El enfoque gráfico como alternativa para la solución de inecuaciones
1. El enfoque gráfico como alternativa para la solución de
ecuaciones e inecuaciones
Angela E. Torres R.
Junio, 2010
( )
3
9
log 3x
≤
−
2. Elementos que
sustentan el enfoque
gráfico
Traslaciones
Verticales y
Horizontales
Ampliación y
Reducción
Manejo adecuado
de operaciones
algebraicas
Efecto del Valor
Absoluto
Reflexión
3. :
Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones cuadráticas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación
Planteamiento gráfico:
Solución:
Los puntos a y b se hallan resolviendo:
2
6 8 5− + >x x
( ) ( ), ,−∞ +∞a y b
5862
=+− xx
2 6 24 6 24
6 8 5, ,
2 2
+ −
− + = = =
14243 14243
Punto b Punto a
x x es decir x y x
2
6 8 5− + = −x x (Esta última ecuación no tiene
solución en los reales).
4. :
Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones cuadráticas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación
Planteamiento gráfico:
Solución:
Los puntos se hallan a partir de:
2
2 10 21 8< − + <x x
( ) ( ) ( ), , ,∪ ∪a b c d e f
2
10 21 2− + =x x
2
10 21 2 (Esta ecuación arroja los puntos b y e)− + =x x
2
10 21 2 (Esta ecuación arroja los puntos c y d)− + = −x x
2
10 21 8− + =x x
2
10 21 8 (Esta ecuación arroja los puntos a y f)− + =x x
2
10 21 8 (Esta ecuación no tiene solución real)− + = −x x
5. :
Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones radicales
Encuentre la solución de la siguiente inecuación
Planteamiento gráfico:
Solución:
12 5 5− − >x
( ) ( ], ,5−∞ ∪a b
12- 5 =5 44 (Punto b)− ⇒ = −x x
12 5 5− − =x
12 5 =-5 284 (Punto a)− − ⇒ = −x x
Los puntos a y b se hallan resolviendo:
6. ( )
k
c
f x
≥ ( )f x
c R∈ k R∈
Tópico: Inecuaciones que presentan la forma , con
función radical; y constantes.
Encuentre la solución de la siguiente inecuación: 1
6
8 x
≥
−
Solución: [ ),8a
El punto a se halla a partir de:
1 1 287
6, es decir 8 , por lo que
6 368
x x
x
= = − =
−
7. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma , con
es una función radical
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
El punto a se halla a partir de:
( )
1
c
f x
>
donde
,c R∈
)(xf
1
5
10 4 x
>
− −
( )96,a−
1
5
10 4 x
=
− −
1
5 95,2016
10 4
x
x
= ⇒ = −
− −
( )
1
5 no tiene solución
10 4 x
= −
− −
8. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
reales y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se hallan a partir de:
kydcba ,,,
( )
n
k
d c e
ax b
< − <
−
n par ó impar
( )
5
3
4 1 6
2 7x
− < − <
−
( ) ( ), ,b c−∞ ∪ +∞
( )
( )
( )
( )
5
5
3
1 4 Punto b
2 7
3
1 6 Punto c
2 7
x
x
− = −
−
− =
−
9. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
reales y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan a partir de:
kydcba ,,, n par ó impar
( ) ( ), ,b c−∞ ∪ +∞
( )
n
k
c d
ax b
− <
+
( )
7
3
1 10
4 6x
− <
− +
( )
( )7
3
1 10 Punto b
4 6x
− =
− +
( )
7
3
1 10
4 6x
− =
− +
( )
( )7
3
1 10 Punto c
4 6x
− = −
− +
10. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
reales y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver las ecuaciones:
kydcba ,,, n par ó impar
( )
ec
bax
k
d n
≤−
+
<
( )
52
34
7
1 6
≤−
−
<
x
( ) ( ] [ ) ( ), , , ,c d e f g h−∞ ∪ ∪ ∪ +∞
( )
6
7
2 1
4 3x
− =
− ( )
6
7
2 5
4 3x
− =
−
y
11. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
función logarítmica y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver la ecuación:
)(xf
cxf ≥)(
c∈R
( )log 3 2 2x − ≥
( ] [ ), ,a b−∞ ∪ +∞
( )log 3 2 2x − =
12. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
función logarítmica y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver la ecuación:
)(xf
cxf <)(
c∈R
( ) 223log
5
1 <−x
( ) ( ), ,a b−∞ ∪ +∞
( )1
5
log 3 2 2x − =
13. Tópico: Inecuaciones que involucren funciones logarítmicas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver la ecuación:
( )2
4log 3 18 5x x− − <
( ) ( ), 3 6,a b− ∪
2 5 2
3 18 4 , es decir, 3 1042 0x x x x− − = − − =
14. Tópico: Inecuaciones que involucren la raíz cuadrada de funciones logarítmicas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
El punto
( )1 10log 5 3x− ≥
( )1 10log 5 3x− =a se determina a partir de:
9
1
5
10
x
= − ÷
Por lo que:
[ ),5a
15. ( ) ( )1 10log 5f x x= −
a
( ) ( )1log loga ax x= −
Con el propósito de verificar el correcto trazado de la gráfica de
,así como la validez del valor del punto
, conviene introducir la relación siguiente:
16. Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones logarítmicas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver la ecuación:
( )2
log 6 4x − <
( ) ( ), ,a b c d∪
( )2
log 6 4x − =
17. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
reales
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
eydcba ,,,
ax b c dx e+ − ≤ +
1
4 2 1
3
x x− − ≤ +
[ ],a b
Punto a
:
( )
{Brazo Izquierdo
Recta dada
1
4 2 1
3
3
4
x x
x
− − − = +
=
14243
Punto b
:
( )
{Brazo Derecho
Recta dada
1
4 2 1
3
21
2
x x
x
− − = +
=
14243
18. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma
donde todas las funciones son lineales
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Punto a
:
Punto b
( ) ( ) ( )a f x b g x h x+ ≤
3 1 2 5 14x x x− + + ≤ +
}2Recta Recta dada
11 14
2 3
3 2
y
x x
x
x
− + = +
− =
= −
678 } }32Recta Recta dada
5 9 14
4 5
5 4
y
x x
x
x
+ = +
=
=
[ ]ba,
19. Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico
Permite afianzar conceptos básicos y fortalecer el
desarrollo de operaciones algebraicas.
Ofrece mecanismos alternativos para determinar la
veracidad de los resultados.
20. Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico
Fortalece el hallazgo de los puntos característicos de una
función, como lo son los puntos de corte con los ejes
)()( xfyxf −−
Permite diferenciar el efecto del signo “menos” y del
valor absoluto, en los casos:
Así como:
)()( xfyxf
21. Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico
Permite efectuar un traslado fluido entre los registros gráfico y
algebraico, afianzando conceptos como los de Dominio y
Rango.
Brinda la oportunidad de contrastar el comportamiento
de dos rectas, analizando su pendiente.
22. Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico
Permite introducir la noción de límite lateral y continuidad,
así como las definiciones de asíntota vertical y horizontal.
Ofrece un mecanismo alternativo para evaluar las
propiedades de las funciones, muy particularmente en el
caso de la función logarítmica y la función exponencial.
23. El enfoque gráfico como alternativa para la solución de
ecuaciones e inecuaciones
Angela E. Torres R.
Junio, 2010
( )
3
9
log 3x
≤
−
