Suspensión activa automóvil

Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Azcapotzalco
Ciencias Básicas e Ingeniería
Proyecto Terminal
Licenciatura en Ingeniería Mecánica
“Diseño y simulación de un sistema de control para una
suspensión activa de un automóvil”.
Presenta
Arturo Eduardo Rocha Roa
203304544
Asesores
Dr. Iván Vázquez Álvarez
Dr. Francisco Beltrán Carbajal
México, D.F. Agosto, 2013.

ii
Dedicatoria
A mis padres María Iris y Armando
Por todo su amor y cariño durante todos estos años, gracias a su
esfuerzo, paciencia, consejos y apoyo incondicional he logrado una de
mis grandes metas, sin ustedes no habría sido posible pues son fuente
de inspiración y motivación para mí. Estaré eternamente agradecido
con ustedes.
A mis 3 Hermanos y mi cuñada, Jesús, Susana, Alicia y Angélica
Por el cariño y apoyo que me han brindado durante todo este tiempo,
son y serán siempre un ejemplo para mí.
A mis sobrinos Yesenia, Daniel, Alonso, Natalia y Jazmín
Por toda la alegría, diversión y energía que me contagian con sus risas y
juegos.

iii
Agradecimientos
A mis grandes amigos de toda la vida Jorge David, Rosa Guadalupe,
Ricardo y Oscar
Por todos esos momentos que convivimos juntos, las alegrías, las penas,
por su consejo y apoyo cuando los necesitaba y que siempre estuvieron
ahí incondicionalmente.
A mis asesores el Dr. Iván Vázquez Álvarez y el Dr. Francisco Beltrán
Carbajal
Por darme la confianza, su apoyo, paciencia y disposición en todo
momento.
AL Dr. Johan Ceballos
Por toda la ayuda que recibí de él durante mi periodo de movilidad.
A la Universidad Autónoma Metropolitana por haberme abierto las
puertas de su casa de estudios.
A mis amigos, compañeros, maestros y todas aquellas personas que me
han apoyado dentro y fuera de la universidad a lo largo de esta etapa
de mi vida en la UAM-A.

iv
RESUMEN
Fue el objetivo de este trabajo diseñar, simular y evaluar esquemas de control para una
suspensión activa para mejorar la dinámica del vehículo ante las vibraciones inducidas por la
superficie irregular en la que se desplaza.
Se partió de un modelo matemático para la suspensión de un cuarto de vehículo, en el que se
identificaron los parámetros representativos y las variables que intervienen en la dinámica
vertical del sistema de suspensión, las ecuaciones de este modelo permitieron tener un mejor
entendimiento de la dinámica y operación del sistema.
Posteriormente se seleccionaron dos esquemas de control, uno basado en planitud diferencial y
el otro un control PID, con el fin de poder comparar el rendimiento de cada uno; para dichos
controles se desarrollaron sus modelos matemáticos y se implementaron al modelo de las
suspensión obteniendo así la dinámica de lazo cerrado para el control de la suspensión activa.
Se programó en Matlab y Simulink el modelo de una suspensión pasiva y una suspensión
activa, además se programaron los dos controladores y se integraron a la suspensión activa.
Los modelos desarrollados se probaron y evaluaron primero en Simulink y Matlab resultado de
estas simulaciones se obtuvo un buen comportamiento de la suspensión activa, ambos
controles redujeron los efectos de la vibraciones verticales que las funciones de entrada
imprimían sobre el sistema.
Por ultimo para la validación de los esquemas de control, se desarrolló una plataforma usando
CarSim y ligando los controles programados en Simulink, los esquemas de control se
implementaron para un vehículo completo dentro de CarSim y se les realizaron múltiples
pruebas para evaluar su desempeño dinámico, obteniendo resultados aceptables.

v
CONTENIDO
Dedicatorias………………………………………………………………………………………………..ii
Agradecimientos…………………………………………………………………………………………..iii
Resumen…………………………………………………………………………………………………..iv
LISTA DE TABLAS.................................................................................................................... vii
LISTA DE FIGURAS.................................................................................................................. vii
1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................1
1.1. Antecedentes ................................................................................................................1
1.2. Justificación...................................................................................................................3
2. OBJETIVOS.........................................................................................................................4
2.1 Objetivo general............................................................................................................4
2.2 Objetivos específicos ....................................................................................................4
3. MARCO TEÓRICO...............................................................................................................5
3.1 Introducción...................................................................................................................5
3.1.1 Tolerancia fisiológica a las vibraciones...................................................................6
3.2 El sistema de Suspensión .............................................................................................9
3.2.1 Componentes básicos de la suspensión ..............................................................11
3.2.2 Características dinámicas de la suspensión.........................................................14
3.2.3 Influencia de la suspensión sobre la dinámica vertical del vehículo......................19
3.2.4 Tipos de suspensión ............................................................................................25
3.2.4.1 Suspensión Activa....................................................................................25
3.3 Esquemas de control...................................................................................................31
3.3.1 Modelado en espacio de estados.........................................................................31
3.3.2 Ecuaciones diferenciales en el espacio de estados..............................................32
3.3.3 Controlabilidad y observabilidad...........................................................................34
3.4 Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID).............................................................35
3.4.1 Reglas de sintonía para controladores PID ..........................................................36
3.4.1.1 Métodos de sintonía de Ziegler-Nichols para controladores PID...............36
3.5 Control por Planitud Diferencial...................................................................................38
4. METOLOGÍA......................................................................................................................41
4.1 Descripción del proyecto .............................................................................................41

vi
4.2 Modelo físico de la suspensión e identificación de parámetros....................................43
4.3 Modelo Matemático de la suspensión..........................................................................43
4.4 Selección de los esquemas de control y desarrollo de sus modelos matemáticos.......46
4.4.1 Modelado de la suspensión lineal en el espacio de estados.................................47
4.4.2 Diseño de controlador PID (Proporcional-Integral-Derivativo) ..............................48
4.4.3 Diseño de controlador por Planitud Diferencial.....................................................51
4.5 Programación y simulación de los modelos matemáticos en Matlab/Simulink .............56
4.5.1 Programación y simulación de los modelos matemáticos para una suspensión
pasiva y activa....................................................................................................................57
4.5.2 Programación, sintonización y simulación del controlador PID (Proporcional-
Integral-Derivativo).............................................................................................................61
4.5.3 Programación, Simulación y ajuste del controlador basado en Planitud Diferencial
……………………………………………………………………………………………..65
4.5.4 Evaluación del desempeño de los controladores propuestos mediante la
simulación en Matlab/Simulink ...........................................................................................69
4.6 Desarrollo de la plataforma de simulación virtual en CarSim.......................................72
4.6.1 Definición del vehículo de pruebas.......................................................................73
4.6.2 Selección y creación de las maniobras para pruebas sobre el vehículo ...............77
4.6.3 Generación de los espacios virtuales para la simulación......................................78
4.6.4 Extracción de información para la evaluación de la dinámica del automóvil .........81
4.7 Integración y pruebas de los esquemas de control sobre la plataforma de simulación
virtual en CarSim ...................................................................................................................82
4.7.1 Integración del controlador PID a la plataforma de simulación en CarSim............84
4.7.2 Integración del controlador por Planitud Diferencial a la plataforma de simulación
en CarSim ..........................................................................................................................88
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS...............................................................................................98
5.1 Presentación de resultados y análisis..........................................................................98
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES....................................................................108
6.1 Conclusiones.............................................................................................................108
6.2 Trabajos futuros y recomendaciones.........................................................................110
7. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................112
Anexo A...................................................................................................................................114

vii
LISTA DE TABLAS
Tabla 3.1 Límites recomendados para sobre aceleración, aceleración y velocidad……….……...6
Tabla 3.2 Frecuencias características de movimientos vibratorios y sus efectos………………….8
Tabla 3.3 Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la respuesta escalón de la planta
(primer método)…………………………………………………………………………………………. 37
Tabla 3.4 Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crítica kcr y periodo
crítico Pcr (segundo método)……………………………………………………………………………37
Tabla 4.1 Parámetros para la suspensión de un cuarto de vehículo tomados de CarSim………43
Tabla 5.1 Reducción en la aceleración vertical del centro de gravedad del vehículo……………99
Tabla 5.2 Reducción en el desplazamiento vertical del centro de gravedad del vehículo……..100
Tabla 5.3 Reducción en el efecto de cabeceo sobre el vehículo…………………………………101
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1. Sistema dinámico del vehículo desde las fuentes de excitación hasta la
percepción de las vibraciones por los pasajeros del vehículo………………………………...……..5
Figura 3.2. Limites en vibraciones verticales para el confort de los pasajeros propuesta por
Janeway……………………………………………………………………………………………………7
Figura 3.3. Recorrido vertical de la suspensión ante las irregularidades que presenta el
camino……………………………………………………………………………………………………...9
Figura 3.4. Esquema del ensamble A) Masa Suspendida - C) Suspensión - B) Masa No
Suspendida……………………………………………………………………………………………….10
Figura 3.5. Elementos elásticos de las distintas suspensiones…………………………………….11
Figura 3.6. Amortiguadores en sus dos configuraciones clásicas………………………………….12
Figura 3.7. Conjunto de bujes montados sobre la suspensión del vehículo………………………12
Figura 3.8. Esquema del ensamble de una rotula……………………………………………………13
Figura 3.9. Esquema del ensamble de brazos de oscilación de la suspensión…………………..13
Figura 3.10 Diagrama esquemático de un sistema de suspensión pasiva para un cuarto de
vehículo…………………………………………………………………………………………………...14
Figura 3.11. Aceleración vertical de la masa suspendida a diferentes frecuencias……………...16
Figura 3.12. Efecto del amortiguamiento en la aceleración vertical de la masa suspendida…...17

viii
Figura 3.13. Aceleración vertical de la masa no suspendida variando el amortiguamiento…….18
Figura 3.14. Movimientos presentes en la dinámica del vehículo………………………………….20
Figura 3.15. Movimientos oscilatorios alrededor del centro de gravedad…………………………20
Figura 3.16. Los dos modos de vibración presentes en el vehículo en el plano longitudinal…...23
Figura 3.17. Tiempo de desfasamiento entre las oscilaciones de los ejes del vehículo…………24
Figura 3.18. Tipos de suspensión de acuerdo a su arquitectura….………………………………..25
Figura 3.19. Diagrama esquemático de un sistema de suspensión para un cuarto de vehículo de
acuerdo a la clasificación en función del grado de independencia………………………………...26
Figura 3.20. Sistema de suspensión activa seccionado y su diagrama de operación...…………28
Figura 3.21. Comparación entre una suspensión pasiva y una suspensión activa durante
maniobras de viraje……………………………………………………………………...………………30
Figura 4.1. Diagrama de las etapas durante el desarrollo del proyecto…………………………...42
Figura 4.2. Diagrama esquemático de un sistema de suspensión de un cuarto de vehículo
con dos grados de libertad……………………………………………………………………………...44
Figura 4.3. Diagrama de cuerpo libre para el sistema de suspensión de un cuarto de vehículo
hidráulica……………………………………………….………………………………………………...44
Figura 4.4. Diagrama a bloques del esquema de control de lazo cerrado para la suspensión
activa de un cuarto de vehículo. ………………………….…………………………………………...47
Figura 4.5. Ventana inicial del editor de ecuaciones diferenciales en Simulink…..……………...57
Figura 4.6. Ventana del editor de ecuaciones diferenciales en Simulink..………………………..58
Figura 4.7. Ventanas con los bloques del sistema de suspensión creado en el editor..………...59
Figura 4.8. Configuración de la entrada escalón..…………………………………………………...60
Figura 4.9. Conexión de ambos sistemas con la entrada escalón….……………………………..60
Figura 4.10. Respuesta de las suspensiones ante la entrada escalón….………………………...61
Figura 4.11. Conexión del controlador PID al sistema de suspensión activa. …………………...62
Figura 4.12. Ventana para la configuración de las ganancias del controlador PID……………...62
Figura 4.13. Respuesta en lazo cerrado de la suspensión activa con ganancia crítica Kcr..…...63
Figura 4.14. Respuesta en lazo cerrado de la suspensión activa con ganancias de la
sintonización……………………………………………………………………………………………...64
Figura 4.15. Respuesta en lazo cerrado de la suspensión activa con ganancias del ajuste
manual……………………………………………….…………………………………………………...64
Figura 4.16. Ventana de configuración para la función zr(t)…..…………………….……………...66
Figura 4.17. Programación en Simulink del esquema de control por planitud diferencial.……...67

