ejercicios-resueltos-interpolacion-polinomial

1. 1
I.T.I. GESTI´ON C´ALCULO NUM´ERICO
BOLET´IN CON LOS EJERCICIOS RESUELTOS CURSO 2004-05
3. Interpolaci´on polinomial
1. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta funci´on f de la que conocemos que: f(-1)=1
; f(0)=-1 ; f(2)=2 y f(3)=2.
Soluci´on.
En primer lugar los polinomios de Lagrange:
P0(x) =
(x − 0)(x − 2)(x − 3)
(−1 − 0)(−1 − 2)(−1 − 3)
=
(x)(x − 2)(x − 3)
−12
P1(x) =
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
(0 + 1)(0 − 2)(0 − 3)
=
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
6
P2(x) =
(x + 1)(x − 0)(x − 3)
(2 + 1)(2 − 0)(2 − 3)
=
(x + 1)(x)(x − 3)
−6
P3(x) =
(x + 1)(x − 0)(x − 2)
(3 − 0)(3 + 1)(3 − 2)
=
(x + 1)(x)(x − 2)
12
Ahora el polinomio interpolador:
P(x) = 1
(x)(x − 2)(x − 3)
−12
− 1
(x + 1)(x − 2)(x − 3)
6
+ 2
(x + 1)(x)(x − 3)
−6
+ 2
(x + 1)(x)(x − 2)
12
P(x) =
−1
12
(5x3
− 19x2
+ 12).
2. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funci´on f(x) = log(x) con el soporte s =
{1, 2, 4, 6, 8}. Determinar la funci´on del error y acotar el error cometido al usar P(3) para aproximar
el valor de log(3).
Soluci´on.
Sabido que log(1) = 0; log(2) = 0.633147; log(4) = 2 log(2) = 1.386294; log(6) = 1.791759 y que
log(8) = 3 log(2) = 2.079441, el polinomio interpolador es:
P(x) = −0.001768x4
+ 0.038892x3
− 0.325901x2
+ 1.425121x − 1.136444.
Para acotar la funci´on error necesitamos la derivada cuarta de la funci´on: f4
(x) = 24
x5 .
En el intervalo I = [1, 8], puesto que es una funci´on decreciente en ´el, ofrecer´a su valor m´aximo en x
=1 luego: M= 24.
Por tanto la funci´on del error ser´a:
≤
24
4!
|(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 6)| = |(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 6)|.
Para aproximar log(3) uso:
P(3) = −0.00176834
+ 0.03889233
− 0.32590132
+ 1.4251213 − 1.136444 = 1.112814.
con lo que el error:
≤ |(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 6)| = 6.
Realmente la acotaci´on resulta excesiva puesto que el valor “exacto” es log(3) = 1.098612 y el “error
exacto:” 0.014202.

2. 2
3. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta funci´on f(x) de la que conocemos: f(-2)=0;
f(0)=1; f(1)=-1. Idem por Newton, Diferencias Divididas. Escribirlo en la forma a0 + a1x + a2x2
para comprobar que son id´enticos.
Soluci´on.
Por Lagrange:
P0(x) =
(x)(x − 1)
6
P1(x) =
(x + 2)(x − 1)
−2
P2(x) =
(x)(x + 2)
3
Por lo tanto:
P(x) =
−1
6
(5x2
+ 7x − 6) = −0.833333x2
− 1.166666x + 1.
Por Newton:
xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2]
−2 0 0.5 −0.833333
0 1 −2
1 −1
Con ello:
P(x) = 0 + 0.5(x + 2) − 0.833333(x + 2)x = −0.833333x2
− 1.166666x + 1.
4. Disponemos de los siguientes datos sacados de un polinomio de grado g ≤ 5. ¿Podr´ıamos averiguar
de qu´e grado es?
xi -2 -1 0 1 2 3
yi -5 1 1 1 7 25
Soluci´on.
