carteras compuestas por activos con riesgo y el activo libre de riesgo que
se encuentran en la SML son eficientes.
Recordemos la expresión de la rentabilidad de una cartera compuesta por el activo libre de riesgo y una cartera de
activos con riesgo:
La condición de primer orden para hallar la cartera óptima de activos con riesgo consistía en:
La parte izquierda de esta ecuación es igual a cov(Ri,RM), desarrollando esta expresión podemos comprobarlo tras
unas cuantas manipulaciones.
 
p
M
fM
fp σ
σ
r]E[R
r]E[R


fiNiNiii
i
rREXXXX
X



][...0 332211 
q

6666
Sean Xi
M las proporciones de la cartera de mercado, expresemos la rentabilidad esperada de esta cartera como:
Desarrollando la covarianza entre el activo i y la cartera de mercado se obtiene:
De manera que podemos reescribir la condición de primer orden como:
   

N
i
i
M
iM REXRE
1
           





÷
ø
ö
ç
è
æ









÷÷
ø
ö
çç
è
æ






  
N
i
ii
M
iii
N
i
i
M
i
N
i
i
M
iiiMi RERXRERERXERXRERERR
111
,cov
                    
                    
 MiNi
M
Ni
M
i
M
Ni
M
Ni
M
i
M
NNii
M
Nii
M
ii
M
NNii
M
Nii
M
ii
M
RRXXXXXX
RERREREXRERREREXRERREREX
RERRERXERERRERXERERRERXE
,cov......
...
...
,2,21,1,2,21,1
222111
222111
 


    fiMi rRERR ,cov

6767
Como la condición anterior tiene que cumplirse para todos los activos que componen el universo de inversión,
también tiene que cumplirse para todas las carteras.
Veamos qué ocurre con la condición de primer orden, si la escribimos para la cartera de mercado:
De la expresión anterior podemos despejar el valor para  y escribir la condición de primer orden como:
Y esta es precisamente la expresión del CAPM:
      fMMfiMM rRErRERR  2
,cov 
 
 
    fMifMi
M
fM
fi rRErRR
rRE
rRE 

 

,cov2
    fMifi rRErRE  

6868
El CAPM es un modelo que se basa en la ausencia de arbitraje, y establece cual debe ser el precio de cualquier
activo en condiciones de equilibrio. Veamos como funciona.
Según el modelo de mercado, el riesgo de cualquier activo se puede descomponer en riesgo sistemático y en riesgo
específico.
El riesgo específico es el único riesgo que se puede diversificar, por lo que en equilibrio este riesgo no debería ser
remunerado.
Uno de los supuestos del CAPM es que los inversores son racionales, por lo que no pagaran más por un activo que
de lo que el propio CAPM establece en función de su riesgo beta o sistemático.
Supongamos que para una determinada acción i:
Dado que la rentabilidad esperada del título j se define como:
 Entonces el precio P0 cae debido a una menor demanda, por lo que la rentabilidad esperada E(Ri) aumenta hasta
que el desequilibrio desaparece y la ecuación del CAPM se vuelve a cumplir.
    fMifi rRErRE  
0i,
0i,i,1i,1
ti,
P
PDP
R


Ausencia de oportunidades de arbitraje y equilibrio.

6969
 Título j está sobrevalorado en el punto
A:
 Cae el precio
 Aumenta la rentabilidad esperada
 Por el contrario, en el punto B, el título j
se encuentra infravalorado:
 Aumenta el precio
 Cae la rentabilidad esperada
rf
E(RM)
=1j Beta
A
B
E(R)
E(Rj)

7070
Ejercicio
Comparar la rentabilidad que predice el CAPM y la rentabilidad histórica para los activos del fichero eurostoxx50.xls.
Según este modelo, los activos a tener en cartera son aquellos que ofrecen una rentabilidad por encima de la que le
corresponde según su riesgo beta.

7171
Eficiencia del mercado.
Uno de los supuestos más discutidos del CAPM es que los mercados son competitivos, lo que viene a significar que
ningún participante del mercado cuenta con una ventaja comparativa respecto a los demás. En los mercados financieros,
esta ventaja comparativa se basa en la diferencia de información entre los inversores.
Si todos los inversores cuentan con la misma información, esta información se encontrará descontada en el precio de los
activos y no podrá ser utilizada para obtener beneficios extras una vez compensado el riesgo soportado.
Por el contrario, solamente una información conocida por una minoría y, por tanto, no reflejada en el precio de los
activos, confiere una ventaja comparativa frente a los demás inversores.
Por tanto, un mercado es eficiente si ofrece las rentabilidades que se corresponden con el riesgo asumido, en
otras palabras, no existen diferencias de información entre los inversores y se cumple el CAPM.

Evidencia empírica

7373
y = -0,4599x + 0,5242
R2 = 0,1117
-100%
-50%
0%
50%
100%
150%
200%
250%
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Beta 31 diciembre 2001
Rentabilidad31dic.2001-
Noviembre2003
Relación entre las betas calculadas de empresas españolas y su rentabilidad en los años siguientes
Evidencia empírica: Cuidado con la Beta
Fuente: Pablo Fernández, IESE.

7474
Índice
-5
0
5
10
15
20
0,4 0,6 0,8 1 1,2
Rentabilidad
Beta
Análisis de 54 fondos de Inversión
1997-2001 Rentabilidad Vs Beta
Evidencia empírica: Cuidado con la Beta

7575
Índice
-5
0
5
10
15
20
4 5 6 7 8 9
Rentabilidad
Volatilidad
Análisis de 54 fondos de Inversión
1997-2001 Rentabilidad Vs Volatilidad
Evidencia empírica

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