Principales fórmulas del plano cartesiano y la recta en R^2

1. FORMULARIO
La distancia entre dos puntos cualesquiera P1(x1, y1) y
P2(x2, y2) está dada por la fórmula:
d(P1, P2) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (1.1)
Dado un segmento por extremos A(x1, y1) y B(x2, y2),
se determinan elementos como: el punto medio M(xm, ym),
donde:
xm =
x1 + x2
2
, ym =
y1 + y2
2
(1.2)
y la pendiente:
mAB =
y2 − y1
x2 − x1
(1.3)
Dados los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) como
vértices del triángulo ABC, su área se calcula mediante el
valor absoluto de la mitad del determinante de la matríz:



x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1



o equivalentemente:
Área∆ABC =
1
2
|x1y2 + x2y2 + x3y1 − (x2y1 + x3y2 + x1y3)|
LA RECTA
Una recta L que pasa por un punto
P0(x0, y0) es el conjunto de puntos P(x, y) que
determinan con P0 un segmento PP0 con pendiente
constante m. Tiene por ecuación:
y − y0 = m(x − x0) (1.4)
ésta es también conocida como ecuación punto - pendiente.
Otras formas de la ecuación de la recta son:
1. Ecuación cartesiana de la recta L que pasa por los puntos
P1(x1, y1) y P2(x2, y2):
y − y1 =
y2 − y1
x2 − x1
(x − x1) (1.5)
2. Ecuación simétrica de la recta L que pasa por los puntos
P(a, 0) y Q(0, b):
x
a
+
y
b
= 1 (1.6)
Los puntos P(a, 0) y Q(0, b) son también de-
nominados interceptos con los ejes X e Y ,
respectivamente.
3. Ecuación general de la recta L:
Ax + By + C = 0 (1.7)
donde los coeficientes A, B y C son determinados luego
de reducir las ecuaciones (1.4), (1.5) ó (1.6). La pendiente
en (1.7) se puede hallar como:
mL =
−A
B
.
Dado un punto P0(x0, y0), la distancia de P0 a la recta L
dada por la ecuación general (1.7) se calcula por la fórmula:
d(P0, L) =
|Ax0 + By0 + C|
√
A2 + B2
(1.8)
Sean las rectas:
L1 : A1x + B1y + C1 = 0, L2 : A2x + B2y + C2 = 0
con sus respectivas pendientes mL1 y mL2 . Se tienen sigu-
ientes las propiedades:
1. Las rectas L1 y L2 son paralelas si y sólo si:
mL1 = mL2 (1.9)
Un caso muy particular de paralelismo ocurre cuando L1
y L2 coinciden o se superponen. En este caso se cumple:
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
.
2. Las rectas L1 y L2 serán ortogonales (o perpendiculares)
si y sólo si:
mL1 .mL2 = −1 (1.10)
3. Las rectas L1 y L2 son oblicuas si y sólo si no son
paralelas ni ortogonales.
4. El ángulo agudo θ comprendido entre las rectas L1 y L2
se determina como:
tan θ =
mL1 − mL2
1 + mL1 · mL2
(1.11)