Quantitative Portfolio Management handouts - 2012 May 14

Gestión de Carteras

Gerard Albà
Xavier Noguerola
FME UPC – Mayo 2012

Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

2. Modelos del Mercado de Capitales (Asset pricing models)

2.1 Modelo de Sharpe. CAPM (Capital asset pricing model)

2.2 APT. Modelos de factores (Multi-factor equity models)

3. Modelo de Black-Litterman

2



• CAPM (Capital Asset Pricing Model. Sharpe, W. Premio Nobel
1990)

– El modelo de Markowitz requiere estimar los parámetros:
rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas
(correlaciones). Para N activos, son: N+N+N(N-
1)/2=N(N+3)/2 parámetros.

– La hipótesis básica del modelo CAPM es que la dependencia
entre las rentabilidades de los activos no es directa, sino
que deriva de la relación entre estas rentabilidades y un
grupo fundamental de índices: índice bursátil, IPC, PIB, etc.

3



• El CAPM es un modelo de equilibrio que se puede usar
para determinar la rentabilidad que cabe esperar de un
activo y como referencia para valorar si el activo está
correctamente valorado por el mercado.

• El CAPM se puede usar también como una simplificación
con un solo índice para aplicar el modelo de Markowitz
de selección de carteras.

4



• Construimos un modelo sencillo para las rentabilidades
esperadas y las volatilidades, y aplicamos los criterios de
Markowitz para encontrar la cartera eficiente.

• Se define la beta β de un activo respecto a un índice de
mercado M:
σ iM
βi =
σM2

• Se define un modelo basado en un índice representativo
del mercado y se escribe la rentabilidad del activo i como
(modelo de Sharpe):
Ri = α i + β i ⋅ RM + ε i

5



• La rentabilidad de un activo se descompone en tres
términos: una deriva constante α i , una componente
aleatoria común con el índice M, y una parte aleatoria ε i
no correlacionada con el índice.

• La variable εi es aleatoria con media 0.

• Las rentabilidades de los activos están relacionadas con
la del índice, y no tienen ninguna otra relación
(correlación) entre ellas.

6



• Los coeficientes α i , β i se pueden determinar por
mínimos cuadrados a partir de una regresión lineal.
12%

10%
Rentabilidades Telefónica

8%

6%
4%

2%
0%
-8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8%
-2%

-4%

-6%

-8%

Rentabilidades EuroStoxx50

7


• Ratio de cobertura de una acción/cartera utilizando
futuros sobre el índice.
8


9



• Si µ M y σ M son la rentabilidad esperada y la volatilidad
del índice, la rentabilidad esperada del activo i es:

µi = α i + β i ⋅ µ M
• Y la volatilidad es

σ i = β i 2 ⋅ σ M 2 + ei 2

• ei es la volatilidad de la variable εi

10



• La rentabilidad de una cartera de activos es:
δΠ N N
 N  N
RΠ = = ∑ Wi ⋅ Ri = ∑ Wiα i + RM  ∑ Wi β i  + ∑ Wiε i
Π i =1 i =1  i =1  i =1
• Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera es:
n N
µ Π = ∑ Wiα i + E [RM ]⋅ ∑ Wi β i
I =1 i =1

µΠ = α Π + β Π ⋅ µ M
donde: N N
α Π = ∑ Wi ⋅ α i β Π = ∑ Wi ⋅ β i
i =1 i =1

11



• La volatilidad de la cartera es:

N N N
σΠ = ∑∑ Wi ⋅ W j ⋅ β i ⋅ β j ⋅ σ M + ∑ Wi ⋅ ei
2 2 2

i =1 j =1 i =1

• La primera componente en la expresión de la volatilidad, que
tiene que ver con la correlación con el índice, se denomina
riesgo sistemático.

• La segunda componente de riesgo, asociada con las , se ε
denomina riesgo diversificable. Observamos que si
aumentamos el número de activos N, este término es menos
significativo.

• En un modelo de un solo factor (CAPT), el riesgo sistemático
es el riesgo de mercado.

