Portafolio de algebra

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES

ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

Portafolio

Algebra aplicada

Alumna: María Teresa Valencia Benavides
G
Ing. Oscar Lomas

1

Sistema de los números reales …………………………………….…..4
Introducción …………………………………………………………………….…...…4

Conjunto de los números reales……………………………………………………..4

Conjunto de los números naturales…………………………………….………..….4
Conjunto de los números enteros……………………………………….……….….4
Conjunto de los números racionales………………………………………………..5
Conjunto de los números reales……………………………………………..………5
Propiedades de los números reales……………………………………………..….6
Propiedad de la cerradura ………………………………………………………….…6

Propiedad conmutativa…………………………………………………………….…7
Propiedad asociativa………………………………………………………..…....…..7
Propiedad distributiva………………………………………………………………..7
Propiedad de identidad (elemento neutro)…………………………………………8
Propiedad del inverso……………………………………………………………….…8
Exponentes y Radicales……………………………………………………………….8
Propiedades de la potenciación……………………………………………......….8
Propiedad distributiva……………………………………………………..…………8
Propiedad conmutativa……………………………………………………………….8
Operaciones con Expresiones Algebraicas…………………………………...…..14
Clasificación de las expresiones algebraicas……………………………….……15

2

Factorización……………………………………………………………………...…….29
Métodos para la factorización de polinomios……………………………………..29

Ecuaciones………………………………………………………………………………38

Ecuaciones Lineales……………………………………………………………..…….38

Ecuaciones Fraccionarias…………………………………………………......…….39

Ecuaciones Literales………………………………………………………..…..……40

Sistemas de ecuaciones lineales……………………………..………….…..…..…41
Tipos de sistemas………………………………………………………....….…..…..42

Ecuaciones Cuadráticas……………………………………………………..………78
Aplicaciones de Ecuaciones………………………………………………....…..…50

Desigualdades Lineales………………………………………………..…..………..53

Funciones y Gráficas………………………………………………………….…..…60

Sistemas de Ecuaciones Lineales………………………………………..….…….83
Programación lineal………………………………………………………….………87

3

Conjunto de Números Reales
Introducción
Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del
conjunto de números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un
conjunto se denomina elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un
poco circular. Las palabras conjunto y elemento son semejantes a línea y punto en
geometría plana. No puede pedirse definirlos en términos más primitivos, es sólo
con la práctica que es posible entender su significado. La situación es también
parecida en la forma en la que el niño aprende su primer idioma. Sin conocer
ninguna palabra, un niño infiere el significado de unas cuantas palabras muy
simples y termina usándolas para construir un vocabulario funcional.
Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De
la misma forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse con
términos básico no definidos.
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal,
incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de
los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos;
todos los fracciones; y todos los números irracionales; aquellos cuyos desarrollos
en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:
√ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . .
e = 2.718281828459045 . . .
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como
mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces
el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de
números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:
Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z
corrientemente se presenta así:
4

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter
informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de
los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números
reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se
presenta así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no
tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya
solución es x = –2.
Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la
siguiente manera

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

5

Propiedades de los Números Reales

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales.
Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas
cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias
experimentales, ciencias sociales, etc.
Sean

, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad de la cerradura
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más
números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:

Importante: La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción
pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

6

Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes
cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el
mismo. Por ejemplo:

Importante: La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la
división, pues el resultado se altera.

Propiedad asociativa
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer
sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para
después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una
expresión. Por ejemplo:

Importante: La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división,
pues el resultado se altera.

7

Propiedad distributiva
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las
operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las
operaciones aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el
resultado de la suma:
25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número
(llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no
cambia el resultado de la multiplicación:
25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como
sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser
usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

8

Operaciones con Números Reales
Suma
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos
negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos
números negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque
un signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro
negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el
signo del número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa
o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor
valor absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor
absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor
absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto
mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5

9

Restar
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por
medio de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicación
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos
negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando
exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando
exista un número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
División
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el
hecho siguiente.

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Exponentes y Radicales
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales,
al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el
exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la
cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos
términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de
0), queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00,
en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si
nos atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto
de números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de
la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de
base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y
exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
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La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero
no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
En general: ab = ba
Si y sólo si a=b.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando
aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o
equivalentes.
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades posee el exponente.
12

101 = 10
como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un
exponente
106 = 1000000
104 = 10000
Gráfico
gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su
extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido
de crecimiento es positivo en ambas direcciones.

