Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MN

1. MÉTODO DE LA REGLA
FALSA (O MÉTODO DE LA
FALSA POSICIÓN)
Clase 4
03-Junio-2014

2. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Un defecto del método de bisección, es que al dividir el intervalo 𝑎, 𝑏 en
mitades iguales no se toma en cuenta la magnitud de 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓 𝑏 ; y si por
ejemplo 𝑓(𝑎) esta mas cerca de cero que 𝑓(𝑏), es razonable que la raíz se
encuentre mas cerca de 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑏, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑋 𝑅 = 0.

3. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• El método de la regla falsa aprovecha la idea de unir los puntos
𝑎, 𝑓 𝑎 𝑦 (𝑏, 𝑓 𝑏 ) con una línea recta. La intersección de esta línea con el
eje 𝑥 proporciona una mejor estimación de la raíz. Al igual que el método
de bisección, se toma ese punto como el nuevo valor extremo del intervalo,
y se elimina el subintervalo que no contenga la raíz.

4. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• El procedimiento se repite hasta que se logre una aproximación con un error
cercano a cero. El reemplazo de la curva por una recta da una posición falsa de la
raíz. De aquí que se pueda considerar con un método de interpolación lineal.
• La formula para la predicción de la nueva aproximación a la raíz se puede obtener
de la ecuación de la línea que pasas por los puntos extremos del intervalo
seleccionado: 𝑎, 𝑓 𝑎 𝑦 (𝑏, 𝑓 𝑏 ). El punto donde la recta corta al eje 𝑥 se obtiene
mediante la ecuación.
𝑋 𝑅 = 𝑏 −
𝑓(𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑓 𝑎 − 𝑓(𝑏)

5. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• La ecuación de la recta donde se conoce un punto sobre la misma y su
pendiente es:
• Que en la recta de la figura 1 es
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 … … … . (1)

6. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 Primera iteración del
Método de la Falsa Posición

7. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Que en la recta de la figura 1 es
• En la intersección de esta recta con el eje 𝑥 se cumple la condición en que
𝑓 𝑥 = 0, por lo que al despejar 𝑥 se obtiene:
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑏 =
𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑥 − 𝑏 … … . . (2)
𝑋 𝑅 = 𝑏 −
𝑓 𝑏 𝑎 − 𝑏
𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏
… … . . (3)

8. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• La ecuación (3) es la ecuación usada para predecir la nueva aproximación
a la solución, la cual incluye como se señalo, los valores de las funciones
evaluadas en el intervalo.

9. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Algoritmo
1. Seleccionar los valores iniciales de 𝑎 𝑦 𝑏 y evaluar 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏) en este
intervalo, de manera que la función cambie de signo. Establecer una
tolerancia de error.
2. La primera aproximación de la raíz se calcula por medio de la ecuación
(4)
𝑋 𝑅 = 𝑏 −
𝑓 𝑏 𝑎 − 𝑏
𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏
… … . . (4)

10. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Algoritmo
3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar si se encontró la raíz o
para saber en que subintervalo se localiza.
Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋 𝑅 = 0 ⟹ la raíz es igual a 𝑋 𝑅 y se terminan los cálculos.
Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋 𝑅 > 0 ⟹ la raíz se encuentra entre 𝑋 𝑅 𝑦 𝑏. Hacer 𝑎 = 𝑋 𝑅 y pasar al
punto 4.
Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋 𝑅 < 0 ⟹ la raíz se encuentra entre 𝑋 𝑅 𝑦 𝑎. Hacer 𝑏 = 𝑋 𝑅 y pasar al
punto 4.

11. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Algoritmo
4. Calcular el nuevo 𝑋 𝑅 con la ecuación 4.
5. Calcular el error aproximado, con la ecuación (5) para decidir si la nueva
aproximación cumple con el criterio de error establecido. Si es así los
cálculos terminan, en caso contrario se regresa al paso 3.
𝑒 𝑝 =
𝑋 𝑅
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
− 𝑋 𝑅
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑋 𝑅
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 ∗ 100 … … (5)

12. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Ejemplo 1 (Archivo mne2-2v3)
• Aplicar el método de la regla falsa para encontrar la raíz real mayor del
polinomio.
• Realizar el proceso iterativo hasta que se cumpla un 𝒆 𝒑 < 𝟎. 𝟎𝟏𝟓%
𝑓 𝑥 = −3.7083𝑥3
+ 16.2965𝑥2
− 21.963𝑥 + 9.36

13. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Solución
• Para iniciar el problema se genera una gráfica de la ecuación
• En el intervalo de valores de "𝒙“ 𝐝𝐞 − 𝟑 𝐚 𝟑. Para esto se siguen los pasos que
se indican en el archivo de como graficar en Excel.
𝑓 𝑥 = −3.7083𝑥3
+ 16.2965𝑥2
− 21.963𝑥 + 9.36

14. 𝑓 𝑥 = −3.7083𝑥3 + 16.2965𝑥2 − 21.963𝑥 + 9.36
Figura 2 Gráfico de la Función

15. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• La grafica de la figura 2 muestra que en el intervalo de 0 a 2.5 existen tres
cambios de signo, por lo que las raíces del polinomio se localizan en el.
Dependiendo de los valores iniciales seleccionados, se podrá localizar
cualquiera de las tres raíces.

16. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación de la regla falsa mediante el uso de Excel
1. De acuerdo a la grafica de la figura 2, seleccionar un intervalo de 2.1 a
2.5 para encontrar la raíz mayor del polinomio, ya que en el se presenta un
cambio de signo en el valor de la función, por lo que estos puntos pueden
ser los valores corresp0pndientes de 𝑎 𝑦 𝑏 para aplicar el algoritmo.

17. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación de la regla falsa mediante el uso de Excel
2. Construir en Excel la tabla que aparece en la figura 3, en las que se
incluyen diferentes columnas para: el número de iteración (columna A),
los valores de los extremos del intervalo 𝑎 𝑦 𝑏 (columnas B y C), los valores
de la evaluación de la función en los extremos del intervalo
𝑓 𝑎 𝑦 𝑓 𝑏 columnas (D y E), el calculo de 𝑋 𝑅 (columnas F), la evaluación
de la función en 𝑋 𝑅, 𝑓(𝑋 𝑅) (columna G) y el porcentaje de error
aproximado (columna H).

18. Figura 3 Tabla para iniciar el método de la regla falsa

19. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación de la regla falsa mediante el uso de Excel
3. Introducir los valores de la iteración inicial y de los extremos del intervalo 𝑎 𝑦 𝑏, en
las celdas A70, B70 y C70, respectivamente.
4. Introducir la formula para evaluar la función en las celdas D70 y E70, para lo cual
hay que tener cuidado que el valor que se utilice sea el de la celda con la que
tenga correspondiente, por ejemplo para evaluar 𝑓(𝑎) se deberá utilizar los
valores de 𝑎, que se encuentran en la celda B70, para evaluar 𝑓(𝑏) se deberá
utilizar el valor de 𝑏, que se encuentra en la celda C70, como se muestra en la
figura.

20. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación de la regla falsa mediante el uso de Excel
5. Introducir la celda F70 la formula para evaluar 𝑋 𝑅 (ecuación 4) y evaluar la
función en ese punto 𝑓(𝑋 𝑅) en la celda G70.
6. Seguir los pasos 6 al 11 del ejemplo (mne2-1v3) correspondientes a la
implementación del algoritmo de bisección mediante el uso de Excel, ya que los
algoritmos del método de bisección y del método de la regla falsa son muy
parecidos, al final se obtiene el valor de la raíz, el cual aparece en la tabla de la
figura 4.

21. Figura 4 Presentación de las iteraciones para el calculo de la raíz mayor del polinomio
𝑓 𝑥 = −3.7083𝑥3
+ 16.2965𝑥2
− 21.963𝑥 + 9.36

22. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual
Basic
1. De acuerdo a la gráfica de la figura 2, se puede seleccionar el intervalo
de 2.1 a 2.5 para encontrar la raíz mayor del polinomio, ya que en el se
presenta un cambio de signo en el valor de la función, por lo que estos
puntos pueden ser los valores correspondientes de 𝑎 𝑦 𝑏 para aplicar el
algoritmo.

23. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual Basic
2. Para construir en Excel la tabla mostrada en la figura 5 se abre una hoja nueva y se etiquetan las
celdas a emplear de acuerdo al algoritmo. En este caso deberán aparecer: el porcentaje de
error (celda B4), el valor inicial de 𝑎 (celda B6), el valor inicial de 𝑏 (celda B8) y el valor de la raíz
(celda B10). También se etiquetan las columnas de la tabla de resultados que aparecerá con los
siguientes datos: numero de iteración (columna A), valor de 𝑎 (columna B), valor de 𝑏 (columna
C), evaluación de la función en el punto 𝑎, 𝑓(𝑎) (columna D), evaluación de la función en el
punto 𝑏, 𝑓(𝑏) (columna E), producto de 𝑓 𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓(𝑏) (columna F), calculo de la aproximación 𝑋 𝑅
(columna G), evaluación de la función en 𝑋 𝑅 (columna H) y el porcentaje de error aproximado
𝑒 𝑝 (columna I).

24. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual
Basic
3. Una vez hecha la tabla de la figura 5 se incrustan los botones, los cuales se
etiquetan con las leyendas: “calcular” y “limpiar”, según se muestra en la
figura 6.

25. Figura 5 Tabla inicial para calcular las raíces del polinomio por el método de la regla falsa

26. Figura 6 Se incrustan los diferentes botones para el método de la regla falsa con Visual Basic

27. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual
Basic
4. El botón correspondiente a “calcular” tiene el propósito de calcular la raíz
y tiene le siguiente código de programación.

29. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual
Basic
5. El botón correspondiente a “limpiar” tiene el siguiente código de
programación.

31. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual
Basic
6. La función se introduce en el código general

32. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual
Basic
7. Una vez que se introdujeron los códigos anteriores, se ejecuta el programa
introduciendo los valores iniciales sugeridos en la gráfica, 𝑎 = 2.1, 𝑏 =
2.5 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 0.015, según aparece en la figura 7. La raíz
obtenida fue de 2.288534.

33. Figura 7 Calculo de la primera raíz por el método de la regla falsa con Visual Basic

34. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
• Implementación del algoritmo del método de la regla falsa mediante Visual
Basic
8. Si se desea aproximar la otra raíz, se utiliza el botón “limpiar” y se cambian
los valores iniciales, en este caso los valores iniciales sugeridos según la
gráfica son: 𝑎 = 1.05, 𝑏 = 1.3, y el porcentaje de error de 0.015, según
aparece en la figura 8. La raíz obtenida fue de 1.129710

35. Figura 8 Calcula de la segunda raíz por el método de la regla falsa con Visual Basic