Lo resolveremos por Diferencias Divididas.
xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, · · · , xi+3] f[xi, · · · , xi+4] f[xi, · · · , xi+5]
−2 −5 6 −3 1 0 0
−1 1 0 0 1 0
0 1 0 3 1
1 1 6 6
2 7 18
3 25
Con estos datos:
P(x) = −5 + 6(x + 2) − 3(x + 2)(x + 1) + 1(x + 2)(x + 1)x + 0(x + 2)(x + 1)x(x − 1) = x3
− x + 1.
Al anularse las diferencias de cuarto orden se deduce que se trata de un polinomio de tercer grado,como
finalmente obtenemos.

3. 3
5. Sabemos que P4(x) = −5
24 x4
+ 14
24 x3
+ 29
24 x2
− 62
24 x es el polinomio interpolador de cierta funci´on para
los datos:
xi -1 0 1 2 3
yi 3 0 -1 1 2
Lo hemos calculado por Diferencias Divididas, compruebalo y determina el polinomio interpolador
resultante si ampliamos los datos con el punto A = (4, 3).
Soluci´on.
Comenzaremos por las Diferencias Divididas para el soporte inicial:
xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, · · · , xi+3] f[xi, · · · , xi+4]
−1 3 −3 1 0.166666 −0.208333
0 0 −1 1.5 0.666666
1 −1 2 −0.5
2 1 1
3 2
Y de aqu´ı, el polinomio interpolador es:
P4(x) =
−5
24
x4
+
14
24
x3
+
29
24
x2
−
62
24
x = −0.2083333x4
+ 0.583333x3
+ 1.208333x2
− 2.583333x.
Ahora ampliamos la tabla de Diferencias Divididas:
xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, · · · , xi+3] f[xi, · · · , xi+4] f[xi, · · · , xi+5]
−1 3 −3 1 0.166666 −0.208333 0.833333
0 0 −1 1.5 0.666666 0.208333
1 −1 2 −0.5 0.166666
2 1 1
3 2
Obtenemos el t´ermino que hay que a˜nadir: 0.833333(x + 1)x(x − 1)(x − 2)(x − 3) y que sumaremos
al polinomio anterior:
P5(x) = −0.2083333x4
+0.583333x3
+1.208333x2
−2.583333x+0.833333(x+1)x(x−1)(x−2)(x−3)
P5(x) = 0.833333x5
− 0.625x4
+ x3
+ 1.625x2
− 3.083333x.
3. Integraci´on num´erica
6. Calcular el valor de
π
0
1 + cos2(x)dx usando la f´ormula de Newton-Cotes con el soporte S =
{0, π
2 , π}.
Soluci´on.
El soporte es equiespaciado de paso h = π
2 , los coeficientes ser´an:A0 = A2 = π
6 y A1 = 2π
3 y con ello,
π
0
1 + cos2(x)dx
π
6
f(x0) +
2π
3
f(x1) +
π
6
f(x2) =
=
π
6
√
2 +
2π
3
+
π
6
√
2 = (2 +
√
2)
π
3
= 1.138711π
y si tomamos π = 3.141592;
π
0
1 + cos2(x)dx 3.575355

4. 4
7. La funci´on f(x) = e2x+1
es continua en [−1.1]. Hallar el valor exacto de
1
−1
f(x)dx y comparar el
resultado con el obtenido al usar la f´ormula de Newton-Cotes en el soporte S = {−1, 0, 1}. Determina
una cota del error cometido.
Soluci´on.
Integrando directamente tenemos
1
−1
e2x+1
dx =
1
2
1
−1
e2x+1
2dx =
e3
− e−1
2
= 9.858829
Como se trata de un soporte equiespaciado de paso h = 1, los coeficientes ser´an:A0 = A2 = 1
3 y
A1 = 4
3 y con ello,
1
−1
e2x+1
dx 10.442181
Comparando, el error es = |10.442181 − 9.858829| = 0.583352
Newton-Cotes con el soporte dado n = 2 ⇒ es Simpson, por lo tanto lo podemos hacer directamente
1
−1
e2x+1
dx
1
3
e−1
+
4
3
e0
+
1
3
e1
= 10.442181
Como es la f´ormula de Simpson, acotamos el error, previa acotaci´on de la derivada cuarta de la funci´on
f4
(x) = 16e2x+1
como se aprecia en la evoluci´on de las derivadas la siguiente ser´ıa positiva en su
dominio lo que hace que podamos asegurar que la f4
es creciente en [−1, 1] y M = 16e3
< 16(33
) = 432
<
(1 + 1)5
2880
432 = 4.8
que como se aprecia es una cota muy mala.
