1. Dirección de Formación General
Programa de Matemática
Cálculo II
GUIA Nº 2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
El concepto de ecuación se asocia a una igualdad que sólo se satisface
cuando la variable es sustituida por un valor numérico, llamado solución de la
ecuación. Existen variadas ecuaciones: de primer grado, de segundo grado,
exponenciales, logarítmicas, sistemas de ecuaciones, etc.
Utilizando el concepto de derivación de una función es posible construir un
tipo distinto de ecuaciones. Por ejemplo la ecuación y’ = y. Este tipo de
ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales (ED) y su solución no es
un número, sino una función, o una familia de funciones. En el ejemplo la
solución es la función x
exfy == )( .
Clasificación
Las ED tienen varias clasificaciones. Las ED se llaman ordinarias (EDO) si
la función solución es de una sola variable independiente ( )(xf ) y se llaman ED
parciales (EDP) si la función solución tiene más de una variable independiente (
),( yxf ). Las ED son lineales si en cada término no aparecen multiplicaciones
de la función solución consigo misma ni con sus derivadas; se llaman ED no
lineales en caso contrario. Toda ED tiene un orden, que corresponden al orden
de la derivada más alta de la función solución.
ED lineal no lineal
ordinaria
x
x
y
yeyx x
ln'''2
=+−
orden 2
02
=+ xy
dx
dy
y
orden 1
parcial
x
e
y
f
x
f
=
∂
∂
+
∂
∂
3
3
orden 3
x
y
f
x
f
2
4
4
4
=





∂
∂
⋅
∂
∂
orden 4
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Observación: )('' xfyDy
dx
dy
x ===
Una EDO lineal de orden n en general puede escribirse como:
)()()(...)()( 011
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
las funciones )(xai que multiplican a las derivadas se llaman coeficientes.
Comprobar una solución
Cuando una función f(x), se sustituye en una EDO y transforma esa
ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación. Por
ejemplo la función xxfy ln)( == es solución de la ecuación 0
'
'' =+
x
y
y , lo que se
comprueba obteniendo la primera y la segunda derivada de f(x) y verificando la
igualdad.
A) Comprobar si la función corresponde a una solución de la EDO
correspondiente.
función ecuación
1) x
exf −
=)( 0=+ y
dx
dy
2) xx
eexf 2
)( −
+= 02''' =−+ yyy
3)
x
xxf
1
ln)( −= xyyx ln1' +=+⋅
4) xxf =)(
2
1
' =⋅yy
5) 82
)( −
= x
exf x
y
y
2
'
=
No todas las ecuaciones diferenciales son fáciles de resolver, y algunas no
tienen solución exacta. Analizaremos las EDO de variable separable, así como
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las lineales de primer orden y de segundo orden con coeficientes
constantes.
Ecuación de Variable Separable
Se dice que una EDO de primer orden, de la forma
)()( yfxg
dx
dy
⋅=
Es separable o de variables separables
B) Indique cuál(es) de las siguientes EDO es(son) de variables separables.
6) 2
ye
dx
dy x
+= 7) yx
dx
dy
ln2
⋅=
8) yxyxy −= 2
' 9) yx
ey 5
' +
=
Es posible solucionar una EDO de variable separable
)()( yfxg
dx
dy
=
ordenando
dxxg
yf
dy
)(
)(
=
Posteriormente se integra, considerando una constante de integración.
CxGyH += )()(
Si hubiera un valor inicial byaxbay =→== ,)( se reemplaza y se obtiene un
valor para C.
Finalmente se despeja )(xfy = , que es la solución de la EDO.
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Observación: Si 1C es una constante, entonces también son constantes, por
ejemplo: 1
1
1 ln,,
2
,8 1
Ce
C
C C
, etc., y pueden nombrarse con una sola letra, por
ejemplo: .
1
Ce
C
=
C) Resuelva las siguientes EDO utilizando el método de variables separables:
10) xy
dx
dy
=
11
) y
e
dx
dy x
2
=
12
)
126 −=+ y
dx
dy
13) 55
yx
dx
dy
=
14
)
)8(5' −= yy 15
)
22
33 yxx
dx
dy
+=
D) Resolver las siguientes EDO con problema de valor inicial:
(ayuda: recordar que baba
eee ⋅=+
y que ae a
=ln
)
16) 0)0(,
2
== y
y
x
dx
dy 17
)
1)0(, −== ye
dx
dy y 18
)
10)0(,40 == yy
dx
dy
19)
100)1(
5,0
=
−=
y
y
dx
dy
20
)
10)0(, == yky
dx
dy
y además: 25)3( =y
21
)
,6 26
yx
dx
dy
=
( ) 11 =y
22
)
62
3 yx
dx
dy
=
( ) 12 =y
EDO lineal de primer orden
Una EDO lineal de primer orden es una ecuación del tipo:
)()()( 01 xfyxa
dx
dy
xa =+
donde )(),(),( 01 xfxaxa son funciones en la variable x.
Al dividir ambos lados de la ecuación anterior por el coeficiente )(1 xa , se
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obtiene una forma más útil, llamada forma estándar de la ecuación lineal.
)()( xhyxp
dx
dy
=+
Cuya solución queda expresada mediante la fórmula:
( ) ( ) ( )
( )( )∫
∫∫ +=
−
dxxheCexy
dxxpdxxp
Si se calcula primeramente
( )∫= dxxpxQ )(
entonces
( ) ( )( )∫+= − )()(
dxxheCexy xQxQ
E) Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden
23) 124 =+ y
dx
dy
(Comprobar por variable separable)
24) xxy
dx
dy
2=+
25) 20
1
=+ y
xdx
dy
26) 9
3
+=− xy
xdx
dy
27) 2
91263 xxy
dx
dy
x +=+ 28) 2
61042 xxy
dx
dy
x +=+
F) Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden con valor inicial
29) 1)1(,124 ==+ yy
dx
dy
30) 2)1(,3 ==+ yxxy
dx
dy
31) 0)2(,2
1
==+ yy
xdx
dy
32) 2)1(,3
1
==+ yxy
xdx
dy
Más ejercicios puedes encontrar en
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Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning
Ecuaciones Diferenciales - C.Edwards , D.Penney - Prentice Hall
Ecuaciones Diferenciales con Modelado - Dennis G Zill – Cengage Learning
Editores
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Soluciones
1) Si
2) Si
3) Si
4) Si
5) Si
6) No
7) Si
8) Si
9) Si
10) 22x
Cey =
11) Cey x
+=
12) 26
−= − x
Cey
13) 4 6
3
2
1
xC
y
−
=
14) 85
+= x
Cey
15) 1
3
−= x
Cey
16)
3
2 3
x
y =
17) )ln( xey −−=
18)
x
ey 40
10 ⋅=
19)
x
ey 5,0
9,164 −
⋅=
20)
x
ey 30543,0
10 ⋅=
21) 7
613
7
x
y
−
=
22) 3
541
1
x
y
−
=
23) 34
+= − x
Cey
24) 222
+= −x
Cey
25) x
x
C
y 10+=
26) xxCxy
2
923
−−=
27)
4
3
3
4 2
2
xx
x
c
y ++=
28)
4
3
3
5 2
2
xx
x
c
y ++=
29) 32,109 4
+−= − x
ey
30)
3
1
47,7
2
2
3
+=





 −
x
ey
31) x
x
y +
−
=
4
32)
21
x
x
y +=
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