Radicación
Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo
que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación
de la empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de
Producción”, “Los hechos muestran que la radicación en suelo australiano no fue
una buena idea para la familia González”,
“Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra
comunidad”.
En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que
consiste en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la
radicación es el proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la
raíz. Ésta será la cifra que, una vez elevada al índice, dará como resultado el
radicando.

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Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que
forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que
indica el índice, da como resultado el radicando.
Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8.
Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica).
A través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado
alcubo (2 x 2 x 2) es igual a 8.
Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a
la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x
2 (2elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8.

Operaciones con Expresiones Algebraicas
Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o
más operaciones algebraicas.
Término:Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término
son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Grado Absoluto de un Término: Es la suma de los exponentes de sus factores
literales.
Grado de un Término con relación a una Letra: Es el exponente de dicha letra.
Clases de Términos
El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es
el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e
irracional el que tiene radical.

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Términos Homogéneos:Son los que tienen el mismo grado absoluto.
Términos Heterogéneos: Son los de distinto grado absoluto.
Términos Semejantes: Dos términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal
(xy2 = y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.

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TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

GRADO DE UN MONOMIO
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El
monomio

es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.

El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el
grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 ¿Cuál es el grado de:

9.6 ¿Cuál es el grado de:

?

?

CLASES DE POLINOMIOS.
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal;
fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador;
racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical;
homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto;
heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado.

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POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA.
Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más
alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en
el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van
aumentando o disminuyendo.
ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los
exponentes de una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden
descendente o ascendente.
Suma:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los
términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es
otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se
puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó
con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada
columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
Ejemplo 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3
2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

(el polinomio A ordenado y completo)

+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
(el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con
ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios,
para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

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Ejemplo 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2 + 5x - 4
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

(grado 2)
(grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4


+
4x3 - 5x2 + 2x + 1
____________________
4x3 - 8x2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se
ponen los términos con coeficiente cero.
Ejemplo 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x2 + x + 9
+
0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
5x3 + 0x2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los
polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos
semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de
los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero,
por no tener otro término semejante.
Ejemplo 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3 + 5
B = -2x + x2
18

4x3 + 0x2 + 0x + 5
+
0x3 + x2 - 2x + 0
____________________
4x3 + x2 - 2x + 5

A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes,
que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma
"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento
de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas
coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del
otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.
Ejemplo 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2

Resta:

Ejemplo 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8


19

5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10
(el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del
polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que
restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando
los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se
puede hacer en la suma.
Ejemplo 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2
B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2
0x3 - 3x2 + 5x - 4

(grado 2)
(grado 3)

4x3 - 5x2 + 2x + 1
____________________

0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
-4x3 + 5x2 - 2x - 1
(el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3 + 2x2 + 3x - 5
20

A - B = -4x3 + 2x2 + 3x – 5

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los
primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de
uno de los polinomios, para que quede en columnado término a término con el otro
polinomio.
Multiplicación:
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se
aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de
aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones
algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema
"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir,
cada término de una expresión con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...".
"Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En
este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan
2x. Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso
de juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números
con los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual
grado". (ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva
de la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía
en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que
1, y tener muchos términos. Por ejemplo:
21

A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del
otro.

Ejemplo 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
X
-5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con
coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los
exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre
paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva.

Ejemplo 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6
22

4x3 - 5x2 + 2x + 1


X
3x - 6
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6


+
12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x
_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del
primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los
resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos
según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los
resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la
multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan"
números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al
empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como
en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de
igual
grado
queden
en
la
misma
columna.

Ejemplo 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados,
completándolos y ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
X
-2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x

23

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así
es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados,
porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el
segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto
puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más
práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se
puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.
Ejemplo 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 - 9x2 + x

(polinomio A incompleto pero ordenado)

X
-2x2 + 3
(polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4
- 27x2 + 3x
-10x6 + 18x4 - 2x3
____________________________
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
24

En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el
resultado de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que,
para que queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse
columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay
quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término.
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10
A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 +
28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el
mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los
términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la
Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos
semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente
hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con 60x3y3. Los demás quedan como
están.
Ejemplo 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no
completando el segundo)
A = -9x2 + x + 5x4
25

