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  1. 1. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA Ahora la función objetivo f(x) debe ser cuadrática; esta incluye variables cuadráticas o el producto de 2 variables. CONOCIMIENTOS PREVIOS La pendiente de una recta.- esta representa el grado de inclinación de una recta. 𝑚 = 𝑌2−𝑌1 𝑋2−𝑋1 𝑚 = tan ∝= 𝑦1 La distancia entre dos puntos.- 𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 La distancia de un punto a la recta 𝑑 = | 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 √𝑎2 + 𝑏2 CÓMO RECONOCER UNAECUACIÓNDE LA CIRCUNFERENCIA, LA HIPÉRBOLE, ELIPSE Y PARÁBOLA Ecuación de la Circunferencia Esta se reconoce porque tiene dos variables elevadas al cuadrado con un mismo coeficiente; se representa por: (𝑋1 − ℎ)^2 + ( 𝑋2 − 𝑘)^2 EJEMPLO 1: 𝑿 𝟐 + 𝟑𝑿 + 𝒀 𝟐 − 𝟓𝒀 = 𝟑 ( 𝑥2 + 3𝑥 + 9 4 ) + ( 𝑦2 − 5𝑦 + 25 4 ) = 3 + 9 4 + 25 4 ( 𝑥 + 3 2 ) 2 + ( 𝑦 − 5 2 ) 2 = 23 2
  2. 2. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II Centro 𝐶 = (− 3 2 ; 5 2 ) Radio 𝑅 = ( 23√2 2 ) EJEMPLO 2: 𝟐𝑿 𝟐 + 𝟐𝒀 𝟐 = 𝟕 𝑋2 + 𝑌2 = 3.5 𝐶 = (0;0) 𝑅 = √3.5 𝑅 = 1.87 Ecuación de la elipse A diferencia de la ecuación que representa una circunferencia, en la elipse los coeficientes de los cuadrados son diferentes. Las curvas que más se utilizan en I.O. son la circunferencia y la elipse. Ecuación de la hipérbole Cuando la ecuación tiene signo negativo representa una hipérbole. EJEMPLO 1: 2𝑥2 + 3𝑦2 = 8 2𝑥2 8 + 3𝑦2 8 = 8 8 √ 𝑥2 4 + √ 𝑦2 8 3 = 1 𝑥 = ±2 𝑦 = ±1.6 EJEMPLO 2: 5𝑥2 + 7𝑦2 = 11 5𝑥2 11 + 7𝑦2 11 = 11 11 √ 𝑥2 11 5 + √ 𝑦2 11 7 = 1 𝑥 = ±1.5 𝑦 = ±1,3 EJEMPLO 2
  3. 3. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II Ecuación de la parábola Se da cuando tengo una variable cuadrática y una lineal. Ejemplo: 2𝑥2 + 3𝑥 + 𝑦 = 7 𝑦 = 7 − 2𝑥2 − 3𝑥 Ahora, para saber hacia dónde se abre la parábola, debo asignar valores a x y a y: Programación cuadrática es el nombre que recibe un procedimiento que minimiza una función cuadrática de n variables sujetas a m restricciones lineales de igualdad o desigualdad. EJERCICIO 1 Minimizar 𝒛 = ( 𝒙 𝟏 − 𝟐) 𝟐 + ( 𝒙 𝟐 − 𝟐) 𝟐 s.a 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 3 8𝑥1 + 5𝑥2 ≥ 10 𝑥 𝑖 ≥ 0 x Y -3 -2 -2 5 -1 8 0 7 1 2 2 -7 3 -20 GRÁFICO PARÁBOLA
  4. 4. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II Resolución: 1.- En este caso puedo determinar las coordenadas del centro de la circunferencia: 𝑪 = (𝟐; 𝟐) 2.- Resuelvo las restricciones y gráfico: 𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟑 X1 X2 0 3/2 3 0 (3;1.5) 0≤3 Verdadero 𝟖𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎 X1 X2 0 2 5/4 0 (1.25;2) 0≥10 Falso 3.- Calculo la pendiente (m) de la recta cuyo punto esté más cercano al origen, despejando en la ecuación de la recta que está alejada. 𝑥1 + 2𝑥2 = 3 𝑥2 = −𝑥1 + 3 2
