Io 3ra modelo de transporte

INVESTIGACIÓN OPERATIVA
UNIVERSIDAD NACIONAL
“SAN AGUSTIN” - AREQUIPA
Augusto JAVES SANCHEZ
Lic. Administración
Maestría en Gestión Estratégica de Organizaciones
Doctorado en Administración
EXPOSITOR
http://www.facebook.com/cursospara.emprendedores?sk=notes
http://cursosparaemprendedores.blogspot.com/p/tesis.html
3
Modelo de Transporte

ALGORITMO DE TRANSPORTE
De
Hacia
Columbia
TOTAL
TOTAL
46
46
25
St. Louis
Denver
Los Ángeles
Indianápolis
Phoenix
Nueva York
Atlanta
35
36
60
55
30
25
25
40
50
80
90
30
40
66
75
15
6
14
11
10
12
15
9

TEXTO BASE:
4. IO - Transporte

ORGANIZACION
RESULTADOS
ORGANIZACION PARA LA CONVERSION
• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO
• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES
• MEDICION DEL TRABAJO
• ADMINISTRACION DE PROYECTOS
SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELO Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert
PLANIFICACION
INSUMOS
M
PLANIFICACION (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:
• ESTRATEGIAS DE OPERACION
• PREDICCION (PRONOSTICOS)
• ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS
• CAPACIDAD DE OPERACIONES
• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES
• PLANEACION DISTRIBUCION FISICA PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION
• PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA
• PROGRAMACION OPERACIONES
SEGUIMIENTO PRODUCTOS
CONTROL
• CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION
• CONTROL DE INVENTARIO
• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES
• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD
• CONTROL DE CALIDAD
CONTROL
RETROALIMENTACION
PROCESO de CONVERSION
MODELOS
MODELOS
MODELOS
M
• Productos
• Servicios
• Información
M

MODELO DE TRANSPORTE
Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras de determinados destinos (D) receptores, donde hay que transportar cierta cantidad de recursos productivos (naturales, intermedios o finales) desde las fuentes hacia los destinos
FUENTES
Oferta
Capacidad de producción
Proveedores
Plantas de producción
Almacenes mayoristas
DESTINOS
Demanda
Capacidad de venta
Plantas de producción
Almacenes mayoristas
Tiendas minoristas

Se desea determinar la distribución óptima de los
recursos productivos, lo que implica establecer la
combinación de distribución de fuentes a
destinos, que tenga el mínimo costo asociado
F1
F3
F2
Fn
D1
D2
D3
Dm

Lo anterior se obtiene mediante el mínimo costo de transporte, lo que requiere considerar los costos unitarios de transporte desde cada fuente hacia cada destino Se construye un modelo de transporte que, es un caso particular del método simplex
F.O. :
Mín Z
=


n
m
i=1
j=1
Cij Xij
• Cij : Costo unitario de transporte desde la fuente i hasta el destino j
• Xij : Unidades a transportar desde la fuente i hasta el destino j
i
j
Cij

F.O. :
Mín Z
=


n
m
i=1
j=1
Cij Xij
i
j
Cij
s.a. :


i=1
j=1
n
m
Xij
Xij
=
=
Qdemandada
Qofrecida
Xij
>
0
A
i,j

Desde
Hacia
F1
F2
F3
F4
D1
D2
D3
D4
TOTAL
TOTAL








X1j
X2j
X3j
X4j
Xi1
Xi2
Xi3
Xi4
Cij
Xij

Desde
Hacia
F1
F2
F3
F4
D1
D2
D3
D4
TOTAL
TOTAL








X1j
X2j
X3j
X4j
Xi1
Xi2
Xi3
Xi4
X23
C21
C11
C31
C41
C12
C22
C32
C42
C43
C33
C23
C13
C14
C24
C34
C44
X33
X43
X44
X42
X41
X34
X32
X31
X24
X22
X21
X14
X13
X12
X11

Xij
Cij C23
X23
6
175
Significa que el costo unitario de transporte
desde la fuente 2 al destino 3 es de $6
A su vez, el número de unidades a transportar
desde la fuente 2 al destino 3 es de 175
SIGNIFICADO DE CADA CUADRO

Es el valor total producido en los orígenes (Qofrecida) y es también el valor total demandado por los destinos (Qdemandada)








Qdemandada
Qofrecida
=
=
Xim
Xi3
Xi2
Xi1
+
+
+
+
+
+
+
+
.......
.......
Xnj
X3j
X2j
X1j
Necesariamente:
Qdemandada Qofrecida
=

