Gestión Carteras Media-Varianza

Gestión de Carteras

Gerard Albà
Xavier Noguerola
FME UPC – Mayo 2012

Tècniques quantitatives per als Mercats Financers

1. Carteras óptimas

1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en
modelos de un período.

1.2 Carteras eficientes de Markowitz.

1.3 Modelo de Tobin. El activo monetario sin riesgo.

1.4 Cestas reducidas. Tracking error

2


1.1 Conceptos básicos. Modelos de Media-Varianza. Stocks en un período.

• Rentabilidad
– Consideramos una acción S con precio inicial S0 y final ST
en los instantes de tiempo 0 y T respectivamente

– La rentabilidad relativa (simple o continua) de esta acción
será:
ST − S 0 ST
r = r = ln
S0 ó S0

– La rentabilidad, más generalmente, incluye las ganancias
de capital y dividendos en el periodo [0,T]:

d + ST − S 0
r =
S0
3


• La distribución de las rentabilidades diarias observadas para una
acción se asemeja a la distribución estadística Normal.

4



• Sin embargo, la distribución observada a menudo
muestra una cierta asimetría o mayor frecuencia de
valores extremos (fat tails) que los predichos por la
Normal.

• Los parámetros usados para medir las desviaciones de
la distribución observada respecto de la normal son el
coeficiente de asimetría (skew) y la curtosis.

5



• Curtosis: es una medida de la existencia de fat tails en la
distribución de rentabilidades

E (r − r ) 4
K=
σ4

– Si K>3, se tienen fat tails (Leptokurtosis, mayor
probabilidad de que los retornos estén alejados de la
media).

– K=3 para la distribución Normal.

6



• Coeficiente de asimetría (sesgo, Skew): es una medida
de la asimetría de la distribución respecto al promedio

E (r − r )3
skew =
σ3

– Si el coeficiente es positivo (negativo), la asimetría
implica más peso a valores mayores (menores) que la
media.

– Skew = 0 para distribuciones simétricas.

7



8



• Si suponemos como modelo para la distribución de
rentabilidades que es aproximadamente una Normal:

– La probabilidad que la rentabilidad esté en un intervalo de
longitud 1 x desviación típica alrededor de la media es
aproximadamente 0.68



9



• El parámetro que mide cuanto varían las rentabilidades
respecto a su valor medio es la desviación típica σ (o
volatilidad)

• Un valor pequeño de σ indica que la mayoría de casos se
concentran cerca del valor medio. Un valor grande de σ
indica que los datos están más dispersos.

• La volatilidad es una medida de Riesgo

10



• La volatilidad histórica σ n de la rentabilidad r de una
variable de mercado S en el instante n se puede calcular
a partir de una muestra de m observaciones anteriores
y el estimador estadístico no sesgado:
1 m
σn = ∑ (rn−i − r ) 2
2

m − 1 i =1

– ri es la rentabilidad compuesta continua de la variable S
entre los instantes ti-1 y ti. Es decir, si Si es el valor de S en
el instante ti S
ri = ln i
S i −1
– r es la rentabilidad media:
1 m
r = ∑ rn −i
m i =1
11



• Supongamos que tenemos una cartera con N activos,
sean:
– Si el precio actual del activo i

– ri la rentabilidad del activo Si en el periodo T. ri es una
variable aleatoria, que supondremos con distribución de
rentabilidades Normal de media µ i ⋅ T y desviación típica
.σ i ⋅ T Las variables µ i y σ i corresponden a la media y
volatilidad de la rentabilidad ri , que escalamos para el
tiempo T.
– ρ ij es la correlación entre las rentabilidades de los activos
i y j.
– wi es la cantidad (peso) del activo i en la cartera

12



• Cálculo correlaciones ρ ij a partir de rentabilidades
observadas (correlación histórica):
rti i = 1,..., N t = 1,..., m

Estimadores estadísticos:

