Something to do

1. Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas
MECATRONICA IX
ROBOTICA II
Calculo del momento de inercia de un eslabón.
Responsable de la asignatura: Dr. Miguel Gabriel Villarreal Cervantes
Alumno: Rodríguez Ramírez Juan de Dios
Grupo: 9MV1
México, D.F. 28 de agosto 2010.

2. Part I
Desarrollo:
0.1 Centro de masa:
Para calcular el centro de masa, se divide el eslabón en 12 segmentos, con la siguiente ecuación se puede determinar
el centro de masa en Y y en X, siempre y cuando la densidad de masa sea constante por unidad de área:
AT YT =
nX
i=1
AiYi; AT XT =
nX
i=1
AiXi;
y1 = 10:625 21:25
3 = 9: 791 666 7
y2 = 10:625 21:25
3 = 9: 791 666 7
y in x in area in2
y1 = 9: 791 666 7 x1 = 0:833 333 33 A1 = 0:78125
y2 = 9: 791 666 7 x2 = 2: 166 666 7 A2 = 0:78125
y3 = 0:833 333 33 x3 = 0:833 333 33 A3 = 0:78125
y4 = 0:833 333 33 x4 = 2: 166 666 7 A4 = 0:78125
y5 = 10:0 x5 = 1:5 A5 = 0:625
y6 = 0:625 x6 = 1:5 A6 = 0:625
y7 = 8:75 x7 = 1:5 A7 = 3:75
y8 = 2 x8 = 1:5 A8 = 4:5
y9 = 5: 437 5 x9 = 0:1875 A9 = 2:015625
y10 = 5: 437 5 x10 = 2:8125 A10 = 2:015625
y11 = 9:375 x11 = 1:5 A11 = 0:604072
y12 = 1:375 x12 = 1:5 A12 = 0:92459035
para obtener el área total se suman todas las áreas:
AT = A1 + A2 + A2 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 = 15: 127 588 in2
y se obtiene que el área total es AT = 15: 127 588 in2
la placa tiene un espesor de 0:375 in por lo tanto el volumen total es de:
AT 0:375 = 15: 127 588 0:375 = 5: 672 845 5 in3
= 5: 672 845 5 25:43
= 92961: 282 mm3
si el material es de aluminio = 2700 kg
m3 la masa de todo el eslabón es de:
m=2:7 10 6
92961: 282 = 0:250 995 46 kg
y el centro de masa es:
AT xT = A1 x1+A2 x2+A3 x3+A4 x4+A5 x5+A6 x6+A7 x7+A8 x8+A9 x9+A10 x10+A11 x11+A12 x12 =
22: 691 382
xT =22: 691 382
15: 127 588 = 1: 5 in
AT yT = A1 y1 +A2 y2 +A3 y3 +A4 y4 +A5 y5 +A6 y6 +A7 y7 +A8 y8 +A9 y9 +A10 y10 +A11 y11 +A12 y12 =
80: 040 123
yT =80: 040 123
15: 127 588 = 5: 291 003 6 in
yT = 5: 291 003 6 in xT = 1: 5 in
yT = 134: 391 49 mm xT = 38: 1 mm
2

3. 1 Calculo de Momento de inercia:
Por de…nición el momento de inercia de un material se de…ne como I =
R
m
r2
dm donde r es la distancia que existe
entre el centro de giro y el diferencial de masa, si se supone un objeto de 3 dimenciones, en coordenadas cartesianas
se obtiene lo siguiente:
IX =
R
y2
+ z2
dm si se gira sobre el eje x
IY =
R
x2
+ z2
dm si se gira sobre el eje y
IZ =
R
x2
+ y2
dm si se gira sobre el eje z
De manera general, si el cuerpo rota sobre el eje "o" se tiene que:
Io =
Z
x2
+ y2
+ z2
dm
Para el caso particular cuando el eslabón tiene una distribución lineal por unidad de área constante, debido a
la simetría del cuerpo se puede analizar al elemento como si no tuviera espesor, por lo que se pueden hacer las
siguientes simpli…caciones:
IX =
R
y2
+ z2
dm =
R
y2
dm +
R
z2
dm
pero se sabe que
R
z2
dm = 0 por lo tanto:
IX =
Z
y2
dm
IY =
Z
x2
dm
IZ =
R
x2
+ y2
dm =
R
x2
dm +
R
x2
dm
IZ = IX + IY
Se puede asignar una distribución de masa lineal en función del área, debido a que el espesor de todo el material
es constante, y también la densidad:
I =
R
m
r2
dm =
R
m
r2
areadA = area
R
m
r2
dA; donde
R
m
r2
dA es el momento de inercia de un área.
para el teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos:
IX =
nX
i=1
(Ii + mid2
i ) ! IX =
nX
i=1
(Ii + areaAid2
i ) ! IX = area
nX
i=1
(Iarea i + Aid2
i )
1.1 Para la densidad
Se sabe que la densidad del aluminio es aproximadamente de 2700
Kg
m3
; también se conoce el espesor del eslabón,
por lo que se puede asignar una densidad lineal a cada in2
del eslabón.
Al = 2700
Kg
m3
= 2700 2:54 10 2
1
3
= 4: 424 507 3 10 2 kg
in3 el espesor de la placa de aluminio es de 0:375
in
Multiplicando el espesor con la densidad del aluminio se obtiene la densidad lineal de masa por unidad de área:
areaAl = 4: 424 507 3 10 2 kg
in3 0:375in = 1: 659 190 2 10 2 kg
in2
Así se podrán utilizar las formulas de momentos de área para realizar los cálculos, y posteriormente multiplicarlos
por la densidad correspondiente.
3