Si Qdemandada Qofrecida, entonces significa que falta en el cuadro una columna o fila, la que representa las holguras existentes
=
=
Si Qdemandada Qofrecida
Holguras
Exceso de Oferta
Exceso de Demanda
>
<
Holguras

VARIABLES DE HOLGURA
Cuando no se cumple la condición necesaria del modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada), se incorporan variables de holgura (o exceso), a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro
Se asume que el costo unitario de transporte para la columna adicional o fila adicional es cero, ya que las variables de holgura o exceso no forman parte de la función objetivo de optimización

VARIABLES DE HOLGURA
Dependiendo si se trata de un exceso de oferta (Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de demanda (Qdemandada > Qofrecida), las variables de holgura (o exceso) que se añaden, a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro, representan diferentes casos
Cada caso de variables de holgura o exceso, con su posible columna adicional o fila adicional, se identifica a partir del contexto de cada situación particular

EXCESO DE OFERTA
Qofrecida
Qdemandada
Capacidad Ociosa
>
Si
Se crea una columna adicional en el cuadro, que representa a las unidades a no producir
Qofrecida
Qdemandada
Acumulación de Inventario
>
Si
Se crea una columna adicional en el cuadro, que corresponde a la acumulación de inventario
Casos Posibles:

Casos Posibles:
EXCESO DE DEMANDA
Si
Qofrecida
Qdemandada
<
Desacumulación de Inventario
Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la desacumulación de inventario
Si
Qofrecida
Qdemandada
<
Demanda No Satisfecha
Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la demanda no satisfecha

Qofrecida
Qdemandada
Producción en Turno Extra
<
Si
Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la producción en turno extra (sobretiempo)
Casos Posibles:
EXCESO DE DEMANDA

EJEMPLO
Una compañía manufacturera dispone de 3
fábricas con diferentes capacidades y costos de
transporte para el destino de sus 4 almacenes.
La información pertinente se muestra en la tabla:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad
Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1 23 18 21 25 650
2 21 24 23 18 600
3 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Para resolver se arma un cuadro simplex

METODOLOGIA DEL SIMPLEX
1) Se arma el tableau inicial
5) Se realizan tantas iteraciones como sean necesarias hasta encontrar la solución óptima
4) Si no es la solución óptima, se itera hallando una nueva solución factible, para verificar si la nueva solución factible es o no es óptima
3) Evaluar si la solución factible es o no es óptima
2) El tableau inicial otorga la 1ª solución factible

METODOS PARA LOGRAR LA 1ª SOLUCION FACTIBLE
• Esquina Nor-Oeste
• Vogel
Ambos mecanismos no garantizan la optimalidad inmediata, solo garantizan la factibilidad
Iteraciones: Si la solución básica no es óptima, se deben reasignar recursos, mediante el criterio de la minimización de los costos, lo que implica realizar iteraciones al cuadro

22
PROBLEMAS DE TRANSPORTES - MODELO DE TRANSPORTES

23
PROBLEMAS DE TRANSPORTES - MODELO DE TRANSPORTES

METODO ESQUINA NOR-OESTE
Asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda ubicada en la esquina nor- oeste del cuadro tableau Luego, se asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda aledaña correspondiente, según las restricciones de demanda en los destinos y las restricciones de oferta en las fuentes

Si en principio, la asignación de la esquina nor- oeste es una restricción de demanda, entonces no es posible asignar hacia abajo en el tableau y se asigna hacia el lado Mientras que, si la asignación inicial es una restricción de oferta, entonces no es posible asignar hacia el lado en el tableau y se asigna hacia abajo Así sucesivamente, se completa el cuadro tableau, de acuerdo al criterio recientemente descrito

En general:
Si no se puede asignar más por restricción de demanda
Si no se puede asignar más por restricción de oferta
Se completa hacia el lado
Se completa hacia abajo

EJEMPLO DE TRANSPORTE
Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
300
350
100
500
Inven.
0
600
600
500
300
450
1850
1950
100
100
Qofrecida
Qdemandada
>
Como
Acumulación de Inventario
18
21
27
23
0
21
24
23
18
0

DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
El problema de transporte es una aplicación de la programación lineal, para el caso específico de variables de decisión bidimensionales (Xij, con dos subíndices: ij)
La programación lineal se concibe y comprende, a partir de conceptos geométricos y un sistema de ecuaciones lineales (que en el caso del modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada)
Los conceptos geométricos implican el uso de espacios vectoriales, con determinada dimensión