12



Para un activo Ri = α i + β i ⋅ Rm + ε i
E (Ri ) = α i + β i ⋅ E (Rm )
σ 2 (Ri ) = β i 2 ⋅ σ Rm 2 + σ ε2 i

Para una cartera de N activos

N N
E (Rπ ) = ∑ Wiα i + ∑ Wi β i ⋅ E (Rm ) = α π + βπ ⋅ E (Rm )
i =1 i =1
N
σ (Rπ ) = βπ ⋅ σ Rm + ∑ Wi 2 ⋅σ 2ε
2 2 2
i
i =1

13



• El modelo CAPM es un modelo de equilibrio, es decir, el precio
de un activo está fijado de manera que no existen
posibilidades de arbitraje.
• Por lo tanto, si reescribimos

µi = α i + βi ⋅ µ M
• en la forma:
µi = ai + β i ⋅ ( µ M − r )
donde r es el tipo de interés libre de riesgo

ai = r
• Tenemos que

14



• Hipótesis CAPM:

- Los inversores se pueden financiar al mismo tipo de interés
libre de riesgo al que pueden invertir.
- Todos los inversores tienen las mismas expectativas.
- Todos los inversores tienen el mismo horizonte temporal.
- Las inversiones son perfectamente divisibles.
- No existen impuestos ni costes de transacción.
- No existe inflación y los tipos de interés permanecen
constantes.
- Los mercados se encuentran en equilibrio.
• Capital Asset Prices. Sharpe, W. Journal of Finance, 1964.

15


• La recta que pasa por los puntos r y µM es la que expresa la condición de
equilibrio teórica entre rendimiento y riesgo para los activos. Constituye la
fórmula de valoración de los activos y en una situación de equilibrio todos los
activos se situarán encima de la línea (SML: Security Market Line).

Rentabilidad esperada
SML
M
µ

r

BM =1 Beta

• WACC, coste del capital y valoración
• Observamos que la rentabilidad de un activo viene dada por su riesgo no-
diversificable. Sin incrementar el capital invertido (utilizando apalancamiento
con dinero prestado o leverage) o el riesgo sistemático asumido, no se puede
incrementar la rentabilidad.

16


Estrategias operativas Equity Market Neutral

• Consiste en explotar las ineficiencias del mercado mediante la toma de
posiciones largas y cortas de manera simultánea en acciones de renta
variable. Las posiciones largas y cortas se ponderan de modo que la
exposición al mercado es cero (beta nula). Estrategia de valor relativo,
sin exposición a la dirección de mercado. La rentabilidad dependerá de
las alfas.
• La neutralidad respecto al mercado se obtiene ponderando
adecuadamente las posiciones larga y corta. Si β L y β S son las betas de
la posición larga y corta respectivamente, la proporción que hay que
vender del activo o cartera corta es β L
βS

• Un ejemplo de este tipo de estrategias es el pairs trading. Intenta
aprovechar movimientos en el spread de precios, con la expectativa que
vuelvan a sus valores medios. Se identifican dos acciones con precios
cointegrados (el spread tiene reversión a la media) y se aprovechan
situaciones en las que los precios divergen. Se toma una posición
compradora en la acción que se ha depreciado en términos relativos, y se
vende la acción que se ha apreciado.

17



• APT (Asset/Arbitrage Pricing Theory) (Ross, S)

• La idea del modelo CAPM se puede extender para
incluir varios índices representativos del mercado (por
ejemplo, índices de renta variable, renta fija, divisa,
económicos,etc) o estadísticamente representativos
(análisis componentes principales, etc).

• En un modelo multi-índice, la rentabilidad de un activo
se expresa como: L
Ri = α i + ∑ β ij ⋅ F j + ε i
j =1
L es el número de índices o factores
Fj es la rentabilidad de los índices Ij

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• Para el ajuste mediante mínimos cuadrados, es
conveniente que los factores sean ortogonales, es decir:
Cov( Fi , F j ) = 0 ∀i, j = 1,..., L
Cov( Fi , ε j ) = 0 ∀i = 1,..., L

• A partir de un conjunto de factores de riesgo, siempre
podemos reducirnos a un conjunto de factores
ortogonales:

– Sean F1*, F2* rentabilidades de dos índices correlacionados.
Para construir una base ortogonal de índices F1, F2,
definimos:
F1 = F1 F2 = F2 − γ 0 − γ 1 F1
* *

Donde γ 0, γ 1 se determinan de la regresión F2* = γ 0 + γ 1 F1 + ε

19



• El modelo APT considera que el riesgo sistemático no se puede medir a
partir de una única fuente o factor de riesgo.
• En un mercado eficiente, la rentabilidad de un activo debería ser función
de los diversos riesgos asociados (medidos por los factores de riesgo) .

• El modelo teórico APT es muy general y no especifica exactamente
cuales son los factores de riesgo sistemático, ni siquiera cuantos son.

• En la práctica, se han determinado varios factores de riesgo que afectan
los movimientos de precios de los activos del mercado de manera
consistente.