ix
Figura 4.18. Conexión del controlador por Planitud Diferencial al sistema de suspensión activa y
conexión del sistema de suspensión pasiva para la comparación entre ambos sistemas……...67
Figura 4.19. Respuesta de desplazamiento de la masa suspendida usando el control por
planitud diferencial para la entrada de la función Zr(t)……………………………………….……...68
Figura 4.20. Respuesta de la aceleración vertical de la masa suspendida…..…………………...69
Figura 4.21. Respuesta del desplazamiento vertical de la masa suspendida….………………...70
Figura 4.22. Respuesta de la deflexión de la suspensión…...……………………………………...70
Figura 4.23. Respuesta de la deflexión de la rueda…………………………………….…………...71
Figura 4.24. Fuerza generada por los controladores propuestos..………………………………...71
Figura 4.25. Pantalla de CarSim para la configuración de los sistemas del automóvil......……...73
Figura 4.26. Pantalla para la configuración de las dimensiones generales, masa e inercias…..74
Figura 4.27. Pantalla de configuración de la cinemática de la suspensión independiente……...74
Figura 4.28. Pantalla de configuración de los parámetros en la suspensión………...…………...75
Figura 4.29. Pantalla de configuración de los parámetros de los neumáticos...………………....75
Figura 4.30. Pantalla de configuración para los puntos de referencia sobre el vehículo...……...76
Figura 4.31. Pantalla de configuración de las maniobras…………………………………………...77
Figura 4.32. Pantalla de configuración del camino en la animación..……………………………...79
Figura 4.33. Pantalla para la generación de las irregularidades en el camino…………………...80
Figura 4.34. Vista 3D de las irregularidades en el camino…..……………………………………...80
Figura 4.35. Pantalla para la creación de nuevas graficas en CarSim….………………………...81
Figura 4.36. Pantalla principal de CarSim………..…………………………………………………...82
Figura 4.37. Pantalla para ligar el archivo de control de Simulink con CarSim...………………...83
Figura 4.38. Pantalla para especificar las variables importadas por CarSim……………………..84
Figura 4.39. Vista de la integración del control PID con CarSim…………………………………...85
Figura 4.40. Pantalla para especificar las variables exportadas desde CarSim…...……………..85
Figura 4.41. Vista interna del bloque Variables de CarSim donde se agrupan las variables de
entrada al controlador en un solo vector………………………………………………………………86
Figura 4.42. Vista interna del bloque Control PID…….……………………………………………...86
Figura 4.43. Pantalla del control PID y su ventana para la colocar los valores de las
ganancias……………………………………………………………………………………………..….87
Figura 4.44. Grafica en CarSim del cabeceo del vehículo con suspensión activa y control
PID………………………………………………………………………………………………………...87
Figura 4.45. Pantalla para especificar las variables exportadas desde CarSim..………………...90

x
Figura 4.46. Vista de la integración del control por planitud diferencial con CarSim y su
ventana para la colocar los valores de las constantes (w, z) y de la ganancia normal……..…...91
Figura 4.47. Vista interna del bloque Variables de CarSim donde se acondicionan y agrupan
las variables de entrada al controlador en vectores...……………..………………………………...92
Figura 4.48. Vista interna del bloque Control por Planitud Diferencial…..………………………...93
Figura 4.49. Vista interna del bloque Derivadas...…………………………………………………...94
Figura 4.50. Vista interna del bloque Retroalimentación…….……………………………………...95
Figura 4.51. Vista interna del bloque Constantes a0 - a3 y b….…………………………………...95
Figura 4.52. Vista interna del bloque Constantes alpha..…………………………………………...96
Figura 4.53. Grafica en CarSim del cabeceo del vehículo con suspensión activa y control por
Planitud Diferencial……………………………………………………………………………………...97
Figura 5.1. Grafica en CarSim de la aceleración vertical del vehículo con suspensión pasiva y
con suspensión activa (con control PID y control por planitud Diferencial)…..…………………...98
Figura 5.2. Grafica en CarSim del desplazamiento vertical del vehículo con suspensión
pasiva y con suspensión activa (con control PID y Control por planitud Diferencial)…..………100
Figura 5.3. Grafica en CarSim del cabeceo del vehículo con suspensión pasiva y con
suspensión activa (con control PID y Control por planitud Diferencial)….……………………….102
Figura 5.4. Grafica en CarSim de la deflexión de la suspensión pasiva y suspensión activa
(con control PID y Control por planitud Diferencial) para el eje delantero…….……...………….103
Figura 5.5. Grafica en CarSim de la deflexión de la suspensión pasiva y suspensión activa
(con control PID y Control por planitud Diferencial) para el eje trasero………………………….103
Figura 5.6. Grafica en CarSim de las fuerzas generadas por la suspensión activa (con control
PID y Control por planitud Diferencial) y de la suspensión pasiva sobre el vehículo….……….104
Figura 5.7. Imágenes obtenidas de la animación 3D de la suspensión activa con PID y
pasiva……………………………………………………………………………………………………105
Figura 5.8. Imágenes obtenidas de la animación 3D de la suspensión activa con control por
planitud diferencial y suspensión pasiva…………………………………………………………….106

1
1. INTRODUCCIÓN
1.1. Antecedentes
Desde sus inicios hace ya un poco más de 100 años, el automóvil despertó gran interés en la
población; y es que ¿quién no ha imaginado con la opción de adquirir un vehículo en algún
momento de su vida?. En su primer siglo de vida el automóvil ha transformado la manera en la
que el hombre vive el día a día, pues aunque para algunos es un lujo, la realidad es que los
automóviles más allá de ser una fuente de contaminación proporcionan un servicio útil, el cual
es el transporte, ya sean mercancías como alimentos, materias primas, productos
transformados o pasajeros.
El rápido crecimiento en la demanda de los vehículos y la reducción del costo en la producción
han hecho que se trabaje mucho en el desarrollo de todos los sistemas del vehículo para
garantizar su confiabilidad, larga vida con mínimo mantenimiento y sobre todo seguridad para
los pasajeros. La seguridad ha sido de los principales temas en los que las grandes armadoras
trabajan y destinan recursos para investigación y desarrollo pues los accidentes viales son una
de las principales causas de muerte a nivel mundial cada año. Tan solo en México cerca de 17
mil personas mueren al año por accidentes viales, en promedio cada hora hay dos muertos y 20
lesionados, y de esta magnitud existen más cifras [1]. Ahora con estas estadísticas, es difícil
saber cuántos accidentes fueron ocasionados por descuido y falta de pericia de los conductores
u otros factores como el estado mecánico en la que el dueño mantenía la unidad,
irregularidades en el camino, etc. Como es difícil de determinar lo mejor es optar por concebir
los vehículos desde un inicio con sistemas de seguridad. Estos sistemas pueden ser pasivos
(reactivos) los cuales actúen bajo ciertas condiciones en un accidente, puede ser el caso de
bolsas de aire, columnas de dirección deformables, chasis deformable, etc., otros sistemas son
activos es decir funcionan constantemente en el vehículo, tal es el caso de sistemas de frenado
antibloqueo (ABS), sistemas de control de estabilidad (ESC), dirección asistida, control de
tracción (TC), etc., los cuales facilitan la conducción, y de esta forma contribuyen a disminuir los
accidentes viales.

2
El comportamiento dinámico de un vehículo se ve afectado o influenciado por la acción que
ejercen sobre él factores como: las irregularidades en el camino, el nivel de adherencia del
neumático con la calzada, su aerodinámica (viento), tipo de conducción, etc. Estos factores
originan fuerzas y momentos sobre el vehículo, los cuales deben ser vencidos, disminuidos o
contrarrestados, si no en su totalidad, de manera parcial para que la conducción sea aceptable,
fácil y no resulte un riesgo. El vehículo puede ser dividido en varios sistemas y cada uno de
éstos tiene una influencia sobre el comportamiento general mientras el vehículo circula. Se
puede hablar de sistemas como neumáticos, dirección, propulsión (motor, transmisión,
diferencial, ejes), frenos, aerodinámica del vehículo (carrocería), eléctrico/electrónico y
suspensión. Se puede hacer un estudio detallado por separado de cada uno de los sistemas
mencionados y obtener aproximaciones aceptables, que describan su comportamiento, aunque
lo mejor es trabajar en conjunto, pues estos sistemas trabajan simultáneamente mientras se
conduce, y la acción de un sistema tiene un efecto sobre los otros, lo que hace que el
comportamiento sea distinto. Por ejemplo, cuando se circula en línea recta a cierta velocidad y
se decide frenar, el vehículo experimentará un cambio al sufrir una desaceleración, esto
ocasionará una trasferencia de carga estática y una dinámica del eje posterior al anterior, lo que
el conductor notará con un cabeceo del auto, es decir, se va a clavar la parte frontal del auto
hacia el camino, lo cual será más notorio si el cambio en la velocidad es brusco o muy grande, y
de inmediato la suspensión responderá y tratará de llevar al vehículo a su altura inicial. Este tipo
de interacciones entre los sistemas es interesante y es un reto constante para los ingenieros
que los desarrollan.
El rápido crecimiento y desarrollo de la tecnología ha influenciado en gran medida a nuevos
diseños en la industria automotriz al implementar estos nuevos avances en los sistemas del
vehículo. Actualmente ya no podemos hablar del automóvil como un sistema mecánico
solamente, esto a raíz de la creación de la mecatrónica automotriz la cual involucra muchas
áreas del conocimiento y tecnológicas, entre las cuales podemos mencionar: sistemas
mecánicos, sistemas electrónicos, sistemas de control, sistemas computacionales; al mezclar
estos sistemas obtenemos otros como: sistemas electromecánicos, electrónica de control,
sistemas digitales de control, sistemas CAD, CAE; por ultimo al integrar todos estos sistemas se
conforma la mecatrónica automotriz. Para evidencia de esto, basta con echar un vistazo a un
automóvil moderno el cual cuenta con cerca de 60 microcontroladores, 100 motores eléctricos,
múltiples sensores, 4 km de cable, miles de líneas de programación y sofisticados esquemas de

3
control. El hecho de remplazar piezas mecánicas con un comportamiento rígido por elementos
dinámicamente configurables radica en la tendencia de crear vehículos más eficientes, seguros
y económicos; por ello los investigadores e ingenieros diseñadores se enfocan en el desarrollo
de nuevos sistemas integrados, buscando que sean altamente confiables, factibles
tecnológicamente y viables económicamente.
1.2. Justificación
Este trabajo está enfocado en el diseño y simulación de esquemas de control para el sistema
de suspensión activa, y motivado por las prestaciones que este tipo de suspensión presenta al
tener un equilibrio entre el confort y estabilidad durante la marcha del automóvil, mejorando su
rendimiento general. Desde los años 80 múltiples trabajos se han desarrollado al respecto, pues
el sistema de suspensión es de vital importancia para el comportamiento dinámico del vehículo,
este sistema interactúa con otros y se ve influenciado o tiene influencia sobre los otros sistemas
(dirección, tracción, aerodinámica, etc.). Esta importancia se centra básicamente en dos
aspectos: el confort en la conducción que básicamente el objetivo es aislar al vehículo y sus
ocupantes de las irregularidades presentes en el camino, la segunda es la maniobrabilidad y
estabilidad del automóvil bajo ciertas condiciones de conducción y las impuestas por la
superficie en la que circula, el objetivo es mantener un buen contacto entre la rueda y la
superficie manteniendo también al mínimo la variación en la carga de la rueda. El reto desde
entonces ha sido diseñar esquemas de control óptimos (esquemas basados en lógica difusa,
modos deslizantes, retroalimentación de estados, LQR, PID, etc.) y que al mismo tiempo se
puedan implementar con un mínimo de componentes físicos sobre el automóvil, que el costo
de fabricación no sea elevado y por lo tanto que no incremente el costo total del vehículo.
Las herramientas virtuales disponibles a nuestro alcance hacen que desarrollar estos sistemas
sea más fácil, en menor tiempo y obviamente con un costo mucho menor que si se llevaran a
cabo prototipos físicos desde el inicio de cada proyecto; uno de los grandes intereses de este
proyecto es explotar estas herramientas computacionales para dar una solución al problema
planteado y cumplir con los objetivos establecidos.