La dimensión es el rango del espacio vectorial, que representa la cantidad de componentes requerida en la base o vector de variables básicas ( XJ )
Si se cumple con el rango establecido, entonces el conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema cumple la condición de linealidad: o sea, todas las restricciones son linealmente independientes (l.i.)
La condición de linealidad o restricciones linealmente independientes, es condición ineludible para aplicar la metodología del simplex

Programación Lineal con variables de decisión unidimensionales (caso Xi)
Programación Lineal con variables de decisión bidimensionales (caso Xij)
Rango = m
Rango = m + n - 1
Donde m es el número de restricciones l.i.
Donde:
• m es el número de columnas del tableau
• n es el número de filas del tableau

Existe cuando en la solución básica hay al menos
una variable cuyo valor es igual a cero
Cuando la solución es óptima y a la vez
degenerada, entonces hay múltiples soluciones
óptimas: 2, 3, 4 o quizás infinitas soluciones
La solución degenerada no
implica dificultad para el
problema de programación
lineal, es simplemente un
caso particular
SOLUCION DEGENERADA

Número de Variables Básicas = m + n - 1
m: Número de columnas en el tableau (destinos)
n : Número de filas en el tableau (fuentes)
Si Variables
básicas < ( m + n - 1 )
Existe
solución
degenerada
SOLUCION DEGENERADA

SOLUCION DEGENERADA
Para completar una base con solución degenerada, se ingresan tantos valores ceros como sean necesarios para completar el rango (dimensión) requerido por el espacio vectorial
Cuando se ingresa uno o más valores ceros, no se hace en cualquiera celda vacía al azar
El o los valores ceros, deben ingresarse tal que se disponga una base linealmente independiente (l.i.)

( m + n - 1 ) = 7
Sin embargo, en la asignación inicial del método de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables básicas (celdas ocupadas) Por lo tanto, existe una solución degenerada. Luego, debe ingresarse un valor cero para completar la base de iteración
Ingresa XP3A2 = 0
Pudo ser también en otras celdas vacías

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
300
350
100
500
Inven.
0
600
600
500
300
450
1950
1950
100
100
0
XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV)
21
24
23
18
0
18
21
27
23
0

BASE LINEALMENTE INDEPENDIENTE (L.I.)
Una base es linealmente independiente cuando permite realizar la verificación de la condición de optimalidad para cada variable no básica (celda vacía en el tableau)
Aquello acontece cuando se forma un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas, determinando para cada una de éstas, si realizan o no realizan aporte a la minimización de costos del problema

BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMA
Se realiza un análisis de sensibilidad, calculando los precios sombra de cada una de las variables no básicas (celdas vacías en el algoritmo de transporte), para saber si es que hay algún ahorro respecto del costo total (valor de la función objetivo z) de la reciente iteración Variables básicas ( XJ ): Están en el tableau y toman un valor, que en general es mayor que cero Variables no básicas ( XJ ): No están en el tableau (celdas vacías) y necesariamente valen cero

VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
Permite comprobar si una solución básica factible es o no es óptima, evaluando el precio sombra o costo marginal asociado al transporte o envío de una unidad en cada variable no básica o celda desocupada en el tableau
Verificar la condición de optimalidad se efectúa por medio de la formación de “lazos”, alrededor de cada variable no básica

Lazos: Son los caminos que se forman dentro del tableau, alrededor de las celdas no básicas y, que se cierran mediante movimientos exclusiva y alternadamente, horizontales y verticales
Por ejemplo:
El primer vértice del lazo es una celda no básica, la cual también es el último vértice, cerrando el lazo. Los demás vértices del lazo necesariamente son variables o celdas básicas

El costo marginal referido a la verificación de la optimalidad, se obtiene a través de los mismos costos unitarios presentes en las celdas del lazo, según la transferencia de unidades asignadas que exista en cada celda del lazo:
Si la celda del lazo recibe unidades en la transferencia
Se suma el costo unitario de la celda para la verificación
Si la celda del lazo entrega unidades en la transferencia
Se resta el costo unitario de la celda para la verificación

En el ejemplo, para la celda P2A1
(planta 2 y almacén 1) se tiene:
300
100
350
Alm.1 Alm.2
Planta 1
Planta 2
+21 -24
-23 +18
CMg = +21 -24 +18 -23 = - 8
Hay un Ahorro
Marginal, es el
concepto de
precio sombra

