Libro dinámica partícula (revisado)

1
D I N Á M I C A
DE LA
P A R T Í C U L A
Ing. Juan Manuel León Estrada
Enero 2012.

2
C O N T E N I D O
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
CONTENIDO:
CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN
I.1. Las fuerzas y el movimiento
I.2. Definición de conceptos
I.3. Cuadro sinóptico
I.4. Principios generales
I.5. Formulario
I.6. Sistemas de Unidades
I.7. Método Analítico
I.8. Métodos Gráficos
CAPÍTULO II CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
II.1. Movimiento Rectilíneo Uniforme
II.2. Movimiento Uniformemente Acelerado
II.3. Movimientos relativos
II.4. Movimientos dependientes
II.5. Tiro Parabólico
II.6. Aceleraciones Normal y Tangencial
CAPÍTULO III CINÉTICA DE LA PARTÍCULA
III.1. Segunda Ley de Newton
III.2. Método de Trabajo y Energía
CAPÍTULO IV OTROS MÉTODOS
IV.1. Impulso y cantidad de movimiento
IV.2. Choques
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
ÍNDICE
OFICIO DE AUTORIZACIÓN

3
“No puedes disfrutar un juego si no conoces
las reglas. Ya sea que se trate de un juego
de pelota, de uno para computadora o
simplemente de un juego en una fiesta, si no
conoces las reglas te aburrirá. No entiendes
lo que los demás disfrutan. Así como un
músico escucha lo que los oídos no
capacitados no consiguen percibir, y del
mismo modo como un cocinero saborea en
un platillo lo que otros no identifican, la
persona que conoce las reglas de la
Naturaleza la aprecia mejor.
Cuando sabes que los satélites siguen las
mismas reglas que una pelota de béisbol
lanzada por un jugador, ves de manera muy
distinta a los astronautas en la órbita cuando
aparecen en la televisión. El conocimiento
de las reglas que rigen el comportamiento
de la luz cambia tu manera de ver el cielo
azul, las nubes blancas y el arco iris.
La riqueza de la vida no se halla sólo en ver
el mundo con los ojos bien abiertos, sino en
saber qué debemos buscar”.
Paul G. Hewitt

4
CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN
El objetivo principal de esta obra es facilitar el aprendizaje de la materia
que lleva el título de la misma.
Los índices de reprobación en las materias de Mecánica (Estática y
Dinámica) son los más altos, no solamente en la Escuela Superior de
Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME), sino en la mayoría de las
instituciones de enseñanza superior en nuestro País. Una de las múltiples
razones es que con mucha frecuencia, cuando algunos alumnos nos
cuestionan sobre los usos en la práctica del tema que estamos viendo, no
sabemos qué responder y esto ocasiona poco interés en ellos.
Desgraciadamente, en la actualidad, la prioridad de la inmensa mayoría
del estudiantado no es aprender, sino acreditar la materia. Si a lo anterior
le agregamos que los conocimientos adquiridos en la secundaria y
bachillerato son prácticamente nulos en Álgebra y Trigonometría, es de
esperarse que fracasen al estudiar Mecánica en cualquiera de sus partes; y
no es que no la aprendan, lo que sucede es que cuando pretenden
aplicar los conocimientos adquiridos, se dan cuenta que no pueden
despejar alguna variable de las ecuaciones ya conocidas o, algo peor, es
que no saben distinguir entre cantidades escalares y vectoriales, lo cual es
primordial en esta materia.
La inmensa mayoría de los libros de texto que usamos en nuestro País tiene
su origen en el extranjero y viene de países tecnológicamente muy
desarrollados como Estados Unidos de Norteamérica, Japón, Alemania y
muchísimos más en los cuales el perfil de los ingenieros requeridos es muy
diferente al perfil de los que se buscan en Haití, Costa Rica, Marruecos,
Perú o México.
En los países del Primer Mundo, ya ni siquiera se imparte la carrera de
Ingeniería Mecánica pura, sino que ahora existe la Ingeniería Robótica,
Cibernética, de Manufactura, de Diseño, etc. En esos países los nuevos
ingenieros se dedican al diseño y fabricación de nuevos sistemas de
comunicación y transporte como nuevos aviones, naves espaciales, trenes
bala o, al menos, sistemas de transporte colectivo o metrobuses; si acaso,
las compañías diseñadoras y fabricantes de estos sistemas de
comunicación, nos capacitan para dar mantenimiento a los mismos ya no
digamos de reactores nucleares, plantas termoeléctricas generadoras de
energía eléctrica, plantas petroquímicas y para la refinación del petróleo.

5
Anteriormente, en nuestro México, cuyos recursos petroleros
aparentemente eran inagotables, se diseñaban y construían plantas
refinadoras, de destilación, petroquímicas y de almacenamiento. Estas
plantas, si bien eran diseñadas con tecnología importada, fueron
montadas, calculadas y ejecutadas por firmas de ingeniería nacionales,
como Bufete Industrial, Industrias del Hierro, Ingeniería y Fabricaciones
Mecánicas, AINSA, Conjunto Manufacturero, Consorcio Industrial, etc. Sin
embargo, a principios de los años setenta, alguien muy importante dentro
del gobierno de nuestro País, ordenó que se contratara a empresas
Extranjeras para realizar este tipo de trabajos como el diseño, cálculo y
montaje de las nuevas plantas petroquímicas en México, pues los precios
de los equipos conseguidos en el continente asiático, en países como
Corea, China y Tailandia, eran más bajos que los nacionales. Con esta
medida se asestó un fuerte golpe a la economía nacional, ya que casi
todas las empresas que durante muchísimos años se dedicaron a estas
actividades, poco a poco se fueron a la ruina. Obviamente, la experiencia
de los buenos ingenieros MEXICANOS dedicados a este tipo de industrias
fue tirada a la basura, pues no pudieron transmitir sus conocimientos a las
nuevas generaciones y, como consecuencia de lo anterior, México cuenta
hoy con muy pocos ingenieros experimentados, ya que muchos de ellos
están jubilados o han fallecido, y los pocos ingenieros activos que cuentan
con estas características están emigrando a los países petroleros.
Por lo antes mencionado, este libro está estructurado de manera que los
conocimientos elementales de Álgebra y Trigonometría sean suficientes
para resolver los problemas típicos de la Mecánica; no se requieren
conocimientos de ninguna otra disciplina matemática.
Recordemos que desde la primaria hasta la educación profesional de
cualquier carrera, el “coco” de la gran mayoría de los estudiantes son
precisamente las Matemáticas. En el caso particular de las carreras de
Ingeniería Mecánica e Ingeniería en Sistemas Automotrices, para el
aprendizaje de la Mecánica necesaria, el conocimiento matemático no
va más allá del Álgebra y Trigonometría. En mi caso y después de 46 años
de experiencia profesional en industrias como la metalmecánica,
azucarera, papelera, petroquímica, alimenticia, refresquera, minera o la
farmacéutica, entre otras, dejaría el manejo de cálculo diferencial e
integral y superiores para uso de los ingenieros que pretendan dedicarse a
la investigación o a aquellos que quisieran ampliar su preparación
académica mediante maestrías o doctorados. Por ello, he solicitado a las
autoridades de la ESIME Azcapotzalco que estas materias (el cálculo
diferencial hacia arriba) sean programadas en los últimos dos semestres
como materias optativas.

6
Cuando somos niños y nos llevan a estudiar catecismo, nos enseñan que el
sexto mandamiento de la Ley de Dios es “No Fornicarás”. Por supuesto que
a esa edad muchos no sabemos lo que decimos y simplemente lo
repetimos. A cierta edad, hay cosas que son entendibles, pero es muy
triste que en la actualidad nuestros alumnos de tercer o cuarto semestre de
nivel profesional simplemente repitan sin saber el significado de algunos
términos como: radián, mecánica, aceleración, tangente, coseno, física,
trabajo, apotema, cinética etc. ¿No me creen? Pregúntenle sobre estas
definiciones a cualquier alumno de cualquier grado. Se asombrarán con el
resultado.
Por todo lo anterior, he decidido iniciar este libro enunciando los términos
más comúnmente usados en nuestra carrera para que, cuando los
alumnos los mencionen, sepan de qué están hablando. Posteriormente, al
inicio de cada capítulo, expondré de la manera más precisa y concisa
posible los principios en los que se basa la materia, a continuación a
manera de ejemplo, resolveremos algunos problemas.
Por último, presentaré suficientes ejercicios con el fin de que el alumno
practique la aplicación de los conocimientos adquiridos. La experiencia
nos indica que para dominar cualquier actividad es indispensable la
práctica. Nuestras máximas figuras deportivas como Hugo Sánchez
Márquez, Fernando Valenzuela, Joaquín Capilla, Javier “El Chicharito”
Hernández, al igual que nuestro astronauta de ascendencia piedadense,
José Hernández Moreno, han sobresalido en sus respectivas actividades
gracias al empeño extraordinario que han puesto en la práctica de sus
profesiones; consecuentemente, si nuestro objetivo es dominar esta
materia, es indispensable practicar, practicar y seguir practicando en la
resolución de problemas relativos a la misma.
También enuncio al inicio de este libro un formulario que es indispensable
MEMORIZAR para tener éxito en el aprendizaje de la Mecánica en general.

7
I.1. L A S F U E R Z A S Y E L M O V I M I E N T O
Las cosas se mueven; se mueve el agua de un río, la piedra lanzada por la
resortera del niño, el pájaro que cruza veloz ante nuestra vista; las casas y
los edificios, que aunque nos parecen fijos, se mueven junto con la tierra
alrededor del Sol. Y también éste se mueve. Y las estrellas. Y las galaxias.
Las cosas se mueven. Pero, ¿cómo se mueven?
El corredor se mueve en línea recta, la piedra de una honda en un círculo,
la lenteja de un péndulo en un continuo y monótono vaivén oscilatorio. El
caracol se mueve lentamente, el avión con rapidez, la rueda de la noria
de manera monótona y uniforme, siempre igual. La piedra cae vertical y
aceleradamente al suelo, cada vez más aprisa, con más deseos de llegar
a la tierra; el proyectil lanzado por un cañón describe una trayectoria
parabólica, y así con todo. Movimientos rectos, curvos, lentos, rápidos,
combinados, uniformes y apresurados.
Los cuerpos, al moverse, describen un camino, una trayectoria a lo largo
de la cual recorren una cierta distancia en un tiempo dado. Y así,
podemos hablar de la velocidad de un cuerpo, la cual puede ser siempre
la misma o variar progresivamente en el transcurso del tiempo, dando lugar
a una aceleración, un cambio de la velocidad. Distancia recorrida,
velocidad, aceleración… Conocer la trayectoria y posición de una
partícula en cualquier instante es saber cómo se mueven los cuerpos; esto
es saber Dinámica.
Pero hay otra pregunta: ¿Por qué se mueven los cuerpos? Porque los
empujamos, los jalamos, los impulsamos de alguna manera. El puntapié
del niño mueve la pelota; el empujón del obrero a la carretilla; el viento a
las ramas de los árboles…
Observando el movimiento de los objetos que nos rodean, podemos
encontrar siempre una causa del movimiento. Y a esta causa, a esta
acción, la llamamos fuerza. La fuerza del puntapié, del empujón, del
viento, es la causa del movimiento y la relación de estos dos conceptos
(fuerza y movimiento) es el tema de este estudio y es el objeto de la
Cinética.
Fue el físico inglés Isaac Newton quien encontró que, cualesquiera que
fuesen las fuerzas y el movimiento, existían unas relaciones únicas entre
ambos conceptos y pudo así expresar el movimiento, ¡todos los
movimientos en un grupo de leyes!: las leyes de la Dinámica, que son las
mismas para todos los cuerpos, para todas las fuerzas, para todos los
movimientos. Y se llegó así a la simplificación, a la síntesis; es decir, al
conocimiento.

8
I.2. DEFINICIÓN DE CONCEPTOS
Definiciones que todo estudiante de INGENERÍA MECÁNICA debe conocer:
1. ACELERACIÓN: es el cambio de la velocidad a través del tiempo.
2. APOTEMA: es la distancia del centro de un polígono regular al
centro de uno de sus lados.
3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO: se le llama así al producto de la
masa por la velocidad.
4. CANTIDAD ESCALAR: es aquélla que tiene número y especie.
5. CANTIDAD VECTORIAL: tiene número, signo, especie, dirección y
sentido.
6. CIENCIA: es un conjunto de conocimientos razonados y
sistematizados opuestos al conocimiento vulgar, los cuales son
comprobables y perfectibles.
7. CINEMÁTICA: es una parte de la Dinámica que estudia el
movimiento sin importar las causas que lo producen.
8. CINÉTICA: es una parte de la Dinámica que, además de
analizar el movimiento, estudia las causas que lo producen.
9. COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN: es la rapidez con la que vuelve a
su forma original un cuerpo elástico.
10.CUERPO RÍGIDO: es aquél que, al analizarlo, influyen sus
dimensiones y su forma no cambia, es decir, no es deformable.
11.DESPLAZAMIENTO: es el cambio de posición de un cuerpo.
12.DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: es la representación gráfica de
las fuerzas que actúan en un cuerpo.