  5. 5. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 𝑥2 = − 1 2 𝑥1 + 3 2 𝑚1 = − 1 2 𝒎 𝟏 ∗ 𝒎 𝟐 = −𝟏 − 1 2 ∗ 𝑚2 = −1 𝑚2 = 2 4.- Reemplazo en la ecuación de la recta, la pendiente (de la recta cercana al origen) hallada y los puntos centro de la ecuación (de circunferencia) dada. 𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝑦 − 2 = 2(𝑥 − 2) 𝑥2 − 2 = 2( 𝑥1 − 2) 𝑥2 − 2 = 2𝑥1 − 4 −2𝑥1 + 𝑥2 = −2 2𝑥1 − 𝑥2 = 2 5.- Despejo por eliminación: 2𝑥1 − 𝑥2 = 2 (-2) 𝑥1 + 2𝑥2 = 3 2𝑥1 − 𝑥2 = 2 −2𝑥1 − 4𝑥2 = −6 −5𝑥2 = −4 𝒙 𝟐 = 𝟒/𝟓 2𝑥1 − 4 5 = 2 𝑥1 = 2 + 4 5 2 𝒙 𝟏 = 𝟕 𝟓 Los puntos resaltados se dibujan en el plano y representan el punto que minimiza la función. La circunferencia debe tocar en este punto. Para graficar la circunferencia, calculo la distancia desde el punto centro a la recta (basado en la nueva ecuación para la recta más cercana al origen) y obtengo el valor de mi radio. 𝑑 = | 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 √𝑎2+𝑏2 𝑑 = | 2(2)+(−1)(2)+2 √22+22 𝑑 = | 4 √8 𝑑 = |1.41 6.- Reemplazar en Z
  6. 6. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 𝑧 = ( 7 5 − 2) 2 + ( 4 5 − 2) 2 𝑧 = 1.8 EJECICIO 2 Minimizar 𝒁 = −𝟔𝒙 𝟏 − 𝟏𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 𝟐 𝟐 s.a 𝑥2 + 𝑥3 = 20 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 = 23 𝑥1 ≥ 0 Resolución: 𝒙 𝟑 = 0 𝒙 𝟒 = 0 𝒙 𝟐 = 20 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒 = 𝟐𝟑 𝒙 𝟏 + 20 + 0 = 23 𝒙 𝟏 = 3 𝑍 = −6(3) − 13(20) − 3(20) − 4(3)2 − 4(202) 𝑍 = 1974 EJERCICIO 3 Minimizar 𝒁 = ( 𝒙 𝟏 − 𝟔) 𝟐 + ( 𝒙 𝟐 − 𝟖) 𝟐 S.a. 𝑥1 ≤ 7 𝑥2 ≤ 5 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 12 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 9 𝑥 𝑖 ≥ 0 Desarrollo
  7. 7. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 𝒙 𝟏 = 7 𝒙 𝟐 = 5 𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟏𝟐 X1 X2 0 6 12 0 (12; 6) 0≤12 Verdadero 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = 𝟗 X1 X2 0 9 9 0 (9;9) 0≤9 Verdadero 𝑑 = | 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 √𝑎2+𝑏2 𝑑 = | 1(6)++2(8)(2)−12 √12+22 𝑑 = | 10 √5 𝑑 = |4.47 (𝑋1 − ℎ)2 + ( 𝑋2 − 𝑘)2 = 𝑅 (𝑋1 − 6)2 + ( 𝑋2 − 8)2 = ( 10 √5 ) 2 Despejo 𝑋1 de 𝑥1 + 2𝑥2 = 12 𝑥1 = −2𝑥2 + 12 .- Reemplazo en la ecuación de la circunferencia: (−2𝑥2 + 12 − 6)2 + ( 𝑋2 − 8)2 = 20 (6 − 2𝑥2)2 + ( 𝑋2 − 8)2 = 20 36 − 4𝑥2 + 4𝑥2 + 𝑥2 − 16𝑥2 + 64 − 20 = 0 5𝑥2 2 − 20𝑥2 + 80 = 0 5𝑥2 2 − 20𝑥2 + 80 = 0 5
  8. 8. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 𝑥2 2 − 4𝑥2 + 16 = 0 (𝑥2 − 4)^2 = 0 𝑥2 = 4 𝑥1 = 12 − 8 𝑥1 = 4 EJERCICIO 5 MAXIMIZAR 𝑍 = ( 𝑋 − 3)2 + ( 𝑌 − 1)2 S.a. 2𝑋 + 𝑌 ≤ 2 𝑋 + 3𝑌 ≤ 3 𝑌 ≤ 4 C= (3,1) 2𝑋 + 𝑌 ≤ 2 X Y 0 2 1 0 (1,2) Verdadero 𝑋 + 3𝑌 ≤ 3 X Y 0 1 3 0 (3,1) Verdadero Y=4 Verdadero 𝑑 = | 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 √𝑎2+𝑏2 𝑑 = | 2(3)+1(1)−2 √4+1 𝑑 = | 5 √5 𝑑 = |2.24