8. Calcular el valor exacto de
π
0
sen(x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la f´ormula
compuesta de los Trapecios para n=8. Determina una cota del error cometido.
Soluci´on.
Integrando directamente tenemos
π
0
sen(x)dx = −cos(π) + cos(0) = −1 + 1 = 2
Para aplicar la f´ormula del trapecio para n = 8 el soporte es
S = {0,
π
8
,
2π
8
,
3π
8
,
4π
8
,
5π
8
,
6π
8
,
7π
8
, π}
por lo tanto:
π
0
sen(x)dx π−0
2(8) [sen(0) + 2{sen(π
8 ) + sen(2π
8 ) + sen(3π
8 ) + sen(4π
8 ) + sen(5π
8 ) +
sen(6π
8 )} + sen(π)] = π
8 [sen(2π
8 ) + sen(3π
8 ) + sen(4π
8 ) + sen(5π
8 ) + sen(6π
8 )] = π
8 [2sen(π
8 ) + 2sen(π
4 ) +
2sen(3π
8 ) + sen(π
2 ] = 1.974232
Para llegar al resultado anterior hemos considerado lo siguiente:
sen(7π
8 ) = sen(π
8 ) = sen(
π
4
2 ) =
1−
√
2
2
2
sen(6π
8 ) = sen(π
4 ) =
√
2
2
sen(5π
8 ) = sen(3π
8 ) = cos(π
8 ) =
1+
√
2
2
2
Cota del error, < (π−0)3
12(82)M2
la derivada segunda de la funci´on es f2
= −sen(x) por lo tanto M2 = 1
y consecuentemente,
<
π3
12(82)1
<
3.23
768
=
32.77
768
= 0.0426..

5. 5
9. Determinar el n´umero m´ınimo de partes necesarias para calcular
1
0
ex2
dx por la f´ormula compuesta
de los Trapecios con 4 cifras decimales exactas. Calcular el valor de dicha integral en el caso que
necesitemos que el error sea menor que una cent´esima.
Soluci´on.
Sabemos que < (1−0)3
12(n2)M2
la derivada segunda de la funci´on es f2
= (4x2
+ 2)ex2
funci´on creciente
en el intervalo de integraci´on, por lo tanto M2 = 6e < 18 y consecuentemente,
0.0001 > 18
12(n2) ⇒ n2
> 18
12(0.0001) = 15000 ⇒ n > 122.47..
Luego tendremos que tomar n = 123; si apuramos m´as en las cotas, por ejemplo tomando e = 2.8,
mejoramos algo la partici´on.
Ahora hacemos, 0.01 > 6(2.8)
12(n2) ⇒ n2
> 6(2.8
0.02 = 140 ⇒ n > 11.8.. tenemos que tomar n = 12
S = {0,
1
12
,
2
12
,
3
12
,
4
12
,
5
12
,
6
12
,
7
12
,
8
12
,
9
12
,
10
12
,
11
12
, 1}
por lo tanto:
1
0
ex2
dx 1−0
2(12) [e0
+2[e
1
12 +e
2
12 +e
3
12 +e
4
12 +e
5
12 +e
6
12 +e
7
12 +e
8
12 +e
9
12 +e
10
12 +]+e1
] =
1.465794..
El valor ”exacto” es 1.462652 y el ”error exacto” 0.003...
10. Usar el m´etodo de Simpson para calcular el valor de
1
0
x5
dx con error menor que una mil´esima.