∑ (r )( )
m
1
Cov( ri , r j ) = i
− rti rt j − rt j
m −1
t
t =1

Cov(ri , r j )
ρ ij =
σ i ⋅σ j

13



• El valor de la cartera es Π
N
Π = ∑ wi ⋅ S i
i =1

• Al final del periodo T, el valor de la cartera es:
N
Π + δΠ = ∑ wi ⋅ S i ⋅ (1 + ri )
i =1

14



• Considerando los pesos normalizados (suma=1):

wi ⋅ S i
Wi = N

∑w ⋅S
i =1
i i

• El cambio relativo (en porcentaje) de la cartera es:

δΠ N
= ∑ Wi ⋅ ri
Π i =1

15



• El valor de la rentabilidad esperada de la cartera es:

1  δΠ  N
µ Π = E   = ∑ Wi ⋅ µ i
T  Π  i =1

• Y la desviación típica (volatilidad) de la suma de v.a:

1  δΠ  N N
σΠ =
T
⋅ var   =
Π
∑ ∑W
i =1 i =1
i ⋅ W j ⋅ ρ ij σ iσ j

16



• Si aceptamos la hipótesis de normalidad de los
retornos:

– Riesgo/Rentabilidad de un activo están caracterizados por
Volatilidad y Rentabilidad Esperada.

– Una Cartera de activos también tiene v.a. rentabilidad con
distribución Normal (modelo).

17



• Diversificación. Efecto de reducción de riesgo que se produce al
combinar adecuadamente los valores de una cartera.

• Tradicionalmente, diversificar consistía en poseer valores en
cada uno de los sectores existentes.

• Markowitz cambia este concepto en busca de reducir el riesgo
sin sacrificar rentabilidad, escogiendo en su cartera valores con
covarianza (correlación) pequeña entre ellos.

Un inversor puede reducir el riesgo eligiendo acciones cuyas
oscilaciones no sean paralelas. La rentabilidad esperada y la
volatilidad de cada valor no cambian con la diversificación, lo que
varía es el riesgo de todos como unidad.

18



• El riesgo de una cartera se divide en (veremos formalización
en el apartado correspondiente al modelo Sharpe/CAPM):

– Riesgo sistemático: inherente al mercado (no
diversificable)

– Riesgo no sistemático o específico: propio del título
(diversificable)

σ = βσ + σ
2 2
m
2
e

19



• Construyendo una cartera adecuadamente diversificada,
el riesgo no sistemático (diversificable) es pequeño en
comparación con el riesgo sistemático. Con lo que el
riesgo total de la cartera está compuesto, básicamente,
por el riesgo no diversificable.

• Una manera de reducir el riesgo diversificable es
aumentando el número de títulos

20



• Efecto del aumento del número de títulos sobre el riesgo de la
cartera. Consideremos una cartera formada por N activos
equiponderados (Wi = 1/N),
N

- La varianza media de sus activos será:
∑σ i
2

VarM = i =1
N
∑σ ij
- Covarianza media: CovM = i< j

(N − N )
2

2 N

∑σ i
2
∑σ
i< j
ij
VarM ( N − 1)
Por otro lado, la varianza de la cartera será: σ = +2 = +
2 i =1
- Π 2 2
CovM
N N N N

- El riesgo de una cartera compuesta por “muchos activos” tiende a la
covarianza media de éstos (ley de la covarianza media). Por otro lado,
la covarianza media depende del número de activos N, de manera que
su valor decrece cuando N crece
σ Π N →∞ → CovM
2
 
21


1.2 Carteras eficientes de Markowitz

• ¿Qué cartera elegirías?

25%
Re ndibilidad

20% E
15% A B
10% C D
5%
0%
0% 10% 20% 30% 40%

Riesgo

• Cartera eficiente, frontera eficiente.

22



• Comportamiento racional del inversor: desea rentabilidad
y rechaza el riesgo

• Leit Motiv: máxima rentabilidad posible con el mínimo
riesgo.