• Existen modelos con factores fundamentales de tipo microeconómico
(ratios característicos de las acciones y de las empresa), otros con
factores fundamentales de tipo macroeconómico (inflación, producción
industrial, tipo de interés, confianza consumidores, etc) y otros factores
estadísticos (factores principales, componentes principales, etc)

• Ver artículo Global Risk Attribute Model, Citi research Dec 2010.

20



• El Teorema de Ross, permite demostrar que si:
L
Ri = α i + ∑ β ij ⋅ F j + ε i
j =1

• Y no existen oportunidades de arbitraje (equilibrio),
entonces:

µ i = ai + ∑ β ij ⋅ (µ j − r ) ⇒ ai = r
L

j =1

µ j es la rentabilidad esperada del índice j

21



• En notación matricial, para una cartera con N activos:

– R vector N x 1 de rentabilidades (por encima del libre riesgo r).
– B matriz de N x L de betas de los N activos respecto los factores
de riesgo.
– f vector L x 1 de rentabilidades de los factores de riesgo (por
encima del libre de riesgo), primas de riesgo.
– E vector N x 1 de rentabilidades residuales (de riesgo no
sistemático).
– Σ matriz N x N de variancias-covariancias de las rentabilidades
de los activos.
– matriz L x L de variancias-covariancias de las rentabilidades
f.
– Ω matriz N x N diagonal de riesgo residual ei (de rentabilidad
no sistemática Σ i

22



 R1 − r   Fi − r   ε1 
     
R= M  f = M  E = M 
R −r F −r ε 
 N   L   N

B = (β ij )ij i = 1, L , N j = 1, L , L

Σ = (σ ij )ij i, j = 1, L , N

Λ = (λij )ij i, j = 1,L , L

Ω = diag (ei ) i = 1, L, N

23



• En notación matricial para una cartera con N activos:

R = Β⋅ f + Ε

Σ = Β ΛΒ + Ω
T

24



• Risk Model Handbook, Barra. 2007

• Handbook of Porfolio Construction, John B. Guerard. Springer.

25



• Ejemplo: en el modelo de factores fundamentales
macroeconómicos de Ross se utilizan los siguientes 5 factores:

– Confianza de los inversores:medida como la diferencia de tipos de
interés implícito entre bonos corporativos y bonos del gobierno,
con vencimiento veinte años. La mayoría de acciones tienen una
exposición positiva a este riesgo, y normalmente las pequeñas y
medianas empresas tienen una sensibilidad superior.

– Horizonte temporal: medido como la diferencia entre la
rentabilidad implícita de los bonos a 20 años y las letras a 30 días.
Si ésta se incrementa, los inversores requieren mayor
compensación por aumentar el plazo de la inversión. Las acciones
de crecimiento tienen mayor sensibilidad a este factor.

26



• La inflación acorto plazo:medida por las variaciones mensuales
del IPC. La mayoría de acciones tienen sensibilidad negativa a la
variación de la inflación. Algunas acciones como las empresas
constructoras o inmobiliarias, o relacionadas con el petróleo
tienen beta positiva.

• El ciclo económico: medido por las variaciones mensuales del
índice de producción industrial.

• Market-timing: medido como la parte de rentabilidad de un
índice de referencia del mercado (por ejemplo S&P 500) que no
se explica por los anteriores factores y el activo libre de riesgo.

27



• APT para el S&P 500:

Factor de riesgo Beta µj −r
Confianza inversor 0.27 2.59%

Inflación 0.56 -0.66%

Horizonte -0.37 -4.32%
temporal
Ciclo económico 1.71 1.49%

Market-timing 1.00 3.61%

• µ S & P = r + 0.27 x 2.59% + K + 1x3.61% = 13.09%

28



• Por lo tanto, la rentabilidad Ri de un activo i del S&P 500
se escribe según el APT:

µ i = r + β i1 ( 2.59) + β i 2 (−0.66) + β i 3 (−4.32) + β i 4 (1.49) + β i 5 (3.61)

29


• Modelo de factores fundamentales de Piotroski’s (Value Investing: The
Use of Historical Financial Statement Information to Separate Winners
from Losers, Joseph D. Piotroski).

30



• Aplicaciones del APT:
– Carteras óptimas: la rentabilidad esperada dada por APT
se puede usar en el problema de optimización. A menudo
se usa la matriz de varianzas-covarianzas del riesgo
sistemático dada por APT, en lugar de la matriz total (más
difícil de estimar con precisión). Se pueden utilizar los dos
ingredientes de APT o sólo alguno de estos combinados
con otras técnicas del otro.