4
2. OBJETIVOS
2.1 Objetivo general
• Diseñar un esquema de control lineal para atenuación de vibraciones verticales en un
sistema de suspensión activa de un cuarto de automóvil, así como verificar su desempeño
eficiente y dinámico mediante el desarrollo de simulaciones en computadora, utilizando las
herramientas computacionales de Matlab, Simulink y CarSim.
2.2 Objetivos específicos
• Obtener un modelo matemático que describa la dinámica del sistema de suspensión de
un cuarto de vehículo.
• Diseñar un esquema de control activo lineal para atenuación de vibraciones verticales
para un sistema de suspensión de un cuarto de vehículo.
• Desarrollar una plataforma que permita simular y evaluar el desempeño del sistema de
control propuesto, utilizando Matlab, Simulink y CarSim.
• Realizar pruebas de simulación para evaluar el comportamiento dinámico del vehículo
con el sistema de control activo propuesto.

5
3. MARCO TEÓRICO
3.1 Introducción
Durante la marcha del vehículo, éste experimenta un espectro de vibraciones debido a
diferentes fuentes de excitación que son transmitidas y percibidas por los ocupantes del
vehículo. Estas fuentes de excitación de vibraciones en el vehículo las puede notar el pasajero
de manera táctil, visual y auditiva (ruido). Los diferentes tipos de vibraciones son inducidas por
las irregularidades en el terreno, el mismo neumático y su conjunto (masa no suspendida),
sistema de tracción y transmisión de potencia (motor, transmisión, diferencial, ejes cardan), el
medio ambiente, etc., como se puede apreciar en la figura 3.1. El vehículo es un sistema
dinámico y sólo presenta vibración en respuesta de una fuente de excitación de entrada. Las
propiedades del vehículo determinan la magnitud y la dirección de las vibraciones impuestas
sobre la cabina y finalmente determinan la percepción del pasajero [2].
Figura 3.1. Sistema dinámico del vehículo desde las fuentes de excitación hasta la percepción
de las vibraciones por los pasajeros del vehículo.
El control de los movimientos originados por la vibraciones (aceleración, desplazamiento,
frecuencia, etc.) lo realiza el sistema de suspensión, el cual esta interconectado entre la masa
suspendida del vehículo y la masa no suspendida; la suspensión permite el desplazamiento de
Fuentes de
excitación
- Irregilaridades
del camino
- Motor y otras
masas rotativas
- Aerodinamica
Respuesta
dinámica del
vehículo
- Rebote
- Cabeceo
- Balanceo
- Otros
VIBRACIONES
- Frecuencia
- Desplazamiento
- Velocidad
- Aceleración
- Sobreaceleración
Percepción de las
vibraciones en
marcha
- Límite de confort
- Límite de capacidad
reducida
- Límite de exposición

6
ambas masas mediante elementos elásticos (resortes) y disipa la energía a través de los
amortiguadores.
3.1.1 Tolerancia fisiológica a las vibraciones
El tema de la percepción por parte de los pasajeros del vehículo es subjetivo ya que depende
de la sensibilidad de cada individuo y el nivel de confort cada uno experimenta para
oscilaciones periódicas de diferentes amplitudes y frecuencias; además otros factores influyen
como la temperatura, ventilación, espacio interior, etc., todo ello contribuye a determinar el nivel
de confort en el vehículo. Algunos de los factores mencionados pueden ser medidos
objetivamente pero otros aún son subjetivos al momento de evaluarse, para establecer un
acuerdo en el confort durante la marcha, experimentalmente se ha logrado establecer umbrales
donde están bien acotados los límites que una persona puede tolerar, estos límites se muestran
en la figura 3.2. El ICV (Incomodidad Cinética Vibratoria) es un índice que se emplea como
indicador de la disminución del confort debido a las vibraciones mecánicas. La SAE (Society of
Automotive Engineers) en su “Vibration Data manual J6a” [2] propone algunos métodos para
establecer los límites recomendados para las amplitudes de la velocidad, aceleración y sobre
aceleración. Puede consultarse también la norma ISO 2631, que es una guía para definir la
tolerancia del hombre a las vibraciones en vehículos, se definen en esta norma tres límites:
- Límite de exposición. Valores por encima de los cuales hay un riesgo para la salud. No
deben rebasarse estos límites.
- Límite de capacidad reducida por fatiga. Frontera a partir de la cual hay una disminución
de capacidades para realizar eficazmente un trabajo (conducir el vehículo).
- Límite de confort reducido. En vehículos de trasporte se relaciona con la capacidad de
realizar funciones tales como: lectura, escritura, comer, etc.
Tabla 3.1 Límites recomendados para sobre aceleración, aceleración y velocidad [3].
Frecuencias [Hz] Valor Limite
f = 1 a 6 ȧ = Aw3
≤ 12.6 m/s3
f = 6 a 20 a = Aw2
≤ 0.33 g’s
f = 20 a 60 V = Aw ≥ 0.0027 m/s

7
Algunos investigadores coinciden para una frecuencia de oscilación superior a 1.66 Hz es una
mala suspensión, aceptable entre 1.25 y 1.66 Hz, buena suspensión entre 0.83 y 1.25 Hz de
nueva cuenta es mala para valores menores de 0.83 Hz. Por último, el cuerpo humano soporta
vibraciones de frecuencias cercanas a 1 Hz, ya que las oscilaciones verticales a las que está
sometido mientras camina varían entre 1 y 1.2 Hz. Para una postura sentado la frecuencia de
resonancia es del orden de 3 Hz. Todas estas vibraciones son percibidas por diferentes partes
del cuerpo y reaccionan para diversas frecuencias, por ejemplo el oído interno para la mayoría
de los individuos la sensibilidad se manifiesta para frecuencias menores a 0.5 Hz, es la causa
de perturbaciones neurovegetativas denominadas “mal de los transportes” [4].
Figura 3.2. Limites en vibraciones verticales para el confort de los pasajeros propuesta por
Janeway [5].

8
Tabla 3.2 Frecuencias características de movimientos vibratorios y sus efectos [3].
Frecuencias en Hz
Efectos producidos
Sobre las personas Sobre los automóviles
Muy Bajas < 0.5
Sensación de mareo con
grandes amplitudes
Bajas
0.5 a 4
1 a 3
1.2 a 2
Frecuencia del movimiento del
paso humano
Modos de baja frecuencia de la masa
suspendida y del conjunto: movimiento
vertical, cabeceo, balanceo y guiñada
1 a 2
Resonancia de la cabeza en
movimientos horizontales
1 a 3
Umbral mínimo de la ICV en
movimientos horizontales
Medias
4 a 20
4 a 8
4 a 6
Resonancia del cuerpo en
movimientos verticales y
horizontales
Frecuencia de rotación de las ruedas en
circulación a baja velocidad
4 a 8
Mínimo umbral de incomodidad
en movimientos verticales
10 a 20
10 a 20
Frecuencia natural de la masa
suspendida y frecuencias medias del
conjunto (ms y mu).
Frecuencias de rotación de la rueda en
circulación a velocidades medias o altas.
Oscilaciones localizadas en zonas de la
carrocería y otros sistemas o de
deformación del bastidor a flexión o
torsión.
11 a 15
Poca resonancia en el cuerpo
ante movimientos verticales
15 a 20
Resonancia de la cabeza con
vibraciones verticales
Altas > 20 20 a 200
20 a 200
Vibraciones provocadas por acciones
directas (motor, transmisión, etc.)
60 90 Resonancia del globo acular
80 a 95 Vibraciones propias de neumáticos
radiales
100 a 200 Resonancia de las mandíbulas
170 a 200 Vibraciones propias de neumáticos
diagonales.

9
3.2 El sistema de Suspensión
Uno de los principales problemas desde la aparición del automóvil, es hacer autos más seguros
y confortables, para ello se han desarrollado e implementando mejoras sobre diferentes
sistemas del vehículo. Este trabajo pretende abordar esos mismos problemas, pero enfocados a
un solo sistema del automóvil, el cual tiene un gran impacto sobre el comportamiento del
vehículo, esto es, el sistema de suspensión. Existe un gran compromiso entre confort y
maniobrabilidad, en gran medida es debido a la configuración y propiedades de la suspensión,
lo que se busca es tener un equilibrio entre el confort y estabilidad durante la conducción del
automóvil.
Las principales funciones del sistema de suspensión son:
- Proporcionar cierta flexibilidad vertical para que los neumáticos puedan seguir las
irregularidades del camino, aislando el chasis de las mismas irregularidades, ver figura 3.3.
- Mantener las llantas con la dirección e inclinación correcta.
- Reaccionar ante las fuerzas producidas por los neumáticos, ya sea en la dirección longitudinal
(aceleración y frenado) y la dirección lateral (viraje).
- Resistir la volcadura de la masa suspendida del vehículo.
- Mantener las ruedas en contacto con la superficie con una mínima variación de la carga en
cada neumático.
a) Compresión b) Extensión
Figura 3.3. Recorrido vertical de la suspensión ante las irregularidades del camino [6].

10
Es conveniente diferencias bien entre el termino masa suspendida y masa no suspendida, ya
que se manejaran con frecuencia dentro de este trabajo. Dichas masas se ven afectadas por la
acción de la suspensión, ya que está ligada a ambas masas y es la responsable de transmitir o
atenuar los desplazamientos que impone el camino, como se puede apreciar en la figura 3.4.
- Masa Suspendida. se refiere a un cuerpo rígido con cierta masa, un centro de gravedad,
momentos de inercia sobre los ejes coordenados. Esta masa es la que carga la
suspensión, incluye la carrocería, motor, transmisión, carga, tanque con combustible,
etc.
- Masa no suspendida: son masas que producen fuerzas de inercia debido al movimiento
de sus componentes. Esta masa se refiere a las llantas y su ensamble (sistema de
frenos, cojinetes, ejes, rotulas, brazos de la suspensión, etc.), ya que estas masas no
son soportadas por la suspensión.
Figura 3.4. Esquema del ensamble A) Masa Suspendida - C) Suspensión - B) Masa No
Suspendida [7]

11
3.2.1 Componentes básicos de la suspensión
Elementos elásticos: cuya función es maximizar el contacto de la rueda con la superficie,
adaptándose a las irregularidades del camino. Los hay de diversos tipos, Muelles de lámina,
resortes helicoidales, barras de torsión, resortes de aire, podemos considerar también a los
neumáticos pues ofrecen cierta rigidez que podemos modelar como un resorte, puede
considerarse dentro de los resortes de aire [8], algunos ejemplos se muestran en la figura 3.5.
Generalmente estos elementos presentan un comportamiento lineal entre la deformación y la
fuerza ejercida, omitiendo así efectos internos como la fricción (este representa energía
removida del sistema que no es controlada por los amortiguadores) [9]. Para el caso de las
muelles de lámina estas incluyen cierto amortiguamiento debido a la fricción entre las láminas.
Figura 3.5. Elementos elásticos de las distintas suspensiones [8] y [10].
Elementos de amortiguación: su función es neutralizar las oscilaciones de la masa
suspendida ocasionados por los elementos elásticos de la suspensión, se puede decir que
disipan la energía que se genera impuesta por las irregularidades del camino sobre los
elementos elásticos de la suspensión. El amortiguador está unido a la masa suspendida y a la
masa no suspendida, los desplazamientos entre ambas masas producen un movimiento relativo
de dos elementos (pistón y el cilindro). Normalmente se hace pasar un fluido por orificios
calibrados, cuando el paso del fluido se realiza bajo régimen laminar, la fuerza necesaria es
proporcional al a velocidad (lineal) y cuando el flujo es en régimen turbulento la fuerza es
proporcional a una potencia de la velocidad. Los más empleados son las configuraciones de
mono tubo y bitubo como los mostrados en la figura 3.6.