• Cartera óptima (eficiente): aquella que proporciona
máxima rentabilidad para un nivel determinado de riesgo
o mínimo riesgo para un nivel determinado de
rentabilidad (Análisis de Media-Varianza)

23



• Una vez determinada la frontera eficiente,
¿cómo elegimos la cartera óptima para cada caso?

La aversión al riesgo del inversor nos fijará el punto de
la frontera eficiente que debemos elegir.

24



• Formulación del problema de hallar la Frontera Eficiente
(conjunto de carteras óptimas), programación cuadrática:

N
– Maximizar:
µ Π = ∑ Wi ⋅ µ i
i =1

con las restricciones:
N N
σΠ = ∑
2
∑ W ⋅W i j ⋅ ρ ijσ iσ j = σ *
i =1 j =1

N

∑W
i =1
i =1

Wi ≥ 0
25



• Formulación del problema de hallar la Frontera Eficiente
(conjunto de carteras óptimas), programación cuadrática:

N N
– O Minimizar :
σΠ = ∑
2
∑ W ⋅W i j ⋅ ρ ijσ iσ j
i =1 j =1

con las restricciones:
N
µ Π = ∑ Wi ⋅ µ i = µ *
i =1

N

∑W
i =1
i =1

Wi ≥ 0

26



• La restricción Wi ≥ 0 significa que la posición en cada uno de
los activos es larga (los activos están comprados).
N
• La restricción ∑W
i =1
i = 1 significa que agotamos el presupuesto.

• µ* y σ* son parámetros que hacemos variar dentro de un
rango lógico de valores para obtener los puntos de la frontera
eficiente.

27



Rentabilidades
esperadas

Volatilidades y
Optimización de Frontera eficiente
Correlaciones
carteras Media-Varianza
estimadas

Restricciones
sobre la Cartera
composición de seleccionada
la cartera

28


• El análisis de Markowitz también se puede formular mediante
Lagrangianos (Ver: Handbook of Portfolio Construction, J B.
Guerard).

• Si consideramos el ratio de Sharpe de la cartera:

• La cartera óptima se puede obtener resolviendo el sistema de
ecuaciones:

29



• Ejemplo

Volatilidades diarias anualizadas
TEF 15.75% BBVA 15.82% ACX 20.08%

Matriz de correlaciones:

TEF BBVA ACX
TEF 1 0.75 0.52
BBVA 0.75 1 0.45
ACX 0.52 0.45 1

30



• Carteras media-varianza para el ejemplo BBVA-ACX

BBVA ACX rent volat

100% 0,00% 7,72% 15,82%

90% 10,00% 7,90% 15,26%

80% 20,00% 8,08% 14,92%

70% 30% 8,26% 14,82%

60% 40% 8,43% 14,97%

50% 50% 8,61% 15,35%

40% 60% 8,79% 15,96%

30% 70% 8,96% 16,76%

20% 80% 9,14% 17,73%

10% 90% 9,32% 18,84%

0% 100% 9,50% 20,08%

31



• Universo de carteras de inversión para el ejemplo BBVA-ACX

Markowitz BBVA-ACX

10,00%
9,50%

9,00%
8,50%
8,00%

7,50%
7,00%
14,00% 15,00% 16,00% 17,00% 18,00% 19,00% 20,00% 21,00%

32



• Frontera eficiente de Markowitz BBVA-ACX

Frontera eficiente BBVA-ACX

10,00%
9,50%
9,00%
8,50%
8,00%
7,50%
7,00%
14,00% 15,00% 16,00% 17,00% 18,00% 19,00% 20,00% 21,00%

33



• Resultados obtenidos para el ejemplo TEF-BBVA-ACX

Markowitz TEF-BBVA-ACX

10.00%
9.50%
9.00%
8.50%
8.00%
7.50%
7.00%
6.50%
6.00%
5.50%
5.00%
4.50%
4.00%
14.00% 15.00% 16.00% 17.00% 18.00% 19.00% 20.00% 21.00%

34



• Comparación de resultados: añadir una acción más nos puede
permitir reducir el riesgo pero no aumentar la rentabilidad ya que la
cartera de 2 activos tiene la acción de máxima rentabilidad (ACX).