– Carteras indexadas: dado un índice de mercado bien
diversificado, podemos construir una cartera diversificada
que lo replique (o esté sesgado) reproduciendo la
exposición a los factores de riesgo que da APT para el
índice. El riesgo específico de la selección de los activos de
la cartera se puede reducir escogiendo una cartera
suficientemente diversificada εΠ = 0

31



– Análisis de rentabilidades a posteriori: el APT se puede utilizar
para analizar como se origina la rentabilidad obtenida. Nos permite
conocer la exposición al cada factor de riesgo y compararlo con un
índice de referencia benchmark. Se pueden atribuir las diferencias en
el resultado obtenido a las diferencias de exposición a los factores y a
la selección de valores. La rentabilidad se puede separar en tres
componentes:

• Rentabilidad esperada, obtenida por el riesgo asumido.

• Rentabilidad no esperada, debida a apuestas en alguno de los factores de
riesgo o rentabilidad distinta a la esperada en alguno de los factores.

• Rentabilidad debida a la selección de activos. Es decir, si resulta ai > r la
rentabilidad añadida debe atribuirse a la selección acertada de los activos (a
menudo se denomina α positiva, ya que el APT también escribe a menudo:

Ri = α i + r + ∑ β j (F j − r ) + ε i
L

j =1

32



• Análisis de rentabilidades (performance attribution) en el modelo de
Barra:

33



– Estrategias long-short (o market neutral): APT se utiliza
para determinar que las carteras larga y corta tengan
riesgo opuesto.

– Supongamos que podemos seleccionar dos carteras de
activos bien diversificadas ( ε Π = 0 ) y sin activos en
común, con sensibilidades a los factores de riesgo (dadas
por APT) de signo contrario. Es decir, el riesgo global de
tener dos carteras es nulo.

– Si las rentabilidades de las carteras larga y corta son rL y rS
respectivamente y suponemos que por la cartera corta
(vendida por la entrega en fecha futura) cobramos un tipo
de interés libre de riesgo r, la rentabilidad total es rL-rS+r.

34



– La varianza de la cartera total, debido a que las posiciones
larga y corta no tienen activos en común y las
exposiciones a riesgo sistemático se anulan es: el +eS.
Donde suponemos que el activo libre de riesgo tiene
varianza cero.

– Si las carteras larga y corta están bien diversificadas, su
riesgo no-sistemático e es nulo (poco significativo).

– Las cartera anterior tiene riesgo nulo y rentabilidad
esperada rL-rS+r. Se trata de ser capaces de seleccionar
las carteras larga y corta con acierto (α L positiva y α S
negativa)

35



– Permite combinar el equilibrio del mercado ( CAPM, APT) con
expectativas de mercado del inversor o gestor.

– El gestor puede introducir visiones de mercado sobre expectativas
de carteras o segmentos del mercado.

– El resultado del modelo son las rentabilidades esperadas de los
activos así como la cartera óptima.

– El modelo da un punto de referencia para las rentabilidades
esperadas iniciales (las de equilibrio) así como un proceso
sistemático para expresar visiones de mercado. El modelo clásico de
Markowitz requiere al gestor dar todas las rentabilidades esperadas,
sin ningún punto de partida.

– Ejemplo: ver artículo Black-Litterman in practice, Cheuvreux
research May 2009.

36



• Propiedades de las carteras óptimas de Black-Litterman:

– La cartera sin restricciones es la cartera de equilibrio de
mercado (CAPM) más la suma ponderada de carteras que
representan las expectativas del gestor.

– La ponderación de una cartera de expectativas es positiva
si la visión es más alcista que la implícita en la de
equilibrio.

– La ponderación aumenta si el gestor tiene mayores
expectativas o tiene más confianza.

37



Volatilidad
País Índice % Australia Canadá Francia Alemania Japón UK USA

Australia 1
Australia 16.0
Canadá 0.488 1
Canadá 20.3
Francia 0.478 0.664 1
Francia 24.8
0.515 0.665 0.861 1
Alemania
Alemania 27.1

Japón 0.439 0.310 0.355 0.354 1
Japón 21.0

Uk 0.512 0.608 0.783 0.777 0.405 1
UK 20.0

USA 0.491 0.779 0.668 0.653 0.306 0.652 1
USA 18.7

38


• Rentabilidades de equilibrio:
– Las rentabilidades esperadas que trataremos hacen
referencia a rentabilidades por encima del activo libre de
riesgo.

– La cartera de mercado de equilibrio la escribimos Weq. Es
el vector de pesos de cada uno de los N activos del
mercado.

– La matriz de varianzas y covarianzas de las rentabilidades
es Σ .