9
13.DERIVADA: es el límite de la relación del incremento de la
función entre el incremento de la variable independiente
cuando ésta tiende a cero y la podemos representar como:
dy/dx = lím Delta y/Delta x cuando (Delta x tiende a cero).
14.DINÁMICA: es la parte de la Mecánica que estudia el
movimiento.
15.ENERGÍA: se dice que un cuerpo tiene energía cuando es
capaz de producir trabajo.
16.ENERGÍA CINÉTICA: es la energía que tiene un cuerpo en
función de su velocidad. T = ½ mv2 .
17.ENERGÍA POTENCIAL: es la energía que tiene un cuerpo en
función de su posición. V = Wh ó V = ½ kx2. .
18.ESTÁTICA: es la parte de la Mecánica que estudia los cuerpos
en reposo.
19.FUERZA: es la interacción entre dos cuerpos.
20.FUNCIÓN COSENO: se le llama coseno de un ángulo en un
triángulo rectángulo a la relación que existe entre el cateto
adyacente y la hipotenusa.
21.FUNCIÓN SENO: se le llama seno de un ángulo en un triángulo
rectángulo a la relación que existe entre el cateto opuesto y la
hipotenusa.
22.FUNCIÓN TANGENTE: se le llama tangente de un ángulo en un
triángulo rectángulo a la relación que existe entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente.
23.H.P.: significa “horse power” y es una unidad de potencia en el
sistema Inglés equivalente a 760 lb-pie/seg.

10
24.IMPULSO: cuando se le aplica una fuerza a un cuerpo durante
un determinado tiempo, se dice que se le está dando un
impulso.
25.INGENIERÍA: es la utilización de la naturaleza en beneficio del
hombre.
26.INGENIERO: un ingeniero es un profesional que utiliza sus
conocimientos científicos, su habilidad creadora y su
experiencia, para desarrollar proyectos, en forma de métodos y
procedimientos a fin de transformar los recursos naturales en
artículos útiles, considerando su factibilidad económica y
ambiental.
27.JOULE: es una unidad de trabajo equivalente a un Newton
metro.
28.KILOGRAMO FUERZA: Es la unidad de fuerza en el sistema MKS.
29.KILOGRAMO MASA: Es la unidad de masa en el sistema
internacional.
30.LEY DE NEWTON 1a.: Si un cuerpo se encuentra en estado de
reposo o movimiento rectilíneo uniforme, permanecerá en
dicho estado mientras no haya una fuerza exterior no
balanceada que lo obligue a salir de él.
31.LEY DE NEWTON 2a: Si a un cuerpo que se encuentre en estado
de reposo o con movimiento rectilíneo uniforme le aplicamos
una fuerza exterior no balanceada, adquirirá una aceleración
proporcional a dicha fuerza con la misma dirección y sentido. (
f = ma ).
32.LEY DE NEWTON 3a: A toda acción corresponde una reacción
de la misma magnitud y de sentido contrario.
33.LIBRA: Unidad de fuerza utilizada como patrón en el sistema
inglés.
34.MASA: Según algunos autores es la resistencia que pone un
cuerpo al movimiento, pudiéndose definir también como la
cantidad de materia que tiene un cuerpo.
35.MECÁNICA: Es la parte de la física que estudia el movimiento y
predice los efectos ocasionados por las fuerzas.

11
36.MOMENTO: Es el producto de una fuerza por una distancia,
debiendo ser éstas perpendiculares entre sí.
37.MOMENTO DE INERCIA: Es la resistencia que pone un cuerpo a
girar.
38.NEWTON: Unidad de fuerza en el sistema internacional.
39.PARTÍCULA: Si las dimensiones que tiene un cuerpo son
despreciables, lo consideraremos como partícula.
40.PASCAL: Unidad de presión en el sistema internacional que
equivale a un N/m2.
41.PI: Es el número de veces que cabe el diámetro en el
perímetro.
42.POTENCIA: Es la rapidez con la que se lleva a cabo un trabajo.
43.RADIÁN: Es un ángulo, cuya longitud de arco es igual al radio.
44.RADIO DE GIRO: Es el lugar geométrico donde se considera que
está concentrada la masa de un cuerpo.
45.RAPIDEZ: Cantidad Escalar que indica la magnitud de la
velocidad.
46.SLUG: La unidad de masa en el sistema inglés.
47.TIEMPO: Lo que separa dos eventos.
48.TRABAJO: Cuando por medio de una fuerza se desplaza un
cuerpo, se realiza un trabajo, tanto la fuerza como la distancia
deben se paralelas entre sí.
49.VELOCIDAD: Cambio de posición con respecto al tiempo.
Cantidad Vectorial que además de magnitud, especie y signo,
tiene dirección y sentido.
50.WATT: Unidad de potencia equivalente a un N-m/s.
Si consideras importante incluir otras definiciones, sugiérelas al correo
electrónico: jmleon@inglesa.com.mx

12
Con el fin de tener una referencia más clara de lo que es la Dinámica de la
Partícula, a continuación presentamos un cuadro sinóptico donde la
ubicamos:
I.3. CUADRO SINÓPTICO.
La definición de los conceptos enunciados en el cuadro sinóptico anterior
están contenidas en el tema de Definiciones.
Ciencias Naturales
Electricidad
Magnetismo Estática de la Partícula
Cinemática
Física Mecánica del Cuerpo Rígido
Sonido Dinámica
Ciencias Ciencias Exactas Óptica de la Partícula
Cinética
_
Matemáticas del cuerpo Rígido
Ciencias Sociales

13
Así como el estudio de la Estática se remonta a la época de los filósofos
griegos, los primeros antecedentes relacionados con la Dinámica fueron
emitidos por Galileo Galilei (1564-1642). Los experimentos realizados por Sir
Isaac Newton (1642-1727) relacionados con el movimiento uniformemente
acelerado fueron la base para formular y fundamentar las leyes del
movimiento.
Como podemos observar en el cuadro sinóptico, la Dinámica se divide en
Cinemática y Cinética. La primera estudia el movimiento puro, sin importar las
causas que lo producen, y la Cinética, además de estudiar el movimiento,
también analiza las causas que lo producen. Cuando analizamos la relación
que existe entre las fuerzas que actúan en un cuerpo y la masa del mismo,
estamos usando la Cinética para predecir el movimiento ocasionado por las
fuerzas aplicadas o podemos predecir cuáles fuerzas nos producen un
movimiento determinado.
Cuando en nuestro curso hablamos de una partícula, no nos estamos
refiriendo a un cuerpo minúsculo, pequeño, sino que hacemos referencia a un
cuerpo cuyas dimensiones son despreciables. Si estudiamos el movimiento de
traslación de nuestro planeta Tierra, lo estamos tratando como una partícula;
pero si del mismo planeta analizamos su movimiento de rotación, que genera
la aparición del día y la noche, estamos ahora tratando no con una partícula,
sino con un cuerpo rígido. Recuerda, LAS PARTÍCULAS NO TIENEN MOVIMIENTO
DE ROTACIÓN, SOLAMENTE TRASLACIÓN.

14
I.4. P R I N C I P I O S G E N E R A L E S
Como ya se mencionó en el curso de Estática, la Mecánica se basa en seis
principios fundamentales a saber:
1. Ley del Paralelogramo
2. Principio de Transmisibilidad
3. Primera ley de Newton
4. Segunda ley de Newton
5. Tercera ley de Newton
6. Ley de Gravitación Universal
1. La “Ley del Paralelogramo” indica que cuando dos fuerzas actúan sobre
una partícula, éstas pueden ser sustituidas por su resultante, ocasionando el
mismo efecto.
2. El “Principio de Transmisibilidad” nos indica que una fuerza puede deslizarse
sobre su línea de acción produciendo el mismo efecto. ¡Ojo! Este principio
sólo es aplicable en Mecánica, ya que en Resistencia de Materiales cambian
los efectos producidos.
3. Las tres leyes de Newton están contenidas en las definiciones anteriores.
6. La “Ley de Gravitación Universal”, enunciada también por Sir. Isaac Newton,
establece que la fuerza de atracción entre dos partículas m y M, es igual al
producto de sus masas entre la distancia que los separa al cuadrado,
multiplicando este cociente por la Constante de Gravitación Universal
representada por la letra “G”.
F = (Mm/r2)G.
Es tan importante este concepto que de él se obtiene el valor de “g” que es la
magnitud de la aceleración que produce el planeta Tierra en los cuerpos que
se encuentran sobre su superficie. Un cuerpo, al ser atraído por la Tierra,
genera una fuerza igual a su peso, el cual podemos cuantificar con la
ecuación W = mg, y de la misma manera podemos cuantificar la masa de un
cuerpo dividiendo su peso entre el valor de la gravedad.

15
Finalmente, si en la ecuación anterior tomamos como M igual a la masa de la
tierra, damos a “m” un valor unitario y dado que el radio de la Tierra no es
constante, lo representaremos por la letra “R”,
g = GM/R2
Para fines prácticos, tomaremos los valores de la aceleración debida a la
gravedad como 9.81 m/s2 en el sistema internacional, y 32.2 pies/seg2 en el
sistema Inglés.
A continuación, deduciremos de una manera sencilla el origen de las cuatro
ecuaciones principales utilizadas en la solución de problemas de cinemática:
Ecuaciones de cinemática.
Los dos tipos de movimiento mas comúnmente usados en la cinemática, son: a velocidad
constante y con aceleración constante. Por definición, la velocidad es el cociente del
cambio de posición en función del tiempo, que puede considerarse como la velocidad
promedio. Un caso similar es para el cambio de velocidad respecto al tiempo, mejor
conocido como aceleración promedio, como se observa en la tabla 1.
Sin embargo, cuando se trata de velocidades y aceleraciones instantáneas el incremento de
tiempo considerado es muy pequeño y se aproxima a cero sin llegar a él. A este fenómeno
que considera incrementos de tiempo muy pequeños o instantes se le conoce como derivada
y matemáticamente se expresa como el límite cuando el tiempo tiende a cero, del cociente
entre el cambio de posición y el incremento del tiempo.
Tabla 1 Interpretación matemática de la velocidad y aceleración promedio e instantánea.

16
Análisis Promedio Instantánea
Velocidad
Aceleración
La velocidad instantánea es la primera derivada del desplazamiento respecto al tiempo. La
aceleración es la derivada de la velocidad también respecto al tiempo, ésta última se puede
expresar también como la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo o como
el producto de la velocidad por el cambio de ésta respecto al tiempo.
Al resolver las ecuaciones diferenciales mostradas en la tabla 1 para velocidades y
aceleraciones instantáneas se obtienen ecuaciones algebraicas que son de uso más práctico
a nivel de ingeniería y son útiles para una amplia gama de problemas en Ingeniería
mecánica. (ver tabla 3).
La característica del movimiento uniforme, es que la velocidad es constante, y por tanto la
aceleración es cero. Para el caso del movimiento uniformemente acelerado, es decir, con
aceleración constante, se consideran tres casos: El primero, relaciona el cambio de
velocidad, la aceleración y el tiempo. El segundo, es una relación entre el cambio de
posición, la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo. Por último, el cambio de
velocidad, el cambio de posición y del tiempo.
Tabla 2 Variables análogas de translación y rotación.

17
Translación Rotación
En función de los datos conocidos del problema se pueden utilizar las siguientes ecuaciones
de movimiento, las cuales son válidas para translación y rotación.
Tabla 3: Deducción algebraica de las ecuaciones del MRU, MRUA en traslación y rotación.
Movimiento Uniforme
Uniformemente
Acelerado
Uniformemente
Acelerado
Uniformemente
Acelerado
Ecuación
característica.
Separando
variables.
Integración.
Ecuación
algebraica
Para
Translación.
Ecuación
algebraica
para rotación.
Las ecuaciones se resumen en la tabla 3, donde se muestra la deducción de las ecuaciones
algebraicas del movimiento uniforme y uniformemente acelerado, para translación y
rotación.
Por ahora, haremos un resumen de las ecuaciones más utilizadas en este
curso, donde de incluimos también algunas fórmulas e identidades
trigonométricas que, espero, serán suficientes para resolver CUALQUIER
PROBLEMA DE DINÁMICA a este nivel de Licenciatura.
I.5. FORMULARIO

18
1. s = s0 + vt
2. v = v0 + at
3. s = s0 + v0 t + ½at2
4. v2 = v02 + 2as
FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVER
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
- b ± b2 – 4 ac
X =
2 a
LEY DE SENOS
A B C
= =
Sen  Sen β Sen 
LEY DE COSENOS
c2 = a2 + b2 – 2ab cos 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
2(sen  cos ) = sen (2)
1
= 1 + tg2 
Cos2 
Cos ( + β) =cos  cos β – sen  sen β
VELOCIDADES RELATIVAS
s A/B = sA-sB
v A/B = va-vB
a A/B = aA-aB
T1 + U1-2 = T2 = Principio de conservación de la Energía.
T = Energía Cinética = ½ mv2
V = Energía Potencial = ½ kx2 = Wh
Ft = Impulso
mv = Cantidad de movimiento
U = Trabajo = Wh = Fs
CONVERSIONES
1 milla = 5280 pies
1 ton = 2,000 lb
1 HP = 0.7457 KW
1 HP = 550 Lb-ft/seg = 33,000 Lb-ft/min
1 WATT = 1 JOULE/seg = 1 Nm/seg

19
I.6. S I S T E M A S D E U N I D A D E S
Cada vez que hablamos de algo medible, debemos de mencionar sus
unidades. Si hablamos de tiempo, debemos mencionar si son milenios, siglos,
lustros, años, meses días horas minutos o segundos; si hablamos de volúmenes,
debemos precisar si son litros, metros cúbicos, galones, barriles, etc.
Tratándose de dinero, se debe especificar si son pesos, dólares, euros,
quetzales o cualquier otro tipo de moneda. Cuando hablamos de Mecánica,
las unidades a cuantificar son distancia, tiempo, masa, fuerza y sus derivados.
Existen tres sistemas básicos para cualquier tipo de medición:
1. Sistema Internacional
2. Sistema Inglés
3. Sistema MKS (para nuestro País y la mayoría de los países
latinoamericanos)
La inmensa mayoría de los pueblos latinoamericanos fuimos conquistados por
los españoles y, consecuentemente, nos impusieron el Sistema MKS. Sin
embargo, los Estados Unidos de Norteamérica fueron conquistados por
algunos países sajones, quienes impusieron como unidad de medición el
Sistema Inglés; pero al efectuar transacciones internacionales, había mucha
confusión para buscar, por ejemplo, el equivalente a una unidad de longitud
de 8 millas, 7 yardas, 5 pies, 11 pulgadas y 7/16 de pulgada a metros.
Deberíamos ser especialistas en unidades de medición para remediar este
problema. A mediados del siglo pasado, después de algunas convenciones
internacionales, todos los países adoptaron el Sistema Internacional de
medidas y se acordó que sería de uso mundial. Pero, a pesar del acuerdo, es
prácticamente imposible para nosotros acudir a la tortillería y pedir nos
suministren diez Newtons de tortillas y 4 Newtons de masa; pensará el
dependiente que no estamos cuerdos.
A pesar que hace más de 50 años que se aprobó y acordó utilizar el Sistema
Internacional, a la fecha (2012), en nuestro País, todavía no se venden
básculas que midan el peso en Newtons y hay muy pocos manómetros que
cuantifican la presión en Pascales.