TEF-BBVA-ACX BBVA-ACX

10.00%
9.50%
9.00%
8.50%
8.00%
7.50%
7.00%
6.50%
6.00%
5.50%
5.00%
4.50%
4.00%
14.00% 15.00% 16.00% 17.00% 18.00% 19.00% 20.00% 21.00%

35



• Modelo de Markowitz para carteras de 2 activos:

µ Π = W1µ1 + W2 µ 2
σ 2 = W12σ 12 + W22σ 2 + 2W1W2 ρ12σ 1σ 2
Π
2

Donde, como agotamos el presupuesto, W2 = 1 − W1

• Estudiemos el efecto de la correlación sobre la frontera
eficiente:

– Caso 1: Títulos independientes ρ12 = 0
– Caso 2: Títulos perfectamente correlacionados ρ12 = 1
– Caso 3: Títulos correlacionados de forma inversa ρ = −1
12

36



• Caso 1: ρ12 = 0

σ 2 = W12σ 12 + (1 − W1 ) 2 σ 2
Π
2

Buscamos el mínimo de esta función de variable w1 para
obtener la cartera de mínima varianza y obtenemos que los
pesos para la cartera de mínima varianza son:
σ22
σ 12
W1 = 2 W2 = 2
σ1 + σ 2
2
σ1 + σ 2
2

Y para éstos, la rentabilidad esperada de la cartera es:

µ1σ 2 + µ 2σ 12
2
µΠ =
σ 12 + σ 2
2

37



• Caso 1: ρ12 = 0
Tenemos ya el primer punto de la frontera eficiente, el resto
vendrá determinado por la parábola de ecuación:

 σ 12 + σ 2 
2
 µ 2σ 12 + µ1σ 2  µ 2 σ 12 + µ12σ 2
2 2 2
σ Π = µΠ 
2 2
 (µ − µ ) 2  − 2µΠ  ( µ − µ ) 2  + ( µ − µ ) 2
  
 1 2   1 2  1 2

38



• Gráficamente, tomando las rentabilidades y volatilidades de
BBVA-ACX:

10,00%

9,50%

9,00%

8,50%

8,00% Correlación Cero
Correlación real
7,50%
12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00%

39



• Caso 2: ρ12 = 1

σ 2 = W12σ 12 + (1 − W1 ) 2 σ 2 + 2W1W2σ 1σ 2 = (W1σ 1 + W2σ 2 ) 2
Π
2

Tenemos por lo tanto:

σ Π = W1σ 1 + (1 − W1 )σ 2
Y esta vez la ecuación de la frontera eficiente será la recta:

 σ 2 − σ 1   µ 2σ 1 − µ1σ 2 
σ Π = µΠ 
 µ −µ + µ −µ 
  
 2 1   2 1 

40



BBVA-ACX:

10,00%

9,50%

9,00%

8,50%

8,00% Correlación Cero
Correlación real
Correlación 1
7,50%
12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00%

41



• Caso 3: ρ12 = −1
σ 2 = W12σ 12 + (1 − W1 ) 2 σ 2 − 2W1W2σ 1σ 2 = (W1σ 1 − W2σ 2 ) 2
Π
2

Tenemos por lo tanto:

σ Π = W1σ 1 − (1 − W1 ) ⋅ σ 2
Y esta vez la ecuación de la frontera eficiente serán 2 rectas:

  σ 1 + σ 2   µ1σ 2 + µ 2σ 1  
σ Π = ± µ Π 
  µ − µ − µ − µ
  

  1 2   1 2 

42



• Caso 3: ρ12 = −1

En este caso obtenemos una cartera de riesgo nulo cuando:
σ2
W1σ 1 = (1 − W1 )σ 2 ⇒ W1 =
σ1 + σ 2
que tiene una rentabilidad esperada de:

µ1σ 2 + µ 2σ 1
µΠ =
σ1 + σ 2
Notemos que, por tanto, podemos tener una cartera de
riesgo nulo si partimos de dos activos perfectamente
“descorrelacionados”.