12
a) b)
Figura 3.6. Amortiguadores en sus dos configuraciones clásicas, a) Mono tubo, b) Bitubo [8]
Otros elementos: no son considerados para el análisis de la suspensión pero son
indispensables para el correcto funcionamiento de la suspensión. Tenemos los bujes elásticos
que se ubican en muchos lugares dentro de la suspensión, la mayoría son de caucho natural
(elastómero) y en algunos casos se emplean compuestos de uretano, se muestran en la figura
3.7. Sus principales funciones son: aislar vibraciones pequeñas, reducir los impactos impuestos
por el camino, reducción de ruido, adaptabilidad en el movimiento de elementos móviles de la
suspensión como brazos de control. Los bujes son elementos dinámicos lo que implica que solo
operan en movimiento, este movimiento transfiere energía al buje y genera calor [8].
Figura 3.7. Conjunto de bujes montados sobre la suspensión del vehículo [11].

13
Rotulas: es un conector que sirve de unión entre la dirección y la suspensión, que permite
movimientos angulares y de rotación al mismo tiempo, un ejemplo se muestra en la figura 3.8.
Figura 3.8. Esquema del ensamble de una rotula [6].
Mango de montaje: parte sobre la cual se monta el conjunto del sistema de frenos, neumático,
componentes de la suspensión y además se conecta con la dirección. Ver figura 3.9
Brazos de la suspensión: son brazos articulados, su función es unir a la mango de montaje
con el vehículo, permiten a la suspensión moverse en dirección vertical en respuesta a las
irregularidades del camino, están unidos al vehículo por medio de los bujes elásticos, rotulas y
el mango de montaje, como se puede ver en la figura 3.9.
Figura 3.9. Esquema del ensamble de brazos de oscilación de la suspensión (1. Brazo superior,
2. Brazo inferior, 3. Mango de montaje, 4 y 5. Rotulas) [6].
1
23
4
5

14
3.2.2 Características dinámicas de la suspensión
El vehículo como un sistema dinámico depende en gran medida de la influencia que tiene la
suspensión sobre su comportamiento y rendimiento general. Para bajas frecuencias en el
movimiento de la masa suspendida se puede considerar como movimiento de cuerpo rígido ya
que se mueve como una sola entidad, mientras que la masa no suspendida y los conjuntos que
la conforman también se pueden considerar que se mueven como una sola masa por lo tanto
su movimiento es el de un cuerpo rígido, así la masa suspendida transmitirá fuerzas sobre la
masa suspendida.
Para vehículos con una suspensión independiente la dinámica del sistema puede ser
representada por medio del esquema para un cuarto de vehículo, como el mostrado en la figura
3.10; este modelo consiste en una masa suspendida soportada por la suspensión la cual
conecta también a la masa no suspendida del eje. El contacto entre el sistema y la superficie de
rodadura (camino) se representa mediante un resorte que sustituye al neumático pues como ya
se mencionó anteriormente el neumático es como un resorte de aire.
Figura 3.10 Diagrama esquemático de un sistema de suspensión pasiva para un cuarto de
vehículo [7].

15
Para este modelo el desarrollo de las ecuaciones del movimiento pueden revisarse
detalladamente en el capítulo 4, sin considerar la acción de la fuerza de control.
Para evaluar el comportamiento de una suspensión podemos usar varios parámetros de interés
los cuales se listan a continuación:
Rigidez Equivalente (RR), es la rigidez efectiva de los resortes en serie de la suspensión y el
neumático, se determina como:
(3-1)
Dónde:
RR = Rigidez equivalente, N/m
ks = Constante del resorte de la suspensión, N/m
kt = Constante del resorte del neumático, N/m
En ausencia del amortiguamiento la frecuencia natural del sistema para las oscilaciones
verticales en cada rueda del vehículo es:
√ (3-2)
( ) √ (3-3)
Dónde:
wn = Frecuencia natural para la masa suspendida, rad/s
fn = Frecuencia natural para la masa suspendida, Hz
ms = masa suspendida, kg

16
Figura 3.11. Aceleración vertical de la masa suspendida a diferentes frecuencias [7].
Cuando el amortiguamiento está presente, la resonancia ocurre a la frecuencia natural
amortiguada, dada por:
√
(3-4)
√ (3-5)
Dónde:
z = factor de amortiguamiento
cs = Coeficiente de amortiguamiento, Ns/m
wd = frecuencia natural amortiguada para la masa suspendida, rad/s
Para un buen comportamiento de la suspensión se recomiendan valores para el factor de
amortiguamiento ente 0.2 y 0.4. Observamos que la frecuencia natural amortiguada wd tiene
valores muy cercanos a la frecuencia natural wn, para z= 0.2 tenemos wd es aproximadamente
0.98(wn) y para z = 0.4 tenemos wd es aproximadamente 0.92(wn), por lo tanto la frecuencia
natural no amortiguada se emplea comúnmente para caracterizar la suspensión de vehículo.

17
Figura 3.12. Efecto del amortiguamiento en la aceleración vertical de la masa suspendida [7].
El valor típico para un vehículo comercial se selecciona a una frecuencia natural no
amortiguada para la masa suspendida de 1 Hz o un poco mayores. Cabe mencionar que la
masa suspendida entra en resonancia para valores cercanos a esta frecuencia y las
irregularidades del camino son amplificadas, para frecuencias superiores a esta las amplitudes
para la masa suspendida son atenuadas por la suspensión, pero entre 10 y 12 Hz es la masa
no suspendida la que entra en resonancia, estos dos casos se aprecian en las figura 3.11 y
3.13. Para determinar la frecuencia natural de la masa no suspendida tenemos:
( ) √ (3-6)
Dónde:
fa = Frecuencia natural para la masa no suspendida, Hz
kt = Constante del resorte del neumático, N/m
mu = masa no suspendida, kg

18
Figura 3.13. Aceleración vertical de la masa no suspendida variando el amortiguamiento [7].
La rigidez de la suspensión está controlada por la constante del resorte de la suspensión ks, de
esta forma vemos que la frecuencia del sistema también será función del valor de ks. Como las
aceleraciones verticales aumentan para valores de frecuencias altas, lo más recomendable es
tener las frecuencia lo más bajas posibles; así que como conclusión de esto podemos decir
que para valores de ks grandes (suspensión muy rígida) incrementan la frecuencia natural
transmitiendo así las aceleraciones verticales impuestas por el camino, desde la masa no
suspendida hacia la masa suspendida. Es conveniente tener una suspensión no rígida para un
mejor aislamiento de las irregularidades del camino y mejor confort, claro que se deben tener en
cuenta otros factores como el espacio para la carrera máxima de la suspensión, por ello para la
mayoría de los vehículos la frecuencia esta entre 1 y 1.5 Hz y carreras entre los 10 cm a 15 cm.
Si lo que se busca son mejores prestaciones (maniobrabilidad) entonces una suspensión rígida
es la más adecuada con valores de frecuencias entre 2 y 2.5 Hz, es decir resortes muy rígidos.
Mientras tanto el efecto del amortiguamiento en la suspensión se ve en la reducción de las
oscilaciones de la masa suspendida, para valores bajos de amortiguamiento la masa
suspendida presenta grandes oscilaciones en la frecuencia de resonancia y en general durante
toda la marcha del vehículo, si seguimos incrementado el valor del amortiguamiento a un valor
crítico, las oscilaciones son prácticamente atenuadas pero existe una penalización para altas

19
frecuencias, esto se encuentra plasmado en la figura 3.12 para algunos valores de
amortiguamiento. Si llevamos a un valor extremo el amortiguamiento (superior al valor crítico) la
suspensión sería tan rígida que simplemente dejaría de moverse y entonces la masa
suspendida rebotaría sobre cada rueda amplificando las irregularidades del camino y con una
frecuencia de resonancia entre 3 y 4 Hz.
El valor crítico está dado por:
Si z = 1 entonces de la ecuación (3-4)
√ (3-7)
Dónde:
z = factor de amortiguamiento
ccr = Coeficiente de amortiguamiento crítico, Ns/m
ms = masa suspendida, kg
3.2.3 Influencia de la suspensión sobre la dinámica vertical del vehículo
Ya vimos el comportamiento de la suspensión de manera aislada e independiente, pero en
realidad es de mayor interés su análisis en el comportamiento general del vehículo; todas las
ruedas están unidas entre sí por la masa suspendida y las suspensiones delantera y trasera,
este acoplamiento determina movimientos que no solo dependen de la suspensión de cada
rueda, sino también de la estructura del vehículo. Si vemos al automóvil desde un plano
longitudinal observamos que el centro de gravedad del mismo estará sometido a dos
movimientos que corresponden cada uno a un grado de libertad del sistema dinámico. Uno de
esos movimientos es el desplazamiento vertical del centro de gravedad el cual denominaremos
rebote (o vaivén), mientras que el segundo movimiento es un giro alrededor de un eje
transversal que pasa por el centro de gravedad al cual se le conoce como cabeceo, ver figuras
3.14 y 3.15. En casi todos los casos estos dos movimientos están acoplados, es decir, están

20
presentes al mismo tiempo durante la marcha del vehículo, pero por lo general uno predomina
sobre el otro. Para determinar analíticamente las frecuencias de estos movimientos
desarrollamos las siguientes ecuaciones diferenciales y expresiones auxiliares.
Figura 3.14. Movimientos presentes en la dinámica del vehículo [7].
Figura 3.15. Movimientos oscilatorios alrededor del centro de gravedad [7].

21
Considerando a la suspensión y la rigidez del neumático como un simple resorte en el eje
delantero y trasero, además despreciamos el amortiguamiento y la masa no suspendida
tenemos las expresiones auxiliares:
( ) (3-8)
( ) (3-9)
( ) (3-10)
√ (3-11)
Para el movimiento de rebote: ̈ (3-12)
Para el movimiento de balanceo: ̈ (3-13)
Dónde:
kf = Rigidez equivalente del eje delantero, N/m
kr = Rigidez equivalente del eje trasero, N/m
b = Distancia desde el eje delantero al centro de gravedad, m
c = Distancia desde el eje trasero al centro de gravedad, m
Iy = Momento de inercia con respecto al eje Y, kg/m2
k = Radio de giro, m
M = Masa del vehículo, kg
Z = Desplazamiento vertical del centro de gravedad, m
θ = Ángulo de giro sobre el centro de gravedad, radianes
Al término β se le denomina coeficiente de acoplamiento elástico. Si toma un valor de cero los
movimientos de Z y θ estarán desacoplados, es decir, serán independientes, solo si:
(3-14)
Para esta condición si aplicamos una fuerza vertical sobre el centro de gravedad del vehículo
solo estará presente el movimiento de rebote y si aplicamos solo un momento sobre el centro
de gravedad el único movimiento producido será el cabeceo.