20
U N I D A D E S D E M E D I D A M Á S U S A D A S
SISTEMA INTERNACIONAL MKS INGLÉS
MASA Kilogramo Unidad Técnica de
Masa (UTM)
Slug
LONGITUD Metro Metro Pulgada, pie, yarda,
milla
TIEMPO Segundo Segundo Segundo
FUERZA Newton Kilogramo Libra
Existen dos métodos para la solución de los problemas de dinámica: gráfico y
analítico.
La inmensa mayoría de los problemas de Dinámica se pueden resolver por el
método analítico; sin embargo, existe también el método gráfico.
I.7. MÉTODO ANALÍTICO
Para resolver los problemas por el método analítico, el físico italiano Galileo
Galilei (1564-1642) enunció este método que consiste básicamente en los
siguientes pasos:
1. Comprensión del problema.
2. Análisis del mismo, es decir, crear una hipótesis acerca de la respuesta.
3. Predecir las consecuencias del análisis.
La inmensa mayoría de los problemas de Mecánica en general y de Dinámica
de la partícula en particular, los resolveremos aplicando estos tres pasos:
Primeramente debemos comprender el problema, analizando con todo
detenimiento su contenido e imaginando cuáles son los datos y cuáles las
incógnitas a resolver.
Una vez que hayamos analizado el problema, recordaremos las ecuaciones
aplicables al tema y de ellas elegiremos la que contenga varios de los datos
con los que contamos y solamente una incógnita; la despejaremos y haremos
los cálculos necesarios para llegar al resultado que estemos buscando.
Finalmente, si tenemos alguna duda al respecto, podemos utilizar las
ecuaciones dimensionales con el fin de corroborar que el resultado es
correcto.

21
I.8. MÉTODOS GRÁFICOS
Al igual que en la trigonometría, no se recomienda resolver problemas por este
método; sin embargo sí es de utilidad saber qué tipo de gráfica me genera
algún movimiento.
PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME TENEMOS LAS SIGUIENTES
GRÁFICAS:
V S
Gráfica Velocidad-Tiempo Gráfica Desplazamiento-Tiempo
PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO, USAREMOS
LAS SIGUIENTES GRÁFICAS:
V = at S = Vot + ½ (at2)
Gráfica Velocidad-Tiempo Gráfica Desplazamiento-Tiempo
Velocidad constante
V
t
0
Pendiente
constante
t
0
t
0
SV
t
0
Pendiente
constante

22
Este libro está diseñado de tal manera que al principio de cada capítulo o
tema se da la teoría relacionada con el mismo. Posteriormente, se enuncian
diez problemas relacionados con él y al final del libro se encuentra un
solucionario, donde, a manera de ejemplo, se resuelven paso a paso,
absolutamente todos los problemas enunciados. Si el estudiante considera
que son pocos los ejemplos, puede recurrir a cualquier libro de dinámica de la
partícula y en ellos encontrará gran variedad de problemas; pero todos,
absolutamente todos los problemas de temas tratados en este libro, se podrán
resolver con los conocimientos adquiridos aquí.
Cualquier comentario al respecto será bienvenido en el correo electrónico:
jmleon@inglesa.com.mx

23
C A P Í T U L O II. C I N E M Á T I C A D E L A P A R T Í C U L A
II.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Este tipo de movimiento se caracteriza por tener desplazamientos iguales en
tiempos iguales, es decir, la velocidad permanece constante, ni decrece ni se
incrementa.
Como se menciona en las definiciones, la Cinemática estudia el movimiento
puro sin importar las causas que lo producen. Para resolver los problemas
relacionados con el movimiento rectilíneo uniforme, existe una, y solamente
una ecuación que dice: S = S0 + vt. Ésta es la ecuación marcada con el
número uno del formulario que más adelante se muestra.
De esta ecuación, despejando, se puede obtener: v = S/t y t = S/v.
Debemos recordar que tanto las velocidades como las aceleraciones son
cantidades vectoriales, y como tales las debemos tratar al sumarlas y restarlas.
Algunas veces se confunde el significado de rapidez y velocidad y,
equivocadamente, creemos que son sinónimos. Si un automóvil se desplaza
en una pista circular y su velocímetro marca siempre el mismo valor, tendrá
una rapidez constante porque su valor nunca cambia, su velocidad tendrá la
misma magnitud, pero su dirección cambia a cada instante, por lo tanto no es
constante. Por lo anterior podemos deducir que la rapidez es una cantidad
escalar y representa el valor numérico de la velocidad, la cual sí es una
cantidad vectorial.
Velocidad media: Esta velocidad se obtiene efectuando la relación de la
suma de los desplazamientos parciales entre la suma de los tiempos parciales
de acuerdo con la ecuación.
Velocidad media = suma de desplazamientos parciales / suma de tiempos.
Velocidad promedio: Se calcula sumando las velocidades parciales entre el
número de sumandos.
Velocidad promedio =( V1+V2+V3+Vn)/n.

24
R
=
40m
100 m
II.1.1. Un automóvil pretende efectuar un viaje de la Ciudad de México al
puerto de Acapulco. Considerando que entre el origen y el destino hay una
distancia de 400 Kilómetros y que de ida viajará con una velocidad constante
de 120 Km/h y de regreso sostendrá una velocidad también constante de 80
Km/h, determinar la velocidad MEDIA del viaje y la velocidad PROMEDIO y
establézcase por qué la diferencia.
II.1.2. Sabiendo que de la ciudad de Mérida en el estado de Yucatán a la
ciudad de Tijuana en Baja California hay aproximadamente 4180 kilómetros,
calcular en horas, minutos y segundos el tiempo necesario para efectuar este
viaje a una velocidad promedio de 90 Km/h.
II.1.3. Suponiendo que un corredor de fútbol americano corre en diagonal
entre 2 vértices opuestos una cancha profesional que mide 100 yardas de
largo por 60 de ancho en 50 segundos a velocidad constante, calcule el valor
de esta velocidad en pies por segundo, millas por hora y yardas por segundo.
II.1.4. Un corredor de pista da 10 vueltas en la pista mostrada en la figura II.1.4,
sabiendo que su velocidad es constante y su magnitud es de 3 m/seg;
calcular el tiempo requerido para dar las 10 vueltas en horas, minutos y
segundos
.
F I G U R A No. II.1.4
II.1.5. Un automovilista viaja a una velocidad constante de 50 millas por hora
cuando observa que el siguiente semáforo localizado a 1200 pies cambia a

25
C
x
500 m
Av = 80 Km/h v = 120 Km/hB
A B
C
x
BA
Bv = 30 Yd/hv = 20 Yd/hA
5 millas
color verde, si él sabe que la luz de la señal de tráfico permanecerá con ese
color durante 15 segundos y no aplica los frenos ni acelera, determinar si se
hará acreedor a una infracción.
II.1.6. Un corredor corre en un circuito circular de radio igual a 30 metros a una
velocidad constante de 4 m/s. Calcule la distancia recorrida durante una
hora en: a) metros, b) radianes, c) vueltas.
II.1.7. Dos automóviles circulan sobre carriles adyacentes de una misma
carretera pero en sentidos contrarios. El automóvil A viaja hacia el norte con
una velocidad de 80 Km/h y el automóvil B se desplaza hacia el sur con una
velocidad de 120 Km/h, ambos con velocidades constantes. Sabiendo que
para t=0 la distancia entre los dos automóviles es de 500 metros, calcular
cuándo y dónde se cruzarán los automóviles.
Problema II.1.7
II.1.8.- Dos automóviles A y B circulan por carriles adyacentes de una misma
carretera pero en sentidos contrarios. Sus velocidades respectivas son
constantes de 20 y 30 yardas por hora. Si la distancia entre ellos en t=0 es de 5
millas, calcular cuándo y dónde se cruzarán los automóviles.
Problema II.1.8
II.1.9.- Un automóvil circula con velocidad constante de 25 kilómetros por
hora, calcular con aproximación de centímetros el desplazamiento que
tendrá en 35 minutos.

26
II.1.10.- Un automóvil circula con velocidad constante de 25 millas/hora.
Calcular en millas, yardas, pies y pulgadas la distancia recorrida en 35 minutos.
II.2. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Este tipo de movimiento se caracteriza porque su velocidad no es constante:
o se incrementa (aceleración positiva) o decrece (aceleración negativa).
Para resolver este tipo de movimiento, existen tres ecuaciones:
S = S0 +V0t + ½ at2. V = V0 + at. V2= V0
2 + 2as.
Como podemos observar, las tres ecuaciones son en función de la
aceleración, es decir, dependen del valor de la aceleración y ésta deberá
ser CONSTANTE. Los problemas que tengan ACELERACIONES VARIABLES,
solamente podrán resolverse haciendo uso del cálculo diferencial o integral,
según sea el caso. Como ya lo justificamos anteriormente, este tipo de
problemas no serán tratados en este curso.
Dependiendo de los datos con los que contemos, utilizaremos una de las tres
ecuaciones anteriores.
II.2.1. Deseamos conocer la altura de un edificio localizado en cualquier playa
(al nivel del mar) donde el valor de la aceleración de la gravedad es de 9.81
m/seg2. Para ello, dejamos caer una piedra sin velocidad inicial y observamos
que la piedra toca el suelo 6.385 segundos después de haberla liberado.
¿Cuál es la altura del edificio?
II.2.2. Un automóvil parte del reposo y acelera con un valor constante de 5
m/seg2 hasta alcanzar una velocidad de 120 Km/h, la cual permanece
también constante. Determine la distancia recorrida por el automóvil durante
los primeros 15 segundos de movimiento.
II.-2.3. Un automóvil se desplaza 200 metros en un tiempo de 25 segundos. Si se
sabe que durante el desplazamiento acelera con una magnitud de 0.5m/seg2,
determine: a) Su velocidad inicial, b) Su velocidad final y c) La distancia
recorrida durante los primeros 10 segundos.
II.2.4. Un automóvil viaja con una velocidad constante de 50 Km/h cuando su
conductor decide aplicar una aceleración constante de 4 m/seg2. Determine
el tiempo que necesita para recorrer los siguientes 200 metros y la velocidad
que tendrá en ese instante.