43



BBVA-ACX:

10,00%

9,50%

Correlación Cero
9,00%
Correlación real
Correlación 1
8,50% Correlación -1

8,00%

7,50%
0,00% 3,00% 6,00% 9,00% 12,00% 15,00% 18,00% 21,00%

44



BBVA-ACX:

10,00%

9,50%

Corr: 0
9,00% Corr: real
Corr: 1
Corr: -1
8,50% Corr: - real

8,00%

7,50%
0,00% 3,00% 6,00% 9,00% 12,00% 15,00% 18,00% 21,00%

45



• Triángulo de diversificación de Markowitz:

– Espacio delimitado por las fronteras eficientes
correspondientes a las correlaciones extremas ( ± 1)

– Los vértices de este triángulo son las carteras de máxima
y mínima rentabilidad y la de riesgo nulo:

 µ1σ 2 + µ 2σ 1 
(σ 1 , µ1 ), (σ 2 , µ 2 ) y  0,
 
 σ1 + σ 2  

– En el gráfico del triángulo de Markowitz observamos que
a medida que desciende la correlación, desciende el
riesgo de la cartera.

46



• El modelo de Tobin es una variante del modelo de
Markowitz que introduce en el análisis un activo con
volatilidad nula (activo libre de riesgo del mercado
monetario).

• Este modelo presenta este activo como una tasa de
interés a la que podemos invertir o endeudarnos sin
riesgo. Esto es, si denominamos W0 al peso del activo
libre de riesgo, W0 <0 significará endeudamiento.

47



• Formulación del modelo de Tobin para N activos:

N −1 N −1
Minimizar σΠ = ∑ ∑W ⋅ W j ⋅ ρ ij σ i σ
2
i j
i=0 j=0

con las restricciones
N −1

∑ Wi ⋅ µ i = µ *
i =0
N −1

∑W
i =0
i =1

Wi ≥ 0, ∀i = 1K N - 1

48



• Modelo de Tobin para 2 activos

Consideramos el activo libre de riesgo y un activo con riesgo.
Sean (0, µ 0 ) y (σ 1 , µ1 ) sus parámetros.

Notemos que la covarianza entre estos activos es 0 (al ser 0
la volatilidad del activo libre de riesgo) y, por tanto, la
función objetivo es:

σ Π = W12σ 12
2

49



• De esta forma, la frontera eficiente que obtenemos con un
activo libre de riesgo y otro con riesgo degenera en la recta
que une los puntos que los representan en el espacio de
rentabilidad/varianza. Y tiene por ecuación:

 µΠ − µ0 
σΠ = 
 µ − µ σ 1

 1 0 

o, de manera equivalente:

µΠ = µ0 +
(µ1 − µ0 ) σ
Π
σ1

50



• Tobin para 2 activos
W0=0
12%

10%

8%
Rent.

6%

4%

2%
W0>0 W0<0
0%
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00%
Riesgo

51


• En general, la frontera eficiente de Tobin para N activos será, del
conjunto de rectas que unen el activo libre de riesgo a la
frontera eficiente de Markowitz para los N-1 activos restantes,
aquella cartera que es tangente a la frontera eficiente de
Markowitz.