B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
-2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)

X

______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo
del -27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo
demás salió ordenado por grado.
Ejemplo 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

9x2 + x + 5x4

(polinomio A incompleto y desordenado)

X
3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6
+ 18x4 - 2x3
+ 15x4
- 27x2 + 3x
_________________________________________
- 10x6
+ 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

26

Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o
menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el
primer resultado que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a
haber 6 columnas más para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo
ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los
otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo
resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los
grados intermedios que faltan.
División:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de
monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear
el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo
para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el
monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
27

Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el
capítulo anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:

División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los
pasos a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido
(en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se
dejan los espacios de los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del
dividendo entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del
dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del
divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo
parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial
cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

28

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar
el término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Factorización
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto
entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el
producto entre a y a + b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de
a2 + ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15

Métodos para la factorización de polinomios

Todo Polinomio se puede factor izar utilizando números reales, si se consideran
los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos
especiales.
Binomios




Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios




Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c



29

Polinomios


Factor común

Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
15ab= 3 x 5 x a x b
Factor izar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más
factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números
primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay
expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas,
en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b
no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible
por a + b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.
Caso I: Factor común
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como
coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes
obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b)Factor izar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque
siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común
es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor
exponente. El factor común será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
30

10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)

Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se
escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben
los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y
luego se extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a)Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el
factor común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos
últimos también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término
es positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se
obtendrá el mismo resultado.

31

Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma
da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo
que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su
coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir,
es el producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan
estas raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la
raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que:
raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab

32

Trinomios de la forma x2 + bx + c
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene
un trinomio de la forma x2 + bx + c, haciendo para ello a + b = b y ab = c

Por tanto:
Un trinomio de la forma x2 + bx + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma
algebraica sea b y cuyo producto sea c
Regla práctica para factorizar el trinomio
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x,
es decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del
trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de
multiplicar el signo del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del
trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son
los segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan
dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del
trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El
mayor de estos números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el
segundo término del segundo binomio.
Ejemplos:
Descomponer en factores:
a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20
b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12
c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28

33

Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a + b)3.
Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:
Producto notable

Expresión algebraica

Nombre

(a + b)2

=

a2 + 2ab + b2

Binomio al cuadrado

(a + b)3

=

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Binomio al cubo

a2 - b2

=

(a + b) (a - b)

Diferencia
cuadrados

a3 - b3

=

(a - b) (a2 + b2 + ab)

Diferencia de cubos

a3 + b 3

=

(a + b) (a2 + b2 - ab)

Suma de cubos

a4 - b4

=

(a + b) (a - b) (a2 + b2)

Diferencia cuarta

(a + b + c)2

=

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +
2bc

Trinomio al cuadrado

34

de

MÁXIMOCOMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
sub problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen
como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración
simbólica, además de otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo
atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista
del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde
finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas
un poco más sofisticadas.
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab

y

2a^4-2a^2b^2

1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)

(Se aplicó Caso I de Factorización)

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b)
de Factorización)

(Se aplicó Caso I y IV

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la
Solución.
NOTA: Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de
Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.

Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4

35

1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2)

Se aplicó el Caso IV de Factorización

–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)

Se aplicó el Caso III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)
Factorización.

Se aplicó el Caso III de

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4,

x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.

Ejercicio 112.
1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab
Factorizando las expresiones dadas:
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b)

Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b)

Se aplicó el Caso I de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 2a(a +b)
por lo tanto el m.c.d. de

y

4a(a -b)

2a^2 +2ab

es = 2a

y

4a^2 -4ab es = 2a

<– Solución.

2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2
6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)
9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso
I)
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2)
por lo tanto el m.c.d. de

y

3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y

6x^3y -6x^2y

y

36

9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y

3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3

y

4a^3b^2 -8a^2b^3

–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
Caso I)
Factor común de 4a^2b^2(3b)
Por lo tanto el m.c.d. de

4) Hallar el m.c.d. de

(Para ambas expresiones se aplicó el

y

4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2

12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2

ab +b

y

a^2 +a

Factor izando las expresiones dadas:
–> ab +b = b(a +1)
–> a^2 +a = a(a +1)
Factor común de

(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

b(a +1)



y

a(a +1) es

ab +b

x^2 -x

y

= (a +1)

a^2 +a es = a +1

y x^3 -x^2

–> x^2 -x = x(x -1)
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1)
Factor común de x(x -1)