  9. 9. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II ( 𝑋 − 3)2 + ( 𝑌 − 1)2 = ( 5 √5 ) 2 2𝑋 + 𝑌 = 2 𝑌 = 2 − 2𝑋 ( 𝑋 − 3)2 + (2 − 2𝑋 − 1)2 = 5 𝑋2 − 6𝑋 + 9 + (1 − 2𝑋)2 = 5 𝑋2 − 6𝑋 + 9 + 1 − 4𝑋 + 4𝑋2 − 5 = 0 5𝑋2 − 10𝑋 + 5 = 0 5 𝑋2 − 2𝑋 + 1 = 0 ( 𝑋 − 1)^2 =0 𝑿 = 𝟏 𝑌 = 2 − 2(1) 𝒀 = 𝟎 EJERCICIO 6 MINIMIZAR 𝒇( 𝒙) = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 Representa la ecuación de una parábola Para hallar el vértice en X 𝑉𝑋 = −𝑏 2𝑎 𝑉𝑋 = −2 2(1) 𝑉𝑋 = −1 Para hallar el vértice en Y 𝑉𝑌 = (−1)2 + (2)(−1) − 3 𝑉𝑌 = −4 Vértice de la parábola (-1,-4) Puntos de corte para f(x) o y; x=0 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑓( 𝑥) = 02 + 2(0) − 3 𝑓( 𝑥) = −3 Punto de corte (0,-3) Punto de corte para x; f(x)=0
  10. 10. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 𝑜 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 ( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 1) = 0 𝑥1 = −3 𝑥2 = 1 ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO Este método se aplica para obtener soluciones enteras. 𝑥 ≤ ⟦ 𝑎⟧ 𝑥 ≥ ⟦ 𝑎⟧ + 1 ⟦−3,5⟧ = −4 ⟦−3,8⟧ = −4 ⟦−3,2⟧ = −4 ⟦2,5⟧ = 2 ⟦2,8⟧ = 2 ⟦2,1⟧ = 2 La parte entera es el número que no excede al número dado. En esta técnica al maximizar encontramos el menor valor, y Al minimizar encontramos el mayor valor. - 0 +
  11. 11. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO) Es un algoritmo diseñado para la resolución de modelos de programación entera, sin embargo, es muy frecuente que la naturaleza del problema nos indique que las variables son enteras o binarias. Su operatoria consiste en resolver este como si fuese un modelo de programación lineal y luego generar cotas en caso que al menos una variable de decisión adopte un valor fraccionario. El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o restricciones adicionales) que favorecen la obtención de valores enteros para las variables de decisión. En este contexto resolver el modelo lineal asociado a un modelo de programación entera se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del modelo entero. EJERCICIO 1: MAIMIZAR 𝒁 = 𝟑𝑿 𝟏 + 𝟒𝑿 𝟐 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋𝑖 ≥ 0; 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 DESARROLLO 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 X Y 0 6 3 0 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 x y 0 3 9/2 0 C= (3, 3/2) Resolver las ecuaciones por eliminación: (-1) 2𝑋1 + 𝑋2 = 6 2𝑋1 + 3𝑋2 = 9 - 2𝑋1 − 𝑋2 = −6 2𝑋1 + 3𝑋2 = 9 2𝑋2 = 3 𝑋2 = 3 2 𝑋2 = 1,5 𝑍 = 3𝑋1 + 4𝑋2 𝑍 = 12,75