16%
14%
Rentabilidad

12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Riesgo

52



• Ecuación de la frontera eficiente de Tobin para N activos

– Extrapolando el resultado obtenido para 2 activos obtenemos
que, si denominamos µT a la rentabilidad esperada de la
cartera de Markowitz en el punto de tangencia y σ T a su
volatilidad, la ecuación de la frontera eficiente de Tobin es la
recta del plano de Riesgo/Rentabilidad que pasa por estos 2
puntos:

µΠ = µ0 +
(µT − µ0 ) σ
Π
σT

53



• Esta recta tangente se denomina Línea de Mercado de
Capitales (Capital Market Line).

• El punto de tangencia corresponde a una cartera que no
contiene el activo sin riesgo. Se denomina cartera de
mercado.

• Todas las carteras óptimas se pueden escribir como
combinaciones de estas dos carteras: la libre de riesgo y la
de mercado. Una vez conocida la composición de la cartera
de mercado, la composición de la cartera óptima será:

W0 , (1−W0 )WiT ∀i =1KN −1
donde Wi T es la composición de la cartera de mercado.

54



• Las carteras a la izquierda de la Cartera de Mercado son
carteras en las que invertimos parte del capital disponible en
el activo sin riesgo y otra parte en la Cartera de Mercado y
las carteras a la derecha de la Cartera de Mercado son
aquellas en las que tomamos prestado dinero a la tasa del
activo sin riesgo para invertir más capital en la Cartera de
Mercado.

(µ T − µ 0 )
• La pendiente de la CML σ T mide el rendimiento
extra que exige el mercado por unidad de riesgo.

55



• Teorema de separación de Tobin

Todos los inversores que decidan invertir sólo en activos
de riesgo invertirán en la Cartera de Mercado. Ahora
bien, el inversor puede tomar la decisión de invertir en
un activo libre de riesgo o una decisión de
financiamiento.

56



• En realidad, no existe una tasa igual para el endeudamiento
y para la inversión sino que la tasa µ 0 a la que podemos
I

invertir es menor a la de endeudamiento µ 0
E

En este caso, la frontera eficiente de Tobin se convierte en:

W0E = 0
Rentabilidad

W0I = 0

Riesgo

57


1.4 Cestas Reducidas. Tracking error.

• Gestión pasiva: “seguir” al mercado.

• El mercado está representado por los diferentes índices
(Ibex-35, Eurostoxx50, S&P 500…)

• Replicar a los índices puede ser un método de cobertura
o arbitraje respecto a los futuros de los índices.

58



• Fondos cotizados (ETF, Exchange Traded Funds):
– Se trata de híbridos entre fondos de inversión y acciones.

– Son carteras que, al igual que muchos fondos, suelen
replicar a un índice pero que se negocian en bolsa como
las acciones.

– Ventajas:
• frente a las acciones: diversificación (comprando un
ETF se puede invertir en todo un mercado).
• Frente a los fondos de inversión: mayor liquidez y
menores comisiones.

59



• ¿Cómo replicar a un índice?

– Comprando los mismos activos que componen el índice de
manera que tengan en nuestra cartera el mismo peso que
tienen en el índice.

– Con cestas reducidas: intentan conseguir “el mismo
comportamiento” del índice pero con menos valores.

60



• Factores que determinan una cesta reducida:

– Número de acciones con el que se desea replicar al
índice.

– Las acciones que la forman (criterio de capitalización, por
sectores,…).

– El peso de estas acciones en la cesta.

61



• El número de acciones lo fijará el gestor, las acciones que
formen parte de la cesta y su peso es lo que hemos de hallar.

• Observemos que una vez determinado el peso de las acciones
en la cesta, el número de títulos que compraremos de cada
una de ellas será:

Wi × valor índice
Si

62



• Cesta Reescalada.

Ordenar los valores del índice de mayor a menor peso y
quedarnos con los N primeros, siendo N el número de
activos que deseamos tener en la cesta reducida.

Una vez elegidos los valores, determinaremos el peso
de manera que las proporciones entre los distintos
valores elegidos sean las mismas que las existentes
entre dichos valores en el índice.