(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
y

x^2(x -1) es = x(x -1)

x(x -1)

y x^2(x -1) es = x(x -1)

30ax^2 -15x^3 ,

10axy^2 -20x^2y^2

–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)

37

–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I
Factor común de

(3)(5)(x)(x)(2a -x)


y

30ax^2 -15x^3 ,

(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
10axy^2 -20x^2y^2 es =

5x

Ecuaciones
Ecuaciones Lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también
conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un
conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde
cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo
conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2
y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de
la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital
de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en
programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de
análisis numérico. a) ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es
igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el
otro

38

Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182

.
Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las
expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

39

Ecuaciones Literales
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal,
pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para
despejarla
.
Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas
ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente

40

Representación Gráfica
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por
una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las
rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se
intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que
es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio
tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los
planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al
sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso
un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los
puntos que forman dicha línea o superficie. Para sistemas de 4 ó más incógnitas,
la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan
desde esta óptica.

41

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones
que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los
siguientes casos:
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede
distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o
rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se
caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único
punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos
que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de
dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles
determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de
cero:
Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales
Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación,
sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la
hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una
incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método
reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución
este sistema:
42

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos,
obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X
Al
resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta
incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y =
7

, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,
si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente
manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda,
por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

.
Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las
ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para
despejar x después de averiguar el valor de la y.
43

Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo
pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El
procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste
en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de
manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca
con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas
ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita,
obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de
resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:

Método de Gauss

Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un
GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones
elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o
inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy
fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el
escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre
en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que
multiplican.

Es:

44

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Método gráfico

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El
método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es
decir para un espacio de dimensión 2.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico
se resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado
obteniendo la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los
únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que
son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que
coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».

45

3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales
pero si en los complejos.

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por
tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones
independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.

46

Ecuaciones Cuadráticas

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son
ecuaciones poli nómicas de grado uno.

Ahora estudiaremos ecuaciones poli

nómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y
c son números reales.

Ejemplo:
9x2 + 6x + 10

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x

a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10

a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las
ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto
de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0

(x

) (x

)=0

a=1

b=2

c=-8

[x ·x = x2]

47

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0

4 y –2

4 + -2 = 2

4 · -2 = -8
x+4=0

x–2=0

x+4=0
x=0–4
x = -4

x–2=0
x=0+2
x=2

Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0
4
4
4
4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0
x2 + 2x = 8

[Ya está en su forma donde a = 1.]
[ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1

=8+1

48

x2 + 2x + 1 = 9
(

) (

) =9

Hay que factor izar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±

x+1= ±3
x = -1 ± 3

[Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3
x=2

x = -1 – 3
x = -4

Fórmula General:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el
signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se
limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la
fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para
resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y
obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

49

Vemos claramente que a = 2,

b=3 y

c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades
Aplicaciones de Ecuaciones
Pasos para la solución de problemas:
1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras
palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.
3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplo
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?

50

Solución:
Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240
por 0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres
aprobaron. Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos
aprobaron el examen?
Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplo
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le
dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le
toco cada uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
51

Juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
X+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a
pedro 40 y a juanita 100 millones.
Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros
que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán
invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la
inversión total?
Solución:
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a
invertir al 6%.
Establecemos:
(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total
Sustituimos los valores
(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)

Resolvemos para P:
.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)
.09P + 1,080 − .06P = 1,440
.09P − .06P = 1,440 − 1,080
.15P = 360
P = (360) / (.15)
P = 2,400

52

Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 =
$15,600 al 6%.
Desigualdades Lineales
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son
iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un
signo de igual hay unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:


X es mayor que Y



X es menor que Y

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita
La expresión
,
Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede
tenerse
, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia
es positiva
y
, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia
es negativa.
Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o
menor que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y
los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de
desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen
algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:

porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
53

Ejemplo 1:

Casos Especiales
Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un
arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar
con valor negativo.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x – [x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero quitamos los paréntesis:
2x – [x –x +50] < x –800 +3x
Reducimos términos semejantes.
2x –[50] < 4x –800
Ahora quitamos los corchetes
2x –50 < 4x –800
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x –4x < –800 +50
Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a
–2x < –750

54

Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita,
entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y
además cambiamos el sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).
2x > 750
Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.

