1. UNIDAD II
Programación Entera y Cuadrática
ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
Ahora la función objetivo f(x) debe ser cuadrática; esta incluye variables cuadráticas o el
producto de 2 variables.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
La pendiente de una recta.- esta representa el grado de inclinación de una recta.
𝑚 =
𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
𝑚 = tan ∝= 𝑦1
La distancia entre dos puntos.-
𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
La distancia de un punto a la recta
𝑑 = |
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
√𝑎2 + 𝑏2
CÓMO RECONOCER UNAECUACIÓNDE LA CIRCUNFERENCIA, LA
HIPÉRBOLE, ELIPSE Y PARÁBOLA
Ecuación de la Circunferencia
Esta se reconoce porque tiene dos variables elevadas al cuadrado con un mismo
coeficiente; se representa por: (𝑋1 − ℎ)^2 + ( 𝑋2 − 𝑘)^2
EJEMPLO 1:
𝑿 𝟐 + 𝟑𝑿 + 𝒀 𝟐 − 𝟓𝒀 = 𝟑
( 𝑥2 + 3𝑥 +
9
4
) + ( 𝑦2 − 5𝑦 +
25
4
) = 3 +
9
4
+
25
4
( 𝑥 +
3
2
)
2
+ ( 𝑦 −
5
2
)
2
=
23
2
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Centro 𝐶 = (−
3
2
;
5
2
)
Radio 𝑅 = (
23√2
2
)
EJEMPLO 2:
𝟐𝑿 𝟐 + 𝟐𝒀 𝟐 = 𝟕
𝑋2 + 𝑌2 = 3.5
𝐶 = (0;0)
𝑅 = √3.5
𝑅 = 1.87
Ecuación de la elipse
A diferencia de la ecuación que representa una circunferencia, en la elipse los coeficientes
de los cuadrados son diferentes.
Las curvas que más se utilizan en I.O. son la circunferencia y la elipse.
Ecuación de la hipérbole
Cuando la ecuación tiene signo negativo representa una hipérbole.
EJEMPLO 1:
2𝑥2 + 3𝑦2 = 8
2𝑥2
8
+
3𝑦2
8
=
8
8
√
𝑥2
4
+ √
𝑦2
8
3
= 1
𝑥 = ±2
𝑦 = ±1.6
EJEMPLO 2:
5𝑥2 + 7𝑦2 = 11
5𝑥2
11
+
7𝑦2
11
=
11
11
√
𝑥2
11
5
+ √
𝑦2
11
7
= 1
𝑥 = ±1.5
𝑦 = ±1,3
EJEMPLO 2
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Ecuación de la parábola
Se da cuando tengo una variable cuadrática y una lineal.
Ejemplo:
2𝑥2 + 3𝑥 + 𝑦 = 7
𝑦 = 7 − 2𝑥2 − 3𝑥
Ahora, para saber hacia dónde se abre la parábola, debo asignar valores a x y a y:
Programación cuadrática es el nombre que recibe un procedimiento que minimiza una
función cuadrática de n variables sujetas a m restricciones lineales de igualdad o
desigualdad.
EJERCICIO 1
Minimizar 𝒛 = ( 𝒙 𝟏 − 𝟐) 𝟐 + ( 𝒙 𝟐 − 𝟐) 𝟐
s.a 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 3
8𝑥1 + 5𝑥2 ≥ 10
𝑥 𝑖 ≥ 0
x Y
-3 -2
-2 5
-1 8
0 7
1 2
2 -7
3 -20
GRÁFICO
PARÁBOLA
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Resolución:
1.- En este caso puedo determinar las coordenadas del centro de la circunferencia:
𝑪 = (𝟐; 𝟐)
2.- Resuelvo las restricciones y gráfico:
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟑
X1 X2
0 3/2
3 0
(3;1.5)
0≤3 Verdadero
𝟖𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎
X1 X2
0 2
5/4 0
(1.25;2)
0≥10 Falso
3.- Calculo la pendiente (m) de la recta cuyo punto esté más cercano al origen, despejando
en la ecuación de la recta que está alejada.
𝑥1 + 2𝑥2 = 3
𝑥2 =
−𝑥1 + 3
2
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𝑥2 = −
1
2
𝑥1 +
3
2
𝑚1 = −
1
2
𝒎 𝟏 ∗ 𝒎 𝟐 = −𝟏
−
1
2
∗ 𝑚2 = −1
𝑚2 = 2
4.- Reemplazo en la ecuación de la recta, la pendiente (de la recta cercana al origen)
hallada y los puntos centro de la ecuación (de circunferencia) dada.
𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙 𝟏)
𝑦 − 2 = 2(𝑥 − 2)
𝑥2 − 2 = 2( 𝑥1 − 2)
𝑥2 − 2 = 2𝑥1 − 4
−2𝑥1 + 𝑥2 = −2
2𝑥1 − 𝑥2 = 2
5.- Despejo por eliminación:
2𝑥1 − 𝑥2 = 2
(-2) 𝑥1 + 2𝑥2 = 3
2𝑥1 − 𝑥2 = 2
−2𝑥1 − 4𝑥2 = −6
−5𝑥2 = −4
𝒙 𝟐 = 𝟒/𝟓
2𝑥1 −
4
5
= 2
𝑥1 =
2 +
4
5
2
𝒙 𝟏 =
𝟕
𝟓
Los puntos resaltados se dibujan en el plano y representan el punto que minimiza la
función. La circunferencia debe tocar en este punto.
Para graficar la circunferencia, calculo la distancia desde el punto centro a la recta (basado
en la nueva ecuación para la recta más cercana al origen) y obtengo el valor de mi radio.
𝑑 = |
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐
√𝑎2+𝑏2
𝑑 = |
2(2)+(−1)(2)+2
√22+22
𝑑 = |
4
√8
𝑑 = |1.41
6.- Reemplazar en Z
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( 𝑋 − 3)2 + ( 𝑌 − 1)2 = (
5
√5
)
2
2𝑋 + 𝑌 = 2
𝑌 = 2 − 2𝑋
( 𝑋 − 3)2 + (2 − 2𝑋 − 1)2 = 5
𝑋2 − 6𝑋 + 9 + (1 − 2𝑋)2 = 5
𝑋2 − 6𝑋 + 9 + 1 − 4𝑋 + 4𝑋2 − 5 = 0
5𝑋2 − 10𝑋 + 5 = 0
5
𝑋2 − 2𝑋 + 1 = 0
( 𝑋 − 1)^2 =0
𝑿 = 𝟏
𝑌 = 2 − 2(1) 𝒀 = 𝟎
EJERCICIO 6
MINIMIZAR 𝒇( 𝒙) = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 Representa la ecuación de una parábola
Para hallar el vértice en X 𝑉𝑋 =
−𝑏
2𝑎
𝑉𝑋 =
−2
2(1)
𝑉𝑋 = −1
Para hallar el vértice en Y 𝑉𝑌 = (−1)2 + (2)(−1) − 3
𝑉𝑌 = −4
Vértice de la parábola (-1,-4)
Puntos de corte para f(x) o y; x=0
𝑓( 𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑓( 𝑥) = 02 + 2(0) − 3
𝑓( 𝑥) = −3 Punto de corte (0,-3)
Punto de corte para x; f(x)=0
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𝑜 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0
( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 1) = 0
𝑥1 = −3
𝑥2 = 1
ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO
Este método se aplica para obtener soluciones enteras.
𝑥 ≤ ⟦ 𝑎⟧ 𝑥 ≥ ⟦ 𝑎⟧ + 1
⟦−3,5⟧ = −4
⟦−3,8⟧ = −4
⟦−3,2⟧ = −4
⟦2,5⟧ = 2
⟦2,8⟧ = 2
⟦2,1⟧ = 2
La parte entera es el número que no excede al número dado.
En esta técnica al maximizar encontramos el menor valor, y
Al minimizar encontramos el mayor valor.
- 0 +
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ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO)
Es un algoritmo diseñado para la resolución de modelos de programación entera, sin
embargo, es muy frecuente que la naturaleza del problema nos indique que las variables
son enteras o binarias. Su operatoria consiste en resolver este como si fuese un modelo de
programación lineal y luego generar cotas en caso que al menos una variable de decisión
adopte un valor fraccionario. El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o restricciones
adicionales) que favorecen la obtención de valores enteros para las variables de decisión.
En este contexto resolver el modelo lineal asociado a un modelo de programación entera
se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del modelo entero.
EJERCICIO 1:
MAIMIZAR 𝒁 = 𝟑𝑿 𝟏 + 𝟒𝑿 𝟐
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9
𝑋𝑖 ≥ 0; 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
DESARROLLO
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
X Y
0 6
3 0
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9
x y
0 3
9/2 0
C= (3, 3/2)
Resolver las ecuaciones por eliminación:
(-1) 2𝑋1 + 𝑋2 = 6
2𝑋1 + 3𝑋2 = 9
- 2𝑋1 − 𝑋2 = −6
2𝑋1 + 3𝑋2 = 9
2𝑋2 = 3
𝑋2 =
3
2
𝑋2 = 1,5 𝑍 = 3𝑋1 + 4𝑋2 𝑍 = 12,75