PRECIO - SOMBRA
Es cuánto varía la función objetivo respecto del cambio en una unidad de una de sus variables componentes La verificación de optimalidad requiere obtener el precio sombra de todas las celdas vacías, para lo cual se necesita formar los lazos respectivos

Una base linealmente independiente garantiza un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas

CONDICION DE OPTIMALIDAD
Si ij 0 , ij XJ

A
>

Solución óptima
La solución factible es óptima cuando no existe posibilidad alguna de ahorro marginal, lo que ocurre cuando todos los precios sombra son mayores o iguales a cero

Si ij 0 ,ij XJ

<

Solución no es óptima
E
CONDICION DE OPTIMALIDAD
Mientras exista al menos un precio sombra menor que cero en las celdas no básicas de las iteraciones del tableau, entonces su solución factible no es óptima, por lo que entonces deben continuarse las iteraciones
Si hay dos o más precios sombra menores a cero, se determina que ingresa a la base la variable no básica que origina el precio sombra más negativo

ITERACIONES
Cuando hay ahorro marginal, lo máximo que se transfiere hacia la celda no básica, es el mínimo de las celdas que entregan unidades en la transferencia, para así conservar la condición de factibilidad
Xij
>
0
A
i,j
Cada vez que se realiza una iteración (reasignación de unidades), a continuación se necesita volver a calcular los precios sombra, hasta verificar que se alcanza la solución óptima

CONCEPTO DE LA GRAN “M”
En caso de que no se pueda o no se desee almacenar o asignar unidades, el método de transporte define un costo unitario de transporte igual a “M”, que representa un costo marginal infinito, que en el tableau se expresa de la siguiente manera:
Si CMg
=
8
M

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
18
21
25
650
600
700
500
Inven.
0
600
600
500
300
450
1950
1950
100
100
0
Se deben calcular todos los precios sombra
-8
300
350
100
= + 21 - 24 + 18 - 23 = - 8

P2A1
21
24
23
18
0
0
23
27
21

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
300
Inven.
0
600
600
500
300
450
100
100
0
-8

= + 21 - 18 + 24 - 23 = + 4
+4
350
100
500
P1A3
21
24
23
18
0
0
23
27
21
18

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
300
100
500
Inven.
0
600
500
300
450
100
100
-8

= + 25 - 18 + 21 - 23 = + 5
+5
+4
350
0
600
P1A4
21
24
23
18
0
18
21
27
23
0

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
23
18
21
21
27
25
650
600
700
300
100
500
Inven.
0
600
500
300
450
100
0
-8

= + 0 - 18 + 21 - 0 = + 3
+5
+4
350
0
600
100
+3
P1INV
21
24
23
18
0

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
300
100
500
Inven.
0
600
500
300
450
100
-8

= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8
+5
+4
350
0
100
+3
600
-8
P2A4
21
24
23
18
0
0
23
27
21
18

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
300
100
500
Inven.
0
600
500
300
450
100
-8

= + 0 - 24 + 21 - 0 = - 3
+5
+4
350
0
100
+3
600
-8
-3
P2INV
21
24
23
18
0
18
21
27
23
0

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
500
Inven.
0
600
500
300
450
100

= No Existe
+5
+4
350
0
100
+3
600
-8
-3
Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2
-8
300
100
E
P3A1
0
18
23
24
21
23
0
27
21
18

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100

= No Existe
+5
+4
350
100
+3
600
-8
-3
Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2
-8
300
500
100
0
E
E
P3A3
0
18
23
24
21
23
0
27
21
18

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100

350
100
600
-8
-8
300
500
100
0
P2A4
0
18
23
24
21
23
0
27
21
18
= + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
350
100
300
500
Entra XP2A4
Unidades Transferir = 100
100
0
600
y Sale XP2A2.
100
100
500
0
18
23
24
21
0
21
27
23
18

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
350
100
500
300
500
100
Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:
100
-4
-8
-1
0
+8
+5
+5
+3
21
24
23
0
18
18
21
27
23
0

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
350
100
500
300
500
100
100
-8
21
24
23
0
18
18
21
27
23
0

P3A1
= + 18 - 23 + 18 - 21 = - 8

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
100
500
500
Entra XP3A1
100
y Sale XP3A2.
300
350
100
100
450
200
18
23
21
24
23
18
0
18
21
27
23
0

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
450
100
500
200
500
100
100
-12
+8
-1
+8
+16
-3
+5
-5
21
24
23
0
18
18
21
27
23
0
21

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
450
100
500
200
500
100
100
-12
21
24
23
0
18
18
21
27
23
0
21