Aplicación de Desigualdades
Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su
producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la
tercera parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos
microscopios se fabricaron?
Solución

Número de microscopios fabricados: x
La compañía duplica su producción: 2x
Vende 60
: 2x-60
Le quedan más de 26
: 2x-60 > 26……… (I)
Baja su producción a la tercera parte: x/3
Vende 5 microscopios
: x/3 – 5
Tendría menos de 10
: x/3 – 5 < 10…..... (II)
Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:

mcm:3

Es decir, el número de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero
“menor que 45”, resultando x=44.
Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.

55

No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si
nos encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático
y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la
incógnita (el dato que deseamos conocer).
Veamos un problema sencillo como ejemplo:
Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene
actualmente Ximena?
Tenemos entonces:
x

edad de Ximena

x+5

edad de Ximena en 5 años

Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro
de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años).
x + 5 > 18
Resolvemos la inecuación:
x + 5 > 18
x > 18 -5
x > 13
Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero
no podemos determinar exactamente su edad.
Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e
indicando el intervalo en el cual se ubica ésta:

a)
X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto
incluido.
56

b)
X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la
derecha.
Valor Absoluto
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la
inecuación es lineal.
Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es
que podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas
desigualdades.

Observa que en la recta de arriba:
4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica
0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe
cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se
cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general,
un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede
57

representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene
infinitos números reales.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas
que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes
las propiedades de las desigualdades.
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una
utilizando la recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan
solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del
intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en
cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo
en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no
incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta
numérica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la
derecha
se
escribe:
Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra
determinada dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita
Veamos algunos ejemplos:
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que
53)
58

Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad
(en este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la
desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la
operación inversa de la resta es la suma).
Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x,
entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación
inversa de la multiplicación es la división).
Tendremos ahora:

x > 56 ÷ 4
x> 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores
que 14, no incluyendo al 14.
Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la
derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.
Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36
Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos
independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones
inversas donde era necesario).
–11x –5x +65x < 36 –1
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

59

Funciones y Gráficas
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X
(Llamado dominio).
Y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de
Forma que a
elemento f(x) del

cada

elemento x del

dominio

le corresponde un

único

Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas
equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como:
el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de
enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha
con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la
letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2

o

f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
60

Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso
expresado en kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama
la entrada o variable
independiente.
Cada
peso
(perteneciente
al
conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable
dependiente.
Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.
Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo
peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente)
y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número
más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

61

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos
y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo
a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar
un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno
significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos
distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
(dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función
de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a
cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto
B, se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B

f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom)
de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre imagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su
parte, 1 es la pre imagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores
posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de
llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o
correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos
dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los
elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde
un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A
en B).
Dominio = {1, 2, 3}

Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

62

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las
relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y
algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos
los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es
función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es
una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},
Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de
correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz
cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden
elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con
elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los
cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la
variable independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real
(x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto
de todos los números reales.

En cambio, la función
tiene como dominio todos los
valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier

63

valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está
comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los
números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los
números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que
cero para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo
siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos
los números reales para los cuales la cantidad sub radical sea mayor o igual a
cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x +
a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el
dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio
está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea
diferente de cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es
decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable
dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la
función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores
para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales
que son mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero;
puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores
positivos bajo la función f.
Funciones Especiales
Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos
de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las
coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados
64

con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje
y).
Ejemplo para discusión:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

Funciones crecientes, decrecientes y constantes
Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.
Ejemplos:
65

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

66

Gráfica de una Función
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le
corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x
debe pertenecer al dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen
en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la
función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la
gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación
gráfica de la función.

Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial.
Pudimos haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y
dependiendo del problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo.
Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales
con dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos
variables: x > y.

67

Graficar otras desigualdades en la forma estándar y = mx + b es bastante simple
también. Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la
región a sombrear si probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en
muchos casos, sólo observando la desigualdad.
La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la
recta y = 4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no
“mayor o igual que.”

g

68

Gráficas en Coordenadas Rectangulares
Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas,
perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de
coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular
por O, eje de ordenadas.
Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par
del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su
variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

69

Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es
el conjunto de los números reales.

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente
de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica
que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta
vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de
los números reales.
Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los
números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los
números reales. El intercepto en y es (0,b).

