Ecuaciones Diferenciales

1. Soluciones numéricas para las ecuaciones diferenciales parciales
Introducción
A un cuerpo se le llama “isotròpico” si la conductividad térmica es cada
uno de sus puntos es independiente de la dirección del flujo del calor a
través del punto.
En un cuerpo isotròpico, la temperatura u ≡ u (x, y, z, t) se obtiene
resolviendo la “ecuación diferencial parcial”:
δ / δx · (k δu/ δx) + δ / δy · (k δu/ δy) + δ / δz · (k δu/ δz) = cρ δu/ δt,
donde k, c, ρ son funciones de (x, y, z) y representan:
• k: conductividad térmica;
• c: calor especifico;
• ρ: densidad.
Como estos tres valores son constantes, a esta ecuación se la denomina
“ecuación simple tridimensional del calor”, y se expresa como:
δ2u / δx2 + δ2u / δz2 + δ2u / δy2 = c·ρ/k · δu/ δt
Si la frontera del cuerpo es relativamente simple, la solución de esta
ecuación se obtiene la serie de Fourier.
En la generalidad de las situaciones donde k, c, ρ no son constantes o
cuando la frontera es irregular, la solución de la ecuación diferencial
parcial debe obtenerse mediante métodos de aproximación.
Para introducirnos en este tipo de técnicas, consideremos la “ecuación
parcial elíptica”, denominada “ecuación de Poisson”:
δ2u / δx2 (x, y) + δ2u / δy2 (x, y) = f (x, y)
En esta ecuación suponemos que la función f describe los datos del
problema en una región plana R cuya frontera denotamos con S. este tipo
de ecuaciones aparece de manera natural en el estudio de diversos
problemas físicos dependientes del tiempo, como por ejemplo:
• la distribución de calor para estado estable en una región plana;
• la energía potencial de un punto en un plano sobre el que actúan
fuerzas gravitacionales;
• problemas bidimensionales del estado estable que incluyen fluidos
incompresibles.
Parta obtener una solución única a la ecuación de Poisson es necesario
imponer otras restricciones más a la solución. Por ejemplo, en la
distribución de calor para el estado estable en una región plana requiere que
f (x, y) ≡ 0, lo cual da por resultado una simplificación de la ecuación de
Poisson que se conoce con el nombre de ecuación de Laplace:
δ2u / δx2 (x, y) + δ2u / δy2 (x, y) = 0

2. Si la temperatura dentro de la región esta determinada por su distribución
en la frontera de la región, a las restricciones se les denomina “condiciones
de frontera de Dirichlet, y vienen dadas por:
u (x, y) = g (x, y)
∀ (x, y) en S (∴en la frontera de R)
y
S
R
(x, y): La temperatura se
mantiene cte a g (x, y) grados
x
Ecuaciones diferenciales parciales elípticas
La ecuación diferencial parcial elíptica que estudiaremos es la ecuación de
Poisson:
∇2 u(x, y) ≡ δ2u / δx2 (x, y) + δ2u / δy2 (x, y) = f (x, y) (I)
en R = {(x, y) a < x < b; c < y < d}, con u (x, y) = g (x, y) ∀ (x, y) ∈ S,
donde S denota la frontera de R. Para este análisis, suponemos que tanto f
como g son continuas en sus dominios y que se garantiza una solución
única.
El método que utilizaremos es una adaptación de la técnica de diferencias
finitas para problemas con valor de frontera.
El primer paso consiste en seleccionar los esteros n y m, y en definir los
tamaños de paso h y k mediante h = (b – a) / n y k = (d – c) / m. La división
de intervalo [a, b] en n partes iguales de ancho h, y del intervalo [c, d] en m
partes iguales de ancho k, da como resultado una cuadriculan el rectángulo
R al trazar líneas verticales y horizontales a través de los puntos con
coordenadas (xi, yi), donde:
xi = a + ih,
para cada i = 0,1,……..,n.
y
yi = c + jk
para cada j = 0,1,……...n.,
Esto puede observarse en el siguiente grafico:

3. Líneas de Cuadrícula
Puntos de Red
d = ym
y2
y1
c = y0
x1
a = x0
x2
x3
x4
b = xn
Las líneas x = xi y y = yi son “líneas de cuadricula”, y sus intersecciones
son los “puntos de red” de la cuadrícula. En cada punto de red del interior
de la cuadricula (xi, yj) con i = 1, 2,………., (n-1) y con j = 1, 2,……, (m1), utilizamos la serie de Taylor:
•
en la variable “x” alrededor de xi para generar la formula de
las diferencias centrales:
2
2
δ u / δx (xi, yj) = {[u (xi+1, yj) – 2u (xi, yj) + u (xi-1, yj)] / h2}- [(h2 / 12) · (δ4u / δx4) (ξi, yj)]
donde ξi ∈(xi-1, xi+1).
•
en la variable “y” alrededor de yj para generar la formula de
las diferencias centrales:
2
2
δ u / δy (xi, yj) = {[u (xi, yj+1) – 2u (xi, yj) + u (xi, yj-1)] / k2}- [(k2 / 12) · (δ4u / δy4) (xi, ηj)]
donde ηj ∈(yj-1, yi+1).
El uso de estas formulas en la ecuación (I) nos permite expresar la
ecuación de Poisson en los puntos (xi, yi) como:
{[u (xi+1, yj) – 2u (xi, yj) + u (xi-1, yj)] / h2} + {[u (xi, yj+1) – 2u (xi, yj) + u (xi, yj-1)] / k2}
= f (xi, yj) + [(h2 / 12) · (δ4u / δx4) (ξi, yj)] + [(k2 / 12) · (δ4u / δy4) (xi, ηj)]
para toda i = 1, 2,………., (n-1) y j = 1, 2,……, (m-1), y las condiciones de
frontera como:
u (x0, yj) = g (x0, yj) y u (xn, yj) = g (xn, yj) para cada j = 1, 2,……, m
u (xi, y0) = g (xi, y0) y u (xi, ym) = g (xi, ym) para cada i = 1, 2,……, n-1
En la forma de la ecuación de diferencias, esto da como resultado el
“método de las diferencias centrales” con un error local de truncamiento
del orden O (h2 + k2):

4. 2 [(h / k)2 + 1] ωij – (ωi+1j + ωi-1j) – (h / k)2 (ωi, j+1 + ωi, j-1) = - h2 f (xi, yj)
(II)
para toda i = 1, 2,………., (n-1) y j = 1, 2,……, (m-1), y
(III)
ω0j = g (x0, yj) y ωnj = g (xn, yj) para cada j = 1, 2,……, m
ωi0 = g (xi, y0) y ωim = g (xi, ym) para cada i = 1, 2,…, n-1
donde ωij aproxima u (xi, yj).
La ecuación común (II) contiene aproximaciones a u (x, y) en los puntos:
(xi-1, yj); (xi, yj); (xi+1, yj); (xi, yj-1); (xi, yj+1).
Al reproducir la parte de la cuadricula donde estos puntos están situados,
donde gráficamente seria:
d
yj+1
yj
yj-1
c
a
xi-1
xi
xi+1
b
Aquí se observa que cada ecuación contiene aproximaciones en una región
en forma de estrella alrededor de (xi, yj).
Si utilizamos la información de las condiciones de frontera expresadas en
(III) siempre que sea conveniente en el sistema dado en (II), es decir, en
todos los puntos (xi, yj) adyacentes al punto de red de la frontera,
tendremos un sistema lineal (n-1) (m-1) X (n-1) (m-1), cuyas incógnitas
son las aproximaciones ωij a u (xi, yj) en el interior de los puntos de red.
El sistema lineal que contiene estas incógnitas se expresa más
eficientemente en cálculos matriciales si se introduce un remarcaje de los
puntos interiores de la red. Un sistema de marcaje de estos puntos consiste
en utilizar: Pl = (xi, yj)
y
ωl = ωi, j, donde l = i + (m – 1 – j) (n-1),
para toda i = 1, 2,………., (n-1) y j = 1, 2,……, (m-1). Así se marcan
consecutivamente los puntos de red de izquierda a derecha y de arriba
abajo.
Para ejemplificar esto, tomaremos n = 4 y m = 5. Con el remarcaje se
obtiene una cuadricula como la siguiente:

5. y5
P1
y1
P5
P6
P8
P9
P10
y2
P3
P7
y3
P2
P4
y4
P11
P12
y0
x0
x1
x2
x3
x4
Al marcar los puntos de este modo, se garantiza que el sistema necesario
para determinar ωi,j sea una matriz de banda con un ancho de banda
máximo de (2n-1).
Ejemplo Práctico
Considere el problema de determinar la distribución de calor en estado
estable, en una placa cuadrada metálica delgada, con las dimensiones 0,5 m
por 0,5 m. Conservamos 2 fronteras adyacentes a 0°C, mientras el calor en
las otras dos fronteras aumenta linealmente de 0°C en una esquina a 100°C
en el sitio donde ambos lados se encuentran. Si ponemos los lados en las
condiciones de frontera cero a lo largo de los ejes x e y, el problema se
expresa así:
δ2u / δx2 (x, y) + δ2u / δy2 (x, y) = 0
para (x, y) en el conjunto R = {(x, y) | 0 < x < 0,5 ; 0 < y < 0,5}, con las
condiciones de frontera:
u (0, y) = 0 ; u (x, 0) = 0 ; u (x, 0,5) = 200x ; u (0,5 , y) = 200y
Si n = m = 4, el problema presenta la siguiente cuadrícula y la ecuación de
diferencias es:
4ωi,j - ωi+1,j - ωi-1,j - ωi,j-1 - ωi,j + 1 = 0
∀ i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3.

6. u (x, 0,5) =200x
0,5
P1
P3
P4
P5
P6
P7
u (0, y) =0
P2
P8
P9
u (0,5, y) =200y
u (x, 0) =0
0,5
Expresar esto en función de los puntos remarcados de la cuadrícula interior
ωi = u (Pi) implica que las ecuaciones en los puntos Pi son:
P1: 4ω1 - ω2 - ω4 = ω0,3 + ω1,4
P2: 4ω2 - ω3 - ω1 - ω5 = ω2,4
P3: 4ω3 - ω2 - ω6 = ω4,3 + ω3,4
P4: 4ω4 - ω5 - ω1 - ω7 = ω0,2
P5: 4ω5 - ω6 - ω4 = ω2 - ω8 = 0
P6: 4ω6 - ω5 - ω3 - ω9 = ω4,2
P7: 4ω7 - ω8 - ω4 = ω0,1 + ω1,0
P8: 4ω8 - ω9 - ω7 - ω5 = ω2,0
P9: 4ω9 - ω8 - ω6 = ω3,0 + ω4,1
donde los lados derechos de las ecuaciones se obtienen de las condiciones
de frontera, las cuales implican que:
ω1,0 = ω2,0 = ω3,0 = ω0,1 = ω0,2 = ω0,3 = 0;
ω1,4 = ω4,1 = 25; ω2,4 = ω4,2 = 50; ω3,4 = ω4,3 = 75
El sistema lineal asociado a este problema tiene la forma:
4
-1
0
-1
0
0
0
-1
4
-1
0
-1
0
0
0
-1
4
0
0
-1
0
-1
0
0
4
-1
0
-1
0
-1
0
-1
4
-1
0
0
0
-1
0
-1
4
0
0
0
0
-1
0
0
4
0
0
0
0
-1
0
-1
0
0
0
0
0
-1
0
•
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω6
ω7
=
25
50
150
0
0
50
0

7. 0
0
0
0
0
-1
0
-1
4
-1
ω8
0
0
0
0
-1
0
-1
4
ω9
En la siguiente tabla se muestran los valores de ω1, ω2,………., ω9
obtenidos al aplicar a esta matriz el método de Gauss – Seidel.
I
ωi
1
2
3
4
5
6
7
18,75 37,50 56,25 12,50 25,00 37,50 6,25
0
25
8
9
12,50 18,75
Las respuestas anteriores son exactas porque la verdadera solución, u (x, y)
= 400xy, tiene δ4u / δx4 = δ4u / δy4 ≡ 0, y por lo tanto, el error de
truncamiento es cero en todos los pasos.