22
La solución de las ecuaciones diferenciales sin considerar el amortiguamiento tiene la forma:
Z = Zsen (wt) (3-15)
θ = θsen (wt) (3-16)
Derivando dos veces y sustituyendo en las ecuaciones (3-12) y (3-13)
( )
(3-17)
( )
(3-18)
Igualando ambas ecuaciones obtenemos la ecuación característica para obtener las frecuencias
para el rebote y cabeceo.
( ) (3-19)
( )
√
( )
(3-20)
( )
√
( )
(3-21)
El cociente entre la amplitud del rebote y del cabeceo será distinto para cada frecuencia,
edemas si este cociente se interpreta como una distancia tenemos:
[ ]
( )
(3-22)
[ ]
( )
(3-23)
Estas distancias nos indican que existen dos puntos alejados del centro de gravedad, con
respeto a los cuales gira la carrocería del vehiculó. Estos puntos no tienen desplazamiento
vertical y se denominan centros de oscilación. Si Z/θ es positivo entonces el centro de
oscilación está por delante del centro de gravedad, por el contrario si el valor del cociente es
negativo el centro de oscilación estará detrás del centro de gravedad. Una de las distancias
obtenidas será elevada esto quiere decir que el centro de oscilación esta fuera de la distancia

23
entre ejes del vehículo, entonces el movimiento predominante será el rebote y la frecuencia
asociada será la frecuencia de rebote, mientras tanto la otra distancia será pequeña por lo tanto
el segundo centro de oscilación está dentro de la distancia entre ejes, para este segundo centro
de oscilación el movimiento predominante será el balanceo y la frecuencia asociada a él es la
frecuencia de balanceo. Estos casos se muestran en la figura 3.16.
a) Balanceo b) Rebote
Figura 3.16. Los dos modos de vibración presentes en el vehículo en el plano longitudinal [7].
Cuando un eje pasa por una pronunciada irregularidad en el camino se producirán
simultáneamente movimientos de oscilación en ambos centros de oscilación, el movimiento total
será la suma de los dos movimientos. Un caso especial se tiene cuando k2
=bc se obtiene que:
[ ] (3-24)
[ ] (3-25)
Este resultado implica que los centros de oscilación están ubicados sobre el plano de rodadura
y a la misa distancia que los ejes con respecto al centro de gravedad. Así cuando se aplica un
desplazamiento sobre el eje delantero, el vehículo oscilara con respeto al eje trasero sin que
este se desplace verticalmente y viceversa, es decir, no hay interacción entre la suspensión
delantera y trasera, esta condición es deseable.
La localización de los centros de oscilación depende de los valores de las frecuencias naturales
de los ejes delantero y trasero, ya que estas frecuencias de los ejes están en términos de la
rigidez equivalente. Cuando ambas frecuencias tienen el mismo valor se dice que los
movimientos están desacoplados.

24
Existe un desfasamiento entre los desplazamientos verticales del eje delantero y el eje trasero
debido a las irregularidades del camino, como se aprecia en la figura 3.17. Este tiempo de
desfasamiento está dado por:
t = L/V (3-26)
Dónde:
t = tiempo de desfasamiento entre el eje delantero y el eje trasero, s
L = distancia entre ejes, m
V = velocidad longitudinal del vehículo, m/s
Figura 3.17. Tiempo de desfasamiento entre las oscilaciones de los ejes del vehículo [7].
La importancia relativa de estos dos movimientos depende de la velocidad, la distancia entre
ejes y el periodo de oscilación de los resortes. Si la velocidad es grande el tiempo será pequeño
entonces habrá preponderancia del rebote. Si la velocidad es tal que el tiempo es igual al
semiperiodo de la oscilación de los resortes entonces habrá cabeceo.

25
3.2.4 Tipos de suspensión
Las suspensiones se puede clasificar en general de dos formas, una atiende a la arquitectura
de la misma y la segunda está en función de la capacidad para variar las propiedades de
algunos de sus componentes. De acuerdo a su arquitectura existen tres posibles
configuraciones las cuales podemos apreciar en la figura 3.18:
- Suspensión de eje rígido: las ruedas están situadas a los extremos opuestos de un solo
eje rígido en un mismo plano transversal, de esta forma cualquier movimiento que
realiza una rueda es transmitido a la otra rueda. Normalmente son empleados en el eje
frontal de camiones pesados y camionetas donde se requiere gran capacidad de carga.
- Suspensión semi-independiente: Se tiene cierto grado de independencia en el
movimiento de las ruedas de un mismo eje. Se emplean para reducir la transferencia de
movimientos entre las ruedas (compresión y extensión) cuando el vehículo encuentra
irregularidades en el camino.
- Suspensión Independiente: en contraste con las suspensiones anteriores, las
suspensiones independientes permiten un movimiento vertical para cada rueda sin
afectar a la rueda opuesta. Son ampliamente usadas en vehículos comerciales por las
ventajas que ofrece como: menor espacio requerido, mejor resistencia al vuelco, fácil
control del centro de giro, mayor deflexión de la suspensión, etc.
Figura 3.18. Tipos de suspensión de acuerdo a su arquitectura,1) Suspensión de eje rígido,
2) Suspensión semi-independiente, 3) Suspensión independiente.
1 2
3

26
El interés en mejorar el rendimiento general de los automóviles en los años recientes, ha
llevado a incorporar componentes activos al sistema de suspensión. Así, los sistemas de
suspensión también se pueden clasificar en base al grado de independencia como:
- Suspensión pasiva: consiste en componentes convencionales, resortes y
amortiguadores; sus propiedades son invariantes en el tiempo. Los elementos pasivos
solo pueden almacenar energía o disiparla, no requieren de ninguna fuente de energía
externa para su operación, ver esquema para un cuarto de vehículo en la figura 3.19a.
- Suspensión semi-activa: se componen de igual manera de resortes y amortiguadores,
pero sus propiedades pueden ser cambiadas por la acción de una señal de control
externa (fuerza), ver esquema para un cuarto de vehículo en la figura 3.19b.
- Suspensión activa: incorpora actuadores que generan fuerzas deseadas en la
suspensión, los cuales son principalmente hidráulicos. Estos sistemas requieren de una
fuente externa para poder operar, ver esquema para un cuarto de vehículo en la figura
3.19c.
a) b) c)
Figura 3.19. Diagrama esquemático de un sistema de suspensión para un cuarto de vehículo de
acuerdo a la clasificación en función del grado de independencia, a) Suspensión pasiva,
b) Suspensión Semi-activa, c) Suspensión Activa [12].

27
3.2.4.1 Suspensión Activa
El diseño de este tipo de suspensiones y su diseño surgen con la necesidad de mejorar el
rendimiento tomando en cuenta diversos parámetros como irregularidades del camino,
velocidad del vehículo, tipo de conducción, entre otros, con tal fin recurre a una regulación
independiente para cada rueda y de manera continua. Este tipo de suspensiones consigue
atenuar los movimientos de cabeceo y balanceo del automóvil; pero este tipo de suspensiones
solo alteran las fuerzas verticales más no la cinemática de la suspensión. En este trabajo son
de mayor interés profundizar sobre las suspensiones activas pues se trabajó en el desarrollo de
una con la finalidad de obtener las ventajas que ofrece sobre las suspensiones pasivas.
Como ya se mencionó este tipo de suspensiones requieren de una fuente externa para operar,
generalmente este tipo de suspensiones son hidráulicas (ver figura 3.20), neumáticas,
electromagnéticas. El rendimiento de estas suspensiones puede ser medido a través del tiempo
de respuesta, cuanto menor será este tiempo, más rápidamente podrá actuar la suspensión
ante las irregularidades del camino, o dinámicas durante la conducción (aceleración, frenado,
viraje, etc.). Este tiempo de respuesta se define con el ancho de banda.
- Suspensiones adaptativas: el amortiguamiento o rigidez de la suspensión puede
cambiar entre muchos niveles en respuesta a los cabios en la conducción. Usualmente
la presión en los frenos, el ángulo de la dirección, o movimientos de la suspensión son
usados para activar el control e incrementar la rigidez o amortiguamiento. Este cambio
ocurre en fracciones de segundo, dando al sistema la capacidad de controlar los
movimientos de balanceo, cabeceo y rebote de la masa suspendida bajo diversas
condiciones del camino y de maniobra. Sin embargo, para regresar a la condición con
amortiguamiento y rigidez suave se tiene un tiempo de retraso. Entonces el sistema no
se ajusta continuamente para ciclos de oscilación del vehículo.
- Ancho de banda de baja frecuencia: la rigidez o el amortiguamiento de la suspensión se
modulan continuamente respuesta de la frecuencia en los movimientos de la masa
suspendida (1 a 3 Hz).

28
- Ancho de banda de alta frecuencia: la rigidez o amortiguamiento de la suspensión se
modula continuamente para los movimientos de baja frecuencia de la masa suspendida
y para los movimientos en alta frecuencia de los ejes (10-15 Hz).
Para los sistemas se suspensión pasiva se trabaja con frecuencias de alta y baja intensidad,
mientras que con las suspensiones activas se puede además controlar para ambos rangos de
frecuencias y adecuarlos en cada instante para satisfacer los requerimientos en el camino o
conducción.
Figura 3.20. 1) Sistema de suspensión activa de Mercedes Benz seccionado. 2) En el esquema
A) el sistema está en su condición normal, mientras que el esquema B) el sistema se encuentra
despresurizado. Donde (g) es el cilindro hidráulico, (y) es la cámara del aceite, (r) es el resorte
helicoidal de acero y (v) es el amortiguador. 3) Montaje sobre el vehículo [13] y [14].
El interés en el desarrollo de estas suspensiones activas radica en el potencial para mejorar el
rendimiento general del vehículo durante la marcha y manteniendo en todo momento el
compromiso entre confort y maniobrabilidad, las principales funciones de este tipo de
suspensiones las podemos apreciar en:
A
1 2 3

29
- Control en marcha (confort): básicamente se refiere al control en los movimientos de
cabeceo y balanceo del vehículo, como ya se ha mencionado normalmente el mejorar la
condición para estos movimientos repercute con una degradación en el rendimiento para
maniobrar. Pero es posible que el control de la suspensión actué solamente durante
maniobras o bajo ciertas condiciones y no continuamente, básicamente se podría decir
que el control podría permanecer fuera mientras se tengan condiciones estables, por
ejemplo conducción en línea recta con una superficie regular.
- Control de altura: El control automático en la altura del vehículo ofrece grandes ventajas
en el rendimiento del vehículo, por ejemplo mantiene constantes las fuerzas
aerodinámicas, una carga constante sobre cada neumático, provee una carrera efectiva
para lidiar con baches o topes en el camino. Se puede reducir también la atura para
reducir el arrastre aerodinámico para altas velocidades reduciendo la resistencia a la
rodadura, también se puede variar el ángulo de cabeceo para variar la sustentación
aerodinámica. Para caminos con bastantes irregularidades se puede elevar el nivel de la
masa suspendida para librar obstáculos como piedras u otros, inclusive en condiciones
de conducción sobre nieve donde los neumáticos emplean cadenas para mayor tracción,
la suspensión puede dar más espacio entre el neumático y la salpicadera para evitar
roces y daños en guarda polvos o la misma carrocería del automóvil.
- Control de balanceo: El balanceo en el viraje se mejora incrementando el
amortiguamiento o ejerciendo fuerzas que contrarresten el balanceo durante maniobras
de viraje. La velocidad del vehículo, al ángulo de la dirección, la tasa de cambio en la
dirección o en la aceleración lateral son censadas durante este tipo de maniobras. E
posible eliminar completamente el balanceo y por lo tanto otros efectos como sub-viraje
o sobre viraje generados por el balanceo, un ejemplo se aprecia en la figura 3.21.
- Control bajo frenada: el control es activado por la presión en los frenos, la luz de stop, o
el cambio en la aceleración longitudinal; en este caso el control incrementa el
amortiguamiento o ejerce fuerzas contra el balanceo.
- Control bajo aceleración: al igual que el control bajo frenada, el control ejerce fuerzas
contra el balanceo o incrementa el amortiguamiento, pero en este caso el control se