Rectas, Parábolas y Sistemas de Ecuaciones
Rectas
Pendiente de una recta
Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera
adecuada por rectas. Una característica de una recta es su "inclinaci6n". Por
ejemplo, en la figura 4.1 la recta Ll crece más rápido que la recta L2 cuando va de
izquierda a derecha. En este sentido Ll está más inclinada respecto a la horizontal.

70

Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura
4.2, conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la
coordenada x aumenta desde 1 hasta 3.

Definición
Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La
pendiente de la recta es el numero m dado por

Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella
deben tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuación (1). Para una
recta horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un
numerador de cero en la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es
cero.

Ejemplo 1 Relación precio/cantidad

71

La recta de La figura 4.4 muestra La relación entre el precio p de un artículo (en
dólares) Y La cantidad q de artículos (en miles) que Los consumidores comprarán
a ese precio. Determinar e interpretar la pendiente.

Solución: En la fórmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la
figura 4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4)
(qIpI) Y (8, 1) = (q2' p2)' tenemos:

La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la
cantidad (un millar de artículos), habrá una disminución de t (d6lar por artículo) en
el precio. Debido a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha.
• En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:
Pendiente cero:
Pendiente indefinida:
Pendiente positiva:
Pendiente negativa:

recta horizontal
recta vertical
recta que sube de izquierda a derecha
recta que desciende de izquierda a derecha

Observe que entre más cercana a cero es la pendiente, está más cerca de ser
horizontal. Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estará más
cercana a ser vertical.
Notamos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son
verticales.
Ecuaciones de rectas
Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una
ecuación cuya gráfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y
pasa a través del punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (podemos
72

encontrar una relación algebraica entre x y y. Utilizando la fórmula de la pendiente
con los puntos (XI' y I) y (x, y), se obtiene

Ejemplo 2 Forma punto-pendiente
Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, 3). Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente.
Solución: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se
obtiene

Ejemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen
Encontrar una ecuación de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4.
Solución: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3
y b= - 4, se obtiene:

Rectas paralelas y perpendiculares
Como se estableció previamente, existe una regia para rectas paralelas:
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales.
También existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con
pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2.
EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recíproco
negativo de la pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como lo establece la
siguiente regla.
73

Ejemplo 5 Rectas paralelas y perpendiculares
La figura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y =
3x + 1, y la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas

Aplicaciones y Funciones Lineales
Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos
A y B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y
y denotan el número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces
todos los niveles de producción están dados por las combinaciones de x y y que
satisfacen la ecuación.

Resolviendo para y se obtiene:
de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel
de producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad
adicional de A, se requerirán 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades
menos de B. Por tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente
de y disminuye en 2 unidades. Para bosquejar la gráfica de y = -2x + 50, podemos
utilizar la intercepción y (0,50) y el hecho de que cuando x = 10, Y = 30
Curvas de demanda y de oferta
Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de
ese producto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante
algún periodo.
74

Por 10 común, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio
baja, la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto está
dado por p y una cantidad (en unidades) está dada por q. Entonces una ecuación
que relaciona p y q es llamada ecuación de demanda. Su gráfica es la curva de
demanda. La Figura 4.14(a) muestra una curva de demanda.
De acuerdo con la práctica de la mayoría de los economistas, el eje horizontal es
el eje
q y el eje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en
dólares
y el periodo es una semana.
Así el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dólares por
unidad, los consumidores demandaran a unidades por semana. Como precios 0
cantidades negativos no tienen sentido, a y b deben ser no negativos. Para la
mayoría de los productos, un incremento en la cantidad demandada que
corresponde una disminución en el precio. Por tanto, una curva de demanda en
general desciende de izquierda a derecha, como en la Figura 4. 14(a).

Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de
productos que los productores están dispuestos a proveer al mercado durante
algún periodo.
Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores
están dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también 10 hace la
cantidad suministrada.
Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una
ecuaci6n que relaciona p y q es llamada ecuación de oferta y su gráfica es una
curva de oferta.
La figura 4.14 (b) muestra una curva de oferta. Si p está en dólares y el periodo es
una semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada
una, los productores proveerán c unidades por semana. Como antes, c y d son no
75

negativos. Una curva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha,
como en la figura 4. 14(b).
Esto indica que un fabricante suministrara más de un producto a precios mayores.
Centraremos la atención ahora en las curvas de oferta y de demanda que son
líneas rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta linealy de demanda
lineal.
Tales curvas tienen ecuaciones en las que p y q están linealmente relacionadas.
Puesto que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a
derecha, una curva de demanda lineal tiene pendiente negativa.
Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva
asciende de izquierda a derecha.
Ejemplo 2 Determinación de una ecuación de demanda
Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando
el precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una.
Determinar
la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Solución:
Estrategia:Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe
ser una línea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están relacionados
linealmente de tal modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q =200.
Estos datos pueden .ser representados en un plano de coordenadas q. p por los
puntos (100,58) y (200, 51). Con estos puntos podemos encontrar una ecuación
de la recta, esto es, la ecuación de demanda.
La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) es