4. 1.2 Para el eje X:
Calculando los momentos de inercia de cada una de las áreas se tienen los siguientes resultados:
I1 = 6: 781 7 10 2
I2 = 6: 781 7 10 2
I3 = 6: 781 7 10 2
I4 = 6: 781 7 10 2
I5 = 8:13802083 10 2
I6 = 8:13802083 10 2
I7 = 0:48828125 I8 = 0:84375 I9 = 4:852722
I10 = 4:852722 I11 = 2:90381 10 2
I12 = 6:8028179 10 2
y para aplicar el teorema de los ejes paralelos se calcula la distancia de los centroides de cada una de las …guras
hacia el centro de masa:
y1 yT =d1 = 4: 500 663 1 y2 yT =d2 = 4: 500 663 1 y3 yT =d3 = 4: 457 670 3
y4 yT =d4 = 4: 457 670 3 y5 yT =d5 = 4: 708 996 4 y6 yT =d6 = 4: 666 003 6
y7 yT =d7 = 3: 458 996 4 y8 yT =d8 = 3: 291 003 6 y9 yT =d9 = 0:146 496 4
y10 yT = d10 = 0:146 496 4 y11 yT =d11 = 4: 083 996 4 y12 yT =d12 = 3: 916 003 6
…nalmente se sustituyen los valores:
Ixarea =
12X
i=1
(Ii + Aid2
i ) = A1d2
1 + A2d2
2 + A3d2
3 + A4d2
4 + A5d2
5 + A6d2
6 + A7d2
7 + A8d2
8 + A9d2
9 + A10d2
10 +
A11d2
11 + A12d2
12 + I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 + I8 + I9 + I10 + I11 + I12 = 171: 171 22 in4
el momento de inercia de el material en el eje X es de:
171: 171 22 1: 659 190 2 10 2
= 2: 840 056 1
Ix = areaAl Ixarea = 1: 659 190 2 10 2 kg
in2
171: 171 22 in4
= 2: 840 056 1 kg in2
25:42 mm2
in2 = 1832: 290 6 kg mm2
1.3 Para el eje Y:
Calculando los momentos de inercia de cada una de las áreas se tienen los siguientes resultados:
I1 = 6: 781 7 10 2
I2 = 6: 781 7 10 2
I3 = 6: 781 7 10 2
I4 = 6: 781 7 10 2
I5 = 1: 302 083 3 10 2
I6 = 1: 302 083 3 10 2
I7 = 2: 812 5 I8 = 3: 375 I9 = 2: 362 060 5 10 2
I10 = 2: 362 060 5 10 2
I11 = 2:90381 10 2
I12 = 6:8028179 10 2
y para aplicar el teorema de los ejes paralelos se calcula la distancia de los centroides de cada una de las …guras
hacia el centro de masa:
d1 = x1 xT = 0:666 666 67 d2 = x2 xT = 0:666 666 7 d3 = x3 xT = 0:666 666 67
d4 = x4 xT = 0:666 666 7 d5 = x5 xT = 0:0 d6 = x6 xT = 0:0
d7 = x7 xT = 0:0 d8 = x8 xT = 0:0 d9 = x9 xT = 1: 312 5
d10 = x10 xT = 1: 312 5 d11 = x11 xT = 0:0 d12 = x12 xT = 0:0
Iyarea =
12X
i=1
(Ii + Aid2
i ) = A1d2
1 + A2d2
2 + A3d2
3 + A4d2
4 + A5d2
5 + A6d2
6 + A7d2
7 + A8d2
8 + A9d2
9 + A10d2
10 + A11d2
11 +
A12d2
12 + I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 + I8 + I9 + I10 + I11 + I12 = 14: 768 332 in4
el momento de inercia de el material en el eje Y es de:
Iy = areaAl Iyarea = 1: 659 190 2 10 2
14: 768 332 = 0:245 034 72 kg in2
= 158: 086 60kg mm2
1.4 Para el eje Z
Por de…nición, basta con hacer la suma de los momentos de inercia de Ix + Iy
Iz = Ix + Iy; Iz = 1832: 290 6 kg mm2
+ 158: 086 60 kg mm2
= 1990: 377 2 kg mm2
1.5 Comprobación con SolidWorks
Se dibujo la pieza en solidworks, se puede observar que los parámetros que se calcularon son muy aproximados a
los que aparecen en la imagen.
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5. 5