Aplicación de la derivada en la resolución del área de un cilindro.

1. Matemáticas
Aplicación de la derivada
Alumno (a) : Elena Fabela Romero
1 A Procesos Industriales

2. Problema de razonamiento
 Se necesita fabricar un recipiente cilíndrico cerrado en ambos extremos.
¿Cuáles deberían ser las dimensiones del cilindro para que tenga una
capacidad de 975 cm3 y se utilice el mínimo de material posible?

3. Diagrama y análisis del problema


4. Tabulación en la que se observa el punto
crítico de interés (máximo o mínimo).
Volumen = 975 cm3
Radio Altura Área lateral Área de la base Área total
x h = 975/πr2 2πrh 2πr2 2πr2 + 2πr2h
1 310.352139 1950 6.283185307 1956.283185
2 77.58803476 975 25.13274123 1000.132741
3 34.483571 650 56.54866776 706.5486678
4 19.39700869 487.5 100.5309649 588.0309649
5 12.41408556 390 157.0796327 547.0796327
6 8.620892751 325 226.1946711 551.1946711
7 6.333717123 278.571429 307.8760801 586.4475086
8 4.849252172 243.75 402.1238597 645.8738597
9 3.831507889 216.666667 508.9380099 725.6046765
10 3.10352139 195 628.3185307 823.3185307
11 2.564893711 177.272727 760.2654222 937.5381494
12 2.155223188 162.5 904.7786842 1067.278684
13 1.83640319 150 1061.858317 1211.858317
14 1.583429281 139.285714 1231.50432 1370.790034
15 1.37934284 130 1413.716694 1543.716694
16 1.212313043 121.875 1608.495439 1730.370439

5. Gráfica
Área total
2500
2000
Mínimo material
posible
1500
Área total
1000
500
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6. Función que se va a derivar
ALT 2 rh 2 r2
975
ALT 2 x 2 x2
x2
ALT 2 rh r2
975
ALT 2 x 2 x2
x2
975
ALT 2 x2
x
975
y 2 x2
x

7. Resolución de la derivada
dy ( x )( 0 ) ( 975 )(1) 4 x
dx x2
dy 975
4 x
dx x2

8. Igualamos a cero
975
4 x 0
x 2
975
4 x
x 2
4 x( x 2) 975
4 x3 975
975
x3
4
975
x 3 5 .4
4

9. Solución del problema
 Las dimensiones del cilindro deben ser las siguientes:
Área
Radio Altura Área de la base Área total
lateral
h= 975/πr2
x 2πrh 2πr2 2πrh + 2πr2
5.4 10.64307747 361.111111 183.2176836 544.3287947