Una ecuación de la recta (forma punto-pendiente) es
76

Simplificando, da la ecuaci6n de demanda

Por costumbre, una ecuación de demanda (así como una ecuación de oferta)
expresa P en términos de q y define una función de q. Por ejemplo, la ecuación (I)
define P como una función de q y es llamada la función de demanda para el
producto
Funciones Lineales
En la sección 3.2 se describió una función lineal. A continuación se presenta una
definición formal.
Definición
Una función f es una función linealsi y solo si f(x) puede ser escrita en la forma
f(x)= ax+ b, en donde a y b son constantes y a≠ O.

Ejemplo 3 Graficación de funciones lineales
a. Graficar f(x) = 2x - 1.

Solución: Aquí f es una función lineal (con pendiente 2), de modo que su gráfica es
una recta. Como dos puntos determinan una recta, solo necesitamos graficar dos
puntos y después dibujar una recta que pase por ellos.
Observe que uno de los puntos graficados es la intercepción en el eje vertical, -I,
que ocurre cuando x = O.

77

Funciones Cuadráticas
Definición
Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la
forma f(x) = ax2 + bx+ c, donde a, b y c son constantes y a"# O.
Por ejemplo: f(x) = x2- 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadráticas. Sinembargo,
g(x) = - 2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =ax2 + bx+
c.
La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx+ c es llamada parábola y
tiene una forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la gráfica se
extiende hacia arriba de manera indefinida y decimos que la parábola se abre
haciaarriba. Si a < 0, entonces la parábola se abre hacia abajo.
Cada parábola en la figura 4.19 es simétrica con respecto a una recta vertical,
llamada el eje de simetría de la parábola. Esto es, si la página fuera doblada en
una de estas rectas, las dos mitades de la parábola correspondiente coincidirían.
El eje (de simetría) no es parte de la parábola, pero es una ayuda útil al
bosquejarla.
La figura 4.19 también muestra puntos etiquetados como vértice, donde el eje
corta a la parábola. Si a > 0, el vértice es el punto "más bajo" de la parábola. Esto
significa que f(x) tiene un valor mínimo en ese punto. Realizando manipulaciones
algebraicas sobre ax2 + bx+ c (completar el cuadrado), podemos determinar no
solo este valor mínimo, sino también en donde ocurre. Tenemos:

78

Rápidamente podemos bosquejar la gráfica de una funci6n cuadrática localizando
primero el vértice, la intercepción y y unos cuantos puntos más, aquellos en donde
la parábola interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0y
resolviendo para x. Una vez que las intercepciones y el vértice han sido
1encontrados,es relativamente fácil trazar la parábola apropiada a través de estos
puntos. Cuando las intercepciones x estén muy cercanas al vértice, 0 no existan,
fijaremos un punto a cada lado del vértice de modo que podamos dar un bosquejo
razonable dela parábola. Tenga en cuenta que una recta vertical (con Iínea
punteada) a través del vértice da el eje de simetría. Graficando puntos a un lado
del eje, podemos obtener por simetría los correspondientes del otro lado.

Ejemplo 1 Graficación de una función cuadrática
Graficar La funci6n cuadrática y = f(x) = _x2 - 4x + 12.
Solución: Aquí a = -I, b = -4 Y c = 12. Como a < 0, la parábola abre hacia abajo y
por tanto tiene un punto más alto. La coordenada x del vértice es b -4- 2a = - 2( - I)
= - 2.
La coordenada y es f{ -2) = _(_2)2 - 4(-2) + 12 = 16. Así, el vértice es (-2, 16), de
modo que el valor máximo de f{x) es 16. Ya que c = 12, la intercepci6n y es 12.
Para encontrar las intercepciones x, hacemos yigual a cero en y =I-X2 - 4x + 12 y
resolvemos para x.
o = - x2 - 4x + 12,
o = - (x2 + 4x - 12),
o = - (x + 6)(x - 2).
Así x = -6 0 x = 2, de modo que las intercepciones x son -6 y 2. Ahora trazamos el
vértice, el eje de simetría y las intercepciones Como (0, 12) está dos unidades a la
derecha del eje, existe un punto correspondiente dos unidades a la izquierda del
80

eje con la misma coordenada y. Por tanto, obtenemos el punto (-4.12). Pasando
por todos los puntos, dibujamos una parábola que abra hacia abajo.