63



• Cesta Reescalada

Sean xi , i = 1K m los pesos de las m acciones que componen el
índice de manera que xi ≥ xi +1

Según el procedimiento anterior, elegiríamos las N primeras
acciones y calcularíamos sus pesos según la siguiente
expresión:

xi
Wi = N
∀i = 1K N
∑x
j =1
j

64



• Ejemplo IBEX-35 con 10 valores

% en IBEX % en cesta
TEF SM 18.75% 24.94%
SAN SM 16.33% 21.72%
BBVA SM 11.81% 15.71%
REP SM 6.91% 9.19%
IBE SM 5.21% 6.93%
ELE SM 5.11% 6.80%
POP SM 3.35% 4.46%
ALT SM 2.68% 3.57%
ABE SM 2.56% 3.40%
ITX SM 2.47% 3.29%

75.17% 100.00%

65



• El método de la “cesta reescalada” no se fija en el
comportamiento del índice de referencia (benchmark)
sino que sólo confía en que replicando las relaciones de
los valores principales del índice repliquemos también
su comportamiento.

66



• Cesta óptima

Este tipo de construcción se basará en intentar replicar
los valores de rentabilidad y riesgo del índice.

Introducimos un nuevo concepto: Tracking Error.

67



• Tracking Error (TE)

El TE es una medida de la diferencia existente entre las
rentabilidades de la cesta reducida y las del índice que
replica.

Su cálculo expresado en forma matricial sería:

( xcr − xind )T Cov( xcr − xind )

donde Cov es la matriz de covarianzas de los valores del
índice, xind es el vector que contiene los pesos de los valores
del índice y xcr es el vector que contiene los pesos de los
valores que forman parte de la cesta reducida (máximo N
elementos distintos de 0).

68



• Cesta óptima

Nuestro problema vuelve a ser pues la resolución de un
problema de optimización, debemos minimizar el TE.

En este caso, podemos resolver el problema de dos
formas distintas:

- introduciendo variables binarias
- mediante un proceso iterativo

69



Si planteamos nuestro problema de optimización como:

Minimizar TE m

con las restricciones xcr ≥ 0 y ∑ xcr = 1
i

i =1

El programa de optimización nos dará como resultado los
pesos de los activos en el índice puesto que no estamos
indicando que deseamos un número menor de activos.

70



• Cesta óptima-Variables binarias

Para introducir en el modelo de optimización el número de
valores que queremos que tenga la cesta reducida debemos
introducir variables binarias bi , i = 1K m tales que:

bi = 1 ⇔ xcr > 0
i

bi = 0 en otro caso

m

∑b
i =1
i =N

71



• Ejemplo IBEX-35 con 10 valores

% cesta
% cesta rsc. núm títulos ópt. núm títulos

TEF SM 24.94% 171 TEF SM 20.81% 143

SAN SM 21.72% 216 SAN SM 17.75% 177

BBVA SM 15.71% 117 POP SM 13.67% 26

REP SM 9.19% 42 ELE SM 13.14% 71

IBE SM 6.93% 31 ABE SM 12.38% 65

ELE SM 6.80% 37 BBVA SM 9.58% 72

POP SM 4.46% 8 AMS SM 5.19% 66

ALT SM 3.57% 10 UNF SM 3.65% 14

ABE SM 3.40% 18 IDR SM 3.15% 21

ITX SM 3.29% 13 MAP SM 0.68% 5

100.00% 100.00%

72



• Cesta óptima-proceso iterativo

El proceso iterativo consiste en, realizar el primer
proceso de optimización eliminando el valor con menor
peso en el índice. Del vector de pesos obtenido como
solución al minimizar el TE, eliminar aquellos con peso
nulo y nuevamente el de menor peso de los restantes.
Así sucesivamente hasta que tengamos el número de
valores deseado.

• En cualquiera de los problemas de optimización
propuestos podemos añadir las restricciones que
deseemos en función de normativas a cumplir,
decisiones del inversor, deseos de rentabilidad, etc

73

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