27
o(v ) = 36 M/h= 24 M/ho
75 pies
A(v ) B
A B
II.2.5. Se lanza un cohete desde el piso en dirección vertical. Sabiendo que
durante los primeros 5 segundos de movimiento uniformemente acelerado el
proyectil alcanza una altura de 200 metros, calcular: a) La aceleración con la
que fue lanzado, b) La altura máxima alcanzada por el cohete y c) El tiempo
total que permaneció en el aire.
II.2.6. La plataforma de un elevador abierto está descendiendo con velocidad
constante V cuando la plataforma del elevador golpea una piedra y ésta se
desprende. Suponiendo que la piedra cae sin velocidad inicial, demuestre
que la piedra golpeará a la plataforma con una velocidad relativa Ve. Si
Ve=15 pies por segundo, determine cuándo y dónde golpeará la piedra a la
plataforma.
II.2.7. Los automóviles A y B viajan en carriles adyacentes. Para t=0, tienen
respectivamente velocidades de 24 y 36 millas por hora. Si el automóvil A
tiene una aceleración constante de 1.8 pies/seg2 y B tiene una
desaceleración constante de 1.2 pies/seg2, determine cuándo y dónde A
alcanzará a B y las correspondientes velocidades en ese instante.
Problema II.2.7
II.2.8. Dos automóviles, A y B, viajan en la misma dirección en carriles
adyacentes y están detenidos en un semáforo en rojo. Cuando éste cambia
a verde, el automóvil A acelera con un valor constante de 3 pies/seg2 dos
segundos después el automóvil B arranca con una aceleración de 4 pies/seg2.
Determinar a) cuándo y dónde B alcanzará a A, b) la velocidad de cada
automóvil en ese instante.
II.2.9. Desde un elevador que sube con una velocidad de 5 m/s se deja caer
una piedra que llega al suelo en 3 segundos. a) ¿A qué altura estaba el
elevador cuando se dejó caer la piedra? b) ¿Con qué velocidad chocó la
piedra contra el suelo?
II.2.10. Una llave de agua deja caer gotas a intervalos iguales de tiempo.
Cuando una determinada gota B empieza a caer libremente, la gota

28
B AB/AS = S - SSA
BS
BA
precedente A ha descendido ya 0.3 metros. Determinar el espacio que habrá
descendido la gota A durante el tiempo en que la distancia entre A y B haya
aumentado a 0.9 metros.
II.3.- MOVIMIENTOS RELATIVOS:
Les llamamos así a los movimientos de un cuerpo o partícula vistos desde otro.
En la siguiente gráfica se muestra la relación que existe entre los
desplazamientos de un cuerpo o partícula respecto a otro, los cuales son
aplicables también a las velocidades y aceleraciones.
Movimientos relativos
De la misma manera podemos enunciar las siguientes ecuaciones:
SB/A = SB-SA; VB/A = VB-VA; aB/A =aB-aA.
Las cuales se leen: “El desplazamiento del punto B con respecto al punto A
(visto desde el punto A) es igual al desplazamiento del punto B menos el
desplazamiento del punto A”. No olvidemos que estamos tratando con
cantidades vectoriales; consecuentemente, las sumas y restas deben ser
vectoriales.
Utilizando estas ecuaciones con sus variables podemos resolver cualquier tipo
de problemas relacionados con movimientos relativos.
¡ TOMAR CON LA MANO UNA BALA DISPARADA ¡

29
Con el fin de facilitar la comprensión de este tema, a manera de anécdota,
transcribiré un párrafo del libro “Física Recreativa” de Yakov Perelman,
editado en 1980.
“Durante la Primera Guerra Mundial, según información de prensa, a un
aviador francés le ocurrió un caso extraordinario. Cuando iba volando a dos
kilómetros de altura, este aviador se dio cuenta de que junto a su cara se
movía una cosa pequeña. Pensó que sería algún insecto y, haciendo un ágil
movimiento con la mano, lo cogió. Cuál sería su sorpresa cuando
comprendió que lo que acababa de cazar era… ¡una bala de fusil Alemana!”
No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogió la bala no tiene nada de
imposible.
Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de
800-900 metros por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, van
cada vez más despacio y, al final de su trayectoria, pero antes de empezar a
caer, recorren solamente 40 metros por segundo. Ésta era la velocidad
factible para los aeroplanos de entonces. Por consiguiente, la bala y el
aeroplano podían volar a la misma velocidad en un momento dado y en esas
condiciones, la bala resultaría inmóvil o casi inmóvil con relación al piloto. Es
decir, éste podría cogerla fácilmente con la mano, sobre todo con un guante
(porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire).
Recordemos que para sumar dos o más vectores, gráficamente debemos
dibujar el primer sumando; en el extremo de él, debemos colocar el segundo
sumando; en el extremo del segundo, colocaremos el principio del tercero y
así sucesivamente. Aunque es recomendable sumar los vectores siempre de
dos en dos, también podemos sumar tres o cuatro vectores de manera
simultánea o efectuando sumatorias de fuerzas sobre cada uno de los ejes y,
finalmente, obteniendo la resultante.
II.3.1. Un automóvil A viaja por una autopista con una velocidad constante de

30
B
A
380 pies
B(v )0
0(v )A
60 M/h y se encuentra a 380 pies de la entrada de una rampa de acceso,
cuando el automóvil B entra a la misma carretera con una velocidad de 15
M/h y acelera de manera uniforme para incorporarse al carril de baja
velocidad después de recorrer 200 pies en 5 segundos y continúa acelerando
con la misma magnitud hasta alcanzar una velocidad de 60 M/h, la cual
mantiene constante. Determine la distancia final entre los dos automóviles.
Problema II.3.1
II.3.2. Se observa que desde una estalactita se desprenden gotas de agua de
manera intermitente y espaciada a tiempos iguales. Cuando la gota B
empieza a caer, la gota A que le antecedió ha recorrido un pie. Determine la
distancia que ha recorrido la gota A cuando la distancia entre A y B se haya
incrementado a 3 pies.
II.3.3. Desde un punto alejado se
observa una locomotora de vapor,
la cual está en reposo y se ve que
el humo que sale de su chimenea
forma un ángulo de 30 grados con
la horizontal. Suponiendo que el
viento tiene una velocidad
horizontal constante, determine la
velocidad del viento en ese
instante.
Problema II.3.3
II.3.4. Mientras un estudiante viaja en un tren aerodinámico con una velocidad
de 300 Km/h, observa que las gotas de la lluvia caen con una inclinación de
10 grados respecto a la horizontal. Calcular la magnitud de la velocidad del
agua, suponiendo que ésta es vertical y constante.
II.3.5. Un automóvil y un camión de carga viajan por una misma carretera y
con la misma velocidad constante de 35 M/h. Inicialmente, el automóvil se
encuentra localizado 40 pies detrás del camión, pero el conductor del

31
400
m
350 m
45°
v = 40 m/sT
E
A
v
=
45
m
/s
A
automóvil desea rebasar al camión y ubicarse a 40 pies del mismo delante de
él y continuar su camino con la misma velocidad de 35 M/h. Sabiendo que las
longitudes de los vehículos son respectivamente 16 y 50 pies para el automóvil
y el camión y que las máximas aceleración y deceleración del automóvil son
respectivamente 5 y 20 pies/seg2, determinar el mínimo tiempo requerido
para efectuar la maniobra si nunca debe exceder la velocidad de 50 M/h.
Problema II.3.5
II.3.6. Un tren de 350 metros de longitud viaja con una velocidad constante de
40 m/seg y cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si un automóvil
A que se desplaza con una velocidad de 45 m/seg se encuentra a 400 metros
del cruce en el instante en el que el frente del tren alcanza el cruce,
determine: a) la velocidad relativa del tren con respecto al automóvil, b) la
distancia entre el automóvil y el extremo del último vagón del tren en este
instante.
Problema II.3.6
II.3.7.- Dos bolas de billar A y B se están moviendo con velocidades constantes
VA = 0.5 m/seg y VB = 1.5 m/seg. Determine la velocidad relativa de A con

32
A
B
5pies
15°
B
v
= 6 pies/segvA
A
B
30°v = 45 M/hA
Bv
= 60 M/h
respecto a B en el instante indicado y la distancia entre las dos bolas cuando
t=1.25 seg.
Problema II.3.7
II.3.8. Determine la velocidad requerida en
la banda B si la velocidad relativa con la
cual la arena golpea a la banda B
deberá ser a) vertical, b) mínima.
Problema II.3.8
II.3.9. Con el fin de golpear un poste, un hombre que viaja en un camión lanza
una piedra con una velocidad horizontal relativa al camión de 75 pies/seg.
Sabiendo que la velocidad del camión es de 30 M/h, determine a) la
dirección a la cual debe lanzar la piedra b) La velocidad horizontal de la
piedra respecto al piso.
II.3.10. El camión A y el automóvil B viajan con las velocidades constantes
mostradas. 5 segundos después que el automóvil cruza el puente, el camión
pasa por debajo del mismo. Determine a) la velocidad del automóvil
respecto al camión, b) el cambio de posición del automóvil respecto al
camión después de 10 segundos, c) la distancia entre el automóvil y el
camión 10 segundos después que éste ha cruzado el puente.
Problema II.3.10
II.4. M O V I M I E N T O S D E P E N D I E N T E S

33
A B
SA
SB
Se les llaman movimientos dependientes cuando el movimiento de un cuerpo
DEPENDE del movimiento de otro u otros cuerpos.
Para cada uno de los casos que se nos presenten existe una y sólo una
ecuación particular para ese problema específico y no puede ser usada para
cualquier problema.
Dado que la longitud de las cuerdas usadas en este tipo de problemas son
inextensibles, su longitud no cambia, y consecuentemente la suma vectorial
de sus desplazamientos, velocidades y aceleraciones son constantes de
acuerdo a las siguientes ecuaciones:
SA + SB = constante consecuentemente VA + VB = 0 y aA + aB = 0
FIGURA No. 1
Analizando la figura No. 1, tenemos que la suma de las longitudes de los
cables SA y SB es constante, por lo tanto podemos escribir:
SA + SB = constante, obteniendo la primera derivada tenemos que: VA + VB = 0
Consecuentemente: VA = -VB
Y obteniendo la segunda derivada: aA + aB = 0
Y finalmente: aA = -aB
Por lo anterior, las fórmulas subrayadas son LAS ECUACIONES DE ESTE SISTEMA.

34
C
B
A
SA
BS
CS
FIGURA No. 2
En la figura anterior podemos deducir que: 2SA + SB = constante
Obteniendo la primera derivada tenemos que: 2VA + VB = 0; 2VA = -VB
Y de la segunda derivada obtenemos: 2aA + aB =0; 2aA = -aB
Las cuales son LAS ECUACIONES DE ESTE SISTEMA.
FIGURA No. 3
En la figura No. 3, la longitud del cable es: SA + 2SB + SC = constante

35
A
SA
B
C
CS
SB
Por lo tanto, las ecuaciones del sistema son: VA + 2VB +VC = 0
Y aA + 2aB + aC = 0
Dado que la suma de tres cantidades positivas nunca nos dará cero, al menos
uno de los tres términos deberá ser negativo.
RESUMIENDO: Para obtener la ecuación de cualquier sistema:
1. Observamos de cuántos cables depende el movimiento de un cuerpo.
2. Colocamos como factor el número de cables.
3. Si al desplazarse un cuerpo cede cable, le asignamos el signo positivo;
en caso de absorber cable, le asignaremos signo negativo y si no
tuviese movimiento lo ignoramos y lo tratamos como polea.
A continuación y a manera de ejemplo, deduciremos la ecuación que rige el
siguiente sistema:
FIGURA No 4
Sabiendo que los cuerpos A y C descienden con los siguientes valores:
VA = 8 m/seg y VC = 3 m/seg,
calcular la magnitud y sentido de la velocidad del cuerpo B.
Se observa la cantidad de cables de los cuales depende el movimiento de
cada cuerpo y anotamos que ya que el movimiento de los cuerpos A y B
dependen de dos cables, les corresponde el número 2 y como el cuerpo C
depende de un solo cable, su factor será el número uno, el cual está implícito
en la ecuación.
2SA 2SB SC = constante. Derivando tenemos: 2VA 2VB VC = 0

36
CS
B
CA
B
Y obteniendo la segunda derivada tenemos que: 2aA 2aB aC = 0
A continuación, dependiendo si el cuerpo cede o absorbe cable, asignamos
los signos: dado que al descender los cuerpos A y C absorben cable, se les
asignará el signo negativo. Como la suma deberá ser cero, al cuerpo B le
corresponderá el signo positivo, por lo tanto, cederá cable.
- 2VA +2VB - VC = 0 y -2aA + 2aB + aC = 0
Las cuales son las ecuaciones del sistema.
Finalmente, por este mismo método, deduciremos las ecuaciones que rigen el
siguiente sistema:
FIGURA No. 5
Siguiendo las instrucciones del ejemplo anterior, deduciremos las ecuaciones
que rigen el sistema mostrado en la figura No. 5.
3SA 2SB 4SC = constante; 3VA 2VB 4VC = 0; y 3aA 2aB 4aC = 0
Podemos observar en la figura que al moverse el bloque C hacia la derecha
absorberá cable, por ello a este bloque le corresponde el signo negativo; al
realizar este movimiento, jalará los bloques A y B hacia la derecha, y, con ello,
ambos bloques cederán cable, correspondiéndoles por esta razón el signo
positivo. Por lo anterior, las ecuaciones de este sistema serán:
+ 3SA + 2SB - 4SC = constante. + 3VA + 2VB - 4VC = 0; + 3aA + 2aB - 4aC = 0

37
A
SA
B
C
CS
SB
10 Kg
100 Kg
A
B
II.4.1. El bloque B inicia su movimiento desde el
reposo y desciende con una aceleración
constante. Si se sabe que después de que el
bloque A se ha desplazado 0.4 m su velocidad es
de 4 m/seg, determine a) las aceleraciones de A
y B, b) la velocidad y el desplazamiento del
bloque B después de 2 segundos.
Problema No. II.4.1
II.4.2. Sabiendo que el bloque A asciende con una
velocidad de 3 yardas por minuto y el bloque C
desciende con una velocidad de 27 pies por
segundo, determine la magnitud y el sentido de la
velocidad del cuerpo B.
Problema II.4.2
II.4.3. El sistema mostrado parte del reposo. Sabiendo que el
bloque B se desplaza 32 metros en 3 minutos, determinar la
aceleración del bloque A.
Problema II.4.3

38
A
B
100 Kg
W
E
C
M
B
CA
B
A
II.4.4. En la figura mostrada, para t=0 el cuerpo A se
desplaza hacia arriba con una velocidad constante de 8
m/seg, el cuerpo B parte del reposo con una aceleración
constante de 2 m/seg2 hacia abajo. Calcular la velocidad
y aceleración del cuerpo C para t=10 seg.
Problema II.4.4
II.4.5. El bloque A parte del reposo con una
aceleración constante. Sabiendo que el bloque B
recorre 18 metros en 4 segundos, calcular la
aceleración del bloque B.
Problema II.4.5
II.4.6. En el instante mostrado, el bloque A tiene una
velocidad inicial de 4 m/seg y una aceleración de 2
m/seg2. Calcular el desplazamiento del bloque B al
cabo de los primeros 5 segundos.
Problema II.4.6
II.4.7. Sabiendo que el sistema mostrado parte del reposo y
que el bloque W tiene una aceleración constante de 4
pies/seg2 hacia abajo, calcular la velocidad y aceleración
del punto C del cable después que hayan transcurrido 5
segundos.
Problema II.4.7

39
CS
B
CA
E
D
C
BA
II.4.8. Si los bloques A y C se desplazan hacia la derecha con una velocidad
de 4 y 9 pies/seg, respectivamente, determinar la velocidad del bloque B.
Problema II.4.8
II.4.9. El bloque A se desliza a la izquierda con velocidad constante de 0.3
m/seg. Determinar a) la velocidad del bloque B, b) las velocidades de las
porciones C y D del cable, c) la velocidad de A con respecto a B, d) la
velocidad relativa de la porción C del cable con respecto a D.
Problemas II.4.9 y II.4.10
II.4.10.- El bloque B parte del reposo y se desliza hacia la derecha con
aceleración constante. Después de 4 segundos, la velocidad relativa de A
con respecto a B es de 0,06 m/s. Encontrar a) las aceleraciones de A y B,
b) la velocidad y posición de B después de 3 segundos.