30
activar mientras se experimenta una aceleración longitudinal, la posición o
accionamiento del acelerador, la velocidad seleccionada en la transmisión.
- Estabilidad en ruta: además del control sobre los movimientos en la masa suspendida
durante las maniobras de conducción descritas anteriormente, la suspensión activa
también mejora la maniobrabilidad al mantener al mínimo la variación en la carga sobre
las ruedas debida a la transferencia de carga, o debidas las irregularidad del camino.
Figura 3.21. Comparación entre una suspensión pasiva y una suspensión activa durante
maniobras de viraje, se puede apreciar la reducción en el balanceo del vehículo [15].
En la actualidad no se ha generalizado el uso de estas suspensiones por los elevados costos
de los componentes y su implementación, además de una penalización en el incremento del
peso. El objetivo de diseñar un sistema como tal es obtener los beneficios del control activo con
un mínimo de hardware requerido. Su rendimiento es notorio para las frecuencias de la masa
suspendida (1 Hz) en la dirección vertical, con una reducción en desplazamientos,
aceleraciones, velocidades verticales, además de reducción en balanceo y cabeceo. Pero para
las frecuencias de la masa no suspendida (10 Hz) no hay una mejora significante ya que para
contrarrestar los movimientos de la masas suspendida se tendrían que generar fuerzas que
reaccionarían en contra de la masa suspendida incrementando las vibraciones y por lo tanto
aumentando la aceleración vertical durante la marcha, además también debido a la reducida
respuesta en los actuadores para altas frecuencias; esto afecta para no mejorar el rendimiento
en frecuencias de resonancia de las ruedas.

31
3.3 Esquemas de control
En la actualidad el rápido avance en las tecnologías de computación, electrónica, junto a los
avances en teoría de control han hecho que los automóviles sean más complejos en su
configuración; se han incorporado gran cantidad de sensores, actuadores y unidades de
electrónicas de control las cuales se encargan de monitorear y controlar los sistemas del
automóvil; con el fin de mejorar el rendimiento de cada sistema y el rendimiento general del
vehículo. Claros ejemplos de la inserción de estas tecnologías son sistemas como: ABS en los
frenos, control de tracción TC, ESC controles electrónicos de estabilidad, Suspensiones activas
y semi-activas, etc.
La interacción entre los sistemas del automóvil y el ambiente que lo rodea afectan la dinámica
del vehículo, generando desafío para los ingenieros de diseño. La complejidad del diseño ha
hecho que los esquemas de control que se implementen cumplan con muchos requisitos y
especificaciones a la vez, esto se puede observar en que los sistemas ya no solo consideren
una sola entrada y una sola salida como acción de control (SISO), ahora estos esquemas de
control son diseñados para contemplar múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO). Por tal
motivo las herramientas de esquemas de control clásico en ocasiones están limitadas, es por
eso que cada vez es más común el empleo de esquemas de control moderno que permiten
mayor flexibilidad para manejar tareas más complejas dentro del automóvil.
3.3.1 Modelado en espacio de estados
La teoría de control moderno se ha desarrollado desde los años 60s, a diferencia del control
clásico que emplea una aproximación en dominio de la frecuencia compleja, este emplea una
aproximación en dominio temporal. El control moderno se basa en el concepto de estado.
El estado de un sistema es un conjunto de variables tales que el conocimiento de estas
variables y de las funciones de entrada, junto con las ecuaciones que describen la dinámica,
proporcionan la salida y el estado futuro del sistema.

32
El estado del sistema se describe en función de un conjunto de variables de estado [x1(t), x2(t),
…, xn(t)]. Las variables de estado describen la respuesta futura de un sistema, conocido el
estado presente, las señales de excitación y las ecuaciones que describen la dinámica [16].
Si se necesitan n variables de estado para describir completamente el comportamiento de un
sistema dado, entonces esas n variables de estado se pueden considerar como las n
componentes de un vector x. Este vector se denomina vector de estado.
El espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, eje x2, …, eje
xn son las variables de estado, se denomina espacio de estados. Cualquier estado puede ser
representado como un punto en el espacio de estados [17].
3.3.2 Ecuaciones diferenciales en el espacio de estados
El estado de un sistema esta descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer
orden en función de las variables de estado (x1, x2, …, xn), pueden escribirse de forma general
para un sistema lineal como:
̇
̇
(3-27)
̇
Puede escribirse de forma matricial para un sistema lineal como:
[
̇
̇
̇
] [ ] [ ] [ ] [ ] (3-28)
En la notación compacta la ecuación diferencial de estados para el sistema lineal es:
̇ (3-29)

33
Dónde:
̇ [
̇
̇
̇
] Es el vector variable de estados (3-30)
[ ] Es el vector de estados (3-31)
[ ] Es el vector de las entradas (3-32)
[ ] Es la matriz de estado de nxn (3-33)
[ ] Es la matriz de entrada de nxm (3-34)
Las salidas de un sistema lineal pueden relacionarse con las variables de estado y con las
señales de entrada por la ecuación de salida:
(3-35)
Dónde:
y, es el vector columna del conjunto de señales de salida
C, es la matriz de salida de 1xn
D, es la matriz de transmisión directa
x y u son el vector de estados y el vector de entradas respectivamente

34
3.3.3 Controlabilidad y observabilidad
Un sistema es completamente controlable si existe un control sin restricción u(t) que puede
llevar cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado deseado x(t) en un tiempo finito,
t0 ≤ t ≤ T [16].
Para el sistema de la ecuación (3-29):
̇
Se puede determinar si el sistema es controlable examinando la condición algebraica:
Rango [B AB A2
B An-1
B] = n (3-36)
La matriz de controlabilidad nxn es:
Pc = [B AB A2
B An-1
B] (3-37)
Si el determinante de Pc es diferente de cero, el sistema es controlable.
Un sistema es completamente observable si y solo si existe un tiempo finito T de forma que el
estado inicial x(0) se pueda determinar a partir de la observación de la historia y(t) dado el
control u(t).
Se considera el sistema entrada-salida ecuaciones (3-29) y (3-35) si Du:
̇ e
Este sistema es completamente observable cuando el determinante de la matriz de
observabilidad nxn Po es distinto de cero,
[ ] y el Rango de Po = n (3-38)

35
3.4 Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID)
El control PID (Proporcional-Integral-Derivativo) es de uso muy común ya que se puede aplicar
de forma general para la mayoría de los sistemas que se desean controlar pues se adaptan
muy bien, son de fácil implementación, no requieren atención continua durante su operación, se
pueden ajustar directamente en línea, no es necesario conocer el modelo del sistema a
controlar.
Este control cuenta con tres parámetros que deben determinarse, tales que el sistema a
controlar cumpla con las especificaciones de diseño y operación, para ello existen algunos
métodos propuestos. El primer parámetro es la denominada ganancia proporcional kp, si se
incrementa este valor el sistema puede hacerse inestable y hay una desviación con respecto al
punto de referencia establecido, este también sirve para regular la velocidad de respuesta del
sistema de control; jamás debe usarse esta ganancia para buscar error cero ya que se requiere
ganancia infinita y no se puede conseguir por razones físicas en los dispositivos.
Si se quiere garantizar error cero se hace uso del segundo parámetro o ganancia integral Ki,
este también ofrece estabilidad al sistema de control. Por último la ganancia derivativa kd sirve
para regular el coeficiente de amortiguamiento del sistema de control, es principalmente un
freno. El error está regulado por esta ganancia por lo general el error aumenta con la parte
derivativa, pero se emplea para evitar un sobre tiro.
Podemos expresar el control PID como:
( ) ∫ ( )
( )
(3-39)
Dónde:
u, es la entrada del control sobre el sistema a controlar
Kp, es la ganancia proporcional
Ti y Td, son las constantes de tiempo integral y derivativa del control PID respectivamente [18].

36
3.4.1 Reglas de sintonía para controladores PID
Si se conoce algún modelo matemático que describa al sistema que se desea controlar, se
pueden emplear métodos analíticos para determinar las ganancias del controlador para que
este cumpla con las especificaciones deseadas de diseño. Por otra parte si la planta es muy
compleja y no se conoce un modelo que la describa, existen métodos experimentales para
obtener las ganancias del controlador. Estos métodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols,
es decir, obtener valores para kp, Ti, Td. Estos métodos son experimentales y basados en
respuestas a entradas tipo escalón; se debe tener en cuenta que estas reglas para sintonía del
controlador no son valores exactos que cumplan fielmente con las especificaciones de diseño
que se desean obtener, los valores obtenidos a través de estos métodos experimentales son
tan solo valores iniciales de los cuales partir, pero por lo regular siempre es necesario realizar
un ajuste fino sobre estas ganancias para que el control opere dentro de los requisitos de
diseño que se especificaron.
3.4.1.1 Métodos de sintonía de Ziegler-Nichols para controladores PID
Existen dos métodos de diseño de Ziegler-Nichols:
El primer método o método de respuesta transitoria, este aplica para sistemas que tiene un
comportamiento sobre amortiguado y estable; los pasos a seguir para la obtención de las
constantes son:
1) Obtener gráficamente la respuesta del sistema a una entrada tipo escalón
2) Trazar una recta tangente con máxima pendiente
3) Medir los valores de los parámetros M y L (pendiente y cruce con el eje horizontal (t)
respectivamente)
4) Sustituir los valores de M y L en la tabla 3.3 y calcular los valores de kp, Ti y Td.
5) En caso de ser necesario realizar un ajuste fino (ajuste manual).

37
Tabla 3.3 Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la respuesta escalón de la planta
(primer método) [17].
Tipo de controlador Kp Ti Td
P ∞ 0
PI 0
PID
El segundo método es empleado en sistemas con un comportamiento sub amortiguado y
estable, los pasos seguir para la obtención de las constantes son:
1) Formar el lazo cerrado con la ganancia proporcional kp > 0, Ti=∞ y Td=0
2) Con una entrada de tipo escalón se debe aumentar gradualmente el valor de Kp, hasta
que la salida sea una oscilación permanente
3) Medir la ganancia kp=kcr en la cual el sistema se mantiene oscilando, esta será la
ganancia crítica también se debe medir el periodo de estas oscilaciones que era el
periodo crítico Pcr.
4) Sustituir los valores de kcr y Pcr en la tabla 3.4 y calcular los valores de kp, Ti y Td.
5) En caso de ser necesario realizar un ajuste fino (ajuste manual).
Tabla 3.4 Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crítica kcr y periodo crítico
Pcr (segundo método) [17].
Tipo de controlador Kp Ti Td
P ∞ 0
PI 0
PID
Si el sistema tiene un modelo matemático conocido, se puede emplear el método del lugar de
las raíces para determinar la ganancia crítica kcr y la frecuencia de las oscilaciones ωcr y de aquí
obtener el valor del periodo crítico Pcr, ya que Pcr= 2π/ωcr [17].