  12. 12. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II Solución óptima o problema relajado SOLUCIÓN ENTERA Z=12; X1=0 X2=3 Cotas: 𝑍 = 12 𝑋1 = 0 𝑋2 = 3 𝑍 = 10 𝑋1 = 1 𝑋2 = 2 𝑍 = 12,2 𝑋1 = 1 𝑋2 = 2,3 𝐼𝑛𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑍 = 10 𝑋1 = 2 𝑋2 = 1 𝑍 = 12,5 𝑋1 = 1,5 𝑋2 = 2 𝑍 = 12,8 𝑋1 = 2 𝑋2 = 1,7 𝑍 = 9 𝑋1 = 3 𝑋2 = 0 𝒁 = 𝟏𝟐,𝟕𝟓 𝑿 𝟏 = 𝟐, 𝟐𝟓 𝑿 𝟐 = 𝟑, 𝟐 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1,7 𝑋1 ≤ 2 𝑋1 = 2 𝑋2 = 1,7 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 0 𝑋2 = 0 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1 𝑋1 ≥ 3 𝑋1 = 3 𝑋2 = 0 X1≤2 X1≥3 X2≤1 X2≥2 X1≤1 X1≥2 X2≤2 X2≥3
  13. 13. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II EJERCICIO 2 MINIMIZAR 𝒁 = −𝟓𝑿 𝟏 − 𝟖𝑿 𝟐 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋𝑖 ≥ 0; 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 = 6 𝑋2 = 6 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2,5 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 3 𝑋1 ≤ 2 𝑋2 ≤ 1 𝑋2 = 1 𝑋1 = 2 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 1,5 𝑋1 ≤ 2 𝑋2 ≥ 2 𝑋2 = 2 𝑋1 = 1,5 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 4 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 2,3 𝑋1 ≤ 2 𝑋2 ≥ 2 𝑋1 ≤ 1 𝑋1 = 1 𝑋2 = 2,3 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1,7 𝑋1 ≤ 2 𝑋2 ≥ 2 𝑋1 ≥ 2 𝑋1 = 2 𝑋2 = 1 INFACTIBLE 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 1,5 𝑋1 ≤ 2 𝑋2 ≥ 2 𝑋1 ≤ 1 𝑋2 ≤ 2 𝑋2 = 2 𝑋1 = 1 2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 1,5 2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 0 𝑋1 ≤ 2 𝑋2 ≥ 2 𝑋1 ≤ 1 𝑋2 ≤ 3 𝑋2 = 3 𝑋1 = 0
  14. 14. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 X Y 0 5 9 0 −5𝑋1 − 5𝑋2 ≤ −30 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 4𝑋2 ≤ 15 𝑋2 ≤ 3,75 𝑋1 + 3,75 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2,25 𝑍 = −41,25 SOLUCIÓN 𝑍 = −40 𝑋1 = 0 𝑋2 = 5 𝑍 = −39 𝑋1 = 3 𝑋2 = 3 𝑍 = −41 𝑋1 = 1,8 𝑋2 = 4 𝒁 = 𝟒𝟏,𝟐𝟓 𝑿 𝟏 = 𝟐, 𝟐𝟓 𝑿 𝟐 = 𝟑, 𝟕𝟓 𝑍 = −40,2 𝑋1 = 1 𝑋2 = 4,4 𝑁𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑍 = −37 𝑋1 = 1 𝑋2 = 4 𝑍 = −40 𝑋1 = 0 𝑋2 = 5 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 3 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋1 ≤ 3,6 𝑋2 ≤ 3 𝑋1 ≤ 3 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋1 ≤ 1,8 𝑋2 ≥ 4 𝑋1 ≥ 1,8 X2≤3 X2≥4 X1≤1 X1≥2 X1≤1 X2≤4 X2≥5
  15. 15. UNIDAD II Programación Entera y Cuadrática ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 5 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 4,4 𝑋2 ≥ 4 𝑋1 ≤ 1 𝑋1 = 1 𝑋2 ≤ 4,4 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 4 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 3,89 𝑋2 ≥ 4 𝑋1 ≥ 2 𝑋1 = 1 𝑋2 = 4 No Factible 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 1,8 𝑋1 ≤ 1 𝑋2 ≤ 4 𝑋2 = 4 𝑋1 ≤ 1 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 1 5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 0 𝑋1 ≤ 1 𝑋2 ≥ 5 𝑋2 = 5 𝑋1 = 0

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