P1A3
= + 21 - 23 + 18 – 23 + 18 - 23 = - 12

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
450
100
Entra XP1A3
y Sale XP1A1.
200
100
500
100
500
200
300
300
300
300
21
24
23
18
0
18
21
27
23
0

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
450
100
300
200
300
300
300
+12
-4
-1
+8
+4
+9
+5
+7
21
24
23
18
0
18
21
27
23
0
23

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
450
100
300
200
300
300
300
-4
21
24
23
18
0
18
21
27
23
0
23

P3A2
= + 21 - 18 + 21 – 23 + 18 - 23 = - 4

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
100
300
Entra XP3A2
Transferir = 300
y Salen XP2A3 y XP3A4.
300
450
200
300
300
300
600
500
150
0
21
24
23
18
0
18
21
27
23
0

Desde
Hacia
Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
18
23
21
25
650
600
700
Inven.
0
600
500
300
450
100
150
100
500
300
300
600
+8
+4
+3
+9
+3
0
Se halló la solución óptima, que es degenerada
E
E
E
0
18
23
24
21
18
21
27
23
0

Solución Óptima del Ejercicio:
XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)
XP1A2
XP1A3
XP2A3
XP2A4
XP3A1
XP3A2
XP3INV
= 300
= 300
= 100
= 150
= 500
= 600
= 0
Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) + + (300*18) + (300*21) + (0*100)
Z = Costo Total = $ 35.700
La solución no es única, pues es una solución degenerada

ij
>
0
A
i,j

XJ

EJEMPLO
Problema resuelto el método de esquina nor-oeste:
1 23 18 21 25 650
2 21 24 23 18 600
3 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Considere que los costos unitarios de producción
son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3
respectivamente. Por política de la empresa, no se
permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2.
Plantee como problema de programación lineal y
encuentre la asignación óptima por método Vogel

PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas:
1.- Comprensión del problema (lectura en detalle) 2.- Definición de las variables de decisión 3.- Descripción de la función objetivo 4.- Identificación de las restricciones del problema

En un problema de transporte, las variables de decisión contemplan todas las combinaciones posibles de flujos de distribución física, a transferir desde las fuentes hacia los destinos
Resulta imprescindible definir las variables de decisión. Si no se definen las variables de decisión, entonces es imposible determinar qué significan las denominaciones Xij que, a continuación, se describen en la función objetivo y las restricciones

Las restricciones incluyen un conjunto de restricciones de oferta (una por cada fuente) y otro conjunto de restricciones de demanda (una por cada destino), sin olvidar la condición de no negatividad
Se define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados a la red de distribución física

Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de oferta:
Oferta total
Demanda total
>
Si
>
<
=
Restricciones Oferta Restricciones Demanda
<
=
Situación válida tanto para acumulación de inventario como capacidad ociosa (unidades a no producir)

Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de demanda:
Oferta total
Oferta total
Demanda total
Demanda total
<
Si
Si
>
<
=
<
=
<
>
=
Situación válida para caso de demanda no satisfecha
Situación válida para los casos de desacumulación de inventario y de producción en turno extra

El ejemplo considera dos categorías de costos, por lo que se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte La tabla de costos para plantear el problema de programación lineal queda así:
INV
A4
A3
A1
A2
P1 41 36 39 43 M P2 46 49 48 43 M P3 28 31 37 33 10

Sea Xij: Número de unidades a transportar desde
la fuente i-ésima hacia el destino j-ésimo
donde:
i = { planta 1, planta 2, planta 3 }
j = { almacén 1, almacén 2, almacén 3,
almacén 4 }
Función objetivo: Minimizar Z
Mín Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 +
46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 +
28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4
(producción + transporte)

Para el ejemplo planteado:
1 23 18 21 25 650
2 21 24 23 18 600
3 18 21 27 23 700
Demanda 300 450 500 600
Oferta total = 1950
Demanda total = 1850
Hay un exceso de oferta
Luego, se plantean: Restricciones Oferta
Restricciones Demanda
<
=
•
•

s.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A4 650
Restricciones de Oferta:
XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A4 600
XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A4 700
Restricciones de Demanda:
<
<
<
s.a. XP1A1 + XP2A1 + XP3A1 300
XP1A2 + XP2A2 + XP3A2 450
XP1A3 + XP2A3 + XP3A3 500
XP1A4 + XP2A4 + XP3A4 600
=
=
=
=
Restricciones de No Negatividad:
Xij 0
>
, ij
A