40
II.5. TIRO PARABÓLICO
Este tipo de movimiento no es más que la combinación del movimiento
rectilíneo uniforme (en el eje horizontal) y el movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado (en el eje vertical) que se llevan a cabo de manera
simultánea.
Para hacer más comprensible lo anterior, nos permitiremos recordar que
cuando limitamos nuestra visión con un solo ojo perdemos la noción de la
profundidad - o como se dice comúnmente, la tercera dimensión - y vemos
solamente en un plano. Para confirmar lo anterior, invitamos a los estudiantes
a cerrar un ojo, estirar por completo nuestros brazos al frente y tratar de unir las
puntas de nuestros dedos índices. Con este experimento confirmamos la nula
visión en tercera dimensión y organizaremos un partido de béisbol donde
todos los que intervienen son tuertos.
En este partido de béisbol intervienen San Pedro, quien está ubicado en el
cielo y desde allá arriba observa el partido; al árbitro del béisbol le llaman
ampáyer principal e invariablemente está localizado detrás del cátcher y,
finalmente, haremos intervenir en este juego a un fanático cómodamente
sentado detrás de la primera base. Recordemos que todos nuestros
personajes están tuertos, es decir, sólo aprecian el juego en dos dimensiones.
Después que el lanzador arroja la pelota, el bateador la golpea y, con ese
impulso, la pelota se eleva y cae detrás de la segunda base, en terreno de
“hit”, dentro del área asignada al jardinero central.
Se les cuestiona a nuestros personajes tuertos a fin de que nos digan el tipo de
movimiento que tuvo la pelota luego de ser conectada por el bateador. Para
nuestra sorpresa, las respuestas son las siguientes:
 San Pedro dice: “Ya que la pelota viajó en línea recta, teniendo
desplazamientos iguales en tiempos iguales, su movimiento fue
¡RECTILINEO UNIFORME!”
 El árbitro principal dice: “Ya que la pelota solamente ascendió, se
detuvo y descendió, se trata de un movimiento ¡UNIFORMEMENTE
ACELERADO!”
 La respuesta del fanático ubicado detrás de la primera base es: “Lo vi
perfectamente, la trayectoria que describió la pelota durante su
trayectoria fue una parábola perfecta, por lo tanto, fue un ¡TIRO
PARABÓLICO!”

41
0v = 40 m/s
1.5m
60°
30m
h
0
C B
A
y
0B
x
d
Los tres tenían razón porque en el movimiento horizontal (plano X-Z) el
movimiento observado por San Pedro siempre es rectilíneo uniforme; sobre el
eje vertical, el movimiento que apreció el ampáyer, siempre es rectilíneo
uniforme. Y, finalmente, la trayectoria que describe la trayectoria de la
pelota, vista por el aficionado, siempre es una PARÁBOLA, por ser la suma de
los dos movimientos anteriores.
II.5.1. Encontrar el valor del ángulo requerido para obtener el máximo alcance
horizontal al efectuar un tiro parabólico.
II.5.2. En un encuentro de fútbol
americano, el pateador intentará un
gol de campo desde medio campo.
Sabiendo que la portería contraria se
encuentra a 50 yardas de distancia y a
10 pies de altura, determinar la
velocidad mínima que deberá tener la
pelota al ser pateada.
Problema II.5.2
II.5.3. Se arroja una pelota
desde un punto situado a 1.5
m del piso y una distancia X
desde la pared de un edificio
de 30 metros de altura, con
una velocidad inicial de 40
m/seg y una dirección de 600
con la horizontal. Calcular
a) la máxima altura h
obtenida y b) ¿A qué
distancia horizontal d desde
el punto donde se arrojó
hasta el punto donde choca
con el techo. Problema II.5.3

42
3 m
0.5m
15°A
s
v
8m
B A
C
10 m
t
1v = 12 m/s
30°
1 mR
= 2 m/s
vC
B
A
3m
II.5.4.- Calcular la magnitud de la velocidad inicial que deberá tener una
pelota de golf si al lanzarse con un ángulo de 30 grados con la horizontal
deberá caer a una distancia de 75 metros y a la misma altura de la que fue
lanzada.
II.5.5.- Determine la mínima velocidad VA
que debe tener el trineo en el tobogán
cuando se aproxima al salto en el punto
A, de modo que alcance el otro lado de
la fosa.
II.5.6. Un muchacho arroja una bola
de nieve de un modo horizontal con
una velocidad inicial de 12 m/seg
desde un puente peatonal con el
objeto de hacerla caer en la
superficie AB de un camión que va
viajando directamente abajo del
muchacho. Si el camión mantiene
una velocidad constante de 15
m/seg y la bola de nieve se lanza en
el instante en que el punto B está
sobre el punto C, determine el
punto donde la bola de nieve
choca con la parte superior del
camión (no se recomienda la
verificación experimental).
II.5.7. Pequeños paquetes que
viajan sobre una banda
transportadora caen dentro de un
carro de carga de 1 m de longitud.
Si la banda transportadora se está
moviendo con una velocidad
constante de 2 m/seg, determine el
rango de valores de la distancia R a
la cual debe colocarse el carro a
partir de la banda transportadora,
de manera que los paquetes
caigan dentro del carro.
Problema II.5.7
Problema II.5.5
Problema II.5.6

43
A
C
B
3.7m
1 m
5 m
B
v
B
A
10 m/s
II.5.8. Un jugador lanza una pelota con una velocidad inicial V0 de 15 m/seg
desde un punto A localizado a 1.5 metros arriba del piso. Si el techo del
gimnasio tiene una altura de 6 metros, determine el punto B más alto al que
puede pegar la pelota en la pared a 18 metros de distancia.
II.5.9. En una mina se descarga arena
sobre la tolva mostrada. Calcular el
rango de valores de la velocidad para
que la arena siempre caiga dentro de
la tolva.
Problema II.5.9
II.5.10. Se descarga agua desde el orificio A, como se indica en la figura, con
una velocidad inicial de 10 m/seg y hace impacto sobre una serie de aletas
en B. Sabiendo que las aletas se mueven hacia abajo con una velocidad
constante de 3 m/seg, determinar la velocidad y aceleración del agua
relativa a las aletas en B.
Problema II.5.10

44
II.6. ACELERACIONES NORMAL Y TANGENCIAL
Figura II.6a Figura II.6b
Si obligamos a girar una piedra por medio de una cuerda sobre un punto fijo,
a velocidad constante, el valor de la tensión de la cuerda permanecerá
constante; sin embargo, si incrementamos la velocidad tangencial,
automáticamente se incrementará la tensión en la cuerda ya que:
1.- La aceleración normal = an = v2/r = Ω2r Donde Ω = velocidad angular =
v2/r en radianes por segundo.
2.- Debido a la aceleración normal manifestada en la tensión de la cuerda, la
dirección de la velocidad tangencial cambia a cada instante.
3.- La aceleración total que experimenta la piedra es: aT = an + at
4.- Dado que estamos hablando de cantidades vectoriales y que SIEMPRE las
aceleraciones normal y tangencial son perpendiculares entre sí, utilizaremos el
teorema de Pitágoras para obtener la aceleración total:
(aT)2 = (an)2 + (at)2
r
at
r
Vtan =
r
v2

45
B
A
25 m/s
3
4
R
r
A
25 pies
II.6.1. La boquilla de una manguera
descarga un chorro de agua con una
rapidez inicial de 25 m/seg y con un ángulo
de 36.870 con la horizontal. Encontrar el
radio de curvatura del chorro a) cuando
sale de la boquilla y b) cuando alance su
altura máxima.
Problema II.6.1
II.6.2. Un satélite girará indefinidamente en
órbita circular alrededor de la Tierra. Si la
componente normal de su aceleración es
igual a: g(R/r)2, donde g=32.2 pies/seg2, R =
radio de la Tierra = 3960 Millas, y r=distancia
del centro de la tierra al satélite, calcular la
altura sobre la superficie de la Tierra de un
satélite que gire indefinidamente alrededor
de ésta con una rapidez cuyo valor sea
16,000 M/hr.
Problema II.6.2
II.6.3. ¿Cuál es el radio mínimo que puede usarse en una curva de una
carretera para que la componente normal de la aceleración de un carro que
se mueve a 45 M/hr no exceda de 2.4 pies/seg2?
II.6.4. Determine la velocidad periférica de la cabina
de pruebas centrífuga A para la cual la componente
normal de la aceleración es de 10 g.
Problema II.6.4
II.6.5. Un automovilista parte del reposo sobre una curva de 400 pies de radio
y acelera uniformemente con un valor constante de 3 pies/seg2. Determinar
la distancia que viajará el automóvil antes de que la magnitud de su
aceleración total sea de 6 pies/seg2.

46
A
B
v
=
40
Km
/h30°
B
150m
Av = 75 Km/h
0.9 pulg
1.5 pulg
v0
0
B
A
II.6.6. Una cinta de computadora se mueve sobre 2
tambores con una velocidad constante Vo. Si la
componente normal de la aceleración de la porción de
la cinta en con tacto con el tambor B es de 480
pies/seg2, determínense: a) la rapidez Vo, b) la
componente normal de la aceleración de la porción de
la cinta en contacto con el tambor A.
Problema II.6.6
II.6.7. Un autobús parte del reposo sobre una curva de 300 m de radio y
acelera uniformemente a 0.75 m/seg2. Determine la distancia y el tiempo que
el autobús viajará antes de que la magnitud de su aceleración total sea de
0.9 m/seg2.
II.6.8. Sabiendo que la piedra de esmeril
mostrada tiene una velocidad constante de
1800 r.p.m. y un radio de 5 pulgadas, calcular la
aceleración normal de un punto localizado en la
periferia de la piedra.
Problema II.6.8
II.6.9. El automóvil A está viajando por una
carretera recta mientras que el automóvil B se
mueve a lo largo de una rampa de salida
circular de 150 metros de radio. La velocidad
de A está aumentando a razón de 1.5 m/seg2 y
la rapidez de B está disminuyendo a una tasa de
0.9 m/seg2. Para la posición que aquí se
muestra, determínese a) la velocidad de A
relativa a B y b) la aceleración de A relativa a B.
Problema II.6.9

47
90 M/h
3000 pies
II.6.10. Un tren se mueve en una curva de 3,000
pies de radio, con una rapidez de 90 M/hr. Se
aplican repentinamente los frenos ocasionando
que el tren disminuya su rapidez de manera
constante, de tal manera que al cabo de 6
segundos su rapidez se ha reducido a 60 M/hr.
Calcular la aceleración de uno de los vagones
inmediatamente después de aplicar los frenos.
Problema II.6.10