Soluci´on.
Lo primero es averiguar la partici´on que necesitamos para cumplir el enunciado. f4
= 120x por lo
tanto es f´acil deducir que M4 = 120 0.001 > 120
180(n4) ⇒ n4
> 120
180(0.001) = 666.6... ⇒ n > 5.08...
Bastar´a tomar n como el primer n´umero natural par posterior a 5.08.. es decir n = 6.
Aplicando Simpson con la partici´on obtenida:
1
0
x5
dx
1 − 0
3(6)
[E + 4I + 2P]
Partici´on = {0, 1
6 , 2
6 , 3
6 , 4
6 , 5
6 , 1}
E = 0 + 1 = 1; I = (1
6 )5
+ (3
6 )5
+ (5
6 )5
= 0.433256..; P = (2
6 )5
+ (4
6 )5
= 0.135802..
1
0
x5
dx
1
18
[1 + 4(0.433256) + 2(0.135802)] = 0.1669238..
11. Calcular el valor de
2
1
x8
log(x)dx con error menor que 5(10−2
).
Soluci´on.
Las derivadas de la funci´on son continuas en todo su dominio, la segunda es f2
= x6
(15 + 56log(x))
y la cuarta, f4
= x4
(1066 + 1680log(x)); ambas crecientes en [1, 2].
Si usamos el m´etodo de los Trapecios:
M2 = f2
(2) = 26
(15 + 56log(2) = 3444.24 ; 0.05 > 3444.24
12(n2) ⇒ n2
> 3444.24
12(0.05) ⇒ n > 75.7... debo tomar
n = 76.
Si usamos el m´etodo de Simpson:
M4 = f4
(2) = 24
(1066 + 1680log(2)) = 35687.8.. ; 0.05 > 35687.8
180(n4) ⇒ n4
> 35687.8
180(0.05) ⇒ n > 7.93... debo
tomar n = 8.
A la vista del resultado, lo haremos por Simpson.

6. 6
xi 1 1.125 1.250 1.375 12.5 1.625 1.750 1.875 2
yi 0 0.302206 1.330039 4.068815 10.391627 23.606041 49.225977 96.026375 177.445668
2
1
x8
log(x)dx
1
24
[E + I + 2P] = 33.13978
12. Sabemos que
∞
2
e−3x
dx = 0.0008 con todas sus cifras decimales exactas, ¿podemos afirmar que
∞
0
e−3x
dx =
2
0
e−3x
dx con error menor que una mil´esima?
Con los datos conocidos y aplicando Simpson, calcular
∞
0
e−3x
dx con una cifra decimal exacta,
determinando previamente la partici´on del intervalo de integraci´on que lo garantiza.
Soluci´on.
En primer lugar,
∞
0
e−3x
dx =
2
0
e−3x
dx +
∞
2
e−3x
dx ⇒
∞
0
e−3x
dx −
2
0
e−3x
dx =
∞
2
e−3x
dx = 0.0008 < 0.001
luego como el error es menor que una mil´esima, podemos usar
2
0
e−3x
dx para aproximar el valor de
∞
0
e−3x
dx sin que repercuta sobre el error que necesitamos: ε < 0.001.
Ahora calcularemos
∞
0
e−3x
dx en las condiciones solicitadas,aproximada por
2
0
e−3x
dx
f4
= 81
e3x por lo que su valor m´aximo, en el intervalo de integraci´on, lo dar´a en el extremo inferior,
M4 = 81.
Con este dato averiguaremos la partici´on necesaria,
0.1 > 25
180n4 81 ⇒ n4
> 25
1800.1 81 = 24
32
⇒
n2
> 22
3 ⇒ n > 3.4 debemos tomar n = 4.
xi 0 0.5 1 1.5 2
yi 1 e
−3
2 e−3
e
−9
2 e−6
y con estos datos:
2
0
e−3x
dx
2
12
[E + I + 2P] = 0.339835
Podemos concluir que
2
0
e−3x
dx = 0.3 con todas sus cifras exactas.