38
3.5 Control por Planitud Diferencial
Usualmente se desea estabilizar la salida de un sistema o que este siga una trayectoria
deseada de referencia. Esto se facilita si el sistema es plano, independientemente de la
dinámica interna asociada con la variable de salida. La planitud es una propiedad de algunos
sistemas dinámicos controlables, esta propiedad permite trivializar tareas de planeado de
trayectorias, sin resolver las ecuaciones diferenciales, mientras simplifica el problema de diseño
del control retroalimentado a un conjunto de sistemas lineales invariantes en el tiempo
desacoplados. Podemos decir que la planitud es sinónimo de controlabilidad, como muchos
sistemas son controlables, entonces estos sistemas de interés presentaran también la
propiedad de planitud; podemos establecer que un sistema lineal invariante en tiempo es plano
si y solo si es controlable. La propiedad de planitud permite una completa parametrización de
todas las variables del sistema (estados, entradas, salidas) en términos de un conjunto finito de
variables independientes, llamadas salidas planas y un número finito de sus derivadas con
respecto al tiempo. El número de salidas planas es igual al número de entradas de control.
La salida plana de un sistema lineal controlable en su notación de espacio de estados está
dada por un factor constante por la combinación lineal de los estados obtenidos de la última fila
de la inversa de la matriz de controlabilidad de Kalman [19]:
Pc
-1
= [B AB A2
B An-1
B]-1
(3-40)
La salida plana entonces es:
[ ][ ] (3-41)
Para un sistema lineal de una entrada y una salida, la salida plana puede ser siempre
dependiente solo de las variables de estado del sistema. Si consideramos a y como la salida
plana y que solo es función del vector de estados x, además si se considera que y es una
función lineal del vector de estados x,
(3-42)

39
Para un vector fila λ de dimensión 1xn. El problema para determinar la salida plana es ahora
como encontrar el vector fila λ.
Ahora escribimos el vector de derivadas de y:
̇ ̇
̈ ̇
(3-43)
( ) ( )
Podemos parametrizar y dejar las variables de estados y la entrada u en términos de la salida
plana y un número finito de sus derivadas, primero supóngase que el polinomio característico
de la matriz de estado A escrito en términos de la variable compleja es:
(3-44)
Después:
̇
̈ ̇
(3-45)
( ) ( )
( ) ( )
(3-46)
Ahora vemos que el sistema tiene la ecuación diferencial entrada-salida:
( ) ( )
(3-47)
Se puede proponer un controlador basados en la planitud diferencial tal que:
[ ( ) ] (3-48)

40
Con:
( ) ( )
(3-49)
Al sustituir en la ecuación diferencial de entrada-salida encontramos que:
( ) ( ) ( )
(3-50)
( ) ( ) ( )
(3-51)
Su polinomio característico está dado por:
( ) ( )
(3-52)
Para encontrar los valores de las ganancias del controlador [αn-1, αn-2, … , α1, α0] son
seleccionadas del polinomio característico deseado en lazo cerrado, de modo que todas sus
raíces se encuentren en lado izquierdo del plano complejo:
( ) ( )
(3-53)
Ahora las ganancias se determinan igualando los coeficientes de ambos polinomios.
Normalmente el polinomio deseado es de la forma:
( ) ( ) Si n es par (3-54)
Para este caso se proponen valores para w y z, se desarrolla el polinomio propuesto para lazo
cerrado y se igual los coeficientes.

41
4. METOLOGÍA
4.1 Descripción del proyecto
El interés en el desarrollo de suspensiones activas y semi-activas deriva del potencial para
mejorar el rendimiento general del vehículo en marcha, sin comprometer la maniobrabilidad y el
confort. Este proyecto diseñó y realizó la simulación de dos esquemas de control para la
suspensión activa de un cuarto de vehículo, los cuales permitieron atenuar las vibraciones
verticales inducidas por la superficie irregular en la que se desplazaba el automóvil, además de
mejorar el rendimiento general del vehículo bajo diferentes condiciones en el camino y
maniobras en la conducción.
Para atacar el problema se estudiaron los sistemas de suspensión existentes para un
automóvil, posteriormente se revisaron y desarrollaron modelos matemáticos que describen la
dinámica del sistema de suspensión de un cuarto de vehículo; una vez que se comprendió el
funcionamiento de la suspensión y se habían identificado los parámetros de interés se realizó
una selección de los esquemas de control utilizados dentro de las estrategias de control
disponibles actualmente y finalmente se optó por el diseño e implementación de un controlador
PID y otro controlador basado en planitud diferencial.
Una vez seleccionados y desarrollados los modelos se programaron los esquemas de control; el
desempeño de cada controlador se verificó a través de las herramientas computacionales
Matlab/Simulink, se ajustaron los parámetros en los controladores y la suspensión hasta
obtener una mejora en la dinámica del vehículo. Así mismos se desarrolló una plataforma para
simulación virtual (animación) del vehículo con los sistemas de control propuestos, utilizando
CarSim vinculado con Matlab/Simulink, en esta plataforma se crearon escenarios con diferentes
topografías en el camino, maniobras o trayectorias a seguir y también la configuración de
variables de interés para ser presentadas de manera gráfica por CarSim, para la evaluación de
la respuesta de los esquemas de control implementados en el automóvil virtual, los parámetros
en los controles y la suspensión se ajustaron hasta obtener una mejora en la dinámica del
vehículo. El diagrama de la figura 4.1 presenta las distintas etapas en las que se desarrolló este
proyecto.

42
Figura 4.1. Diagrama de las etapas durante el desarrollo del proyecto.
Modelo físico de la suspensión
e identificación de parámetros
Modelo Matemático de la
suspensión
Selección de los esquemas de
control y desarrollo de sus
modelos matemáticos
Programación y simulación de
los modelos matemáticos en
Matlab/Simulink
Desarrollo de la plataforma de
simulación virtual en CarSim
Cambio de valores en los
parámetros de la suspensión o
en los parámetros de control
Mejora en la
dinámica del
vehículo
Integración y pruebas de los
esquemas de control sobre la
plataforma de simulación
virtual en CarSim
Análisis y evaluación de los
resultados
Mejora en la
dinámica del
vehículo
Cambio de valores en los
parámetros de la suspensión o
en los parámetros de control
SI
NO
SI
NO

43
4.2 Modelo físico de la suspensión e identificación de parámetros
Para este proyecto se seleccionó la suspensión independiente ya que esta puede ser modelada
para un cuarto de vehículo y su comportamiento es igual en las otras ruedas del automóvil. Los
parámetros que nos interesan son los valores constantes de los componentes que conforman el
sistema de suspensión y se resumen en la tabla 4.1, también se identificaron parámetros
variables como la aceleración, velocidad y desplazamiento de la masa suspendida ( ̈ ̇ ) y
de la masa no suspendida ( ̈ ̇ ), la variación de la superficie de rodadura ( ), otros
parámetros derivados de interés en el análisis dinámico de la suspensión son: la deflexión de la
suspensión ( ) y la deflexión del neumático ( ).
Tabla 4.1 Parámetros para la suspensión de un cuarto de vehículo tomados de CarSim
Parámetro Valor
masa suspendida (ms) 342.5 [kg]
masa no suspendida (mu), 40 [kg]
constante del resorte de la suspensión (ks), 82 000 [N/m]
constante del resorte del neumático (kt) 268 000 [N/m]
coeficiente de amortiguamiento (cs) 4000 [N*s/m]
4.3 Modelo Matemático de la suspensión
Partimos de un modelo matemático, existen muchos tipos de modelos y no se puede tener uno
100% exacto ya que todos los modelos son aproximaciones. El modelo es para entender cómo
funciona el proceso en sí, mientras más complejo es el modelo describe de mejor manera al
proceso, pero será de mayor complejidad su solución, requiriendo más tiempo en su desarrollo
y su solución, si es muy sencillo podría no modelar dinámicas presentes en el proceso. Las
ecuaciones en los modelos matemáticos identifican las variables que afectan el rendimiento de
un sistema y proporcionan información que cuantifica el rendimiento. Para desarrollar las
ecuaciones que describen la dinámica de la suspensión se propusieron los esquemas de un
cuarto de vehículo para una suspensión pasiva y una suspensión activa hidráulica mostrados
en la figura 4.2.

44
a) b)
Figura 4.2. Diagrama esquemático de un sistema de suspensión de un cuarto de vehículo con
dos grados de libertad. a) suspensión pasiva, b) suspensión activa hidráulica.
a) b)
Figura 4.3. Diagrama de cuerpo libre para el sistema de suspensión de un cuarto de vehículo.
a) suspensión pasiva, b) suspensión activa hidráulica

45
Como se observa son muy similares, se diferencian por el actuador que se agrega en el caso
de la suspensión activa, el cual genera una fuerza (u) y así amortigua las oscilaciones
rápidamente e incrementa el confort. Para obtener las ecuaciones aplicamos la segunda ley de
Newton sobre las masas de la suspensión, ver la figura 4.3.
Para ambos casos, las fuerzas generadas por el resorte (Ec. 4.1), la fuerza generada por el
amortiguador (Ec. 4.2) y la fuerza generada al considerar al neumático como un resorte
neumático (Ec. 4.3), son:
( ) (4.1)
( ̇ ̇ ) (4.2)
( ) (4.3)
Dónde:
Fks = Fuerza generada por el resorte de la suspensión, N
Fcs = Fuerza generada por el amortiguador, N
Fkt = Fuerza generada al considerar al neumático como un resorte de aire, N
Aplicando la sumatoria de fuerzas en el eje z para la suspensión pasiva tenemos:
̈ ( ̇ ̇ ) ( ) (4.4)
̈ ( ) ( ̇ ̇ ) ( ) (4.5)
Aplicando la sumatoria de fuerzas en el eje z para la suspensión activa tenemos:
̈ ( ̇ ̇ ) ( ) (4.6)
̈ ( ) ( ̇ ̇ ) ( ) (4.7)

46
4.4 Selección de los esquemas de control y desarrollo de sus
modelos matemáticos
Al inicio del diseño es importante hacer una buena selección de los parámetros y propiedades
del sistema físico (suspensión) con el fin de obtener un buen comportamiento al implementar el
esquema de control. Debe existir un compromiso entre el esquema de control y el diseño de la
suspensión; una suspensión mal diseñada nunca podrá tener un buen comportamiento inclusive
agregando un controlador muy sofisticado. En este proyecto como ya se mencionó, se trabajó
con una suspensión independiente para las cuatro ruedas; se han adoptado la arquitectura,
geometría y otras características de la suspensión que CarSim incluye en sus librerías, no es el
propósito de este trabajo profundizar en el diseño o análisis a nivel componente de la
suspensión, sino el análisis a un nivel de sistema y su evaluación en la dinámica global del
vehículo. Otra consideración importante es que los componentes de la suspensión (resorte y
amortiguador) se han considerado lineales.
Actualmente existen muchos esquemas de control, cada uno ofrece ventajas pero al final el
objetivo es el mismo, generar una señal, o acción para minimizar los efectos de las
perturbaciones y ruidos en el proceso, además de que la salida del sistema cumpla con la
referencia de entrada, el cómo alcanzar este valor de referencia con la salida se le conoce
como el desempeño del controlador. En la figura 4.4 se muestra es un diagrama a bloques del
esquema de control de manera general para la suspensión activa de un cuarto de vehículo,
como ya se mencionó, no es de interés en este proyecto profundizar a nivel componente, el
contemplar cada componente haría más complejo el modelo matemático, ya que se tendrían
que obtener la ecuaciones para otros elementos dentro de la suspensión activa, como los
actuadores y sensores, estos dos últimos se han omitido en el diagrama a bloques ya que no se
modelaron en el presente trabajo.
El análisis que se hizo sobre la suspensión activa fue en dominio del tiempo, en base a esto se
decidió modelar el sistema de suspensión en espacio de estados y se seleccionó un esquema
de control lineal y clásico que es el controlador PID (Proporcional-Integra-Derivativo) y un
esquema de control basado en planitud diferencial.