48
C A P Í T U L O III.1. CINÉTICA DE LA PARTÍCULA.
En este capítulo, además de estudiar el movimiento, involucraremos las
causas que lo producen.
Hay mucha física en el simple hecho de sostener una manzana. No sólo la
Tierra “jala“ a la manzana hacia abajo, sino también la manzana “jala” a la
Tierra en sentido contrario, es decir, hacia arriba. ¡Exactamente con la misma
fuerza! Tanto la Tierra como la manzana tiran una de la otra con fuerzas
iguales, pero de sentidos opuestos. El par de fuerzas llamadas acción y
reacción constituyen una sola interacción gravitacional. Continúa leyendo,
descubre las reglas de la Mecánica y harás mucho más que aprobar un curso
de Dinámica: agudizarás tu intuición de la naturaleza.
Recuerda que tanto las fuerzas, velocidades y aceleraciones son CANTIDADES
VECTORIALES; consecuentemente, al sumarlas, restarlas, etc. se les debe tratar
como vectores.
SEGUNDA LEY DE NEWTON
En este capítulo trataremos los fenómenos producidos por las fuerzas,
recordando la segunda ley de Newton que nos dice: “Si a un cuerpo que se
encuentra en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme le aplicamos
una fuerza exterior no balanceada, adquirirá una aceleración proporcional a
dicha fuerza con la misma dirección y sentido”. Entre nosotros, simplemente la
representamos como la sumatoria de fuerzas en cada uno de los ejes. Si no
hay una fuerza resultante, la sumatoria de fuerzas será igual a cero y, como
consecuencia, estaremos dentro del campo de la estática. Sin embargo,
cuando existe una fuerza resultante, ésta producirá en el cuerpo o partícula
donde se aplique, una aceleración y la representaremos por la ecuación:
Fx = ma
Algunos autores la representan como:
Fx – ma = 0
Y le llaman la ecuación del equilibrio dinámico, pero no se confundan: es
exactamente la misma.
Al referirnos a la sumatoria de fuerzas, implícitamente nos estamos refiriendo a
la resultante y para obtenerla, lo podemos hacer construyendo un triángulo u
obteniendo la resultante en cada uno de los ejes. Si hemos elegido construir

49
un triángulo - lo cual es muy conveniente cuando sumemos únicamente dos
fuerzas - debemos usar la ley de cosenos o la ley de senos (ver formulario en la
página 15), o simplemente haremos sumatoria de fuerzas en cada uno de los
ejes a fin de obtener la aceleración en ese eje.
Suponiendo que la aceleración gravitacional en la luna es de 2.42 m/seg2,
determinar el peso en Newtons y la masa en kilogramos de una barra de
acero, cuya masa se ha designada de manera oficial igual a 2 kg.
Sea cual fuere el método seleccionado para hacer la sumatoria de fuerzas, es
indispensable dibujar un diagrama de cuerpo libre (es la representación
gráfica de las fuerzas que actúan en un cuerpo) ya que de él se obtendrán
todas las ecuaciones para la solución del problema; sin él, no es posible
resolver ningún cuestionamiento.
Por lo anterior, para resolver cualquier problema de Cinética es indispensable
seguir los tres pasos siguientes:
1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre.
2. Establecer un procedimiento.
3. Efectuar los cálculos.
Todos los cuerpos tienen un peso, el cual siempre debemos considerar,
a menos que se indique lo contrario. El peso de cualquier cuerpo está dado
por el producto de su masa multiplicada por la atracción gravitacional.
Todos los problemas enunciados a continuación deberán ser resueltos
utilizando el método de la segunda ley de Newton.
III.1.1.
III.1.2. Si la distancia de frenado de un automóvil desde 60 M/hr es de 150 pies
sobre un pavimento plano, determine la distancia de frenado del mismo
automóvil a la misma velocidad cuando está: a) subiendo una pendiente de
5°, b) bajando un plano inclinado a 5º. Suponga que la fuerza de frenado es
independiente del grado de inclinación.
III.1.3. Un camión se desplaza sobre una carretera
que tiene una pendiente del 3º con una
velocidad constante de 35 M/hr. Si el conductor
no cambia de velocidad en la palanca, ni de
posición el acelerador, determinar la aceleración
del camión cuando llegue a una parte de la
carretera que sea horizontal.
Problema III.1.3

50
30 M/h
30 Ton40 Ton30 Ton
CBA
( 3 )
( 2 )( 1 )
2200 libras
2300 libras
A
B
A
300 libras
200 libras200 libras
300 libras
A
B
III.1.4. El tren suburbano mostrado en la figura
viaja a una velocidad de 30 M/hr cuando
repentinamente se aplican los frenos hasta
detenerse. Sabiendo que la fuerza de frenado
en cada vagón es de 5,000 lb, calcular la
fuerza ejercida en cada acoplamiento,
indicando si es tensión o compresión.
Problema III.1.4
III.1.5. Cada uno de los sistemas mostrados está inicialmente en reposo.
Suponiendo que las poleas son de peso despreciable y despreciando
también las fuerzas de rozamiento, determine en cada caso: a) la
aceleración del bloque A, b) la velocidad del bloque A después de 4
segundos, c) la velocidad del bloque A después de haberse desplazado
10 pies.
Problema III.1.5

51
100 libras
B
B
100 libras
( 3 )
( 2 )( 1 )
2200 libras
2300 libras
A
B
A
300 libras
200 libras200 libras
300 libras
A
B
III.1.6. ¿Cuánto peso se deberá agregar o restar al bloque A de cada
sistema para que su aceleración sea g/4 hacia abajo?
Problema III.1.6
III.1.7. Al bloque deslizante A de 100 lb de peso se le suspende un bloque B
de 40 lb como se muestra en la figura. Sabiendo que el sistema parte del
reposo y despreciando el rozamiento, determine: a) la velocidad del
bloque A después de 5 segundos y b) la distancia recorrida por A cuando
su velocidad sea de 8 pies/seg.
Problema III.1.7 Problema III.1.8
III.1.8. a) Determinar el peso del bloque B sabiendo que la aceleración del
bloque A es de 4 pies/seg2 hacia arriba y b) trate de resolver la parte a del

52
100 libras
200 libras
P
15 pies
C
B
A
12pulg
18pulg
problema anterior, suponiendo que la aceleración de A es de 18 pies/seg2
hacia arriba. Explique la dificultad encontrada.
III.1.9. La carga del camión mostrado está localizada a 15 pies de la
cabina. El coeficiente de rozamiento entre la carga y la plataforma es de
0.3. Sabiendo que la velocidad del camión es de 30 M/hr, determine la
mínima distancia en la que se puede detener el camión sin que la carga se
deslice.
Problema III.1.9 y III.1.10
III.1.10. El coeficiente de fricción entre la carga y la plataforma del tráiler es
de 0.3. Cuando el camión viaja a 60 M/hr, el conductor aplica los frenos
súbitamente y se detiene después de haberse desplazado 250 pies.
Determine la velocidad de la carga respecto a la plataforma cuando
golpea la parte delantera de la misma.
III.1.11. Una caja de 200 libras descansa sobre un carrito de 100 libras. El
coeficiente de rozamiento estático entre la caja y el carrito es de 0.25. Si la
caja no desliza respecto al carrito, a) determinar el máximo valor de P y
b) la correspondiente aceleración del carrito.
Problema III.1.11
III.1.12. Sabiendo que los bloques B y C llegan al piso
simultáneamente y exactamente un segundo
después de que el sistema parte del reposo,
determinar los pesos WB y WC en función de WA.

53
mL
C
B
A
4pies
60°
60°
Problema III.1.12
III.1.13. Sabiendo que el coeficiente de
rozamiento es 0.3 y WC=10 lb, determine
WA y WB si la aceleración de ambos (A y
B) debe ser g/5 dirigida hacia abajo.
Problema III.1.13
III.1.14. Una pequeña esfera de peso W=5
lb, se ata a un cable de longitud L=6 pies y
se desplaza sobre un círculo con velocidad
constante Vo. Sabiendo que la cuerda
forma un ángulo de 30° con la vertical,
determine a) la tensión en la cuerda, b) la
velocidad Vo de la esfera.
Problema III.1.14
III.1.15. Dos cables AC y BC están atados a una
esfera en C. El sistema está diseñado para que la
esfera se desplace a velocidad constante V.
Determinar el rango de valores de la velocidad
para que los dos cables permanezcan tensos.

54
L
A
B
0
C
30° DA 30°
300 pies
C
Problema III.1.15
III.1.16. Una esfera de 3 lb se encuentra oscilando en
un plano vertical y suspendida de una cuerda de 18
pulgadas de longitud. Calcular la tensión en la
cuerda cuando θ = 60º sabiendo que la velocidad
en ese instante es de 6 pies/seg.
Problema III.1.16
III.1.17. Una pequeña esfera de peso W está suspendida del techo por
medio de los cables AB y CD. Cuando el cable AB es cortado, determine
a) la tensión en el cable CD antes de que AB sea cortado, b) la tensión en
el cable CD y c) la aceleración de la esfera inmediatamente después de
que el cable AB haya sido cortado.
Problema III.1.17
III.1.18. Un piloto cuyo peso es de 175 lb, al pilotear un pequeño avión hace
un rizo de 300 pies de radio. Determine la velocidad del avión en los
puntos A y C, sabiendo que en el punto A el piloto experimenta un peso
menor al real y en el punto C su peso aparente es de 600 lb.

55
Recta
P = 500 pies
P = 500 pies
0v
B
A
d
20°
Problema III.1.18
III.1.19.- Tres automóviles circulan a una velocidad de 50 M/h a lo largo de
la carretera mostrada. Sabiendo que el coeficiente de fricción entre las
llantas y la carretera es de 0.6, determine la aceleración tangencial en
cada uno de los casos si los frenos se aplican súbitamente en las cuatro
ruedas.
Problema III.1.19
III.1.20. Desde el punto A se lanza un paquete hacia arriba sobre un plano
inclinado 20º con una velocidad inicial Vo. El paquete llega al reposo en el
punto B y empieza a deslizar hacia abajo hacia el punto A. Sabiendo que
el paquete alcanza el punto B en 2.4 segundos y regresa al punto A en un
tiempo adicional de 4.5 seg, determinar a) el coeficiente de rozamiento
entre el paquete y el plano inclinado, b) la distancia entre los puntos A y B
y c) los valores de las velocidades inicial y final del paquete en el punto A.
Problema III.1.20

56
Capítulo III.2. MÉTODO DE TRABAJO Y ENERGÍA
Como vimos en las definiciones, hemos denominado como trabajo al
producto de una fuerza por una distancia, con la única condición de que
ambas sean paralelas entre sí.. El producto puede ser positivo o negativo
siguiendo la regla de los signos El producto de dos cantidades con signos
iguales nos dan un producto positivo y el producto de dos cantidades con
signos diferentes me darán un producto negativo.
Por definición, sabemos que un cuerpo tiene energía cuando es capaz de
producir trabajo.
Tal como lo estudiamos en la secundaria, recordemos que el científico francés
Antonio Lorenzo Lavoisier enunció la Ley de Conservación de la Materia la
cual nos indica que: “LA MATERIA NI SE CREA NI SE PIERDE, SOLO SE
TRANSFORMA.” De la misma manera, la Primera Ley de la Termodinámica dice
que: “LA ENERGÍA NO SE CREA NI SE PIERDE, SOLO SE TRANSFORMA”.
Basándonos en este principio, veremos cómo se pueden transformar las
energías.
Existen infinidad de tipos de energías; a manera de ejemplo solamente
citaremos algunas de ellas a saber: energía solar, química, eólica, nuclear,
térmica, etc. En particular, a nosotros nos interesa única y exclusivamente la
ENERGÍA MECÁNICA, de la cual nos ocuparemos a continuación.
Como Energía Mecánica tenemos únicamente dos tipos: la potencial y la
cinética; el valor de la primera depende única y exclusivamente de su
posición con respecto a un nivel de referencia, y puede ser positiva o
negativa, y la representamos por la ecuación:
DEBEMOS TENER PRESENTE QUE, POR SUS CARACTERÍSTICAS Y UNIDADES, TANTO
EL TRABAJO COMO LA ENERGÍA SON CANTIDADES ESCALARES, Y
CONSECUENTEMENTE, LAS DEBEMOS TRATAR COMO TALES.
V = Wh
Donde: V = energía potencial
W = peso de cualquier cuerpo
h = altura o posición del cuerpo.