METODO DE VOGEL
Selecciona las diferencias de ahorros más altas y luego asigna el máximo número de recursos productivos en la celda con el mínimo costo unitario, según las restricciones de oferta y de demanda Utiliza conceptos matemáticos y de cálculo avanzado: calcula un gradiente moviéndose por la mayor pendiente, asignando unidades en las celdas con el menor costo marginal Vogel es más inteligente y rápido que la esquina noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidad
Gradiente:

g(x)
=
z
x
i
z
y
j
+
>
>

ETAPAS DEL METODO VOGEL
1) Calcular las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, en el tableau
3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta total o demanda total, respectivamente, por efecto de la asignación reciente
2) Se escoge la mayor de las diferencias y se ubica en tal fila o columna (según sea el caso), la celda con el menor costo unitario, asignándole el máximo número de unidades posible

ETAPAS DEL METODO VOGEL
4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1), recalculando las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, seleccionando la mayor de tales diferencias, para identificar en dicha máxima diferencia la celda con el menor costo unitario y asignar en dicha celda el máximo número de unidades posibles, según las restricciones de oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau
5) Se asignan las celdas restantes en forma manual

Al resolver el problema de transporte, sólo se consideran los costos diferenciales, por lo que si bien se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte, es posible reducir la tabla de costos según:
INV
A4
A3
A1
A2
Como sólo interesan los costos diferenciales, podría trabajarse
INV
A1
A2
A3
A4
P1 31 26 29 33 M P2 36 39 38 33 M P3 18 21 27 23 0
P1 41 36 39 43 M P2 46 49 48 43 M P3 28 31 37 33 10

P.1
P.3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Ofta
P.2
Dda
650
600
700
Inven
600
500
300
450
100
5
13
18
3
3
10
2
M
100
1ª asignación: en la celda con menor costo de la mayor de las diferencias de mínimos costos
23
27
21
18
36
39
38
33
M
31
26
29
33
M
0

P.1
P.3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Ofta
38
P.2
Dda
39
26
31
33
23
18
36
21
29
27
33
650
600
700
Inven
M
M
600
500
300
450
100
0
5
3
3
3
10
2
M
100
13
300
1ª asignación: XP3A3 = 100 2ª asignación: XP3A1 = 300
.... y así se completa sucesivamente

P.1
P.3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Ofta
P.2
Dda
33
650
600
700
Inven
M
600
500
300
450
100
3
3
18
13
5
2
10
M
100
*
300
*
300
*
13
9
0
450
*
4
200
*
300
300
39
36
31
26
29
18
21
27
38
33
M
0
23
5
2
3

1ª asignación: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M 2ª asignación: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 13 3ª asignación: XP3A4 = 300, gradiente columna A4 = 10 4ª asignación: XP1A2 = 450, gradiente columna A2 = 13 5ª asignación: XP1A3 = 200, gradiente columna A3 = 9
6ª asignación: XP2A3 = 300
7ª asignación: XP2A4 = 300
Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible, sin embargo falta verificar la condición de optimalidad e iterar vía simplex si es que es necesario
Asignación manual

Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
26
31
33
18
36
21
29
33
650
600
700
Inven
M
M
600
500
300
450
100
0
100
300
300
450
200
38
39
300
300
27
23
Entra XP3A2
+12
+8
+4
-4
-1
+9
+M
+M
De acuerdo al cálculo de los precios sombra
Transferir = 300
y salen XP2A3 y XP3A4.

Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
36
650
600
700
Inven
M
600
500
300
450
100
100
300
38
39
300
300
300
300
600
Hay solución degenerada,
ingresa XP2A2 = 0
0
21
18
27
23
0
450
200
500
150
33
29
26
31
M
33

Planta 1
Planta 3
Alm.1
Alm.2
Alm.3
Alm.4
Oferta
Planta 2
Demanda
31
18
36
21
650
600
700
Inven
M
600
500
300
450
100
0
100
300
300
150
500
38
39
600
0
27
23
+8
+3
+8
E
E

Ya que
ij
>
0

A
i,j
XJ
La solución es óptima
33
33
29
26
+13
M
+M
E

Solución óptima del ejemplo:
XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)
XP1A2
XP1A3
XP2A2
XP2A4
XP3A1
XP3A2
XP3INV
= 300
= 300
= 100
= 150
= 500
= 600
= 0
Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) + + (300*28) + (300*31) + (100*10)
Z = Costo Total = $ 69.400
La solución no es única, pues es una solución degenerada

ij
>
0
A
i,j

XJ
(producción + transporte)

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