– La aversión (media) al riesgo se expresa con el parámetro
Para los ejemplos δ = 2.5 . Es la prima de riesgo δ
(Rentabilidad esperada del mercado por encima del libre
de riesgo por unidad de varianza del mercado).

39



– Las rentabilidades esperadas de equilibrio son el vector:

Π = δ ⋅ Σ ⋅Weq
– Las rentabilidades del modelo CAPM son:

µ = Π +ε

ε tiene media 0 y covarianza τ ⋅Σ , τ mide la incertidumbre
en Π

40



Ponderación en
Rentabilidad de
País cartera de
equilibrio
mercado
Australia 1.6 3.9

Canadá 2.2 6.9

Francia 5.2 8.4

Alemania 5.5 9.0

Japón 11.6 4.3

UK 12.4 6.8

USA 61.5 7.6

41



• Comportamiento inestable en carteras óptimas:

– Supongamos que tenemos la visión de mercado que la
renta variable de Alemania tendrá un mejor
comportamiento respecto al resto de Europa, en un 5%.
– Supongamos que las rentabilidades esperadas para todos
los mercados son del 7%
– Incorporamos nuestra visión modificando la rentabilidad
esperada de Alemania aumentándola un 2.5%, y
reduciendo la de Francia y UK en un 2.5%.
– Utilizando optimización de media-varianza, el cambio en
las rentabilidades de la visión de mercado produce
cambios bruscos en la cartera:
• Alemania: de –33.5% a 80%
• Francia: de –5% a –94.8%

42



• Podemos partir de las rentabilidades de equilibrio para
incorporar nuestra visión de mercado.

• Podríamos modificar la rentabilidad esperada de Alemania
incrementándola un 5% respecto la rentabilidad media
ponderada del resto de Europa. Esto modifica la rentabilidad
de Alemania respecto el mundo, por lo tanto no es adecuado.

• Una alternativa es incrementar la rentabilidad esperada de
Alemania en un 5% respecto la media de Francia y UK pero
imponiendo que la europea se mantenga constante, por lo
tanto, se reducen la de Francia y UK, que también imponemos
lo hagan de la misma forma.

43



• Con estos nuevos parámetros de rentabilidades, la
cartera óptima experimenta cambios poco intuitivos.

• Australia de 2% a -5%
• Japón de 10% a 12%

• El inconveniente es debido a como se traduce la visión
de mercado en las rentabilidades esperadas.

44



• El modelo de Black-Litterman permite expresar
expectativas sobre subcarteras, de manera que no
utiliza únicamente un vector de rentabilidades.
• Una expectativa o visión de mercado se implementa en
el modelo como la rentabilidad de una cartera.
• Si no se añaden visiones de mercado el modelo sin
restricciones es la cartera de equilibrio.
• Una expectativa se expresa: pT ⋅ µ = q + ε
P pesos en la visión de mercado
µ rentabilidades esperadas
q rentabilidad esperada de la cartera
ε incertidumbre, de media 0 y varianza ω (confianza 1/ω)

45



• La visión sobre Alemania se expresará ahora como una
rentabilidad del 5% por una cartera formada por una
posición larga en Alemania y corta en Francia y UK.

• En general, el gestor tiene K visiones de mercado que
se expresan:
P⋅µ = Q +ε
P matriz KxN
Q vector Kx1
ε vector Kx1, medias 0 y varianzas-covarianzas Ω

46



• El vector de rentabilidades esperadas es

[
µ = (τΣ ) + P Ω P
−1 T −1
] [(τΣ)
−1 −1
Π + PT Ω −1Q ]

47



• La cartera óptima se puede obtener del máximo de:

1
w ⋅ µ − δ ⋅ wT ⋅ Σw
T

2

• La solución al problema sin restricciones es:
1
w =
*
Σ −1 ⋅ µ = weq + P T Λ
δ
−1 −1
1 1 T τ 1 
Λ = τΩ −1
τΩ Q −  Ω + PΣP  PΣweq −
−1
τ Ω + PΣPT  PΣPT Ω −1Q
δ τ  δ  

48



• Para una expectativa k, su peso λk es una función
creciente respecto su rentabilidad esperada. El valor
absoluto de λk es una función creciente del nivel de
1
confianza .
ωk

• El problema para carteras óptimas con restricciones se
resuelve con las técnicas habituales pero con las
rentabilidades esperadas dadas por el modelo de Black-
Litterman.

49



δ

δ

50



• The Black-Litterman Model –mathematical and behavioral
finance approaches towards its use in practice-. Mankert,
Charlotte.

• The Black-Litterman Approach: Original Model and Extensions.
Meucci, Attilio.

51

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