57
La energía cinética siempre es positiva, ya que aunque la velocidad sea
negativa, al elevarla al cuadrado se vuelve positiva.
Y la representaremos por la siguiente ecuación:
T = 1/2mv2
Donde: T = energía cinética
m = masa del cuerpo
V = velocidad del cuerpo.
Generalmente la Energía Potencial se puede convertir en Cinética y
viceversa.
Este espacio lo destinaremos a explicar este método y realizaremos algunos
ejemplos relacionados con el mismo.
Por definición, recordemos que Trabajo es el producto de una fuerza por una
distancia, con la condición que ambas sean paralelas entre sí.
TRABAJO = U = F S
El Trabajo puede ser positivo o negativo; la ley de signos nos dará el
correspondiente en cada caso.
Recordemos el principio de la conservación de la energía. Este principio nos
indica que la energía no se crea ni se pierde, solamente se transforma. Por
ejemplo, al consumir energía química a través de un combustible cualquiera,
un automóvil no “quema” la gasolina, sino que la energía química contenida
en ella la transforma en energía térmica y energía mecánica.
Aparentemente, la primera se pierde, pero no es así; con este calor
precalentamos el mismo combustible que “quema” el automóvil, pero la
mayor cantidad de energía contenida en el combustible, se transforma en
energía mecánica y es esta energía la que propicia el movimiento del
vehículo para transportarnos a donde queramos. Si bien es cierto que
indeseablemente se genera calor, gran porcentaje de éste es aprovechable.
Lo ideal sería que su rendimiento fuera al 100%; sin embargo, hasta ahora no
hemos podido lograr un rendimiento tan alto.
Recordemos que el rendimiento en porcentaje está dado por la ecuación:
Energía de salida
RENDIMIENTO =

58
Energía de entrada
Las energías en general, además de transformarse, se pueden almacenar. Por
ejemplo, la batería de un automóvil guarda energía eléctrica para de esta
manera sustituir el antiguo “crank” con el que se arrancaban los vehículos a
fines del siglo XIX y principios del XX. Las presas acumulan energía potencial
en sus aguas; las balas, energía química, la cual, al ser liberada, produce
energía cinética en el proyectil. De la misma manera, los resortes son
capaces de almacenar energía mecánica, la cual podemos usar al liberarla.
Aunque anteriormente nos referimos a los diferentes tipos de energía
existentes, en este espacio nos ocuparemos única y exclusivamente de la
energía mecánica.
Energía Cinética
Energía Mecánica:
Energía Potencial
La energía mecánica, que es la que nos interesa, puede ser cinética o
potencial:
ENERGÍA CINÉTICA = T = 1/2 mV2
Esta energía siempre es positiva, ya que aunque la velocidad puede ser
negativa, al elevarla al cuadrado, se vuelve positiva.
ENERGÍA POTENCIAL = V = Wh
Esta energía puede ser positiva o negativa. Para definir su signo, simplemente
aplicamos la ley de los signos: signos iguales dan positivo y signos desiguales
dan negativo.
En el caso de los resortes, por definición la constante de un resorte se define
como la fuerza necesaria para deformar un resorte una unidad de longitud,
de tal manera que:
CONSTANTE DE UN RESORTE = k = F / x
Por definición, Trabajo = Fx pero de la ecuación anterior F = kx (x/2) por lo
tanto:
TRABAJO = ENERGÍA POTENCIAL = U = ½ kx2

59
30 M/h
30 Ton40 Ton30 Ton
CBA
= 0.20
B
A
10 pies
100 libras
d
100 libras
4321
B
6.5 pies6.5 pies6.5 pies12 pies
Y la energía que puede acumular un resorte está dada por la ecuación
anterior.
Los problemas enunciados en este espacio deberán ser resueltos única y
exclusivamente por el método de TRABAJO Y ENERGÍA.
III.2.1. El tren suburbano mostrado en la figura viaja a una velocidad de 30
M/hr. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las vías y las ruedas es
de 0.3, determine la distancia requerida para detener el tren y la fuerza en
cada acoplamiento si aplican los frenos a fondo únicamente en el carro A
(una tonelada = 2, 000 lb.)
Problema III.2.2
III.2.2. El sistema mostrado inicialmente está en
reposo. Determine la velocidad del bloque A
después de haberse movido 6 pies.
Problema III.2.2
III.2.3. Cuatro paquetes, cuyo peso individual es de 125 lb, están localizados
sobre una banda transportadora, la cual es controlada con un motoreductor.
El paquete 1 está justamente a la izquierda de la parte horizontal de la banda.
Si el sistema parte del reposo, determine la velocidad del paquete 1 cuando
abandona la banda en el punto A. Suponga que el peso de la banda y los
rodillos es despreciable.

60
W
h
B
A
R=50pies
B
A
C
1pie2pies5pies
Problema III.2.3
III.2.4. Los bloques A y B pesan 9 y 10 libras,
respectivamente, y están conectados a través de un
cordón que pasa por las poleas mostradas. El collar C
está localizado sobre el bloque A y el sistema se suelta
desde el reposo. Después de que los bloques se han
movido 3 pies, el collar C es removido y los bloques
continúan su movimiento. Sabiendo que el collar C
pesa 5 libras, determine la velocidad del bloque A,
justamente antes de golpear el piso.
Problema III.2.4
III.2.5. Se deja caer un bloque de10 libras desde una
distancia h con un resorte no deformado cuya
constante es de 5 lb/pulg. Determine la altura h si la
máxima fuerza aplicada al cuerpo por el resorte es a)
40 lb, b) 20 lb y c) 15 lb.
Problema III.2.5
III.2.6. El carrito mostrado se deja sin velocidad en el punto A permitiendo que
se deslice hacia la parte baja de la pista mostrada. Al pasar por el punto B, se
aplican los frenos ocasionando que las ruedas se deslicen. Si sabemos que el
coeficiente de rozamiento es 1/3, suponiendo que no hay pérdida de energía
entre los puntos A y B y sabiendo que el radio de curvatura es de 50 pies,
determine las componentes normal y tangencial del carro justamente después
de que los frenos hayan sido aplicados.

61
r
C
B
A
(2)
0vv0
(1)
A
B
C
r r
C
B
A
(2)
0vv0
(1)
A
B
C
r
30pulg
24pulg
6 libras
2 libras
A
B
BA
6 pulg
k = 18 libras/pulg k = 12 libras/pulg
16 pulg
Problema III.2.6
III.2.7. Un pequeño paquete de peso W es lanzado por la parte interior de un
retorno en el punto A - como se muestra en la figura - con una velocidad
inicial Vo. El paquete viaja sin rozamiento a lo largo de un círculo de radio r y
es depositado en una superficie horizontal en el punto C. Para cada uno de
los dos retornos mostrados, determine a) la mínima velocidad Vo necesaria
para que el paquete arribe al punto C, b) la correspondiente fuerza aplicada
por el retorno al paquete al pasar por el punto B.
Problema III.2.7
III.2.8. Dos bloques A y B están
conectados por una cuerda y dejados
en reposo en la posición mostrada.
Despreciando el efecto de rozamiento,
determine la máxima velocidad
adquirida por el bloque B.
Problema III.2.8
III.2.9. Un collarín C de 8 lb se desliza sobre una varilla horizontal entre los
resortes A y B. Si se empuja el collarín hacia la derecha hasta que el resorte B
se comprime 2 pulgadas y se suelta, determine la distancia que recorre el
collarín, suponiendo a) ninguna fricción entre el collarín y la varilla, b) un
coeficiente de fricción de 0.35.

62
A
D
C
B
0
12
pulg
5pulg
W
d
0
B
A
Contrapeso
3000 libras
4000 libras
Elevador
Problema III.2.9
III.2.10. Un collar de peso W=2 lb está unido a
un resorte y se desliza a lo largo de una barra
circular y está ubicado en un plano
horizontal, el resorte tiene una constante k=3
lb/pulg y se encuentra sin deformación
cuando está en el punto B. Si el collar se
suelta desde el reposo en el punto C,
determine su velocidad al pasar por el punto
B.
Problema III.2.10
III.2.11. Se coloca una partícula en la parte superior de una superficie cilíndrica
con r=3 pies y θ=0°. Determine a) el valor de θ que ubica el punto B donde la
partícula abandona la superficie cilíndrica, b) la distancia del centro del
cilindro O, al punto donde la partícula golpea el piso.
Problema III.2.11
Problema III.2.12. Determine la potencia requerida cuando
el elevador mostrado a) se mueve hacia arriba con una
velocidad constante de 20 pies por segundo y b) tiene
una velocidad instantánea de 20 pies/seg hacia arriba y
una aceleración de 3 pies/seg2 hacia arriba.

63
15pies
30°
v
A
B
2 millas
180pies
Problema III.2.12
Problema III.2.13. La escalera eléctrica mostrada está diseñada para
transportar 8,000 personas por hora a una velocidad de 90 pies/min.
Suponiendo un peso promedio de 150 libras por persona, determine a) la
potencia promedio requerida, b) la potencia promedio requerida en el motor
si la eficiencia es de 85 % y se permite una sobrecarga del 300 %.
Problema III.2.13
Problema III.2.14. Se transporta grava por medio de una banda transportadora
del punto A al punto B con una velocidad de 4,000 toneladas en un turno de 8
horas. Se conecta un generador eléctrico al sistema con el objeto de
mantener una velocidad constante. Sabiendo que la eficiencia del sistema
banda-generador es de 0.65, determine la potencia promedio proporcionada
por el generador a) si la velocidad de la banda es de 5 pies por segundo, y b)
si la velocidad de la banda es de 8 pies/seg.

64
0v
C
B
A
6 pulg
B
C
A
10 pulg
k = 8 libras/pulg
Problema III.2.14
Problema III.2.15. El cuerpo C y el bloque A se mueven juntos hacia la izquierda
con una velocidad Vo. Cuando el bloque choca repentinamente con un
muro, determine el valor de la velocidad mínima Vo para la cual el cuerpo C
recorrerá un círculo completo alrededor del punto B a) si BC es una barra de
peso despreciable, b) si BC es una cuerda.
Problema III.2.15
Problema III.2.16. Cuando la escuadra ABC está girando, lentamente el
bloque empieza a deslizarse hacia un resorte cuando θ=15º. Sabiendo que la
deformación máxima del resorte es de 2”, determine el valor del coeficiente
de rozamiento dinámico ().
Problema III.2.16

65
3pulg
1pulg
CA
B
12pies
h
B
A
1.5metros
Problema III.2.17. Dos bloques A y B de 8 y 12 Kg.
respectivamente, cuelgan de un cable que pasa por
un tubo, como se muestra en la figura. Si los bloques
se sueltan desde el reposo y la energía disipada por
causa del rozamiento es de 40 Joules, determínese a)
la velocidad del bloque B cuando pega en el suelo y
b) la fuerza ejercida por el cable en cada uno de los
bloques.
Problema III.2.17
Problema III.2.18. Se usa el resorte de una pistola
de juguete para impulsar una bala de una onza
verticalmente hacia arriba. La longitud del
resorte sin deformar es de 5” y se comprime
hasta una longitud de 1”. Cuando la pistola se
dispara, la longitud del resorte es de 3” una vez
que la bala sale del cañón. Si se requiere una
fuerza de 8 libras para mantener el resorte en
posición de disparo, determine: a) la velocidad
de la bala al salir del cañón y b) la altura
máxima alcanzada por la bala.
Problema III.2.18
Problema III.2.19. Se ata un cuerpo de peso
W al extremo de una cuerda de 12” de
longitud y se deja en reposo en el punto A
sin velocidad inicial para que gire alrededor
del punto C en un plano vertical. La
cuerda se rompe cuando la tensión de la
cuerda es igual al doble del peso del
cuerpo. Determine a) la distancia vertical h
a la cual se rompe la cuerda y b) la
distancia a la que el cuerpo golpeará el
piso medido desde el muro vertical.
Problema III.2.19

66
50 libras
T
Problema III.2.20. Un hombre, cuyo peso es de 175 lb, sube corriendo una
escalera cuya altura es de 12 pies en 4 segundos. Determine la potencia
promedio requerida por el hombre para subir la escalera.
CAPÍTULO IV. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
IV.1. IMPULSO
El impulso es el producto de una fuerza aplicada a un cuerpo durante un
tiempo determinado. Cuando un lanzador de pelota en un partido de béisbol
coloca su brazo de lanzamiento detrás de su cabeza, lo hace para que
durante un mayor tiempo le imprima la misma fuerza a la pelota (impulso) y,
consecuentemente, ésta adquirirá mayor velocidad (cantidad de
movimiento).
La cantidad de movimiento es el producto de una masa por su velocidad.
Dado que los enunciados anteriores tienen las mismas unidades, podemos
igualarlos por medio de la ecuación:
(Impulso) Ft = mv (cantidad de movimiento)
Mv1 + Imp 1-2 = mv2
Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son cantidades vectoriales,
a diferencia del trabajo y la energía que vimos en el capítulo anterior, las
cuales son cantidades escalares.
Cuando usamos unidades del Sistema Internacional (SI), la magnitud del
impulso de una fuerza se expresa en N.S = (kg.m/seg2)s = Kg.m/s
Todos los problemas siguientes deberán ser resueltos por el método de impulso
y cantidad de movimiento.
Problema IV.1.1. En la figura mostrada, el carrito A y su
contenido tienen un peso de 100 libras y el contrapeso
tiene un peso de 50 libras. En t=0, el sistema tiene una
velocidad de 10 pies/seg hacia abajo y se aplica una
fuerza T=80 lb, como se muestra. Determine el tiempo t
para el cual el sistema a) no tiene velocidad y b) su
velocidad es de 10 pies/seg hacia arriba.
Problema IV.1.1

67
B
100 libras
B
60 pies/seg
120 pies/seg
30°
60°
Problema IV.1.2. Al bloque deslizante A de 100 lb se le
coloca un contrapeso B de 40 libras, como se muestra
en la figura. Sabiendo que el sistema parte del reposo y
despreciando el rozamiento, determine la velocidad
del bloque deslizante después de 5 segundos.
Problema IV.1.2
Problema IV.1.3. Una pelota de béisbol, cuyo peso es
de 4 onzas, es lanzada con una velocidad de 60
pies/seg para ser bateada. Después de ser bateada,
tiene una velocidad de 120 pies por segundo en la
dirección mostrada. Si el bat y la pelota están en
contacto durante un tiempo de 0.03 segundos,
determine la fuerza impulsiva promedio aplicada a la
pelota durante el contacto.
Problema IV.1.3
Problema IV.1.4. Un clavadista de peso de 175 lb se lanza desde el extremo de
un embarcadero con una velocidad de 8 pies por segundo en la dirección
mostrada en la figura. Determine las componentes horizontal y vertical de la
fuerza aplicada por el clavadista sobre el embarcadero durante los 0.75
segundos que tarda en impulsarse.