47
Figura 4.4. Diagrama a bloques del esquema de control de lazo cerrado para la suspensión
activa de un cuarto de vehículo.
4.4.1 Modelado de la suspensión lineal en el espacio de estados
Como se revisó en el capítulo 3, el espacio de estados usa una aproximación en dominio del
tiempo y un sistema de orden superior se puede expresar en términos de ecuaciones
diferenciales de primer orden en funciones de las variables de estado.
Para el sistema de suspensión activa tenemos:
̈ ( ̇ ̇ ) ( ) (4.8)
̈ ( ) ( ̇ ̇ ) ( ) (4.9)
Definimos las variables de estado como:
(4.10)
̇ (4.11)
(4.12)
̇ (4.13)
Sustituimos las variables de estado en las ecuaciones 4.6 y 4.7

48
̇ ( ) ( ) (4.14)
̇ ( ) ( ) ( ) (4.15)
El modelo en espacio de estados es:
̇ (4.16)
̇ (4.17)
̇ (4.18)
̇ (4.19)
En notación matricial tenemos ̇ :
[
̇
̇
̇
̇
]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
(4.20)
[ ] (4.21)
4.4.2 Diseño de controlador PID (Proporcional-Integral-Derivativo)
El control PID se ha seleccionado dado su fácil implementación y adaptabilidad para la mayoría
de los sistemas que se desean controlar, a continuación de desarrolla el modelo matemático
para el controlador PID que se desea implementar en la suspensión activa del vehículo.
El controlador PID propuesto para el sistema de la ecuación 4.20 es:
∫ ( ) (4.22)
Por simplicidad en el análisis para el esquema de control para el sistema de suspensión se
asume que , entones tenemos:

49
[
̇
̇
̇
̇
̇
]
[ ]
[ ]
[ ]
(4.23)
[ ]
[ ]
(4.24)
La derivada del error es: ̇ (4.25)
Y el error es: ∫ (4.26)
[
̇
̇
̇
̇
̇
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(4.27)
[
̇
̇
̇
̇
̇
]
{[ ] [ ]
[ ]
}
[ ]
[
̇
̇
̇
̇
̇
]
[ ]
[ ]
(4.28)
Obtenemos el polinomio característico:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (4.29)

50
Los valores iniciales de las ganancias para el controlador PID se obtuvieron usando el segundo
método de sintonización de Zieger-Nichols, el proceso completo de sintonización se desarrolla
en el apartado 4.5; las raíces del polinomio se calculan con el programa 2 que se agrega en el
anexo A, los parámetros de la suspensión se obtuvieron de CarSim y se resumen en la tabla
4.1, así los valores iniciales de las ganancias del controlador son:
, ,
Los polos del sistema con estos valores iniciales son:
Realizando un ajuste fino proponemos los siguientes valores de las ganancias del controlador:
, ,
Los polos del sistema con los nuevos valores propuestos después del ajuste fino son:
Como puede observase todas las raíces son menores a cero (signo negativo), lo que nos indica
que el sistema es estable y al incrementar el valor en la parte real de las raíces con el ajuste
fino logramos que la respuesta del sistema sea más rápido, es decir, las oscilaciones se
atenúen con mayor velocidad y el erro tienda a cero.

51
La programación, sintonización y evaluación del desempeño del controlador PID diseñado se
realiza en la sección 4.5.2, su implementación y evaluación en la plataforma de simulación
virtual desarrollada con CarSim se presenta en la sección 4.7.1.
4.4.3 Diseño de controlador por Planitud Diferencial
En el capítulo 3 se dio una breve introducción a sistemas planos, donde se estableció que la
planitud es una propiedad de algunos sistemas dinámicos controlables, que permite trivializar
tareas de planeado de trayectorias, sin resolver las ecuaciones diferenciales y simplifica el
problema de diseño del control retroalimentado a un conjunto de sistemas lineales invariantes
en el tiempo desacoplados. Podemos comenzar demostrando que el sistema de la ecuación
4.20 es controlable y observable entonces presentara la propiedad de planitud. Con esto
obtendremos una parametrización completa de las variables del sistema en términos de un
conjunto finito de variables independientes, llamadas salidas planas y un número finito de sus
derivadas con respecto al tiempo. El número de salidas planas es igual al número de entradas
de control en nuestro casi caso tenemos una entrada por lo tanto solo una salida plana.
La controlabilidad y observabilidad del sistema las obtenemos con las ecuaciones 3.37 y 3.38
que se revisaron en el capítulo 3.
Pc = [B AB A2
B An-1
B] (3-37)
[ ] y el Rango de Po = n (3-38)
Los valores numéricos de los parámetros de la suspensión se obtuvieron de CarSim y se
resumen en la tabla 4.1, el desarrollo se hizo mediante el programa 1, cuyo código puede
revisarse en el anexo A. Se recomienda revisar a detalle el desarrollo de la matriz de
controlabilidad en [20]. Por simplicidad en el análisis para el esquema de control para el sistema
de suspensión se asume que .

52
El determinante de la matriz de controlabilidad de nuestro sistema es diferente de cero por lo
tanto es controlable.
| | (4.30)
El rango de Pc es igual a 4, es decir, tiene rango completo así que el sistema es completamente
controlable.
En el caso de la matriz de observabilidad el valor del determinante también es distinto de cero
por lo tanto es observable.
| | (4.31)
El rango de Po es igual a 4, es decir, tiene rango completo así que el sistema es completamente
observable.
Ahora obtenemos la inversa de la matriz de controlabilidad para encontrar la salida plana:
Pc
-1
= [B AB A2
B An-1
B]-1
(3-40)
El último renglón de la matriz inversa de controlabilidad es la salida plana del sistema,
[ ] [ ] (4.32)
La salida plana del sistema es entonces:
(4.33)

53
Antes de la parametrización primero derivamos la salida plana hasta el cuarto orden, resulta:
̇ ̇ ̇ (4.34)
̈ ̇ ̇ (4.35a)
̈ ( )
( ) (4.35b)
̈ ( ) (4.35c)
⃛ ̇ ̇ ( ̇ ) (4.36)
( )
̇ ̈ ( ) ̇ (4.37)
Después las variables de estado y la entrada de control son parametrizadas en términos de la
salida plana y sus derivadas:
[ ] (4.38)
[
̇
] (4.39)
[
̈
] (4.40)
[
⃛
̇ ] (4.41)
( )
( ) ̈ (4.42)
Manipulamos las expresiones anteriores y resulta:
[
[
̈
]
] ̈ ( ) ( ) ( ) (4.43)
[
̇ [
⃛
̇ ]
] ⃛ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) (4.44)
̈ ( ) (4.45)
⃛ ( ) ̇ (4.46)

54
La entrada de control (u) en términos de la salida plana y sus derivadas es:
( )
[ ̈ ( ) ( ) ( )] [⃛ ( ) ̇ ( ) ̇ ( )]
( ) [ ̈ ( ) ] [⃛ ( ) ̇ ] ̈ (4.47)
[ ] [ ( )
⃛ ̈ ̇ ( )] (4.48)
Dónde:
[ ] (4.49)
[ ] (4.50)
[ ] (4.51)
[ ] (4.52)
[ ] (4.53)
( ) [ ] ̇ [ ] ̈ (4.54)
Por simplicidad en el análisis para el esquema de control para el sistema de suspensión se
asume que , entones tenemos que ( ) ,
[ ( )
⃛ ̈ ̇ ] (4.55)
( ) [ ⃛ ̈ ̇ ] (4.56)
Proponemos el siguiente controlador por planitud diferencial:
[ ] [ ⃛ ̈ ̇ ] (4.57)
y [ ⃛ ̈ ̇ ] (4.58)

55
Sustituimos 4.57 y 4.58 en la ecuación 4.56,
( ) [ ⃛ ̈ ̇ [ ] [ ⃛ ̈ ̇ ]] (4.59a)
( )
(4.59b)
( ) [ ⃛ ̈ ̇ ] (4.59c)
( )
⃛ ̈ ̇ (4.60)
En términos de variable compleja tenemos el polinomio:
( ) (4.61)
Proponemos el siguiente polinomio característico para la dinámica de lazo cerrado:
( ) ( ) (4.62)
Desarrollando el polinomio deseado
( ) ( ) ( ) (4.63)
Entonces igualando términos de ambos polinomios:
(4.64)
(4.65)
(4.66)
(4.67)
Se requieren mediciones de todas las variables de estado y el cálculo de las derivadas de la
salida plana.

56
Proponemos los valores de w=70 y z=0.7071, entonces las constantes son:
Los polos del sistema con los nuevos valores propuestos después del ajuste fino son:
Todas las raíces para el polinomio propuesto son menores a cero (signo negativo), esto
muestra que el sistema es estable, el valor en la parte real de las raíces ya tiene un valor alto
con ello logramos una respuesta del sistema más rápida, haciendo que las oscilaciones se
atenúen rápidamente para que el erro tienda a cero, aunque las frecuencias del sistema son
elevadas.
La programación, sintonización y evaluación del desempeño del controlador por Planitud
Diferencial diseñado se realiza en la sección 4.5.3, su implementación y evaluación en la
plataforma de simulación virtual desarrollada con CarSim se presenta en la sección 4.7.2.
4.5 Programación y simulación de los modelos matemáticos en
Matlab/Simulink
Hay diversas formas para realizar la programación para las suspensiones pasivas y activas y
los controladores diseñados, empleando las herramientas computacionales de Matlab y
Simulink. Una de ellas es mediante la programación por instrucción donde se genera líneas de
código declarando variables, parámetros, funciones y se presentan los resultados de manera
numérica o gráfica, para ello se hace uso del extenso número de instrucciones disponibles en
Matlab. Si se trabaja sobre Simulink se puede desarrollar la misma programación que en Matlab
pero de manera gráfica, Simulink ofrece una serie de herramientas donde los sistemas se

57
construyen uniendo bloques, estos bloques pueden tener asignados valores constantes,
parámetros asociados, funciones, etc., además se pueden realizar operaciones matemáticas
entre bloques. En este proyecto la programación y simulación de las suspensiones son
considerando solo un cuarto de vehículo y se han realizado con Simulink, sin embargo para
ajustar los controladores se han elaborado pequeños programas en Matlab, tal y como se
mostraron en las secciones 4.4.2 y 4.4.3, esto programas se agregan en el anexo A.
4.5.1 Programación y simulación de los modelos matemáticos para una
suspensión pasiva y activa
Para programar la suspensiones en Simulink primero tecleamos en el espacio de trabajo de
Matlab el comando dee, este comando permite trabajar con el editor de ecuaciones
diferenciales (Differential Equiation Editor por sus siglas en ingles), inmediatamente muestra
una ventana con algunos demos y también la opción para editar nuestro sistema, ve figura 4.5.
Figura 4.5. Ventana inicial del editor de ecuaciones diferenciales en Simulink
Con doble click sobre la opción que indica el recuadro rojo en la figura 4.5, abre una nueva
ventana, en donde se introdujeron las ecuaciones diferenciales de primer orden que se
obtuvieron en el espacio de estados; en las figuras 4.6a y 4.6b se muestra la ventana principal
del editor para cada tipo de suspensión, en ellas podemos ver: (1) Name, aquí se puede colocar
cualquier nombre para identificar al sistema, (2) # of inputs, donde se indica el número de
entradas al sistema, (3) Editor de la matriz de estados A, en él se escriben las ecuaciones del
modelo incluyendo las entradas al sistema, (4) Editor de la matriz de salida C, se colocan los
estados que son de interés conocer (ya sea medirlos u observarlos), (5) Condiciones iniciales

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