Ejemplo 2 Graficación de una función cuadrática
Graficar p = 2q2.
Solución: Aquí p es una función cuadrática de q, donde a = 2, b = 0 y c = O. Como
a>0, la parábola abre hacia arriba y, por tanto, tiene un punto más bajo. La
coordenada q del vértice es (0,0) en este caso el eje p y la coordenada p es 2(0)2
= O. Así el valor mínimade p es 0 y el vértice es

En este caso el eje p es el eje de simetría. Una parábola que abre hacia arriba con
vértice en (0, 0) no puede tener ninguna otra intercepción. De aquí que para
bosquejar una gráfica razonable graficamos un punto a cada lado del vértice. Si q
= 2, entonces p =8. Esto da el punto (2,8) y, por simetría, el punto (- 2,8)
Ejemplo 3 Traficación de una función cuadrática
Graficar g(x) = x2- 6x + 7.
Solución: Aquí g es una función cuadrática, donde a = 1, b = - 6 y c = 7. La
parábola abre hacia arriba ya que a > O. La coordenada x del vértice (el punto
más bajo) es

81

Y g (3) = 32 - 6(3) + 7 = - 2, que es el valor mínimo de g(x) .Por tanto el vértice es
(3,2). Ya que c =7, la intercepción con el eje vertical es 7. Para encontrar las
intercepciones x, hacemos g(x) = o.
o = x2 .- 6x + 7
El lado derecho no se puede factorizar fácilmente, de modo que usaremos la
fórmula cuadrática al resolver para x,

Ejemplo 4 Traficación de una función cuadrática
Graficar y = f(x) = 2x2 + 2x + 3 y encuentre el rango de f
Solución: Esta función es cuadrática con a = 2, b = 2 Y c = 3. Como a>0 la gráfica
es una parábola que se abre hacia arriba. La coordenada x del vértice es

Y la coordenada y es 2(-t)2 +2(-t)+3=t. Así el vértice es (-t,t)·Como la intercepción
y es 3. Una parábola que abre hacia arriba con su vértice arriba eje x, no tiene
intercepciones x. En la figura 4.23 graficamos la intercepción y, el

82

Vértice y un punto adicional (-2, 7) ala izquierda del vértice. Por simetría, también
obtenemos el punto (I, 7). Trazando una para bola a través de estos puntos se
obtiene la gráfica deseada.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas con Dos Variables
Cuando una situación debe ser descrita matemáticamente, no es raro que surja un
conjuntode ecuaciones. Por ejemplo, suponga que el administrador de una fábrica
establece un plan de producción para dos modelos de Un producto nuevo. El
modelo
A requiere de 4 piezas del tipo I y 9 piezas del tipo II. El modelo B requiere de 5
piezas del tipo I y 14 piezas del tipo II. De sus proveedores, la fábrica obtiene 335
piezas del tipo I y 850 piezas del tipo II cada día. De cada modelo, cuantos debe
producir cada día de modo que todas las piezas del tipo I y piezas del tipo II sean
utilizadas?
Es buena idea construir una tabla que resuma la informaci6n importante. La tabla
4.2 muestra el número de piezas del tipo I y piezas del tipo II requeridas para cada
modelo, así como el número total disponible.

Suponga que hacemos x igual al número de artículos del modele A fabricados
cada día y yigual al número de artículos del modele B. Entonces estos requieren
de 4x + 5y piezas del tipo I y 9x + 14y piezas del tipo II. Como están disponibles
335 y 850 piezas del tipo I y II, respectivamente, tenemos

A este conjunto de ecuaciones Ie llamamos sistema de dos ecuaciones lineales en
las variables (0 incógnitas), x y y. El problema es encontrar valores de x y ypara
los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas de manera simultánea. Estos
valores son llamados soluciones del sistema.

83

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