68
6 libras2 libras
0v BA
12 pulg
A
B
10 pies/seg
BA
130 Ton 50 Ton
20 Ton
4 Millas/hr
Problema IV.1.4
Problema IV.1.5. Se dispara una bala cuyo
peso es de 0.75 onzas en dirección
horizontal y atraviesa los bloques A y B
mostrados, ocasionando que se muevan
con velocidades de 15 y 12 pies/seg,
respectivamente. Determine a) la velocidad
inicial de la bala y b) la velocidad de la bala
cuando está viajando entre los bloques A y
B.
Problema IV.1.5
Problema IV.1.6. Un empleado lanza una
maleta de 30 libras con una velocidad
horizontal de 10 pies/seg sobre una
plataforma cuyo peso es de 70 libras.
Sabiendo que ésta se puede deslizar
libremente e inicialmente está en reposo,
determine la velocidad final de la
plataforma a) si la maleta se deslizo sobre la
plataforma, b) si la maleta choca contra el
barandal del extremo A.
Problema IV.1.6
Problema IV.1.7. Una máquina de 130 toneladas que viaja a 4 M/hr choca y,
automáticamente, se acopla con una plataforma cuyo peso es de 20
toneladas y lleva fija una carga de 50 toneladas. Sabiendo que la plataforma
estaba inicialmente en reposo, determine a) la velocidad de la máquina
inmediatamente después de haberse acoplado y b) la fuerza promedio que
actúa durante el acoplamiento suponiendo que se lleva a cabo en un
periodo de 0.4 segundos.

69
Problema IV.1.7
Problema IV.1.8. Un tren ligero formado por dos vagones viaja a 45 M/hr. El
peso del vagón A es de 18 toneladas y el del vagón B es de 13 toneladas.
Cuando se aplican repentinamente los frenos, se ejerce una fuerza de
frenado constante de 4,300 libras en cada vagón. Determine a) el tiempo
requerido para que el tren se detenga después de que se aplican los frenos y
b) la fuerza en el acoplamiento entre los vagones mientras el tren está
desacelerando.
Problema IV.1.9. En un crucero, el automóvil B viajaba hacia el sur y el
automóvil A en dirección 30° al noreste cuando chocaron entre sí. Luego de
la investigación, se determinó que, después del choque, los dos automóviles
quedaron trabados y patinaron a un ángulo de 10° al noreste. Cada
conductor afirmó que viajaba al límite de velocidad de 50 Km/h y que
trataron de frenar, pero que no pudieron evitar el choque debido a que el
otro conductor iba bastante más rápido. Si se sabe que los pesos de los
automóviles A y B eran, respectivamente, 1500 y 1200 Kg, determine a) cuál
de los dos automóviles viajaba más rápido y b) la rapidez del automóvil que
iba a mayor velocidad si el vehículo más lento viajaba al límite de velocidad.
Problema IV.1.10. Un hombre de 180 libras y una mujer de 120 libras están de
pie uno al lado del otro en el mismo extremo de un bote de 300 libras, listos
para lanzarse al agua, cada uno con una velocidad de 16 pies por segundo
con respecto al bote. Determine la velocidad del bote después que se hayan
lanzado ambos al agua, si a) la mujer se lanza primero y b) el hombre se lanza
primero.

70
b) Impacto central oblicuo
A
B Línea
de
im
pacto
a) Impacto central directo
Línea
de
im
pacto
B
B
A
v
v
A
Bv
Av
CAPITULO IV.2.- CHOQUES
En este capítulo nos concretaremos a analizar únicamente el impacto central
tanto directo como oblicuo, dado que en el impacto excéntrico los elementos
a estudiar se consideran como cuerpos rígidos.
Se dice que ocurre un choque o colisión entre dos cuerpos cuando en un
tiempo muy corto, casi instantáneo, dos cuerpos se impactan entre sí
aplicándose fuerzas relativamente grandes entre ellos. Cuando las
velocidades de los dos cuerpos que se colisionan están antes y después del
choque sobre la misma línea de acción, le llamaremos choque central directo;
en caso contrario, se le llamará impacto central oblicuo. A esta línea en la
cual se lleva a cabo el fenómeno le llamaremos línea de impacto y le
asignaremos la letra “n”; a su perpendicular que a la vez es tangente a las
esferas, le llamaremos el eje “t”.
FIGURA IV.2.1
Directo
Central
Oblicuo
Choques
Excéntrico

71
c) Después del impacto
b) En la deformación máxima
B
BA
v vA
BA
u
A
A B
B
a) Antes del impacto
En el choque central directo todos los
fenómenos efectuados durante la
colisión se llevan a cabo en la dirección
de la línea de impacto, la cual
identificamos como el eje “n”.
FIGURA IV.2.2
La siguiente ecuación representa la conservación de la energía
cinética y es conocida con ese nombre; nos indica que en este tipo de
choques, la energía cinética se conserva:
½ mA V2A + ½ mBV2B = ½ mA(V’A)2 + ½ mB(V’B)2
Esta ecuación, ya simplificada quedará como:
mA VA + mBVB = mA(V’A) + mB(V’B)
Y ya modificada la identificaremos como la ecuación representativa de la
cantidad de movimiento.
IV.2.3. Considerando dos esferas que se mueven sobre la misma línea de
acción y si la velocidad de A es mayor que la velocidad de B, A golpeará a B
y durante el impacto las dos esferas se deformarán; dependiendo de la
rapidez con que retornen a su forma original (coeficiente de restitución = e), se
conservará o no la cantidad de movimiento.

72
a) Periodo de deformación
AA
m vA
+
A P
= A
Am u
A=
R
+A A
b) Periodo de restitución
AAm v'm uA
Antes del choque: VA/B = VA – VB
Después del choque: V’A/B = V’A--V’B
Para resolver problemas de impacto en general, cuando el valor de “e” se
encuentra entre 0 y 1 quiere decir que la energía cinética no se conserva; y ya
que el objetivo de esta materia es predecir las velocidades de cada una de
las esferas, utilizaremos la siguiente ecuación para lograr nuestro propósito.
V’B – V’A = e( VA – VB )
Esta ecuación nos expresa que: LA VELOCIDAD RELATIVA DE DOS PARTÍCULAS
DESPUÉS, SE OBTIENE AL MULTIPLICAR SU VELOCIDAD RELATIVA ANTES DEL
IMPACTO POR EL COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN.
El Coeficiente de restitución es la rapidez con que un cuerpo elástico recupera
su forma original DEL IMPACTO.
FIGURA IV.2.3
Cuando e = 0, mA VA + mBVB = (mA+mB) V’
Cuando e = 1, se conserva la energía total: VA –VB = V’B- V’A
Cuando 0 ≤ e ≤ 1, NO SE CONSERVA LA ENERGÍA TOTAL.

73
t
Línea
de
im
pacto
B
B
A
v
v
A
v
v
'B
'A
BBm v
m vA A
n
A
B
t
'
'
- F t
=+
n
t
B
A
m vA A
F t
m vB B
AAm v
A
B
t
n
CAPITULO IV .2.3
En el choque central oblicuo se cumplen las siguientes condiciones:
FIGURA IV.2.4
1.- La cantidad de movimiento de cada partícula sobre el eje “t” se conserva.
(VA)t = (V’A)t (VB)t = (V’B)t
2.- La cantidad de movimiento total sobre el eje “n” de las dos partículas se
conserva.
mA(VA)n + mB(VB)n = mA(VA)n + mB(V’B )n
3.- Se obtiene la componente en “n” de la velocidad relativa de las dos
partículas después del choque, multiplicando la componente “n” de la
velocidad relativa antes del choque por el coeficiente de restitución “e”. (ver
problema IV.2.1.)
(V’B)n - (V’A)n = e[(VA)n – (VB)n]

74
5 m/s3 m/s
BA
2 Kg 3 Kg
A B6 libras
8 pies/s
2 libras
12 pies/s
FIGURA IV.2.5
Problema IV.2.1. Las velocidades de los dos collarines son las mostradas. Si
después del impacto se observa que la velocidad del collar A es de 5.4 m/seg
hacia la izquierda, determínese: a) la velocidad del collar B después del
choque, y b) el coeficiente de restitución entre los dos collares.
Problemas IV.2.1 Y IV.2.2
Problema IV.2.2. Resuélvase el problema anterior suponiendo que se observa
que la velocidad del collar A después del impacto es de 3 m/seg hacia la
izquierda.
Problema IV.2.3. Dos esferas pequeñas, A y B, están hechas de materiales
diferentes y tienen los pesos indicados en la figura. Se están moviendo sobre
una superficie horizontal sin rozamiento con las velocidades mostradas
cuando chocan una con otra. Si el coeficiente de restitución entre las esferas
es e=0.8, determínense: a) la velocidad de cada esfera después del choque y
b) la energía perdida por causa del impacto.
Problemas IV.2.3 Y IV.2.4
Problema IV.2.4. Resuélvase el problema anterior suponiendo que la esfera A
se está moviendo a la izquierda con una velocidad de 8 pies/seg.

75
CBA
1.6 m/s
40°
VB = 5 pies/s
= 8 pies/sAV
B
A
d
d
d
h
h
h
Problema IV.2.5. Dos automóviles idénticos B y C están en reposo sobre un
puentecillo de acceso (pasarela de embarcar) con sus frenos sin aplicar. El
automóvil A del mismo modelo que ha sido empujado por los trabajadores del
muelle pega en el automóvil B con una velocidad de 1.6 m/seg provocando
una serie de choques entre los tres automóviles. Suponiendo un coeficiente
de restitución e=0.7 entre las defensas, determínese la velocidad de cada
automóvil después de que han tenido lugar todos los choques.
Problema IV.2.5
Problema IV.2.6. Una pelota cuyo, peso es de 2.5
libras, cae verticalmente con una velocidad de
magnitud VA=8 pies/seg cuando es golpeada en la
forma indicada por una pelota B de 1.5 libras que
tiene una velocidad de magnitud VB=5 pies/seg. Si
el coeficiente de restitución entre las dos pelotas es
e=0.75 y si se supone que el rozamiento es nulo,
determínense la velocidad de cada pelota
inmediatamente después del impacto.
Problema IV.2.6
Problema IV.2.7. Una pelota cae desde una altura h
sobre la huella de los escalones mostrados,
rebotando las escaleras como se muestra en la
figura. Indicando como “e” el coeficiente de
restitución, obténgase el valor de h para el cual la
pelota rebota hasta la misma altura sobre cada
escalón.

76
B
A
25 libras
6 pies
A B
3 Libras 5 Libras
12 pies/seg
20 pies/seg
20 pies/seg
12 pies/seg
5 Libras3 Libras
A
8 onzas
5 onzas
3pies
A
r = 2 pies
B
A
mm
X
y
A
v = 40 pies/seg
30°
v = 30 pies/seg
A B
B
60°
Problema IV.2.7
Problema IV.2.8. La magnitud y dirección de las
velocidades de dos esferas lisas antes de chocar
entre sí son las mostradas en la figura.
Suponiendo que e = 0.9, determine la magnitud
y dirección de la velocidad de cada esfera
después del impacto.
Problema IV.2.8
Problema IV.2.9. Se deja caer un bloque de 50 libras
desde una altura de 6 pies sobre una placa de 25
libras, la cual es usada como plataforma de una
báscula y suponiendo que el impacto es
perfectamente plástico. Sabiendo que la constante
del resorte es k=100 lb/pulg, determine el máximo
desplazamiento de la plataforma.
Problema IV.2.9
Problema IV.2.10. El coeficiente de restitución entre los dos collarines
mostrados es 0.75. Determine a) sus velocidades después del impacto y b) la
energía perdida durante el impacto.
Problema IV.2.10
Problema IV.2.11. Resuelva el problema anterior si la velocidad del collar A
fuera de 12 pies/seg hacia la izquierda.
Problema IV.2.12. El bloque mostrado se suelta cuando
θ=90º y desliza sin rozamiento hasta que golpea a la esfera
B. Sabiendo que e=0.9, determinar a) la velocidad de la
esfera inmediatamente después del impacto, b) el valor
de la máxima tensión alcanzada por el cable que la
sostiene y c) la altura máxima alcanzada por la esfera.
Problema 14.61 1ª.

77
x
y
a
A
B
v
WBAW
DC
k = 12 libras/pulgk = 12 libras/pulg
BA
Problema IV.2.12
Problema IV.2.13. Determinar el valor del ángulo θ del problema anterior
cuando el máximo ángulo entre la cuerda soporte de la esfera y la vertical
sea de 45º.
Problema V.2.14. El bloque A está en reposo cuando el resorte C se comprime
una distancia X y se desliza sin rozamiento hasta golpear al collar B. El
coeficiente de restitución entre los collares está determinado por e. ¿Cuál
deberá ser el peso del collar A si la velocidad del collar B inmediatamente
después del impacto deberá ser tan grande como sea posible? Problema
14.68
Problema IV.2.14
Problema IV.2.15. Dos bolas de billar idénticas A y B de radio r se pueden
desplazar libremente sobre una mesa horizontal. Si la bola B está inicialmente
en reposo y A tiene una velocidad inicial Vx=V y Vy=0, determine la distancia
“a” de tal manera que la componente de la velocidad de la bola B en el eje
Y después del impacto sea máxima. También determine la correspondiente
resultante de la velocidad de B y la dirección en que B se moverá suponga
que e = 1. Prob. 14.50
Problema IV.2.15

Libro dinámica partícula (revisado)

Libro dinámica partícula (revisado)

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Libro dinámica partícula (revisado)

Similar a Libro dinámica partícula (revisado) (20)

Último

Último (20)

Libro dinámica partícula (revisado)